Числа Фибоначчи и растения

При изучении геометрии в школе можно установить взаимосвязи между геометрическими понятиями и окружающим миром. С древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т. е. пытались вывести “формулу красоты”.

Ряд “формул красоты” известен. Это – правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник и т. д. ; это – законы симметрии. Можно привести множество примеров присутствия симметрии в окружающем нас мире. Симметрию легко обнаружить в природных и рукотворных формах. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм предмета, объясняется не только выполнением законов симметрии, но и присутствием так называемой “божественной” пропорции, “золотого сечения” в соотношении частей, на которые предмет делится естественным образом. Соблюдение пропорций в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания. “Золотое сечение” являлось критерием гармонии и красоты во времена Пифагора и в эпоху Возрождения. Знания об этом уникальном отношении частей к целому продолжают наполняться новым содержанием, проникая в самые разнообразные области человеческих знаний. Одновременно с этим может быть найден подход к решению одной из задач воспитания экологической культуры – созданию целостной картины мира в сознании школьников.

Симметрия растений

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э.

Слово "симметрия" греческое, оно означает "соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей". Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: "Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?". Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: "Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство". Герман Вейль - это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно - в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

• Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

• Две точки называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Ботаника - наука о растениях. Она охватывает огромный круг проблем: их систематику; развитие в течение геологического времени; возможности хозяйственного использования растений; закономерности внешнего и внутреннего строения растений.

Поиск закономерностей внешнего строения растений вопрос возник ещё в 5 веке до н. э. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией

• Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей

Центральная симметрия наиболее характерна для цветов и плодов растений. Центральная симметрия характерна для различных плодов, в том числе для ягод: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии. Центральную можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. На данном рисунке представлен подсолнечник. Его сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков. В случае же нечетного количества лепестков, вспомните анютины глазки, он обладает только осевой.

В любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой или центральной симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

На рисунке показан простой пример объекта и его зазеркального двойника – треугольник ABC и треугольник А1В1С1 (здесь MN – пересечение плоскости зеркала с плоскостью рисунка). Каждой точке объекта соответствует определённая точка зазеркального двойника. Эти точки находятся на одном перпендикуляре к прямой MN, по разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё. Объект на рисунке выбран для простоты двухмерным. В общем случае объект (и соответственно его зазеркальный двойник) является трёхмерным.  

Осевая симметрия присуща различным видам растений и грибам, и их частям. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов. Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения "вперед", наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое.

Повортная симметрия.

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360(/n (или кратный этой величине),     где n = 2, 3, 4, В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка. Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180( вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180(. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф».

Часто поворотная симметрия цветов сочетается с зеркальной симметрией.

Веточка акации имеет зеркальную и поворотную симметрию. Веточка боярышника обладает скользящей осью симметрии. Гусиная лапчатка имеет поворотную симметрию и зеркальную.

Присмотревшись к растениям можно обнаружить многочисленные проявления винтовой симметрии в расположении листьев на стебле, веток на стволе, в строении шишек. Ярко выраженными винтами являются вьющиеся растения.

В мире цветов встречаются поворотные оси симметрии разных порядков. Наиболее распространенная поворотная симметрия 5-го порядка. «Пятерная ось является своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации, первым шагом которой была «поимка решеткой»(Н. В. Белов). Поворотная симметрия 5-го порядка встречается :у колокольчика, луговой герани, незабудки, зверобоя, вишни, груши, рябины, боярышника, шиповника.

Симметрия конуса видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу а, остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть сверху.

Симметрия присутствует и в прошлом и в будущем. Симметрия - это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек - это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии. Симметрия в живой природе: в животном и растительном мире, - передается генетически из поколения в поколение.

2. Числа Фибоначчи и растения

Уже более трех веков ботаники и математики восхищаются сложностью и красотой спиральных структур, образующихся по мере развития растения. Семена на стебле, семена или лепестки в цветке, причем у самых разных растений – броколли, сосны, артишока, водяной лилии – все они создают сложные спирали, повторяющие известную математическую последовательность чисел. Чтобы выявить математические основания филотаксиса (организации листьев и других органов вокруг стебля) математики Крис Гол из Smith College (США) и его швейцарская коллега Пау Атела объединились с ботаниками из Ботанического сада Smith College.

