История числа пи

Число π является лишь одним из бесконечного множества действительных чисел, но оно обратило на себя внимание людей еще в те времена, когда они не умели письменно излагать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний. С тех пор как первые натуральные числа 1, 2, 3 стали неразлучными спутниками человеческой мысли, помогая оценивать количества предметов либо их длины, площади или объемы, люди познакомились и с числом π. Тогда оно еще не обозначалось одной из букв греческого алфавита и его роль играло число 3.

Нетрудно понять, почему числу π уделяли так много внимания. Выражая величину отношения между длиной окружности и длиной ее диаметра, оно появилось во всех расчетах, связанных с площадью круга или длиной окружности. Но уже в глубокой древности математики довольно быстро и не без удивления обнаружили, что число 3 не совсем точно выражает то, что теперь известно как число π. Безусловно, к такому выводу они могли прийти только после того, как к ряду натуральных чисел добавились дробные числа. Со временем, по мере того как в области геометрии накаливались новые результаты, разгорались споры о природе числа π. Этому во многом способствовали попытки геометров определить сторону квадрата, имеющего площадь, точно равную площади заданного круга.

Эта задача, ставшая позже известной как задача о квадратуре круга, должна была как будто остаться, подобно любой другой математической задаче, достояние специалистов. Но случилось иное: своим кажущимся элементарным характером она породила иллюзию, будто для ее решения нужны не столько глубокие математические познания, сколько изобретательность. Под влиянием этой иллюзии задача о квадратуре круга получила широкую известность среди нематематиков, превратившись в навязчивую идею, предмет страсти и даже в цель жизни многих из них. И по сей день выражение «квадратура круга» вызывает у непосвященных представление о задаче, полной глубокой таинственности. На самом же деле ничего таинственного в ней не было – кроме того, пожалуй, что для ее решения требовалось знать, что такое число π. Установить его природу было не очень легко. Средства, необходимые для такого исследования, поначалу отсутствовали. Создавались они постепенно, по мере того как математика развивала и закрепляла свои собственные методы изучения природы.

Вот почему задача о квадратуре круга занимала умы математиков – и особенно нематематиков – более тридцати веков. За это длительное время она несколько утратила «строгость», свойственную задаче из специальной области; вместо этого, однако, она приобрела немало занимательного.

Величайший математик XVIII века Ж. Л. Лагранж, прозванный «самой высокой пирамидой математических наук», утверждал, что математик не совсем понял свое творение, если не может изложить его столь ясно, чтобы оно стало понятным для рядового человека.

Это его мнение разделяют и другие математики. Так, например, Ж. Колле говорит: «Если высшая математика менее доступна, то ее основные элементы понятны для всех, и, чтобы постичь их, достаточно обладать тем здравым смыслом, которым, как утверждает Декарт, в равной степени наделены все люди».

Числу π удавалось в течение тысячелетий держать в плену мысли и чувства не только ученых, но и философов, и художников. История этого числа лишний раз убеждает, что мысли тех, кто стремиться к решению одной и той же задачи, не остаются изолированными во времени и в пространстве: они «ищут» друг друга и соединяются в единое целое, подобно звукам мелодии, связанным между собой законами гармонии. Когда решение математической задачи получено, его структура нередко дышит красотой, воздействующей на ум и душу подобно звукам классической симфонии.

Вы, может быть, думаете, что π – просто обозначение? Ничего подобного! π – это имя собственное, как «Иван» или «Мария». Более того! В то время как Иваном или Марией называют множество людей и нужны другие признаки, чтобы точно знать, о ком идет речь, среди бесконечного множества чисел существует лишь одно-единственное, носящее название π, а именно число, выражающее отношение длины окружности к ее диаметру. Число 3,14 – одно из приближенных значений π. Для точного определения его не хватило бы и миллионов десятичных знаков, последовательность которых, между прочим, даже неизвестна. Может быть, вас удивит, что у чисел могут быть миллионы десятичных знаков и что в 1958 году были опубликованы первые 10000 десятичных знаков числа π, найденные при помощи электронной вычислительной машины. Может возникнуть вопрос, какая польза от установления такого количества десятичных знаков π, тем более что для вычисления, например, траектории космической ракеты, удалившейся на любое расстояние от Земли, не понадобиться и 50 десятичных знаков этого числа.

2. Первооткрыватель π.

Не надо думать, что старания математиков преувеличены, что эти вычисления – напрасный труд. Если они не могут быть пока применены на практике, они могут стать полезными в решении какой-нибудь задачи из теории чисел, а это в свою очередь может найти практическое применение. История математики знает много таких примеров.

В саду Аполлона Ликейского.

Это было утром в начале июня 325 года до н. э. Ахроматический урок кончился, но слушатели продолжали прогуливаться по Платоновым аллеям прохладной рощи Аполлона Ликейского. Они горячо спорили. Аристотель в сопровождении трех близких учеников направился домой. Его маленькие глаза смотрели вдаль. Как колыхавшиеся на мачте лоскуты разорванного паруса, продолжали биться в его уме доводы, приведенные во время урока. учеников, предупреждая и устраняя всякое недопонимание, мешавшее им. Поэтому, когда урок кончался и связь с учениками прерывалась, Аристотель еще оставался во власти витающих в его голове мыслей.

