Неравенства, содержащие знак модуля

При изучении неравенств, содержащих знак модуля, в классе, из-за нехватки времени, было рассмотрено мало заданий. Поэтому в данной работе предложено расширенное количество заданий на неравенства, содержащие знак модуля, тем более такие неравенства встречаются на олимпиадных заданиях, содержаться в учебниках старших классов и на экзаменах ЕГЭ.

Освоить некоторые способы решения неравенств, содержащих знак модуля.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал.

2. Рассмотреть примеры с решениями и закрепить решением предложенных примеров.

3. Полученные знания применять при решении неравенств, содержащих знак модуля в старших классах.

Основная часть

1. Понятие модуля. Его геометрический смысл

Определение: Модулем (абсолютной величиной) числа а называется число

Из определения следует, что модуль числа – неотрицательная величина

Геометрически: Модуль числа a равен расстоянию, на которое число a удалено от точки 0 на числовой оси.

a < 0 0 0 a > 0

-a (a( x (a( a x

Модуль разности чисел равен расстоянию между точками с координатами a и b на числовой оси

Свойства модуля:

1. , для любых чисел a и b;

2. , при b ≠ 0;

3. , для любого числа a.

Опорные неравенства.

4. (а – b( ( (а( – (b(.

Докажем, что неравенство , где a > 0 означает то же самое, что и двойное.

1. , тогда , решением является отрезок.

2. x < 0. ( x ( = - x, тогда ,. Следовательно.

Объединив отрезок и полуинтервал , получаем отрезок.

Геометрически означает, что расстояние от точки x до 0 не больше a

-a 0 a x

Аналогично можно доказать, что неравенство , равносильно совокупности, т. е.

2. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Рассмотрим решение простейших неравенств, содержащих модули.

Решение:

Самостоятельно решим.

а) б) в) б)

Решение:

Ответ:.

Самостоятельно: а) б) в)

Более сложными являются неравенства вида:

При решении неравенств, содержащий знак абсолютной величины, следует разбить область допустимых значений неравенства на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве нужно решать неравенство и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

Решить неравенство.

Пример 1.

Решение:

I. Предположим, что , то , тогда ,

1) ; ; ;.

Пересечение множеств решений неравенств (1) и (2):

-1 0 1 x

II) Предположим, что , тогда ;

Пересечение множеств решений неравенств (1) и (2) дает второе множество решений

-1 0 1 x

Итак, окончательно, решениями данного неравенства являются:

Ответ:.

Самостоятельно: а) ; б) х2 – (3х + 2( + х ( 0; в).

Пример 2.

Решить неравенство:.

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

Решаем неравенство (1)

Решаем неравенство:

Решением совокупности неравенств являются все числа x из объединения двух промежутков:

Ответ:.

Самостоятельно: а) ; б) ; в).

Пример 3.

Решить неравенство:

Решение:

Точки x = 1, x = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства) на три промежутка: x < 1,.

Решим данное неравенство на каждом из этих промежутков.

1) x < 1, то x – 1 < 0 и 2 – x > 0.

Тогда данное неравенство примет вид:

1 – x + 2 – x > 3 + x, -3x > 0, x < 0.

2) , то ,

, решений нет.

Следовательно, на отрезке [1; 2] неравенство решения не имеет.

3) x > 2, то x – 1 > 0, 2 – x < 0, имеем:

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства, получаем его решение:.

Ответ:.

Самостоятельно: а) б) в)

Пример 4. Решить неравенства.

Решение:

Рассмотрим два случая:

Самостоятельно: а) ; б) ; в).

Заключение

В данной работе рассмотрено и решено расширенное количество заданий на неравенства, содержащие знак модуля, приведены задания для самостоятельного решения.

Подобные неравенства встречаются на олимпиадных заданиях, содержатся в тестовых заданиях итоговой аттестации, поэтому навыки, полученные при их решении, помогут в дальнейшем при продолжении образования.