Учеба  ->  Науки  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

История возникновения понятия функции

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлечённом виде, изучает законы и взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями или функциями.

Например, в соотношении у = х2 геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины х его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нём зависимость силы у сопротивления воздуха или воды от скорости х движения.

Математика же изучает зависимость у = х2 и её свойства в отвлечённом виде. Она устанавливает, например, что при зависимости у = х2 увеличение х в два раза приводит к четырёхкратному увеличению у. И где бы конкретно ни появлялась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять к любым конкретным объектам.

Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692 г. У Г. В. Лейбница, правда, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к

Г. Лейбницу от 1698 г. Швейцарский учёный И. Бернулли. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX века. Активным сторонником такого понимания функции был

Н. И. Лобачевский.

Определение понятия функции.

Рассмотрим, как определяется это понятие в специальной математической литературе.

Учебник «Алгебра 7» Ш. А. Алимов и др. : определение понятия не даётся (нет формулировки). Это понятие рассматривается на конкретном примере зависимости пути от времени (при неизменной скорости) так же, как мы это делали ранее на уроках физики.

Тогда мы обратились к другим книгам и справочникам.

«Энциклопедический словарь юного математика»:

«Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами».

«Справочник по элементарной математике» М. Я. Выгодского:

«Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике, заставило ввести в математику понятие переменной величины и, в противоположность ей, понятие постоянной величины. Переменная величина – это такая величина, которая в условиях данного вопроса может принимать различные значения. Постоянная величина – это такая, которая в условиях данного вопроса сохраняет неизменное значение. Одна и та же величина в одном вопросе может быть постоянной, а в другом – переменной величиной.

Говорят, что две переменные величины, х и у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принять одна из них, соответствует одно или несколько определённых значений другой.

Если желательно подчеркнуть, что в данном вопросе значения переменной у должны отыскиваться по заданным значениям переменной х, то последняя (х) называется независимой переменной или аргументом, а первая (у) – зависимой переменной или функцией. »

«Справочник по высшей математике» М. Я. Выгодского:

«Величина у называется функцией переменной величины х, если каждому из тех значений, которые может принимать х, соответствует одно или несколько определённых значений у. При этом переменная величина х называется аргументом».

3. Способы задания функции.

В школьном учебнике мы встретились с ещё одним понятием, характеризующим понятие «функция»: задание функции. Что значит это понятие? Вот как рассматривается его значение в «Справочнике по высшей математике» М. Я. Выгодского:

«Функция считается данной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее значение функции».

Изучив литературу мы выяснили, что существует три наиболее часто употребляемых способа задания функции (эти способы описаны, в том числе и в школьном учебнике): а) табличный, б) графический, в) аналитический. В «Энциклопедическом словаре юного математика» упоминается ещё один способ задания функции – способ алгоритма.

Рассмотрим каждый из названных способов задания функции.

1) Табличный.

Табличный способ общеизвестен (таблица квадратов и таблица кубов натуральных чисел и т. д. ). Этот способ сразу даёт числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами.

Пример. Таблица квадратов чисел от 1 до 10: х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

2) Графический.

Графический способ состоит в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Этот способ позволяет наглядно представить функциональную зависимость.

Пример.

3) Аналитический.

Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами.

Пример. V = sh ; s = ab и т. д.

4) Алгоритм.

Алгоритмическое задание функции или точное описание того, как по фиксированному значению аргумента находить значение функции, является основным для расчётов, выполняемых на ЭВМ.

Глава II. Исследовательская работа по изучению количественных соотношений и установлению функциональных зависимостей.

1. Работа 1. Исследование площади прямоугольника данного периметра.

Задача. Дан прямоугольник с периметром 24 см и длиной стороны х см.

1) Задайте формулой зависимость площади s (см2) прямоугольника от х и заполните соответствующую таблицу значений: x 2 3 4 5 5,5 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,5 7 8 9 10

2) Выясните, при каком значении х получился прямоугольник наибольшей площади? Каково этот наибольшее значение?

3) Выберите сами два каких-либо допустимых значения х и вычислите соответствующие значения s. Сравните полученные значения s с найденными ранее.

4) Сделайте вывод на основе проведённого исследования о форме прямоугольника

6 наибольшей площади, имеющего данный периметр.

Способы исследования зависимости: вычисления, составление таблицы, вывод формулы.

Выполнение работы.

b x x b

Мы получили формулу для вычисления площади прямоугольника, используя которую, заполним таблицу: x 2 3 4 5 5,5 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,5 7 8 9 10 11 11,5 s 20 27 32 35 35,75 35,96 35,99 36 35,99 35,96 35,75 35 32 27 20 11 5,75

Проанализировав полученные значения, определили: прямоугольник наибольшей площади 36 см2 получился при длине стороны 6 см.