Гол рассказал, что спирали у растений часто образуются согласно последовательности Фибоначчи (1,1,2,3,5,8,13 и т. д. ), где каждое число является суммой двух предыдущих. Спиральные цепочки у растений часто идут в противоположных направлениях, причем обычно их несколько. Число спиралей часто тоже выражается двумя последовательными числами Фибоначчи. Так, цветок английской дэйзии состоит из 21 спирали по часовой стрелке и 34 – против. Сосновая шишка имеет 8 спиралей в одном направлении и 13 – в другом (8 и 13 идут друг за другом в последовательности Фибоначчи).

Чтобы объяснить, почему в растительных спиралях доминируют числа Фибоначчи, Гол и Атела начали с теории ботаника XIX века Вильгельма Хофмейстера, который заметил, что листья у растений появляются в наименее "населенных" участках стебля вокруг меристемы (или растущей верхушки). Затем они по кругу перемещаются от центра. Модель динамической системы, разработанная учеными, позволяет предположить, что этих простых геометрических правил достаточно, чтобы получить те спирали, которые мы видим в природе.

Ученые утверждают, что вне зависимости от того, знают ли растения математику, они запрограммированы следовать определенному набору законов развития, что позволяет предположить, что эти "узоры" дают эволюционное преимущество.

3. Золотое сечение в растениях

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Известно, что в мире растений наиболее часто наблюдаются пропорции. Впрочем, причины здесь уже не эстетического порядка.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

- на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;

- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618. , если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением: x² – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

В природе Золотое сечение появляется с завидной регулярностью: деревья, растения и цветы вместе с раковинами, бабочками и дельфинами характеризуются этой пропорцией.

Камерная раковина Наутилус, возможно, одна из самых известных. Ее спираль построена в соответствии с Золотым сечением, подобно многим другим спиралям в природе. Наше лицо, биение сердца, почерк и даже неустойчивость фондовой биржи выражают Золотое сечение.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

4. Кроссворды, ребусы,  и не только о растительном мире

1. Кроссворд "Названия деревьев"

Вписать названия деревьев.

2. Кроссворд "Названия кустарников"

Вписать названия кустарников.  

  3. Кроссворд "Названия хвойных растений"

Вписать названия хвойных растений.

1. Дерево с вечнозеленой хвоей.

2. Дерево с твердой древесиной.

3. Дерево семейства сосновых, распространенное в Сибири.

4. Распространенное хвойное дерево.

5. Крупное дерево семейства сосновых, распространенное в тайге.

6. Дерево с густой пирамидальной кроной.

7. Исполин растительного мира, сохранился только в Калифорнии. Высота некоторых деревьев достигает 150 м

8. Дерево семейства араукариевых.

9. Род древесных растений семейства кипарисовых.

10. Кустарник семейства кипарисовых.

4. Кроссворд "Деревья и кустарники"

Вписать названия пяти деревьев и кустарников.

1. Многолетний кустарник с черными плодами.

2. Дерево с плодами-орешками.

3. Растение семейства ивовых, из прутьев которого плетут корзины.

4. Плодовое растение с красными плодами.

5. Небольшое деревце или кустарник семейства розоцветных, родиной которого является Кавказ.

5. Кроссворд "Буква "Р"

Вписать названия растений так, чтобы буква «Р» была общей.

1. Ветвистый кустарник семейства барбарисовых.

2. Дерево семейства розовых, родиной которого является Тянь-Шань.

3. Кустарник семейства маслиновых, плод — черная овальная ягода.

4. Распространенное дерево, цветки которого собраны в сережки.

5. Небольшое дерево или кустарник из семейства гранатовых, плоды красноватые, с кожистыми околоплодниками.

6. Долговечное дерево Китая и Японии, иначе называется яблоком Востока.

7.  Дерево с черными сильновяжущими плодами.

8. Мелкий кустарничек семейства брусничных, с черными плодами.

9. Однолетнее растение семейства бобовых, с округло-цилиндрическими плодами.

10. Дерево семейства розоцветных, с плодами грушевидной или шаровидной формы.

