Таблица квадратов (алгоритмы)

Первое знакомство с математикой – это счёт.

«Раз, два, три, четыре, пять вышел зайчик погулять». Поэтому основной объект математики – число, позволяющее выразить результаты счёта и измерений.

На одном из занятий кружка «Математическая мозаика» мы познакомились с фигурными числами.

В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.

Например:

Треугольные числа

1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4

Пятиугольные числа

Прямоугольные числа

12=2х6 = 6х2= 4х3 = 3х4

Квадратные числа.

Про числа 25,49,100 говорят, что они являются квадратными. А почему?

Потому что они получаются, если возвести числа 5, 7, 10 в квадрат. Это название имеет отношение к фигуре – квадрат. В пятом классе при изучении темы «Площадь прямоугольника» мы вывели, что квадрат числа это есть площадь квадрата.

При вычислении квадратов натуральных чисел мы познакомились с таблицой квадратов. Флюра Анасовна рассказала нам о очередной «математической хитринке»: возведение в квадрат числа, оканчивающегося числом 5. Мы спросили: «Есть ещё быстрые способы вычисления квадратов?». Я решила попробовать поработать с этими числами. Так родились мои алгоритмы, которые хочу предложить вашему вниманию.

2. Таблица квадратов (алгоритмы).

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 1.

Записать последнюю цифру числа 1, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда десятков на 2; и наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

( А1 ) 2 = (А2 ) ( А*2 ) (1) , где А Є [ 1; 9] (справа налево )

Например: 1) пишем 1;

312 = 961 2) 3*2=6, пишем 6; (если произведение больше 9, то на соответствующем месте

312 = ( 32 ) ( 3*2) 1 = 961 запишем цифру единиц, а к квадрату прибавим 1);

3) 32 =9, пишем 9.

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 2.

Записать последнюю цифру числа 4, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда десятков на 4; и наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

( А2 ) 2 = (А2 ) ( А*4) (4) , где А Є [ 1; 9] ( справа налево)

Например: 1) пишем 4;

222 = 484 2) 2*4=8, пишем 8; (если произведение больше 9, то на соответствующем месте

222 = ( 22 ) ( 2*4) 4 = 484 запишем цифру единиц, а к квадрату прибавим 1);

3) 22 =4, пишем 4.

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 3.

Записать последнюю цифру числа 9, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда десятков на 6; и наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

( А3 ) 2 = (А2 ) ( А*6) (9), где А Є [ 1; 9] ( справа налево)

Например: 1) пишем 9;

132 = 169 2) 1*6=6, пишем 6; (если произведение больше 9,то на соответствующем месте запишем цифру единиц,

132 = ( 12 ) ( 1*6) (9) = 169 а к квадрату прибавим 1);

3) 12 =1, пишем 1

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 4.

Записать последнюю цифру числа 6, затем последовательно, справа налево результат суммы 1 и произведения цифры из разряда десятков на 8; и наконец , квадрат цифры из разряда десятков.

( А4 ) 2 = (А2 ) ( А*8 + 1) (6) , где А Є [ 1; 9]

( справа налево)

Например: 1) пишем 6;

142 = 196 2) 1*8 +1=9, пишем 9; (если сумма больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к квадрату прибавим 1);

142 = ( 12 ) ( 1*8 + 1) ( 6) = 196 3) 12 =1, пишем 1.

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5.

Записать последние цифры числа 25, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда десятков на следующее за ним число.

( А5 ) 2 = ( А*(А+1) ) (25) , где А Є [ 1; 9]

( справа налево)

Например: 1) пишем 25;

152 = 225 2) 1*(1+1) = 2 , пишем 2

152 = (1*(1+1) ) 25 = 225

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 6.

Записать последнюю цифру числа 6, затем последовательно, справа налево результат суммы 3 и произведения цифры из разряда десятков на следующую за ним число ; и наконец , произведение цифры из разряда десятков на следующую за ним число.

( А6 ) 2 = (А*(А+1)) (А*2+3) ( 6) , где А Є [ 1; 9]

( справа налево)

Например: 1) пишем 6;

162 = 256 2) 1*2 +3=5, пишем 5; (если сумма больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц,

162 = ( 1*(1+1) ( 1*2 + 3) 6 = 256 а к следующему разряду прибавим 1);

3) 1*(1+1) =2, пишем 2.

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 7.

Записать последнюю цифру числа 9, затем последовательно, справа налево результат суммы 4 и произведения цифры из разряда десятков на 4; и наконец , произведение цифры из разряда десятков на следующую за ним число.

( А7 ) 2 = (А*(А+1)) (А*4+4) ( 9)

_ или _

( А7 ) 2 = (А*(А+1)) ((А+1)*4) ( 9) , где А Є [ 1; 9]

( справа налево)

Например: 1) пишем 9;

172 = 289 2) 1*4 +4=8, пишем 8; (если сумма больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц,

172 = ( 1*(1+1) ( 1*4 + 4) ( 9) = 289 а к следующему разряду прибавим 1);

_ 3) 1*(1+1) =2, пишем 2.

172 = ( 1*(1+1) ( (1+1)*4) (9) = 289

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 8.

