Неравенства и их виды

Пример. Решить неравенство.

2(х – 3)+5(1 – х)≥3(2х – 5).

Решение. Раскрыв скобки, получим:

2х – 6 +5 – 5х≥6х – 15,

- 3х - 1≥6х – 15.

Далее имеем

- 3х – 6х≥ - 15+1,

- 9х≥ - 14.

Разделим теперь обе части неравенства на отрицательное число – 9 и изменим знак неравенства. Получим х≤14/9. Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток (- ∞; 14/9].

Решение систем неравенств с одной переменной.

Задача. Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии 20 км. Если турист увеличит скорость на 1 км/ч, то за 4 ч он пройдёт расстояние, большее 20 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 5 ч не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?

Решение.

Пусть скорость туриста равна х км/ч. Если турист будет идти со скоростью (х+1) км/ч, то за 4 ч он пройдёт 4(х+1) км. По условию задачи 4(х+1)>20. Если турист будет идти со скоростью (х-1) км/ч, то за 5 ч он пройдёт 5(х-1) км. По условию задачи 5(х-1)<20.

Требуется найти те значения х, при которых верно как неравенство 4(х+1)>20, так и неравенство 5(х-1)<20, т. е. найти общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют запись

Заменив каждое неравенство системы равносильным ему неравенством, получим систему:

Значит, значение х должно удовлетворять условию 4

Ответ: скорость туриста больше 4 км/ч, но меньше 5 км/ч.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Пример 1. Решим систему неравенств

Решениями системы являются значения х, удовлетворяющие каждому из неравенств x>3,5 и x<6. Изобразив на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству x>3,5, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству x<6 , найдём, что оба неравенства верны при 3,5

Ответ можно записать в виде промежутка (3,5; 6) или в виде двойного неравенства 3,5

Пример 2. Решим систему неравенств

Изобразим на координатной прямой множества решений каждого из неравенств. Оба неравенства верны при x>9. Ответ можно записать в виде неравенства x>9 или в виде числового промежутка (9; +∞), задаваемого этим неравенством.

Пример 3. Решим систему неравенств:

Используя координатную прямую, найдём общие решения неравенств x<2 и x<5, т. е. пересечение множеств их решений

Мы видим, что пересечение этих множеств состоит из чисел, удовлетворяющих условию x<2, т. е. представляет собой числовой промежуток (-∞; 2).

Ответ: (-∞; 2).

Пример 4. Решим систему неравенств:

Используя координатную прямую (рис 20), найдём, что множество чисел, удовлетворяющих неравенству x<-2, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству x>3, не имеют общих элементов, т. е. их пересечение пусто. Данная система неравенств не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 5. Решим двойное неравенство

-1<3+2x<3

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

Решив её, найдём, что оба неравенства верны при -2

В этом примере запись удобно вести так: -1<3+2x<3;

-4<2x<0;

-2

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Неравенства вида ax²+bx+c>0 и ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≥0 и ax²+bx+c≤0где x – переменная, a,b и c – некоторые числа, причём a≠0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные, неотрицательные или неположительные значения.

ПРИМЕР 1. Решим неравенство 5x²+9x-2<0.

Рассмотрим функцию y=5x²+9x-2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, как расположена эта парабола относительно оси x. Для этого решим уравнение 5x²+9x-2=0.

Получим: x=-2, x=1/5.

Значит, парабола пересекает ось x в двух точках, абсциссы которых равны -2 и 1/5.

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости. Из рисунка 21 видно, что функция принимает отрицательные значения, когда x((-2x; 1/5). Следовательно, множеством решений неравенства 5x²+9x-2<0 является числовой промежуток (-2;1/5).

Заметим, что при рассмотренном способе решения неравенства нас не интересовала вершина параболы. Важно лишь было знать, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз и каковы абсциссы точек её пересечения с осью.

ПРИМЕР 2. Решим неравенство 3x²-11x-4>0.

Получим, что x= -⅓, x=4.

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости. Из рисунка 22 видно, что данное неравенство верно, если x принадлежит промежутку (-∞; -⅓) или промежутку (4;+∞), т. е. множеством решений неравенства является объединение двух промежутков (-∞; -⅓) и (4;+∞).

Ответ можно записать так: (-∞; -⅓)U(4;+∞).

ПРИМЕР 3. Решим неравенство -¼ x²+2x-4<0.