11. Дерево семейства розоцветных, с плодами оранжево-красной окраски.

12.  Дерево высотой до 35 м из семейства сосновых, с крупными шишками.

13. Дерево из семейства розоцветных, родиной которого считают Китай.

6. Ребус "Хвойные растения"                                                               

 Какое значение имеют хвойные растения в природе?

7. Ребус «Воздух в хвойном лесу»

Почему воздух в хвойных лесах практически не содержит болезнетворных  бактерий – микробов?

8. Головоломка-пословица

Найдите начало и ключ к головоломке-пословице. Прочитайте пословицу и объясните ее смысл.

9. Головоломка-пословица

По ходу часовой стрелки, пропуская одинаковое число слогов, прочтите пословицу, объясните ее смысл.

10. Лабиринт "Симбиоз"

На почвах, богатых органическими веществами и сырым гумусом, возникает симбиоз деревьев и грибов. Пройдя по лабиринту, найдите пары симбиоза.

11. Викторина «Растения»

1. Сколько кубических метров воздуха очистит лес площадью 40 гектаров за 5 лет, если известно, что 1 гектар лесного массива за год очищает от углекислого газа и пыли 18 млн куб м воздуха?

2. Какие изменения в окружающей среде указывают растениям наших широт время начала распускания почек, цветения, плодоношения и листопада?

3. В жаркую летнюю погоду в городском парке температура воздуха на 2,2С ниже, чем на городской улице, и выше на 1,5С, чем в лесу. Определите температуру воздуха в лесу, если на оживленной городской улице она составляет 31С?

4. Почему одни растения зацветают на первый год жизни, а другие — через год или несколько лет. Приведите примеры растений, различающихся сроками начала цветения.

5. В 1 м городского воздуха содержится около 5000 микробов. Сколько микробов в 1 куб м лесного массива, если известно, что их содержание в лесу ниже в 9 раз?

6. Лиственные деревья средних широт, перемещенные в оранжереи, где им созданы все оптимальные для жизни условия (достаточное количество света, тепла и влаги), тем не менее, сбрасывают листья. С чем это связано?

7. Ученым давно известно, что зеленые насаждения значительно уменьшают количество пыли в атмосферном воздухе. Ими было подсчитано, что над 50 кв. км леса в воздухе находится около 50 т пыли, а над такой же площадью безлесного пространства — в 11 раз больше. Сколько тонн пыли может находиться над 100  кв. км безлесного пространства.

8. Если в январе — феврале срезать в лесу березовую ветку, принести ее в комнату и поставить в воду, то почки вскоре лопнут и появятся листочки. Но если такую ветку срезать в октябре — ноябре, то она не распустится и засохнет. Почему?

9. Известно, что плохо переносят морозы те растения, которые осенью интенсивно росли, например вследствие длительной теплой погоды или в результате обильной подкормки удобрениями. С чем это связано?

10. Ботаники уже давно заметили, что у заборов чаще всего растут те кустарники и деревья, семена которых распространяются ветром. Как можно объяснить такую закономерность?

Дуб. Ель. Береза. Орех. Вишня. Тополь. Ясень.

Калина. Крушина. Смородина. Терн. Малина. Крыжовник. Бузина. Орешник. Бересклет. Шиповник.

1. Ель. 2. Тис. 3. Кедр. 4. Сосна.   5. Пихта. 6. Кипарис. 7. Секвойя. 8. Агатис. 9. Биота. 10 Туя.

1. Смородине. 2. Липа.   3. Ива 4. Вишня. 5. Слива.

1. Барбарис. 2. Абрикос. 3. Бирючина. 4. Береза 5. Гранат. 6. Хурма. 7. Черемуха. 8.  Черника 9. Арахис. 10. Груша. 11. Рябина. 12 Кедр. 13. Персик.

Хвойные — основные лесообразующие породы.

Хвоя выделяет фитонциды, убивающие микробы.

Дерево погубить — в пять минут, а вырастить его — годы пройдут.

Много леса — не губи, мало леса — береги, нет леса — посади.

1. белый гриб - сосна, дуб, ель. 2. маслёнок – лиственница. 3. подберёзовик – берёза, осина