Теофраст: «Почему когда ты разбирал основной принцип движения, ты не упустил повода выступить против элеатов, а для того, чтобы стрела ударила еще более метко, не пощадил и бедных квадратуристов? Объясни, почему? Смотри, как страстно они продолжают спорить о квадратуре круга, словно все афинские дела зависят только от нее. »

Аристотель: «Тебя тоже удивляет мое утверждение, что квадратура Антифона не является геометрической, что геометрам не следует тратить так много сил на борьбу с ней? Не это ли заставляет тебя спрашивать, почему я дразнил софистов?»

Аристоксен: « Вижу, ты целиком оправдываешь свое имя, Теофраст. Ты тронул струну, которая начала звенеть. Я боготворю музыку и считаю ее единственным благом»

Аристотель: « Единственным благом? Так слушайте, что случилось однажды, когда я посещал занятия моего учителя Платона. На одном из уроков он сказал, что будет говорить о благах. Слушателей тогда собралось более обычного, каждый надеялся узнать новый способ приобретения желаемого блага, в первую очередь богатства. А Платон говорил о числах, геометрии и астрономии и заключил, что накопление знаний – это единственное благо»

Тут они остановились у дома Аристотеля, где он попрощался с Теофрастом и Аристоксеном. Евдема он попросил остаться.

Аристотель: «Ты хочешь поговорить со мной о квадратуре круга, Евдем?»

Евдем: «Да. Я собрал и восстановил некоторые результаты. Хотелось бы поговорить о них до того, как я придам им окончательный вид для включения в историю геометрии. Я уверен, что ты не дашь убедить себя, но все же прошу послушать. Антифон пытается приблизиться к кругу, удваивая количество сторон вписанного в него многоугольника. Так, после вписания в круг квадрата он делит его стороны на две равные части и восставляет перпендикуляры, делящие пополам соответствующие дуги. Хорды полученных новых дуг образуют вписанный в круг восьмиугольник. До сих пор Антифон, очевидно, соблюдает принципы?»

Аристотель: «Да, и даже дальше, когда, следуя тому же способу, он вписывает в круг многоугольник с 16, 32 или с любым числом сторон, полученных удвоением предыдущего. »

Евдем: «Антифон утверждает, что когда число сторон полученного таким образом многоугольника достаточно велико, они – эти стороны – достаточно малы, чтобы площадь сегментов, заключенных между окружностью и каждый из сторон вписанного многоугольника, исчезла»

Аристотель: «Твои доказательства красивы, и, если бы я не рассматривал их с геометрической точки зрения, я бы тоже восхищался ими». Слабость позиции «отца логики» состояла не столько в том, что Аристотель не соглашался считать окружность пределом, к которому стремиться, при неограниченном увлечении числа сторон, вписанный в нее правильный многоугольник, сколько в том, что он безоговорочно и непреклонно настаивал на принципах, которые начинали уже сковывать развитие геометрии.

Вспомним принимавшееся египтянами значение числа π! С того времени и до работы Архимеда прошло не менее полутора тысячелетий, а найденный результат остался приближенным: 3,14. Говорят, что последнему великому геометру античности – Аполлонию – удалось точно определить первые четыре десятичных знака числа π, но достоверно об этом ничего не известно, так как много работ Аполлония было утеряно.

Работы Архимеда и Аполлония завершают эпоху великих открытий древнегреческой математики. Причины последовавшего затем упадка можно найти в экономических и политических переменах, произошедших в эллинистических государствах (при дворах их монархов находилось много знаменитых ученых и художников) после их подчинения Риму.

Что касается значения числа π, то в рукописях того времени утверждалось, что оно равняется 22/7, но никто не знал, что это его приближенное значение, и не мог указать, каким образом оно было установлено.

Между прочим, и в Византии – центре эллинистической культуры после завоевания Александрии мусульманами, - где культурный уровень был выше, чем в Западной Европе, положение в области математики было не лучше. К концу XI века крупнейший ученый того времени, автор известной работы по математике Михаил Пселл утверждал, что наилучший способ вычислить площадь круга – это считать ее равной среднему геометрическому площадей вписанного в круг и описанного около него квадратов. Если Пселл попытался бы сам при помощи рекомендованного им «наилучшего» способа установить отношение длины окружности к ее диаметру, то он нашел бы, что π=√8≈2,82, т. е. меньше числа 3 – значения π, известного еще в доисторические времена.

3. Древние о числе π.

Величайший математик древности Архимед из Сиракуз вычислил и приближенное значение p, причем на основе математических принципов, а не прямых измерений длины окружности, площади круга и диаметра. Архимед вписывал в окружность и описывал около нее правильные многоугольники (т. е. многоугольники со сторонами одинаковой длины). Диаметр окружности принимался за единицу, а периметры описанного и вписанного многоугольников рассматривались как приближения соответственно сверху и снизу к длине окружности, которая в данном случае численно совпадала с p.