Рассмотрим функцию y=-¼x²+2x-4. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Выясним, как расположен график относительно оси ОХ. Решим для этого уравнение

-¼x²+2x-4=0. Получим, что x=4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси ОХ.

Изобразив схематически параболу (рис. 23), найдём, что функция принимает отрицательные значения при любом x, кроме 4.

Ответ можно записать так: x – любое число, не равное 4, т. е. х={Rx(4}.

ПРИМЕР 4. Решим неравенство x²-3x+4>0.

График функции y=x²-3x+4 – парабола, ветви которой направлены вверх. (рис. 24)

Чтобы выяснить, как расположена парабола относительно оси ОХ, решим уравнение x²-3x+4=0. Находим, что D=-7<0, т. е. это уравнение не имеет корней, Значит, парабола не имеет общих точек с осью ОХ.

Показав схематически расположение параболы в координатной плоскости, найдём, что функция принимает положительные значения при любом x.

ОТВЕТ: x – любое число, или х=R, или х((-(;+().

Итак, для решения неравенств вида ax²+bx+c>0 и ax²+bx+c<0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трёхчлена и выясняют, имеет ли трёхчлен корни;

2) если трёхчлен имеет корни, то отмечают их на оси ОХ и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a>0 или вниз при a<0; если трёхчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a>0 или в нижней при a<0;

3) находят на оси ОХ промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси ОХ (если решают неравенство ax²+bx+c>0) или ниже оси ОХ (если решают неравенство ax²+bx+c<0).

Решение неравенств методом интервалов.

Рассмотрим функцию f(х)=(х+2)(х-3)(х-5).

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки (-∞; -2), (-2; 3), (3; 5) и (5; +∞). (рис 25 а)

Выражение (х+2)(х-3)(х-5) представляет собой произведение трёх множителей. Знак каждого из этих множителей указан в таблице:

(-∞;-2) (-2; 3) (3; 5) (5;+∞)

х+2 - + + +

х-3 - - + +

х-5 - - - +

Отсюда ясно, что: если х€(-∞;-2), то f(х)<0; если х€(-2; 3), то f(х)>0; если х€(3; 5), то f(х)<0; если х€(5;+∞), то f(х)>0.

Мы видим, что в каждом из промежутков (-∞; -2), (-2; 3), (3; 5) и (5; +∞) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3, 5 её знак изменяется (рис25 б).

Вообще, пусть функция задана формулой вида f(х)=(х – х1)(х – х2)(х – хn), где х – переменная, а х1, х2, , хn – не равные друг другу числа. Числа х1, х2, , хn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак изменяется. Это свойство используется для решения неравенств вида: (х – х1)(х – х2)(х – хn)>0

(х – х1)(х – х2)(х – хn)<0, (1) где х1, х2, , хn – не равные друг другу числа.

Пример 1. Решим неравенство

(x+6)(x+1)(x – 4)<0.

Данное неравенство является неравенством вида (1), так как в левой части записано произведение (х – х1)(х – х2)(х – х3), где х1=-6, х2=-1, х3=4. Для его решения удобно воспользоваться рассмотренным выше свойством чередования знаков функции.

Отметим на координатной прямой нули функции f(х)= (x+6)(x+1)(x – 4). Найдём знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4), (4; +∞). Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из этих промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка (4; +∞), так как в нём значение функции f(х)= (x+6)(x+1)(x – 4) заведомо положительно. Это объясняется тем, что при значениях х, расположенных правее всех нулей функции, каждый из множителей x+6, x+1 и x – 4 положителен. Используя свойство чередования знаков, определим, двигаясь по координатной прямой справа налево, знаки данной функции в каждом из остальных промежутков.

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Ответ: (-∞; -6)u(-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Пример 2. Решим неравенство (7 – х)/(х+2)<0.

Так как знак дроби (7 – х)/(х+2) совпадает со знаком произведения (7 – х)(х+2), то данное неравенство равносильно неравенству (7 – х)(х+2)<0.

Приведя неравенство (7 – х)(х+2)<0 к виду (1) и используя метод интервалов, найдём, что множеством решений этого неравенства, а, значит, и данного неравенства

(7 – х)/(х+2)<0 является объединение промежутков (-∞; -2) и (7; +∞).

Ответ: (-∞; -2)u(7; +∞).

