История появление фрактальной математики

Фрактал. Когда размерность фигуры получаемой из каких-то простейших объектов (отрезков) больше размерности этих объектов - мы имеем дело с фракталом. Точное математическое определение дал Мандельброт, но он так и не остался им доволен: Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Применение фракталов обширно: они применяются в кибернетике, программировании, математике, физике, дизайне, изобразительном искусстве. Также встречается в биологии, литературе, географии (как это показано на примере с берегом Британии). Brassica cauliflora

В создании компьютерных изображений и игр геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические стохастические — при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски, моделей биологических объектов и др. Существуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов.

Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов: o динамика и турбулентность сложных потоков; o моделирование пламени; o изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.

В биологии с помощью фракталов описываются принцип моделирования популяций, процессы внутри организма, например, биение сердца.

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста. Например, «У попа была собака», «Дом, который построил Джек». В структурных фракталах схема рамочной композиции текста потенциально фрактальна «рассказы в рассказе»: «Книга тысячи и одной ночи».

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским Кривая Коха инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а, следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Так что же за звери эти фракталы? Раз мы встречаем их везде вокруг себя, можно сказать, что их строение очень сложно, но оно одновременно примечательно и очень красиво.

Что такое фрактал, где они применяются, как выглядят некоторые из них, мы уже разобрались. Теперь я расскажу о том, откуда они вообще взялись, об их неординарных свойствах.

Из истории появления:

Большая часть моих трудов — это муки рождения новой научной дисциплины.

Бенуа Мандельброт

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в 19 веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Основатели фрактальной математики.

Математики пренебрегли вызовом и предпочли бежать от природы путём изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем.

Бенуа Мандельброт

Бенуа Мандельброт (фр. Benoit Mandelbrot; род. 20 ноября 1924, Варшава) — французский математик.

Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).

Бенуа Мaндельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. В Париже он попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки».

После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. Поэтому к шестнадцати годам он еле знал алфавит и таблицу умножения до пяти.

Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила Бенуа Мандельброту поступить в университет.

Окончив университет, Бенуа Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Он получил докторскую степень.

В 1958 он переехал в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась как раз интересными Бенуа Мандельброту областями математики.

Работая в IBM, Бенуа Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.

Исследуя экономику, Бенуа Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.

Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов.

По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки своего рекурсивного (фрактального) метода.

Вацлав Франциск Серпинский, в другой транскрипции — Серпинский (польск. Waclaw Franciszek Sierpinski); (14 марта 1882, Варшава, Польша — 21 октября 1969, Варшава) — выдающийся польский математик. Известен своими трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум - гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор более 700 статей и 50 книг. Его именем названы числа Серпинского, а также три широко известных фрактала: треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Серпинского.

Классификация фракталов.

Если люди отказываются верить в простоту математики, то это только потому, что они не понимают всю сложность жизни.

Джон фон Нейман

Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Фракталы делятся на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Триадная кривая Коха

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины - это 0-е поколение кривой Коха. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис. 1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рисунке представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Коха становится фрактальным обьектом.

Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя. Дракон Хартера-Хейтуэя

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рисунке представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя.

Примерами кривых служат: o кривая дракона; o кривая Коха; o кривая Леви; o кривая Минковского; o кривая Пеано.

Кривая Минковского или колбаса Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга).

Свойства

1. Кривая Минковского нигде не дифференцируема и не спрямляема.

2. Кривая Минковского не имеет самопересечений.

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например: o множество Кантора; o треугольник Серпинского; o ковер Серпинского; o кладбище Серпинского; o губка Менгера; o дерево Пифагора.

Снежинка Коха Дерево Пифагора

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Треугольник Серпинского можно получить по следующему алгоритму:

1. Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник.

2. Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трех вершин треугольника.

3. Отметить текущую позицию.

4. Повторить с шага 2.

Ковер Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского.

Построение

Берётся сплошной квадрат, разрезается на 9 равных квадратов и удаляется внутренность центрального квадрата. На втором шаге удаляется 8 центральных квадратов из 8 оставшихся квадратов и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного квадрата остается замкнутое подмножество — ковёр Серпинского.

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение

Куб K0 с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба K0 удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество K1, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество K2, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

Алгебраические фракталы.

Самоподобие в приложении к случайным множествам — понятие не столь строгое

Бенуа Мандельброт

Алгебраические фракталы менее наглядные, зато их построение сводится к одной формуле, которой простой можно назвать с большой натяжкой. Но все алгебраические фракталы можно рассмотреть на классическом примере – множестве Мандельброта.

Множество Мандельброта Граница, увеличенная в 200 раз

Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдёт. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Алгоритм построения достаточно прост и основан на итеративном выражении: zi + 1 = F(z), где F(z) — какая-либо функция комплексной переменной.

Также можно изменить вид фрактала, если вести контроль значения z, например: o Действительная часть z меньше определённого числа; o Мнимая часть z меньше определённого числа; o И мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа; o Другие способы.