Этот метод приближения p не был новшеством: еще раньше вписывать многоугольники с возрастающим числом сторон предложил Антифон, а его современник Брисон из Гераклеи дополнительно ввел описанные многоугольники. Новшеством был выполненный Архимедом правильный расчет результата удвоения числа сторон как вписанного, так и описанного многоугольников. Тем самым он разработал процедуру, повторение которой достаточное число раз в принципе позволяет вычислить p с любым количеством знаков. (Следует заметить, что периметр правильного многоугольника легко вычисляется с помощью простых тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса, однако во времена Архимеда, т. е. в III в. до н. э. , эти функции еще не были полностью изучены и вычисление периметров было далеко не таким легким делом, как может сейчас показаться. )

Архимед начал с вписанного и описанного шестиугольников и получил неравенство 3 < p < 2·31/2. Четырежды удвоив число сторон (т. е. доведя его до 96), он сузил интервал для p: 3+10/71 < p < 3+1/7 и получил приближенное значение p= 3,14. Есть некоторые основания предполагать, что дошедший до нас текст трактата "Измерение круга" представляет собой часть более обширного труда, в котором Архимед объясняет, как, начав с десятиугольников и применив шесть раз операцию удвоения, он получил приближение с пятью знаками: p = 3,1416. Сам по себе метод Архимеда прост, но при отсутствии готовых таблиц тригонометрических функций требует извлечения корней; выполнение этой операции вручную занимает довольно много времени. Кроме того, приближения сходятся к p очень медленно: с каждой итерацией погрешность уменьшается лишь вчетверо. Тем не менее до середины XVII в. все попытки европейских ученых вычислить p так или иначе опирались на этот метод. Голландский математик XVI в. Лудольф ван Цейлен посвятил вычислению p большую часть своей научной деятельности. К концу жизни он нашел приближение с 32 десятичными знаками, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольников с 262 (т. е. порядка 1018) сторонами. Говорят, полученное им значение p, которое в некоторых европейских странах называют в его честь числом Лудольфа, высечено на его надгробном камне.

Развитие анализа в основном трудами Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница позволило намного ускорить вычисление приближенных значений p. В анализе существуют эффективные методы нахождения для функции ее производной (скорости изменения значения функции при изменении переменных) и интеграла (суммы значений функции на некоторой области изменения переменных). С помощью этих методов можно показать, что обратные тригонометрические функции представляются в виде интегралов от квадратичных функций, связанных с окружностью. (Обратная тригонометрическая функция задает угол, которому отвечает данное значение самой тригонометрической функции. Так, значение функции, обратной тангенсу, т. е. арктангенса, от 1 равно 45 градусам, или p/4 радианам. ) Связь между тригонометрическими функциями и алгебраическими выражениями станет понятней, если рассмотреть окружность единичного радиуса с центром в начале координат на декартовой плоскости х-у. Уравнение этой окружности (ее площадь численно совпадает с p) имеет вид х2 + у2 = 1; оно получается по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 1. Синус и косинус угла между положительной полуосью х и радиусом, проведенным в любую точку окружности, равны соответственно координатам у и х этой точки, а его тангенс равен у /х.

Однако для вычисления p гораздо важнее тот факт, что обратную тригонометрическую функцию можно разложить в ряд, члены которого выражаются через ее производные. Сам Ньютон нашел 15 знаков p, суммируя несколько первых членов ряда для арксинуса. Позднее он писал одному из коллег: "Мне стыдно сказать вам, до скольких знаков я выполнил эти вычисления, не занимаясь больше ничем".

В 1674 г. Лейбниц вывел формулу 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 +. = p/4 (арктангенс единицы). (Общий ряд для арктангенса был открыт в 1671 г. шотландским математиком Джеймсом Грегори, хотя аналогичные выражения, по-видимому, были получены в Индии на несколько столетий раньше. ) Погрешность этого приближения, определяемая как разность между суммой n членов ряда и точным значением p/4, приблизительно равна (n + 1)-му члену. Так как знаменатель каждого следующего слагаемого возрастает лишь на два, то, чтобы получить приближение с точностью до двух знаков, приходится суммировать около 50 членов, с точностью до трех знаков - около 500 и т. д. Таким образом, этот ряд практически непригоден для нахождения более чем нескольких первых знаков p.

Спасла положение формула Джона Мэчина: p/4=4arctg(l/5) - arctg(l/239). Поскольку ряд для арктангенса при заданном значении переменной сходится тем быстрее, чем меньше это значение, благодаря этой формуле вычисления сильно упростились. Пользуясь своей формулой и рядом для арктангенса, Мэчин в 1706 г. вычислил 100 знаков p. Его метод оказался столь мощным, что с начала XVIII в. и до самого недавнего времени все вычисления p с большим числом знаков были выполнены с помощью тех или иных вариантов этого метода.

Из вычислений, проведенных в XIX в. , два следует упомянуть особо. В 1844 г. Иоганн Дазе нашел 205 знаков p в течение нескольких месяцев, вычисляя значения трех арктангенсов и пользуясь формулой, аналогичной формуле Мэчина. Дазе был чудо-вычислителем: он мог примерно за 8 часов перемножать в уме стозначные числа. (Его, наверное, можно считать предтечей современного суперкомпьютера, по крайней мере по объему памяти. ) В 1853 г. Уильям Шенкс обошел Дазе, опубликовав полученное им значение p с 607 знаками, хотя начиная с 528-го все остальные оказались неверными. Шенкс потратил на свой труд многие годы - это было рутинное, хотя и трудоемкое применение формулы Мэчина. Своеобразным рекордом стало и то, что ошибка Шенкса была обнаружена только через 92 года при сравнении его значений с приближением p до 530 знаков, вычисленным Д. Ф. Фергюсоном с помощью механического калькулятора.