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Рациональные неравенств – это неравенства вида Pn(x)/Qm(x)>0(≥,<,≤0), где Pn(x) и Qm(x) – многочлены степеней n и m соответственно. Основной метод решения рациональных неравенств – метод интервалов.

Рассмотрим сначала неравенство вида Pn(x)>0.

Пусть Pn(x)=(x-a1)(x-a2)(x-an), a1, a2,an – действительные числа, являющиеся, очевидно, корнями многочлена, и a1an значение каждого сомножителя в разложении многочлена Pn(x) на линейные множители положительно, и поэтому значение Pn(x0) положительно. Для любого числа x1 € (an-1, an) все сомножители в указанном разложении положительны, кроме последнего, который, очевидно, отрицателен и, следовательно, Pn(x1)<0. Аналогично, для любого числа x2 € (an-2, an-1) P2(x2) положительно и т. д. Принимая во внимание всё вышесказанное, нанесём на числовую ось числа a1, a2, an. В промежутке справа от наибольшего из них ставят знак плюс, в следующем (считая справа налево) промежутке ставят знак минус и т. д.

Множеством всех решений неравенства Pn(x)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс.

Следует отметить, что чередования знаков не будет, если среди корней многочлена есть корни чётной кратности. Пусть делителем многочлена Pn(x) является квадратный трёхчлен ax²+bx+c с отрицательным дискриминантом. Такой квадратный трёхчлен сохраняет знак на всей числовой оси, и этот знак совпадает со знаком старшего коэффициента a. Поэтому обе части рассматриваемого неравенства можно разделить на выражение ax²+bx+c, изменив знак неравенства на противоположный, если a<0.

Неравенство Pn(x)/Qm(x)>0 эквивалентно неравенству Pn(x)Qm(x)>0, а неравенство Pn(x)/Qm(x)≥0 – совокупности

Pn(x)Qm(x)>0 условий Pn(x)=0

Qm(x)≠0

ПРИМЕР 1. Множество решений неравенства (x² -7x+12)/(2x²+4x+5)>0 имеет вид

1) (-∞; 3)U(4; ∞) 2) (-∞; 3) 3) (3; 4) 4) (4; ∞) 5) (-∞;4).

РЕШЕНИЕ. Так как дискриминант знаменателя D1=4²-4*5*2 отрицателен и старший коэффициент положителен, то 2x²+4x+5>0 для любого значения x. Тогда заданное неравенство равносильно неравенству x²-7x+12>0 или (x-3)(x-4)>0.

Отметим корни и знаки квадратного трёхчлена x²-7x+12 на соответствующих промежутках числовой оси.

Решением неравенства является множество (-∞; 3)U(4; ∞).

ОТВЕТ: 1.

ПРИМЕР 2. Наименьшим целым решением неравенства

((x³-1)(x²-4x+4))/(x²-5x+6)≥0 является число

1) -1 2) 1 3) 2 4) 3 5) 0.

РЕШЕНИЕ. Запишем неравенство в виде

((x-1)(x²+x+1)(x-2)²)/(x-2)(x-3)≥0.

Так как x²+x+1 положительно для любого x, и (x-2)² положительно при x≠2, то заданное неравенство эквивалентно совокупности условий

Решением неравенства является объединение множеств [1; 2)U(3; ∞) и, следовательно, наименьшим целым решением является число 1.

ОТВЕТ: 2.

ПРИМЕР 3. Сумма целых решений системы неравенств

3<(5x²-3x+5)/(x²+1)<4 равна

1) -2 2) -1 3) 3 4) 0 5) 1.

РЕШЕНИЕ. Перепишем заданное неравенство в виде

Так как x²+1>0 для любого x, то последняя система неравенств равносильна системе

D1=9-4=5>0

D2=9-16<0

Последнее неравенство выполняется для любого x. Первое неравенство системы перепишем в виде

(x-(3-√5)/2) (x-(3+√5)/2)<0.

Целыми числами, принадлежащими промежутку

((3-√5)/2; (3+√5)/2), являются числа 1 и 2.

ОТВЕТ: 3.

ДРОБНО – ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.

Рассмотрим примеры решения неравенств.

Пример 1. Решить неравенство (2х+1)/(3х – 2)>0.

Решение. Дробь положительна, если её числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, т. е. либо оба положительны, либо оба отрицательны. Значит, мы получаем две системы неравенств:

Из первой находим х> - ½ х>2/3, т. е. х>2/3.