И, наконец, ещё один интересный эффект — изменение палитры. После того, как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.

Примеры алгебраических фракталов: o множество Мандельброта; o множество Жюлиа; o бассейны Ньютона;

Стохастические фракталы.

Математика — наиболее совершенный способ водить самого себя за нос.

Альберт Эйнштейн

Кривая Коха, как бы ни была похожа на границу берега, не может выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком «правильна». Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. К этому классу фракталов относится и фрактальная монотипия, или стохатипия. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д.

Рекурсивный алгоритм для построения плазмы следующий

1. Присвоить значение оттенка для 4х углов прямоугольника.

2. Высчитать средние значения оттенков для середин сторон и центра используя среднее арифметическое.

3. Случайно изменить центральный оттенок. Величина изменения должна зависеть от размеров прямоугольника.

4. Разделить прямоугольник на 4 равные части, в углах которых будут полученные средние значения.

Также существуют рандомизированные фракталы (от англ. random – случайный) Рандомизованный фрактал строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины.

Размерность фракталов.

В евклидовой геометрии есть понятие размерности: размерность отрезка — единица, размерность круга — два, шара — три (или: прямая — 1, плоскость — 2, ). Например, если мы будем измерять длину отрезка, то, например, метровых отрезков в нём будет N, полуметровых 2N, дециметровых — 10N и так далее. В данном случае наблюдается прямая пропорциональная зависимость. В случае измерения площади мы уже получим следующие значения: 4N, 100N, то есть здесь зависимость уже квадратичная. Объём трёхмерных фигур пропорционален кубу их линейных размеров.

Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, возникает парадоксальная ситуация — их размерность окажется дробным числом. Почему? В начале работы я приводил пример измерения длины берега Британии – в каком-то смысле это тоже стохастический фрактал. Так как фрактал состоит из бесконечного числа повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его длину. Это означает, что чем более точным инструментом мы будем его измерять, тем большей окажется его длина. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, как неровная линия берега, вторгаясь в двумерное. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха или «колбасы» Минковского будет находиться между 1 и 2.

Линия Пеано

Множество (пыль) Кантора

Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм. На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость.

Размерность фрактала можно вычислить, пользуясь размерностью Хаусдорфа-Безиковича, определение которой исходит из простого факта. Если мы приблизим отрезок так, что его длина увеличится в 2 раза, его размер увеличится в 2 раза. Если мы приблизим квадрат таким же образом (так, чтобы его линейные размеры выросли в 2 раза), его размер увеличится в 4 раза. При аналогичном приближении куба, его размер вырастет в 8 раз.

Тогда для вычисления размерности Хаусдорфа-Безиковича можно воспользоваться следующей формулой: размерность = log(s) / log(z), где s — изменение размера, z — изменение приближения

Для отрезка размерность будет равна log2 / log2 = 1, для квадрата: log4 / log2 = 2, для куба: log8 / log2 = 3.

Теперь, если вычислить размерность Хаусдорфа-Безиковича для снежинки Коха, она и вправду окажется дробной. Снежинка Коха строится путём последовательного разбиения отрезка на 4 новых, причём каждый из них будет в 3 раза меньше исходного. Получается, что приблизив какую-либо часть фигуры так, что длина отрезка увеличится в 3 раза, размер фигуры вырастет в 4 раза. Подставив эти числа в формулу, получим: log4 / log3 = 1. 261.

Самым удивительным оказывается то, что и многие природные объекты обладают как бы дробной размерностью, хотя, строго говоря, для природных объектов такую размерность вычислить невозможно. Правильнее сказать, что в определённых диапазонах наблюдения природные объекты, возникшие в результате долгой диффузии и абсорбции, похожи на фрактальные множества. Например, размерность побережья лежит между 1,01 и 1,6. А фрактальная размерность кровеносной системы человека может быть рассчитана как приблизительно 3,4. Это не противоречит факту трехмерной топологической размерности пространства, в которое она вписана.

Фракталы и хаос.

Когда говорят о хаосе, всегда вспоминают простые слова «Взмах крыла бабочки по одну сторону Атлантики приводит к урагану по другую».

Понятие фрактал неразрывно связано с понятием хаос. При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Но, в общем, Хаос - это отсутствие предсказуемости. Хаос возникает в динамических системах, когда для двух очень близких начальных значений система ведет себя совершенно по-разному. Пример хаотичной динамической системы - погода.

Заключение.

Исследуя фракталы, мы приходим к выводу, что математика развивается и активно взаимодействует с другими науками. Другие науки также оказывают влияние на математику.

Итак, из определения стохастических фракталов следует, что моя гипотеза доказана: все создаваемые нами графические объекты (буквы, цифры, иероглифы, геометрические фигуры, рисунки) являются фракталами, которые можно задать уравнениями, пусть даже и очень сложными. Таким образом, решена одна из целей моей Мой фрактал работы – создание фрактала.

Фракталы – ещё не до конца изученная область математики, но можно на нашу жизнь в положительную сторону.