С появлением цифровых вычислительных машин попытки найти еще больше десятичных знаков p возобновились, так как машина идеально приспособлена к долгому и упорному "перемалыванию" чисел. В июне 1949 г. Джон фон Нейман и его сотрудники применили один из первых цифровых компьютеров ENIAC. Машина выдала 2037 знаков за 70 часов. В 1957 г. Г. Э. Фелтон пытался вычислить 10 000 знаков p, но из-за ошибки компьютера только первые 7480 знаков оказались правильными. Рубеж в 10 000 знаков был достигнут годом позже Ф. Женюи с помощью компьютера IBM 704. В 1961 г. Дэниел Шенкс [по утверждению М. Гарднера, не имеющий отношения к Уильяму Шенксу. - Перев. ] и Джон У. Ренч-младший вычислили 100 000 знаков p с помощью компьютера IBM 7090 менее чем за 9 часов. Отметка в миллион знаков была пройдена в 1973 г. Жаном Гийу и М. Буйе. Это заняло чуть меньше одного дня работы компьютера CDC 7600. (Вычисления Шенкса - Ренча и Гийу - Буйе были проделаны дважды при помощи двух разных выражений для p через арктангенсы. С учетом всех ошибок, допущенных в подобных вычислениях как человеком, так и машиной, только после такой проверки современные "охотники за знаками" считают рекорд официально установленным. )

Главная причина, по которой стало возможным все более точное вычисление p, состояла в увеличении быстродействия компьютеров. Однако вскоре выявились серьезные препятствия к дальнейшему росту точности. При традиционных способах выполнения на компьютере арифметических действий, если бы мы захотели удвоить число знаков, нам пришлось бы увеличить время вычисления по крайней мере вчетверо. Таким образом, даже при стократном увеличении быстродействия программе Гийу и Буйе для получения миллиардного знака p понадобилось бы четверть века машинного времени. В 70-е годы казалось, что такое вычисление практически невыполнимо. Однако теперь эта задача осуществима, причем не только благодаря появлению "скоростных" компьютеров, но и благодаря применению новых методов умножения чисел. Решающим было и третье нововведение - итерационные алгоритмы, быстро сходящиеся к p. (Итерационный алгоритм можно реализовать в виде программы, которая повторно выполняет одни и те же арифметические действия, используя выход одного цикла в качестве входа для следующего. ) Эти алгоритмы (некоторые из них построены нами) во многих отношениях предвосхищены Рамануджаном, хотя он и не знал ничего о программировании. Компьютеры не только позволили применить результаты Рамануджана, но и помогли разгадать их. Совершенное программное обеспечение, предусматривающее сложные алгебраические манипуляции, позволило уверенно двигаться по дороге, по которой в одиночку, лишенный помощи пробирался Рамануджан 75 лет назад.

Чтобы проследить за дальнейшей историей числа π, приходится обращаться к Западной Европе. Именно там, наперекор удушливой атмосфере костров, пылавших по всей Европе, мыслители в монашеской одежде постепенно, теорему за теоремой, восстанавливали геометрию. Это видно по некоторым дошедшим до нас рукописям. Среди них – работа о квадратуре круга, написанная магистром Франком из Льежа, любителем геометрических проблем и особенно квадратуры круга.

Самый большой труд, систематизирующий историю математики, - это четырехтомное сочинение М. Кантора, выходившее несколькими изданиями с 1880 по 1922 гг. По истории числа π до XI века можно ограничиться первым томом, озаглавленным: «С древнейших времен до 1200 года. » Можно еще обратиться к книгам Д. Смита, И. Тропфке, Ф. Кэджори, Дж. Лориа, Э. Бортолотти, Р. К. Арчибальда, А. П. Юшкевича. А также, чтобы узнать, что знали к XI веку о числе π в Индии, можно обратится к двум томам по истории математики в Индии, написанным Датой и Сингхом.

По-видимому, в IV веке н. э. была написана «Сурья Сиддханта», стихи которой содержат данные о первых вычисленных индийцами значениях числа π, а именно: π=3,06 и π=3,08. Более точно известно, что в V веке н. э. , когда никто в Европе уже не думал о числе π, крупнейший индийский мыслитель и астроном Арьябхата в своей книге «Арьябхатья» дает для числа π приближенное значение 3,1416.

В V веке индийцы знали величину числа π лучше европейцев; они сумели найти три его первых точных десятичных знака. Но что это по сравнению с результатами, о которых можно узнать, изучая китайскую математику тех времен? Например, задачей о квадратуре круга занимался Лю Хуэй, живший в III веке. При этом он применил способ, очень сходный с методом, которым за 500 лет до него пользовался Архимед. Но Лю Хуэй не довольствовался вычислениями сторон только 96-угольников – он вычисляет стороны 192-угольников и снова получает приближенное значение π=3,14, выраженное при помощи отношения чисел 157/50.

Три брата Бану Муса – Мухаммед, Ахмед и ал-Хасан, жившие в первой половине IX века, истратили большую часть своего состояния на приобретение греческих рукописей, которые затем были переведены на арабский язык. Среди этих рукописей имелись и «Начала» Евклида. В связи с определением площади круга и длины окружности они, однако, принимали для числа π значение √10, или 22/7.

«Книга о площадях» служила образцом для Леонардо Фибоначчи, известнейшего математика средних веков, автора труда «Praktika geometriae», сочиненного около 1220 года. В этой работе Фибоначчи восстанавливает и настоящий характер числа π, напоминая давно забытую, особенно квадратуристами, истину, что π не точно равно 3 ¹⁄7 , что эта дробь представляет собой только приближенное значение этого числа. В то же время он отмечает, что π можно приближенно выразить и при помощи отношения 377/120.