Из второго находим х<- ½

х <2/3, т. е. х<- ½

В итоге мы получили следующие решения заданного неравенства: х<- ½; х>2/3.

Пример 2. Решить неравенство (3х+7)(2х – 7)≥5.

Решение. Имеем последовательно (3х+7)/(2х –7)≥0,

(3х+7- 10х+35)/(2х – 7) ≥0,

( - 7х+42)/(2х – 7) ≥0.

Умножив обе части неравенства на – 1, изменив при этом знак неравенства. Получим:

(7х – 42)/(2х – 7)≤0.

Дробь меньше или равна нулю в двух случаях: 1)если числитель меньше или равен нулю, а знаменатель больше нуля; 2)если числитель больше или равен нулю, а знаменатель меньше нуля. Значит, мы получаем две системы неравенств:

Из первой находим 7/2<х≤6.

Из второй находим, что система не имеет решений.

Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток (7/2; 6].

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т. е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или её частях.

ПРИМЕР 1. Решить неравенство (x-1)√x²-x-2≥0. (1)

РЕШЕНИЕ. Область допустимых значений неравенства (1) состоит из всех x, удовлетворяющих условию x²-x-2≥0, т. е. состоит из промежутков x≤ -1 и x≥2.

Подстановкой каждого из чисел x1= -1и x2=2 в исходное неравенство устанавливаем, что эти числа являются его решениями.

На оставшейся части ОДЗ, т. е. на каждом из двух промежутков x< -1 и x>2, функция y=√x²-x-2 положительна; значит, на этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству x-1≥0.

Множеством всех решений последнего неравенства, содержащихся в рассматриваемой части ОДЗ уравнения, является промежуток x>2.

Объединяя решения на всех частях ОДЗ уравнения, находим, что множество всех решений неравенства (1) состоит из точки x= -1 и промежутка x≥2.

ПРИМЕР 2. Решить неравенство

(√6+x-x²)/(2x+5)≥(√6+x-x²)/(x+4). (2)

РЕШЕНИЕ. ОДЗ исходного неравенства определяется системой из которой находим: -2≤x≤3.

Для значений x= -2 и x=3 неравенство (2) выполняется:

Следовательно, эти значения являются его решениями.

Пусть –20, 2x+5>0, 6+x-x²>0. Поэтому на интервале (-2; 3) исходное неравенство равносильно неравенству

X+4≥2x+5, из которого находим x≤ -1. Из этих значений x интервалу -2

-2

Следовательно, решениями неравенства (2) являются все числа из промежутка -2≤x≤ -1 и x=3.

ПРИМЕР 3. Решить неравенство

√Х+2>√8 - x². (3)

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств

Решениями первого неравенства этой системы являются все х, для которых х≤2√2, т. е. все числа отрезка -2√2≤х≤2√2.

Решениями неравенства Х+2>8 - х², т. е. неравенства х²+х – 6>0, являются все числа из двух промежутков х<-3 и x>2.

Таким образом, решением неравенства √Х+2>√8 - x² являются все числа из промежутка 2

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Два тригонометрических выражения, соединённых между собой знаками «>» или «<», называются тригонометрическими неравенствами. Тригонометрическое неравенство может быть тождественным (безусловным) и условным.

Тождественные неравенства доказываются, а условные – решаются. Тригонометрическое неравенство называется тождественным, или безусловным, если оно справедливо при всех значениях неизвестных, входящих в неравенство.

Например:

1) tg²x≥0 при всех x € R, кроме x=π/2+2πn, n € Z;

2) sinx≤1 при всех x € R;

3)(sinx+cosx)/2≥√sinx cosx, x € [2nπ; π/2+2nπ], n € Z.

Тригонометрическое неравенство называется условным, если оно справедливо не при всех значениях неизвестных, входящих в неравенство.

Например:

1)sinx≥½, что выполняется только на отрезках [π/6+2Rπ; 5/6π+2Rπ], R € Z;

2)cosx≤0, что выполняется только на отрезках [π/2+2nπ; 3/2π+2nπ], n € Z;

3)ctgx<-√3, что выполняется в интервале (-π/6+nπ; nπ), n € Z.

Решить тригонометрическое неравенство – это значит найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется. Мы знаем, что тригонометрические функции sinx и cosx имеют наименьший положительный период 2π, а tgx и ctgx имеют наименьший положительный период π. При решении неравенств с тригонометрическими функциями следует использовать периодичность этих функций, их монотонность на соответствующих промежутках.

