Признаки равенства треугольников. Основные понятия

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

Типы треугольников

Типы треугольников

Остроугольный Тупоугольный Прямоугольный

Разносторонний Равнобедренный Равносторонний

По величине углов

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

• Если один из углов треугольника тупой(больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

• Если один из углов треугольника прямой(равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон

• Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.

• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота,медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.

• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружности совпадают.

Признаки равенства треугольников

Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:

1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);

2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);

3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;

2. по двум катетам;

3. по катету и острому углу;

4. по гипотенузе и острому углу.

Определения, связанные с треугольником

Окружности

• Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром.

• Описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность также единственна.

• Вневписанная окружность— окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон.

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:.

3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.

2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности,описанной около этого треугольника

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Соотношения в треугольнике

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема синусов

, где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.

Теорема косинусов

Является обобщением теоремы Пифагора.

Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника :

• — формула Эйлера

• la,lb,lc — соответственно биссектрисы углов A, B и C,

• aL,bL — отрезки, на которые биссектриса делит сторону ,

• ma,mb,mc —медианы, проведённые соответственно к сторонам a, b и c,

• ha,hb,hc —высоты, опущенные соответственно на стороны a, b и c,

• r —радиус вписанной окружности,

• R —радиус описанной окружности,

• — полупериметр,

• S — площадь

• d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Площадь треугольника

1. , так как , то:

7. — для прямоугольного треугольника

8. — для равностороннего треугольника

9. — если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам

10. — если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам

• — высота, проведённая на сторону ,

• — полупериметр,

• — радиус вписанной окружности,

• — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ,

• — радиус описанной окружности,

• — координаты вершин треугольника.

Для площади справедливы неравенства:

• , причём оба равенства достигаются.

• , где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.

Применение треугольников на практике

Треугольники в лоскутной геометрии

Перед вами квилт выполненный из треугольников. На самом деле, если присмотреться, то мы заметим что все эти треугольники являются диагональной половиной того же квадрата. В этой работе блоком является квадрат, состоящий из двух диагонально направленных треугольников.

Треугольники в бисерном дизайне треугольники обычной мозаикой по кругу

"Пирамидки" и треугольники

Объемные треугольники

Треугольные фенички

Цветные треугольники

Для этой игры нужно по лекальным трафаретам вырезать из фанеры десять равносторонних треугольников. Углы этих треугольников должны быть окрашены в три разных цвета, например красный, зеленый и синий.

С помощью этих треугольников можно решать множество разнообразных задач. В каждой задаче предлагается составить геометрическую фигуру, состоящую из десяти треугольников. Эту фигуру составляют, соблюдая следующее правило: во всех точках касания углы и стороны соприкасающихся треугольников должны иметь одинаковую окраску.

Решения задач можно найти здесь же. Различную окраску на углах треугольников можно заменить рисунками, каждый из которых соответствует тому или иному цвету.

Для каждой задачи надо подготовить отдельную карточку с фигурой, это как заказать ювелирное украшение, вычерченной в натуральную величину (то есть по размерам цветных треугольников), или плоскую коробочку с фанерной крышкой, как показано на рисунке, на донышке которой начерчена соответствующая фигура.

Оптическая иллюзия бамбуковых треугольников

3-D треугольники

Невозможное пространство

На данном изображении мы видим разбиение плоскости с использованием невозможных треугольников. Треугольники исчезают по мере удаления от центра. Внутри каждого треугольника видна уменьшенная копия точно такой же структуры из невозможных треугольников, образуя сложный фрактал.

Треугольник - геометрический символический знак

Треугольник — один из простейших геометрических символических знаков,он основывается на первой возможности ограничивать прямыми линиями плоскость и образовывать фигуру. Поэтому не каждый треугольник может обязательно выражать символическое значение высказанного. Мостовые из уложенных в форме треугольника плит встречаются уже в древнем урочище Лепенский Вир на Дону (в VII тысячелетии до н. э. ), а треугольные царапины на костях имеют еще больший возраст. Толкования представляются в самой многообразной форме. В первую очередь упоминается «женский срамной треугольник», вершина которого направлена вниз, а из нее выходит вертикальная линия. В более древних культурах нередко встречаются треугольники как формы декора на керамике, при этом с вершиной, направленной вниз, рассматриваются как «символы воды» (направление падающей капли), а с вершиной, направленной вверх, — как «символы огня» (направление пламени).

Наложенные один на другой, оба они образуют замкнутую дуальную систему, шестиконечную звезду (Сигиллум Саломонис, Sigillum Salomonis,).

При произнесении ритуальных магических заклинаний треугольник также вписывается в магический круг. Знак треугольника может завуалированно истолковываться как трилистник(тройной лист клевера), который считается символом мужского рода. В системе Пифагора греческая буква «дельта» с ее формой в виде треугольника считается символом космического происхождения. В индуизме эта фигура — знак дарующей жизнь богини Дугры.