Однако Фибоначчи не довольствовался этими двумя приближенными значениями числа π, он указывает и другое: π=864/275=3,1418, которое, весьма вероятно, было вычислено им самим. По содержанию книги видно, что ему был хорошо знаком способ Архимеда, применявшийся последним к вписанному в круг и описанному около него 96-угольникам. Фибоначчи показывает, что число π содержится между отношениями 1440 и 1448

458 4/9 458 1/5 , т. е. что 1440 <π< 1448 ; приближенное значение этих отношений

458 4/9 458 1/5 есть 3,1418. Таким образом, Фибоначчи определил три первых точных десятичных знака числа π.

Хотя в те годы мало знали о числе π, не все геометры соглашались с этими мнениями. В книге «Praktika geometriae» Доминик Парижский подчеркивает, что число надо рассматривать как приближенное значение отношения между длиной окружности и ее диметром.

В XVI и XVII вв. очень выросло число лиц, утверждавших, что они нашли способ построения при помощи циркуля и линейки стороны квадрата с площадью, равной площади заданного круга. Разумные люди, наверное, задавали себе вопрос: не свирепствует ли какая-то эпидемия среди всех искателей решения знаменитой геометрической задачи? И как всегда, когда вспыхивает эпидемия и не удается найти лекарства против нее, пытается хотя бы воспрепятствовать ее распространению.

Работы квадратуристов интересны тем, что они стали стимулом для математиков, заставляя их искать средства определения природы этого числа, названного π. И если продолжить сравнение с эпидемией, не должно удивлять, что у многих из тех, кто искал лекарств от этой очень вирулентной болезни, начали появляться тревожные симптомы заболевания.

Первым средством, при помощи которого математики пытались остановить бедствия квадратуры, было Архимедово вычисление значения π=3,14. Ибо, говорили они, любое геометрическое построение, претендующее установить квадратуру круга, должно соответствовать полученному Архимедом значению. Если такое построение приведет к значению, отличному от найденного Архимедом, оно неверно. Однако с течением времени и это лекарство оказалось недейственным. Квадратуристы проявили большую находчивость и изобрели более тонкие конструкции, из которых вытекало, что π=3,14. Но так как и эти новые доказательства казались подозрительными, лекари-математики приняли новые исследования и добились большей точности выражения числа π. Так, к концу XVI века Адриан Антонис определил шесть точных десятичных знаков π, выраженных отношением 355/113, т. е. установил значение π=3,1415929

Едва было установлено это новое значение π, как шести десятичных знаков показалось математикам слишком мало. И вот в 1579 году Франсуа Виет, применяя способ Архимеда к 393216-угольнику, получает первые девять точных десятичных знаков π.

Теперь мы уже очутились перед одним из тревожных симптомов болезни тех, кто стремился ставить преграду бедствию квадратуры, - погоней за десятичными знаками π. Вскоре после открытия Виета его современник фламандский математик Адриан ван Роомен вычисляет 15 точных десятичных знаков числа π. Для получения этого значения он применяет 230=1073741824-угольник. Многоугольник с более чем миллиардом сторон! Это кажется фантастическим! Действительно, математику ван Роомену понадобилось много лет для завершения вычислений – ведь тогда не могло быть и речи о вычислительных машинах!

Спустя три года выдающийся вычислитель Лудольф ван Келен взял на себя смелость применить тот же способ Архимеда к многоугольникам с числом сторон порядка 32 миллиарда 512 миллионов и получил 20 точных десятичных знаком числа π. Он сообщил об этом результате в книге, опубликованной в 1596 году. После его смерти в его рукописях были найдены следующие 15 десятичных знаков. Эти десятичные знаки были столь дороги для Лудольфа, что он, не будучи собственно математиком, завещал, чтобы их высекли на его надгробном камне. В знак уважения к памяти этого блестящего вычислителя число π долгое время называлось числом Лудольфа.

Не надо забывать, что XVII век в Европе – это время бурного развития производительных сил, время, когда были заложены основы современной науки и техники. Неудивительно, что в этих условиях понадобилось как можно точнее определить число π, так как оно появлялось в разных технических задачах, как, например, в выражении, определяющем период колебания маятника: Т=2π√1/8, или в формулах длины дуги меридиана, необходимых в мореплавании, а также в других задачах, относящихся к объему шара, цилиндра, конуса и тому подобное. Вот почему такие великие ученые, как Декарт, Галилей, Гюйнес, Ньютон, Лейбниц и многие другие проявляли интерес к задаче о квадратуре круга, надеясь, что при более обстоятельном изучении можно будет определить и природу числа π.

На протяжении XVI – XVIII вв. никто не мог с полной уверенностью сказать, возможно или нет решение квадратуры круга при помощи циркуля и линейки, так как тогда ни у кого не было ясного и точного представления о характере несоизмеримого отношения двух отрезков, другими словами, - о природе иррационального числа. Можно было предположить, что внушительная свита 35 десятичных знаков числа π сумеет пролить некоторый свет на природу. Но нет? Ученые беспомощно смотрели на них, не делая никакого вывода, и в то же время пыл квадратуристов ничуть не спадал, они продолжали искать метод построения при помощи циркуля и линейки, позволяющий получить сторону квадрата с площадью, равной площади круга.