Для того чтобы решить неравенство, содержащее только sinx или только cosx, достаточно решить это неравенство на каком-либо отрезке длины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2nπ, где n € Z. Для неравенств, содержащих только tgx и ctgx, решения находятся на промежутке длиной π, а множество всех решений получим, прибавив к каждому их найденных на этом отрезке решений числа вида nπ, где n € Z. Тригонометрические неравенства можно решать, прибегая к графикам функций y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Мы будем решать неравенства, пользуясь окружностью единичного радиуса. При решении тригонометрических неравенств мы в конечном итоге будем приходить к неравенствам sinx>а, sinx а, cosx а, tgx а, ctgx

ПРИМЕРЫ.

1. sinx>½.

РЕШЕНИЕ. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра, совпадающих с осями OX и OY, строим окружность R=1 с центром в точке пересечения диаметров (рис. 5). Проводим прямую y=½. Все значения y на промежутке NM больше ½. NM стягивает дугу AB с началом в точке A (π/6, ½) и с концом в точке B (5/6π, ½). Следовательно, решением неравенства будут все значения на (π/6; 5/6π) с прибавлением 2nπ, т. е. π/6+2nπ

2. sin2x≤⅓. РЕШЕНИЕ. A (arcsin⅓; ⅓), B (-π-arcsin⅓; ⅓).

-π-arcsin⅓+2nπ≤2x≤arcsin⅓+2nπ

-arcsin⅓+(2n-1)π≤2x≤arsin⅓+2nπ

-½ arcsin⅓+(2n-1)π/2≤x≤½ arcsin⅓, n € Z.

3. sin2/3x≤-√2/2.

РЕШЕНИЕ. A (-π/4; -√2/2), B (-3/4π; -√2/2),

-3/4π+2nπ≤2/3x≤-π/4+2nπ

-9/8π+3nπ≤x≤-3/8π+3nπ

(8n-3)3/8π≤x≤(8n-1)3/8π, n € Z.

4. sin2x≤√3/2.

РЕШЕНИЕ. -√3/2≤sin2x≤√3/2.

Для более точного построения дуг можно предварительно найти дуги (углы), синусы которых равны ±√3/2. Такими дугами будут ±π/3, которые легко построить с помощью циркуля и линейки, отложив эти дуги от точки P. На дуге AB: -π/3+2rπ≤2x≤π/3+2rπ (1), на дуге CD: 2/3π+2rπ≤2x≤4/3π+2rπ, -π/3+(2r+1)π≤2x≤π/3+(2r+1)π, r € Z (2). Из неравенств (1) и (2) следует: -π/3+nπ≤2x≤π/3+nπ (3). (3n-1)π/3≤2x≤(3n+1)π/3, (3n-1)π/6≤x≤(3n+1)π/6, n € Z.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если дуги симметричны относительно осей координат, то ответ можно писать на любой дуге, уменьшив период в 2 раза.

4. sinx>½.

РЕШЕНИЕ. Из условия следует, что sinx>½ или sinx<-½. Это иногда пишут так: sinx>½, sinx<-½.

Дуги симметричны относительно осей координат, следовательно, достаточно написать ответ на одной из дуг, например на дуге AB: A (π/6; ½), B (5/6π; ½).

π/6+nπ

5. cosx>⅓.

РЕШЕНИЕ. MP۪ стягивает дугу AB, на которой выполняется неравенство

-arccos⅓+2nπ

7. cosx<½.

РЕШЕНИЕ. A (½; π/3), B (½; 5/3π). MN стягивает дугу ANB (рис. 11), на которой выполняется неравенство π/3+2nπ

8. cosx≤√2/2.

РЕШЕНИЕ. -√2/2≤cosx≤√2/2. Дуги AB и CD симметричны относительно осей координат (рис. 12), поэтому достаточно написать ответ на одной из дуг, например на дуге AB. Но период необходимо уменьшить в 2 раза: π/4+rπ

НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ.

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой а означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчёта О, а а – b означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме.

Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x)> g(x) и (f(x))²> >(g(x))² равносильны.

Применяется эта теорема при решении неравенств с модулями так.

Пусть нужно решить неравенство f(x)> g(x).

Так как при любых х из области определения выражений f(x) и g(x) справедливы соотношения f(x)≥0, g(x)≥0, ( f(x))²= (f(x))² и

( g(x))²= (g(x))², то данное неравенство равносильно неравенству

(f(x))²> >(g(x))².