В раннехристианскую эпоху последователи манихейства использовали треугольник как символ триединства (Святой Троицы); св. Августин в такой интерпретации отверг его. И все же позже он смог утвердиться как символ триединства (Троицы) (рука, голова и имя Бога, дополненное и глазом), как знак «Отец, Сын и Святой Дух»; такой «Глаз Божий» в треугольнике часто использовался главным образом в стиле барокко, а в символике масонов он используется как «всевидящее око» с девятикратными лучами — также символом божества. Иудейская каббала (религиозно-мистическое толкование Ветхого Завета) в своей «Книге Сохар» («блеск») содержит упоминание: «На небе оба глаза Господа и его лоб образуют треугольник, а их отражение образует треугольник в водах». В дохристианскую эпоху философ Ксенократ (339—314 гг. до н. э. ) рассматривал равносторонний треугольник как «божественный», равнобедренный — как «демонический» и неравносторонний — как «человеческий» (несовершенный).

Чудодействие гармонии чисел в образе пропорций прямоугольного треугольника, проводимое Пифагором (VI в. до н. э. ), описывается у А. Кестлера (1963) так: «Между длиной сторон прямоугольного треугольника не существует очевидного соотношения; если же мы, однако, сверху каждой стороны построим квадрат, то размеры площади обоих малых квадратов будут строго соответствовать размеру площади большего квадрата. Если таким чудесным образом построенные, дотоле от человеческого глаза скрытые, законы могут быть открыты путем погружения в пучину образования чисел, то возникала неоправданная надежда, что все тайны Вселенной, по всей видимости, скоро станут известными через образование чисел». Принимая во внимание подобные суждения о символах, и масонство охотно имеет дело с пифагоровым прямоугольным треугольником с длинами сторон 3, 4 и 5, который на учебных коврах строится с квадратами над катетами и гипотенузой и кратко называется «пифагоровым». Как 47-я задача Эвклида, он является символом «главы масонской ложи» и отличительным знаком старого опытного мастера.

В Древнем Китае треугольник является «женским символом», но в спекулятивном плане особо большой роли не играет. В тибетском тантризме комбинация шестигранных звезд обоих равносторонних треугольников — это «пронизывание женственности мужским огнем».

В древних мексиканских иллюстрированных рукописях символ треугольника, похожий на заглавную букву «А», является обозначением понятия «год». Как линга в индийской мифологии, треугольник — прежде всего символ созидательной мужской силы, другими словами — творческой силы бога. И наоборот, треугольник, вершина которого обращена вниз, — знак женского начала, плодородного лона. Согласно Агриппе Неттесгеймскому, Юнону нередко обозначали треугольником как олицетворение женщины.

В западном искусстве композиционные схемы с треугольниками часто используются в архитектуре, а также в живописи и, в частности, там, где затрагиваются тринитарические (с изображением триединства, Троицы) темы.

Бермудский треугольник

Бермудский треугольник расположен в зоне сложного контакта нескольких континентальных плит и одной океанической. Возле Багамских островов проходит глубокая океаническая впадина, на дне которой вполне могут происходить описанные выше тектонические процессы.

Дайки образовались в результате быстрого остывания магмы, излившейся в морскую пучину. Форма многогранников возникла потому, что объем жидкой горячей магмы больше, чем остывшей: при остывании тела, как известно, сжимаются. При резком остывании магмы произошло растрескивание и образование таких причудливых структур. Базальтовая лава некогда была извергнута на дне моря, но потом в результате тектонических процессов, связанных со сжатием Земного шара, она была поднята к поверхности. Подобные базальтовые "мостовые" часто можно встретить в прибрежных районах, например, Камчатки и Южной Чукотки. Такие "соты" образуются только тогда, когда лава поступает в воду (если в атмосферу, то "сот" не образуется).

Иногда такие дайки принимают за дело рук человеческих (разумеется, гигантов), но это неправильно. Эти формы имеют самое естественное происхождение.

Столбчатые структуры на вершине горы и по берегу моря - это все базальтовые дайки, образовавшиеся в те времена, когда уровень моря здесь был такой, что вся эта суша находилась на дне морском.

Можно представить, что излияние магмы на дне океанов и морей в эпохи расширения Земного шара - явление широко распространенное. Надо полагать, что "Бермудские треугольники" в такие геологические эпохи широко распространены на дне океанов на Земле. А может, и не только на Земле. Ведь пульсацию Земного шара вызывают силы космические (гравитационные); и что в едином ритме пульсируют все тела Солнечной системы.

А как нам заметить, что Земной шар расширяется? Предлагаю наблюдать за угловым размером Солнца и Луны. Если наши приборы позволят измерять эти размеры точно, то мы сможем, проводя такой космический мониторинг, уловить те опасные моменты, когда и на нашей Земле происходит увеличение объема планеты и интенсифицируется спрединг дна океанов.