Записать последнюю цифру числа 9, затем последовательно, справа налево результат суммы 4 и произведения цифры из разряда десятков на 4; и наконец , произведение цифры из разряда десятков на следующую за ним число.

( А8 ) 2 = (А*(А+1)) (А*6+6) (4) или

( А8 ) 2 = (А*(А+1)) ((А+1)*6) (4) , где А Є [ 1; 9]

( справа налево)

Например: 1) пишем 4;

182 = 324 2) 1*6 +6=12, ( сумма больше 9,то на соответствующем месте запишем цифру

182 = ( 1*(1+1) ( 1*6 + 6) (4) = 324 единиц, а к следующему разряду прибавим 1) пишем 2;

182 = ( 1*(1+1) ( (1+1)*6 ) (4) = 324 3) 1*(1+1) =2, пишем 3 (т. к. 2+1=3)

Квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 9.

Записать последнюю цифру числа 9, затем последовательно, справа налево результат суммы 4 и произведения цифры из разряда десятков на 4; и наконец , произведение цифры из разряда десятков на следующую за ним число.

( А9) 2 = (А*(А+1)) (А*8+8) ( 1) или

( А9) 2 = (А*(А+1)) ((А+1)*8) (1) , где А Є [ 1; 9]

( справа налево)

Например: 1) пишем 1;

192 = 361 2) 1*8 +8=16, ( сумма больше 9, то

_ на соответствующем месте запишем

192 = 1*(1+1) (1*8 + 8) (1) = 361 цифру единиц, а к следующему разряду

_ прибавим 1) пишем 6;

192 = (1*(1+1) ((1+1)*8) (1) = 361 3) 1*(1+1) =2, пишем 3 (2+1=3).

Эти алгоритмы я разработала в 5 классе, но через некоторое время на уроке мы вдруг увидели закономерность при вычислении квадратов двузначных чисел по строчкам таблицы квадратов. Флюра Анасовна предложила поработать над этими числами.

Алгоритмы вычисления квадратов двузначных чисел по строчкам.

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 1.

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 2; и наконец, 1.

(1А)2 = 12 (А*2) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

132 = 169 1) 32 =9 (если квадрат числа больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц,

132 =12 (3*2) (3)2 =169 а к следующему разряду прибавим цифру десятков

2)3*2=6 ((если произведение больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к следующему разряду прибавим цифру десятков

Аналогично во всех остальных случаях если квадрат числа или произведение больше 9, то на соответствующем месте запишем цифру единиц, а к следующему разряду прибавим цифру десятков.

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 2.

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 4; и, наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

(2А)2 = 22 (А*4) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

222 = 484 1) 22=4

2) 2*4=8, пишем 8;

222= 22 (2*4) (2)2 = 484 3) 22=4

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 3.

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 6; и, наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

(3А)2 = 32 (А*6) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

1)52 = 25 (пишем 5)

352 = 1225 2)5*6 =30 (30+2=32 ;пишем 2)

3)32 = 9 (9+3 =12; пишем 12)

352 = 32 (5*6) (5)2 = 1225

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 4.

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 8; и, наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

(4А)2 = 42 (А*8) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

1)32= 9

432 = 1849 2)3*8=24( пишем 4)

3) 42= 16 (16+2=18; пишем 18)

432 = (42) (3*8) (3)2 = 1849

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 5.

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 10; и, наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

(5А)2 = 52 (А*10) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

512 = 2601 2)1*10=10

3) 52=25

51 2 = 52 (1*10) (1)2 = 2601

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 6.

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 12; и, наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

(6А)2 = 62 (А*12) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

1)12 =1

612 = 3721 2)1*12=12, пишем 2;(1 в уме)

3) 62 = 36

612 = 62 (1*12) (1)2 = 3721

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 7.

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 14; и, наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

(7А)2 = 72 (А*14) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

1)62 = 36(пишем 6)

762 = 5776 2)6*14=84 (84+3=87; пишем 7)

3) 72 = 49 (49+8=57; пишем 57)

762 = 72 (6*14) (6)2 = 5776

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 8.

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 16, и, наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

(8А)2 = 82 (А*16) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

812 = 6561 2)1*16=16, пишем 6 (1 в уме)

3) 82=64.

812 = 82 (1*16) (1)2 = 6561

Квадрат двузначного числа, начинающегося цифрой 9

Записать квадрат цифры из разряда единиц, затем последовательно, справа налево результат произведения цифры из разряда единиц на 18,и, наконец, квадрат цифры из разряда десятков.

(9А)2 = 92 (А*18) (А)2, где А=[1;9]

Например: (справа налево)

1)12= 1

912 = 8281 2)1*18=18( пишем 8)

3)92 = 81 (81+1=82 ; пишем 82)

912= 92 (1*18) (1)2 = 8281

Заключение.

С большим интересом мы сейчас изучаем эти алгоритмы на уроках математики. При знакомстве с каждым новым алгоритмом мои одноклассники сами пробуют свои силы в разработке алгоритма. Я увидела как интересно самой что-либо познавать, поэтому я постараюсь продолжать свои изучения, связанные с числами, находить новые приёмы быстрого счёта.