Пример 1. Решить неравенство х - 1<2.

Решение.

Первый способ. х - 1 можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками х и 1. Значит, нам нужно указать на координатной прямой все точки х, которые удалены от точки1меньшечем на две единицы. С помощью координатной прямой устанавливаем, что множество решений неравенства есть интервал ( - 1; 3).

Второй способ. Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство (х – 1)²<4. Решая последнее неравенство, получим х² - 2х – 3<4, откуда находим, что – 1

Третий способ. По определению модуля чиса х - 1=

Поэтому данное неравенство можно заменить двумя системами неравенств:

Из первой системы получаем 1≤х<3, из второй системы – 1

Пример 2. Решить неравенство 2х+5≥7.

Решение. Имеем х+2,5≥3,5. Нам нужно указать на координатной прямой все такие точки х, которые удалены от точки – 2,5 на расстояние, большее или равное 3,5. С помощью координатной прямой находим решения: х≤ - 6; х≥1.

Пример 3. Решить неравенство 2х - 1≤3х+1.

Решение. Возведя обе части в квадрат, получим неравенство, равносильное данному. Преобразовав его , получим 5х²+10х≥0, откуда находим: х≤ - 2; х≥0.

Пример 4. Решить неравенство 2х+4≤3х+2.

Решение. Если 2х+4≥0, то 2х+4=2х+4, и, следовательно, неравенство примет вид 2х+4≤3х+2. Если же 2х+4<0, то

2х+4= - (2х+4), и неравенство принимает вид - (2х+4)≤ 3х+2.

Таким образом, данное неравенство можно заменить двумя системами неравенств:

Из первой системы находим х≥2,вторая система не имеет решений.

Значит, множество решений неравенства – луч [2;+∞).

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.

f(x) g(x)

При решении неравенств вида а>a следует помнить, что x показательная функция у=а возрастает при а>0 и убывает при

01, от данного неравенства следует переходить к неравенству того же смысла f(x)>g(x).

В случае же, когда 0

Пример 1. Решить неравенство 3х+7 2х - 1

Решение. Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: 3х+7<2x – 1.

Решив это неравенство, получим х< - 8.

Ответ: х< - 8.

Пример 2. Решить неравенство 5х - х²- 8

(0,04) ≤625.

Решение. Так как 625=25²=(1/25)=(0,04), то заданное неравенство можно переписать в виде 5х - х²- 8 -2

(0,04) ≤(0,04).

Так как 0<0,04<1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х² - 8≥ - 2.

Имеем последовательно

5х - х² - 8+2≥0,

-х²+5х - 6≥0, х² - 5х+6≥0,

(х – 2)(х – 3)≤0.

Решив последнее неравенство, получим 2≤х≤3. Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Неравенства с параметрами.

Неравенство

(a, b, c, , k , x)> (a, b, c, , k , x), (1) где a, b, c, , k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, , k = k0, при некоторой функции

(a, b, c, , k , x) и

(a, b, c, , k , x имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

Х=Хο называется допустимым значением х, если

(a, b, c, , k , x) и

(a, b, c, , k , x принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

(a, b, c, , k , x0)> (a, b, c, , k , x0) верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

(a, b, c, , k , x)> (a, b, c, , k , x) и (1)

(a, b, c, , k , x)> (a, b, c, , k , x) (2) называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Пример. Найти значение параметра а, при котором наименьшее решение неравенства (ах – 10)/х≥1 равно -2.

Решение. (ах – 10)/х – 1≥0 => ((а – 1)х – 10)/х≥0 => (а – 1)(х – 10/(а – 1))/х≥0. Пусть а – 1>0. Тогда последнее неравенство пишется в виде( х – 10/(а – 1))/х≥0. Его решением является объединение множеств (-∞; 0)U[10/(а – 1); +∞], которое не содержит наименьшего отрицательного числа. Следовательно, а – 1<0 и тогда решением неравенства будет множество [10/(а – 1); 0). 10/(а – 1)=2; а – 1=5; а=-4.

Логарифмические неравенства.