Продолжим заполнение таблицы, подставив вместо х значения 11 см и 11,5 см. Получили значения площади 11 см2 и 5,75 см2, что меньше 36 см2.

Решая данную задачу, мы установили, что существует функциональная зависимость между площадью прямоугольника и длиной его стороны (при неизменном периметре). Эту зависимость выразили формулой:. Исследовав при помощи вычислений полученную функцию, пришли к выводу о том, что прямоугольник с заданным периметром имеет наибольшую площадь, если у него форма квадрата.

2. Работа 2. Исследование зависимости высоты столба жидкости в сосуде от объёма жидкости.

Приборы и материалы: ведро стандартное (цилиндрической и конической формы), банка литровая, линейка.

Задача. Построение графика зависимости высоты столба жидкости в сосуде от объёма жидкости.

1) Выполнив необходимые измерения, заполните таблицу:

Объём воды V (л) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Высота столба h (см) а) ведро цилиндрической формы; б) ведро конической формы.

2) Постройте график зависимости h от V: а) ведро цилиндрической формы; б) ведро конической формы.

3) Сделайте вывод на основании сравнения двух графиков о том, в каком случае происходило равномерное изменение величины, а в каком случае неравномерное.

Способы исследования зависимости: опыт, измерения, составление таблиц, построение и исследование графиков.

Выполнение работы.

а) ведро цилиндрической формы:

Объём воды V (л) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Высота столба h (см) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

8 б) ведро конической формы:

Объём воды V (л) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Высота столба h (см) 2,5 5,5 8,5 11 13,5 15,5 18 20 22,5 24,5

Рассмотрев построенные графики, мы увидели, что графиком в случае а) является прямая линия, в случае б) ломаная линия.

Решая данную задачу, мы установили, что существует функциональная зависимость между объёмом жидкости и высотой столба этой жидкости налитой в сосуд. Эту зависимость мы изобразили в виде графиков. На основании сравнения полученных графиков сделали вывод о том, что равномерное изменение высоты столба жидкости происходит в ведре цилиндрической формы, неравномерное – в ведре конической формы.

3. Работа 3. Исследование зависимости перемещения и пути от времени при криволинейном движении.

Приборы и материалы: схема маршрута туристов в масштабе 1 : 200000, измерительный циркуль, линейка.

Задача. Туристы отправились на байдарках по течению реки из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. После 3 ч пути они сделали остановку на 1 час, а затем поплыли дальше со скоростью 6 км/ч.

(На рисунке изображена схема маршрута туристов, на которой отмечены отрезки пути длиной в 1 км)

1) Определите путь s (км) пройденный туристами и заполните таблицу: t, ч 0,5 1 2,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 s км

Постройте график зависимости s(t).

2) Определите удаление (перемещение) d (км) на которм находятся туристы от точки А и заполните таблицу: t, ч 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 d км

Постройте график зависимости d(t).

3) Найдите расстояние от точки А до В по прямой; какой путь преодолели туристы, двигаясь по реке из пункта А в пункт В; определите наибольшее удаление туристов от точки А.

4) Сделайте вывод на основании сравнения двух таблиц и графиков о том одинаковы или различны путь и перемещение при криволинейном движении.

Способы исследования зависимости: измерения, вычисления, составление таблиц, построение и исследование графиков.

Выполнение работы.

t, ч 0,5 1 2,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 s км 2,5 5 7,5 10 12,5 15 15 15 18 21 24 27 30 33 36 39

10 t, ч 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 d км 2,6 5,6 8,4 10,6 9 7,4 7,4 7,4 6,4 8,6 11 13,2 15,6 17,6 19,6 21,2

Расстояние от пункта А до пункта В по прямой 22 км.

Туристы преодолели путь длиной 40 км.

Наибольшее удаление туристов от пункта А 21,2 км.

Решая данную задачу мы установили, что существуют функциональные зависимости пути и перемещения от времени. Данные функциональные зависимости представили в виде таблиц и графиков. На основании сравнения полученных таблиц и графиков пришли к выводу о том, что при криволинейном движении путь и перемещение могут иметь имеют различные значения, т. е. путь и перемещения различны.

Заключение.

В рамках изученной темы и в соответствии с поставленными целями и задачами

1) я познакомилась с определением понятия «функция» и способами задания функции;

2) познакомилась со способами изучения функциональной зависимости величин: опыт, измерение, вычисление, составление таблиц и построение графиков;

3) научилась применять изученные способы для установления функциональных зависимостей между величинами и описания свойств величин на основании их функциональной зависимости.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)