Декарт также придумал остроумный способ определения числа π, но он стал известен лишь посмертно, в 1701 году, когда были опубликованы некоторые его при жизни не изданные произведения. Изучение этого способа возобновил в 1737 году великий математик Эйлер, а затем и другие ученые; ныне он известен под названием метода изопериметров. В его основе лежит следующая идея: Вместо того, чтобы определять значение числа π при помощи правильных многоугольников, периметры которых стремятся к длине окружности, используют правильные изопериметрические многоугольники с числом сторон n и 2n и устанавливают отношение между радиусами вписанных в них и описанных около них кругов, когда число сторон становиться бесконечно большим. Выдающийся математик А. М. Лежандр разработал метод, который по аналогии можно было бы назвать методом «изоплощадей». Этот метод позже привел к результатам, проложившим путь к решению вопроса о природе числа π.

Вернемся к Виету и примененному им методу для получения девяти десятичных знаков числа π. Всмотревшись внимательно в формулу, выражающую отношение площади квадрата к площади описанного вокруг него круга, Виет заметил, что число π можно выразить бесконечным произведением сомножителей: 2/π=cos π/4 · cos π/8 · cos π/16; заменив косинус дуги его значением, предыдущую формулу можно записать в виде

2/π=√ 1/2х √1/2+1/2 √1/2х √1/2+1/2√ ½+1/2√1/2.

Любопытная формула! Она походит на фантастический лабиринт с тысячами комнат, в которых прячется число π. Если мы его ищем под первым радикалом, то обнаруживаем дверь, ведущую ко второму радикалу, через которую оно удрало от нас. Если преследовать его дальше, оно находит убежище под третьим радикалом, как бы охраняемым дробью ½, и так далее.

В этом выражении для 2/π всегда присутствует дробь ½, связанная с другой, подобной ей дробью легко понятным и ясно определенным законом. Достаточно написать первые два множителя, чтобы без труда узнать, какова форма следующего или 50-го множителя. Может показаться странным, что умножением бесконечного количества чисел можно получить конечное число – число, обратное числу π/2.

Великий Валлис, так ловко владеющий рапирой насмешки, возможно, тоже трепетно вздрогнул, когда в свою очередь открыл бесконечное произведение, которым он выразил число π. И какое произведение! Вот оно:

π = 22 · 42 · 62 · 82

2 12 · 32 · 52· 72.

Оно напоминает дробь, числитель которой образуется из квадратов четных чисел в возрастающем порядке, а знаменатель состоит из квадратов нечетных чисел. А если мы напишем в знаменателе единицу только один раз, то запишем это бесконечное произведение в виде π/2=2/1 · 2/3 · 4/3 · 4/5

Есть еще много бесконечных произведений, скрывающих в себе тайну числа π. Вот, например, два бесконечных произведения, полученных

Эйлером: π² = 22. 32. 52

6 22 – 1 32 – 1 52 – 1 и

π4 = 24. 34. 54

90 24 – 1 34 - 1 54 – 1

Они имеют вид игры с числами, специально придуманной для серьезных математиков. Кроме числа 2, эти произведения содержат только бесконечное количество нечетных чисел либо в квадрате, либо в четвертой степени.

Вот еще любопытное выражение:

4 = 1 + 1_

π 2+ 32 /2+52 /2+ 72 /2+92/2+.

Это – продолжающаяся до бесконечности дробь, также состоящая из числа 2 и из ряда квадратов нечетных чисел. Выражение такого рода называется непрерывной дробью. Эту формулу без всякого доказательства можно найти в книге Валлиса, вышедшей в 1665 году и озаглавленной «Arithmetica infinitorum » («Арифметика бесконечных») Там указывается, что она установлена не автором, а его другом Уильямом Броункером. Только через 120 лет ее доказательство было дано Эйлером, который нашел еще много других непрерывных дробей, выражающих число π, как, например:

π = 1 + 2

2 1 · 3

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

3 + 3 · 5

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

4 + 5 · 7

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

4 + 7 · 9

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

4 + 4 + ,

4 = 1 + 2

π 1 · 3

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

7 + 3 · 5

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

8 + 5 · 7

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

8 + 7 · 9

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

8 + 8 +

Таким образом, былая погоня за десятичными знаками числа π с начала XVIII века превратилась в горячую скачку. Авраам Шарп вновь обращается к формуле Грегори и, беря для дуги x значение √1/3, находит ряд

π/6 = √1/3 · (1 - 1⁄3·3 + 1⁄3²·5 - 1⁄3²·7 + )

Суммируя члены этого ряда, он получает 72 точных десятичных знака числа π.

Джон Мэчин после получения указательного результата вычислил 100 десятичных знаков, а затем Ланьи – 128 десятичных знаков числа π. Через короткий промежуток времени великий Эйлер, который был не только выдающимся математиком, но и замечательным вычислителем, открыл другой ряд, применив его для проверки сделанного Ланьи вычисления 128 десятичных знаков числа π. Он выполнил эту проверку в рекордно короткое время – за 80 часов, обнаружив одновременно, что Ланьи допустил ошибку: 113-я цифра не 7, как было у него, а 8. Чтобы яснее представить рекордно короткое время вычисления, достигнутое Эйлером, предположим, что он беспрерывно занимался этим 8 часов в день; тогда, исходя из обычных темпов вычисления, для установления 128 десятичных знаков числа π ему потребовалось бы 10 дней.