При решении неравенств вида Loga f(x)>Loga g(x) следует помнить, что логарифмическая функция y=Loga x возрастает при a>1 и убывает при 01, от исходного неравенства следует переходить к неравенству того же смысла f(x)>g(x). В случае же когда 00 и g(x)>0. В итоге от неравенства Loga f(x)>Loga g(x) мы переходим к системе неравенств

Заметим, что первую систему можно упростить: неравенство f(x)>0 вытекает из неравенств f(x)>g(x), g(x)>0, поэтому неравенство f(x)>0 можно опустить, т. е. переписать систему в виде

Аналогично вторую из написанных выше систем можно переписать в виде

ПРИМЕР 1. Решить неравенство Log1/3 (2x+59)>-2.

РЕШЕНИЕ. Так как -2=Log1/3 9, то данное неравенство можно переписать в виде Log1/3 (2x+59)>Log1/3 9.

Далее имеем:

откуда -29,5

ПРИМЕР 2. Решить неравенство Lg(x+2)<2-Lg(2x-6).

РЕШЕНИЕ. Чтобы все логарифмы имели смысл, должны выполняться неравенства x+2>0 и 2x-6>0. Используя свойства логарифмов, преобразуем заданное неравенство:

Lg(x+2)+Lg(2x-6)<2, Lg(x+2)(2x-6)

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств

Имеем последовательно:

С помощью координатной прямой устанавливаем, что множество решений последней системы, а значит, и заданного неравенства, есть промежуток (3;8).

Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство f(x;y)>g(x;y). Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство, Известно, что пара действительных чисел (x;y) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это даёт возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

ПРИМЕР 1. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства x+y-1>0.

РЕШЕНИЕ. Преобразуем данное неравенство к виду y>-x+1. Построим на координатной плоскости прямую y=-x+1. Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой y=-x+1, больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства.

ПРИМЕР 2. Изобразить не координатной плоскости множество решений неравенства x(x-2)≤y-3.

РЕШЕНИЕ. Преобразуем неравенство к виду y≥x²-2x+3. Построим на координатной плоскости параболу – график функции y=x²-2x+3.

Так как ордината любой точки, лежащей выше параболы y=x²-2x+3, больше, чем ордината точки, имеющей ту же абсциссу, но лежащей на параболе, и так как неравенство y≥x²-2x+3 нестрогое, то геометрическим изображением решений заданного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе y=x²-2x+3 и выше неё.

ПРИМЕР 3. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

РЕШЕНИЕ. Геометрическим изображением решений системы неравенств является множество точек первого координатного угла. Геометрическим изображением неравенства x+y<5 или y<5-x является множество точек, лежащих ниже прямой служащей графиком функции y=5-x (рис. 95). Наконец, геометрическим изображением решений неравенства xy>4 или, поскольку x>0, неравенства y>4/x является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции y=4/x. В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции y=5-x, и выше гиперболы, служащей графиком функции y=4/x.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ

Метод оценки знака разности. Суть этого метода заключается в следующем: для того чтобы установить справедливость неравенства f(x;y;z)>g(x;y;z) (f

ПРИМЕР 1. Доказать, что если x≥0, y≥0, то (x+y)/2≥√xy (среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического; это неравенство называется неравенством Коши).

РЕШЕНИЕ. Составим разность (x+y)/2-√xy. Имеем (x+y)/2-√xy=(x+y-2√xy)/2=(√x-√y)²/2. Неравенство (√x-√y)²≥0 верно при любых неотрицательных значениях x и y. Значит, (x+y)/2≥√xy, причём равенство имеет место лишь в случае x=y.

ПРИМЕР 2. Доказать, что если x>0, то x+1/x≥2 (сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2).

РЕШЕНИЕ. Составим разность x+1/x-2. Имеем

X+1/x-2=(x²-2x+1)/x=(x-1)²/x.

Так как (x-1)²/x≥0 при всех положительных значениях x, то отсюда следует справедливость доказываемого неравенства. Равенство имеет место в случае x=1.

Синтетический метод доказательства неравенств. Суть этого метода заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство из некоторых известных (опорных) неравенств. Опорными неравенствами являются, например, такие:

1)(x+y)/2≥√xy, где x≥0, y≥0 (неравенство Коши);

2)х+1/x≥2, где x>0;

3)-1≤sin a≤1;

4)-1≤cos a≤1.

ПРИМЕР. Доказать, что (a+b+c+d)/4≥√abcd, где a, b, c, d – неотрицательные числа.