Эти вычисления убеждение в том, что π – не рациональное число. В самом деле, альтернативой этого мала быть только следующая маловероятная гипотеза: существуют два целых числа, отношение которых выражает π, но эти числа такие большие, что период дроби, получающейся при делении, содержит более 128 десятичных знаков, вычисленных Эйлером.

Выходит, что работа математиков-вычислителей не была лишена смысла. Она говорила в пользу того, что в последовательность десятичных знаков числа π нет никакой периодичности. Одновременно разнообразные методы, открытые при определении этих десятичных знаков, - все эти многоугольники со все возрастающим количеством сторон, бесконечные непрерывные дроби или бесконечные ряды – значительно расширил область поисков, связанных с природой числа π. Гюйненс подчеркивает, что только после познания природы числа π математики сумеют сказать, возможна ли квадратура круга при помощи циркуля и линейки. Разнообразные способы, применявшиеся для определения числа π, позволили установить новые соответствия между длиной дуги окружности и числами, представленными либо бесконечными рядами, либо бесконечными произведениями, либо бесконечными непрерывными дробями.

4. Истинная природа π.

Виднейший математик того времени Даламбер резюмировал знания о квадратуре круга в знаменитой «Энциклопедии» следующими словами: «Квадратура прямолинейных фигур относится к области элементарной геометрии и означает определение их площади путем превращения в прямоугольник. Ибо легко можно получить затем квадрат, равный по площади заданному прямоугольнику: для этого надо найти среднее пропорциональное двух сторон прямоугольника. Квадратура кривых, т. е. способ измерения ограниченной ими площади или получение площади, равновеликой площади прямоугольной фигуры, решается более тонкими рассуждениями, относящимися к высшей геометрии. »

Архимед, по-видимому, был первым математиком, осуществившим криволинейную квадратуру при получении площади параболы. Квадратура круга означает получение квадрата с площадью, равной площади заданного круга. Эта задача бесплодно занимала умы математиков на протяжении многих веков. Она сводится к определению отношения длины окружности к ее диаметру, что до сих пор точно сделать не удалось. Если бы это отношение было известно, можно было бы легко осуществить квадратуру круга, так как доказано, что его площадь равняется площади прямоугольного треугольника, высота которого равна радиусу круга, а основание – длине окружности. Однако, несмотря на то, что квадратура кривых фигур и особенно круга была предметом изучения знаменитейших математиков древности, ничего значительного в этом направлении нельзя было достигнуть до середины прошлого столетия, когда был найден способ геометрического доказательства равенства некоторых криволинейных площадей прямолинейным. Задача квадратуры круга сводится, таким образом, к альтернативе: либо получить эту квадратуру, либо доказать, что она невозможна. Большинство математиков принимает только первую часть этой альтернативы. Однако вторая часть целиком отвечает содержанию задачи. Квадратура круга неразрешима в том смысле, что решение задачи не может быть точным, а только приближенным, хотя приближение может быть сколь угодно близким. Архимед установил метод, при помощи которого без особых затруднений можно получать новые точные и надежные цифры. Он указал, что отношение длины окружности к ее диаметру лежит в пределах между 3 10⁄71 и 3 1⁄7. Квадратуристы же не хотели учитывать этого факта и стараются точно выразить длину окружности. Для того чтобы точно измерить эту длину, ее следует выразить геометрическим отрезком, используя все, что известно о природе кривой, т. е. о ее геометрических свойствах. Но в этом отношении за некоторым не таким уж далеким пунктом путеводные огни перестают светить нам, и мы двигаемся ощупью во мраке.

Пока математики не смогут вынести окончательный приговор по поводу квадратуры круга, квадратуристы, считал Даламбер, будут стремиться выполнить «миссию», которую, по их мнению, им доверили. Для того чтобы утвердить за собой право приоритета, В завоевании которого они не сомневаются, они будут посылать Парижской Академии наук мемуар за мемуаром со всякого рода ошибками.

Вначале, когда число таких произведений было не настолько велико, чтобы лечь тяжелой ношей на плечи академиков, эти мемуары считались забавным делом и чтение их доставляло удовольствие энциклопедистам.

В течение веков содержание понятия о числе постепенно расширялось. Вначале было достигнуто понимание целых чисел, позже возникло понятие о рациональном числе. Греческие геометры установили соотношение между рациональным числом и отрезком прямой, построенным с помощью циркуля и линейки. Они же передали нам свои недоумения, вызванные понятием о числе. Именно они открыли такие отрезки прямой, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки, но длину которых нельзя выразить рациональным числом. Известен пример, приведенный Платоном: «Найдите сторону квадрата с площадью, вдвое большей площади другого квадрата, сторона которого известна. » Как известно, квадрат удвоенной площади обладает стороной, равной диагонали первого квадрата, и, следовательно, второй квадрат можно построить с помощью циркуля и линейки, несмотря на то что величина его стороны не может быть выражена рациональными числами. Доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата можно найти и в «Началах» Евклида. Итак, греки показали, что есть отрезки прямой, длину которых нельзя определить при помощи рациональных чисел. Почему? И существуют ли другие числа, отличные от рациональных? Не будучи в состоянии разгадать эту загадку, они назвали эти гипотетические числа алогическими, или, как мы говорим сегодня, иррациональными.

В XVII веке, после того как Декарт предоставил в распоряжение математиков такой новый и прекрасный инструмент исследования, как аналитическая геометрия, был сделан дальнейший шаг вперед.

Рассмотрим теперь уравнение, ведущее к квадратуре круга: x²=πr².

По форме оно похоже на уравнение x²=2a², т. е. x=a√2, но отличается от него тем, что в нем появляется в качестве коэффициента число π, а в этом уравнении коэффициенты – целые числа. Если π – рациональное число, то уравнение x²=πr² показывает, что сторону квадрата с площадью, равной площади заданного круга, можно построить с помощью циркуля и линейки; если же π не является рациональным числом, то это уравнение, не имея уже рациональных коэффициентов, показывает, что сторону квадрата нельзя построить с помощью циркуля и линейки.

Казалось, вокруг этой задачи царил непроницаемый мрак, когда на нее упал первый луч света, брошенный неожиданно великим слепым математиком Леонардом Эйлером, которому мы и обязаны общепринятым употреблением греческой буквы π для обозначения этого числа. Ниже мы приводим знаменитое равенство, в котором Эйлер связывает показательную функцию мнимого аргумента eix с тригонометрическими функциями cos x и sin x: eix= cos x + i sin x.

Это – поразительная формула, так как если x принимает значения π, то мы получаем соотношение eiπ=-1. Здесь числа e и π почти фантастическим образом связаны между собой, ибо из действительного числа e, возводимого в мнимую степень iπ, мы получаем действительное число -1. Что касается природы числа e, математики ничего о ней не знали. Это число казалось весьма любопытным. После того как оно было избрано Непером в качестве основы для своей логарифмической системы, им стали часто пользоваться. Приближенное значение e считают равным 2,718228

Между тем исследования природы числа π продолжались разными путями. Так, в 1767 году Ламберт впервые показал, что π – иррациональное число. В своем доказательстве он основывается на формуле

1 tg1⁄n=

5n - 7n - (n=1,2,), e - 1 выведенной им путем разложения в непрерывную дробь числа 2n. Через 27 лет, в 1794 году, Лежандр применил более строгое доказательство иррациональности чисел π и π².

1882 год. Это год, когда трансцендентность числа π была доказана. Разгромленные квадратуристы спешат скрыться, а река π спокойно вливает свои воды в море трансцендентных чисел.

После доказательства трансцендентности числа π задача квадратуры круга получила строгое окончательное решение. Начиная с 1882 года это решение, как сказочный дракон, готово проглотить любого квадратуриста, который впредь появится. В то же время оно, как языками пламени, охватило все страсти и тревоги, вызванные когда-то неугомонными искателями квадратуры круга, расплавив и превратив все в пепел сказки. Однако от этого число π не стало увядшим и пожелтевшим от времени цветком, спрессованным между страницами математических книг и журналов. Ведь оно прочно вошло в жизнь человеческого общества, творением которого было. Доказательством того, что оно продолжает представлять живой интерес, служат его 10 000 десятичных знаков, вычисленных через 76 лет после того, как была установлена его трансцендентность. Мог бы кто-нибудь сегодня удалить число π из мира дел человеческих?

5. Заключение.

Число π присутствует в чертежах и вычислениях, выполняемых электронными машинами при подготовке и проведении полетов в космос; оно представляет необходимое количество своих десятичных знаков всякий раз, когда они нужны инженерам, рассчитывающим цилиндрические, сферические или конические части машин, физикам и астрономам, когда они проводят приближенные вычисления по формулам, в которых среди фундаментальных постоянных появляется и π, как, например, в формуле для периода колебания маятника, и в тысячах и тысячах других случаев. Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число π: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине.

Никаких ясных правил, которым подчиняются цифры числа π, скорее всего, нет, поэтому запоминать его цифры довольно трудно, и поколения школяров придумывают разные способы, которые помогают запомнить хоть несколько первых цифр этого числа.

Например, фраза «Что я знаю о кругах?» позволяет легко вспомнить первые пять цифр, надо только каждое слово этой фразы заменить количеством букв в этом слове: что – 3, я – 1, знаю – 4, о – 1, кругах – 6, в итоге получаем 3,1416.

Расшифрованный таким же образом мудрый совет позволяет вспомнить 11 цифр знаменитого числа:

Учи и знай в числе известном

За цифрой цифру без ошибки.

Это я знаю и помню прекрасно, «Пи» - многие знаки мне лишни, напрасны, дает уже 12 знаков числа π: 3,141592653558.

А эти слова были известны всем гимназистам дореволюционной России:

Кто и шутя и скоро пожелает(ъ) Пи узнать число, уж(ъ) знает(ъ).

Учили они ее в старой орфографии, до того, как было резко уменьшено использование твердого знака, и без труда могли записать: π≈3,1415926536.

Ну и наконец, этот стишок прямо называет первые 8 цифр, и тоже хорошо запоминает:

Нужно только постараться И запомнить все, как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть.

Недавно был установлен рекорд, по вычислению числа пи.

Французский программист Фабрис Беллар на своём персональном компьютере под управлением Fedora 10 установил новый мировой рекод вычисления числа Пи с точностью до 2,7 трлн знаков после запятой (2242301460000 знаков в шестнадцатиричном разряде или 2699999990000 в десятичном). Это любопытное достижение, ведь рекорды за последние 14 лет ставились на суперкомпьютерах стоимостью в миллионы долларов.