РЕШЕНИЕ. Используем здесь в качестве опорного неравенство Коши, составленное для неотрицательных чисел

X=(a+b)/2, y=(c+d)/2. Имеем ((a+b)/2+(c+d)/2))/2≥√(a+b)/2(c+d)/2.

Применив теперь неравенство Коши к числам a и b, а также c и d, получим:

√(a+b)/2(c+d)/2≥√√ab√cd. Но √√ab√cd= 4√abcd.

Таким образом, (a+b+c+d)/4≥ 4√abcd.

Равенство имеет место в случае, когда a=b=c=d.

Доказательство неравенств методом от противного. Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нужно доказать истинность неравенства f(x; y; z)>g(x; y; z). (1)

Предполагают противное, т. е. что справедливо неравенство f(x; y; z)≤g(x; y; z). (2)

Используя свойства неравенств, выполняют преобразования неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается ложное неравенство, то это означает, что предположение о справедливости неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1).

ПРИМЕР. Доказать, что если a≥0, b≥0, c≥0, d≥0, то √(a+c)(b+d)≥√ab+√cd.

РЕШЕНИЕ. Предположим противное, т. е. что справедливо неравенство

√(a+c)(b+d)<√ab+√cd.

Возведём обе его части в квадрат. Получим: ab+bc+ad+cd

Значит, наше предположение неверно, т. е. справедливо неравенство √(a+c)(b+d)≥√ab+√cd.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Решить неравенство: а)(3+х)/4+(2 – х)/3<0; (17; +∞) б)(4 – у)/5 – 5у≥0; (-∞;2/13] в)у – (2у – 1)/4≥1; [1,5; +∞) г)х – (х – 3)/5+(2х – 1)/10≤4; (-∞; 3,5] д)(у – 1)/2 – 1+(2у – 1)/6>у; (-∞; 10) е)р – (р – 1)/2 – (р+3)/4>2; (9; +∞).

2. При каких значениях у: а)значение дроби (7 – 2у)/6 больше соответствующих значений дроби (3у – 7)/12?

Ответ: у<3.

б)значения дроби (5 – 2у)/12 меньше соответствующих значений двучлена 1 – 6у?

Ответ: у<0,1.

3. Найти а)наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 1,6 – (3 – 2у)<5;

Ответ: 3.

б)наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

8(6 – у)<24,2 – 7у;

Ответ: 24.

4. При каких натуральных значениях n: а)разность (2 - 2n) – (5n – 27) положительна?

Ответ: 1, 2, 3 и 4.

б)сумма (-27,1+3n)+(7,1+5n) отрицательна?

Ответ: 1 и 2.

5. Количество целых решений неравенства 4(2х – 1)/(х+1)≥64 равно

1)3; 2)2; 3)4; 4)5; 5)7;

Ответ: 1). Х+3 х+4 х+5 х+2 х+3

6. Наибольшее целое решение неравенства 2 – 2 - 2 ≤5 - 5 равно

1)1; 2)0; 3)-1; 4)-2; 5)2.

Ответ: 3.

7. Множество решений неравенства (Lg(х² - 6х+8)/( Lg(х – 8)<1 имеет вид

1)(8; 11) 2)(9; 11) 3)(8; 9) 4)(8; 11) 5)(9; 10). Ответ: 3.

8. Наибольшее целое решение неравенства Log1/3 1/(14+5х - х²)≤ Log3 (24 – 2х) равно

1)6; 2)8; 3)2; 4)1; 5)5.

9. Решить относительно х: а)3(2а – х)<ах+1.

Ответ: при а=-3 х€R; при а<-3 х<(6а – 1)/(а+3); при а>-3 х>(6а – 1)/(а+3).

б)((а+2)х)/(а – 1) – 2/3<2х – 1.

Ответ: при а<1 и при а>4 x>(a – 1)/(3(a – 4)); при 1

10. Доказать без помощи таблиц, что

1/log2π+1/ log2π>2.

(Софизмы). Два больше четырёх.

¼>1/16; (1/2)²>(1/2);

2lg(1/2)>4lg(1/2);

Разделив обе части неравенства на 4lg(1/2), получим:

Докажем, что a>a+1(а – натуральное число).

Рассмотрим верное неравенство a a+1

(1/n)>(1/n), где n – натуральное число, большее 1.

Взяв десятичный логарифм от общих частей неравенства, получим: alg1/n>(a+1)lg1/n. Разделив обе части неравенства на lg1/n, получим: a>a+1.