Н. И. Лобачевский – великий реформатор геометрии

1 декабря 1792года в Нижнем Новгороде в семье землемера Ивана Максимовича Лобачевского родился мальчик Коля – будущий великий геометр Николай Иванович Лобачевский, совершивший революционный переворот в геометрии и философии, наш «Коперник геометрии», как назвал его английский математик Клиффорд. Николаю не исполнилось еще полных десяти лет, когда умер его отец. Осталась Прасковья Александровна Лобачевская с тремя малолетними сыновьями без средств.

Николай – светлоглазый мальчик с высоким лбом и тонким изящным носом – был средним по возрасту. Потребовались энергичные усилия его мамы, чтобы добиться зачисления сыновей в Казанскую императорскую гимназию на казенный счет.

На вступительном экзамене девятилетнему Коле Лобачевскому предложили решить такую задачу: бассейн получает воду из четырех труб; первая наполняет его за 1 час, вторая – за 2 часа, третья – за 3 часа, а четвертая – за 4 часа. Сколько потребуется времени для наполнения бассейна, если все четыре трубы открыть одновременно?

Коля мгновенно решил задачу в уме! Стали задавать ему более сложные задачи. Мальчик на лету схватывал условия и сразу давал правильный ответ. Учитель математики уже на экзамене понял, что в гимназию поступает весьма незаурядный человечек!

Затем предложили Коле прочитать любимое стихотворение. Он громко и уверенно продекламировал по-латыни отрывок из стихотворения древнеримского поэта Горация «Ad Melpomen» («К Мельпомене»)

-А русские стихи знаешь?- спросил преподаватель словесности.

-Стихотворение Михаила Васильевича Ломоносова, - тихим голосом объявил Коля и, немного подождав, начал выразительно:

«Случились вместе два астронома в пиру

И спорили весьма между собой в жару.

Один твердил: Земля, вертясь, круг Солнца ходит

Другой – Земля с собой планеты водит.

Один Коперник был, другой слыл Птолемей»

Живой, серьезный, темпераментный, энергичный, весь в мать, Николай учился в гимназии, а затем и в университете очень успешно, с большим трудолюбием. Кроме обязательных – латинского и немецкого – языков, он самостоятельно изучил французский и греческий настолько, что мог читать серьезные книги по математике и философии, которые брал в гимназической библиотеке.

В редкие часы, свободные од занятий, или готовясь к уроку словесности, а иногда и на скучных для него уроках, сочинял стихи.

Вот одно из них:

Колумб отважно вдаль стремился,

Ища желанных берегов,

Но долог путь. И становился

Слышнее ропот моряков.

А он глядит на океан,

В волненье тяжко дышит грудь.

Вопрос – исполню ль я свой план

И верно ль мой намечен путь?.

И вот сбылись его мечты:

-Земля! – воскликнул человек.

-Колумб! – кричат матросы. - Ты прославил Родину на век!

Юный Лобачевский был порядочным озорником, но в обращении с товарищами и учителями-воспитателями честен, прям, не терпел двуличия и предательства.

Гимназию он оканчивает пятнадцатилетним юношей и в тот же год (1807) становиться студентом университета, всего лишь два года назад открытого в Казани.

Материальные лишения он переносил стойко, но однажды ради выигрыша денежного пари (для приобретения учебников) решился на озорство, за которое его чуть-чуть не разжаловали из студентов в солдаты: сидя на корове, проскакал по университетскому парку.

С шашкой мчит городовой. –

«Анархист, наверно?»

Темноус и светлоглаз, парень смотрит смело.

Он не опускает глаз, хоть и взят за дело.

-Я побился об заклад(Чин возвысил брови)

Проскачу, мол, через сад, сидя на корове!–

Чин присвистнул: «Эскапада!

Да зачем же это надо?»

-На учебник денег нет,- парень выдавил в ответ.

-Ты, однако же, чудак! Очумел, брат, что ли?

А зовут тебя-то как?

-Лобачевский Коля.

В университете Лобачевский сразу же обратил на себя внимание профессоров исключительными успехами по математике, оригинальностью мышления. Самостоятельно усвоив передовые философские учения XVIII века, он открыто выражал презрение ко всему показному, насаждавшемуся в университете.

В 19 лет Лобачевский оканчивает университет и ему присуждают степень магистра наук (магистр, адъютант – младшие ученые степени в российских университетах), а в 24 года – уже профессор математики.

Начался период полного раскрытия его незаурядной личности, период изумительно многостороннего и страстного увлечения преподавательской работой профессора. Началось и быстро совершенствовалось научное творчество, исключительное по силе отвлеченного математического воображения, приведшее Лобачевского к великому открытию в геометрии, направленному в будущее науки, определившему лицо всех физико-математических наук нашего времени.

С 1816 года, уже в качестве профессора, Н. И. Лобачевский читал в университете специальные курсы элементарной математики, дифференциального и интегрального исчисления, а позже ему было поручено и преподавание физики, механики и астрономии. На протяжении 40 лет Н. И. Лобачевский принимал самое активное участие в общественной жизни, организации и строительства Казанского университета. Дважды до 1825 года он избирался декантом физико-математического факультета, а с 1827 года в течение 19 лет состоял ректором Казанского университета. По инициативе Лобачевского был создан научный журнал, «Ученые записки Казанского университета», существующий и поныне. Один из историков Казанского университета писал, что в стенах Казанского университета «все дышит памятью Н. И. Лобачевского, все восстанавливает перед нами симпатичный облик великого ученого и неутомимого труженика-ректора». Н. И. Лобачевский отдавал много сил и времени задачам воспитания юношества и внес ценный вклад в дело развития русской педагогической мысли. Параллельно с просветительской, общественной, педагогической и административной деятельностью развивалось и научное творчество Н. И. Лобачевского. Много нового внес он разные области математики, физики и астрономии. Однако мировая слава Лобачевского на его работах в области геометрии, на создании новой геометрической системы.

Как известно, в III веке до н. э. греческий геометр Евклид в своей Книге «Начала» сформулировал систему аксиом, из которых последовательно, одна за другой, выводятся все основные теоремы геометрии. И никогда не получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых равноправно вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида непротиворечива.

Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих наблюдений, кроме одной аксиомы о параллельных, называемой также пятым постулатом. Эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не подтвердишь, не опровергнешь, ведь на практике воспроизводимы лишь отрезки прямых, но никогда сами прямые во всей их бесконечности протяженности.

«Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей (прямой) сумма прямых углов (2d), то эти прямые при достаточном продолжении их пересекаются и притом именно с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.

Этот постулат пытались доказать многие математики, но терпели неудачу. Такие «титаны» математики как К. Гаусс, Я. Бойяи и другие отдали многие годы молодости доказательству постулата, но, увы, их старания не увенчались успехом.

В тайну этих неудач именно и проник Н. И. Лобачевский глубоко и окончательно: пятый постулат недоказуем и от господствовавшего более двух тысяч лет убеждения, что евклидова геометрия есть единственная мыслимая система геометрического познания мира, необходимо отказаться.

«Вечныйпятый. От Евклида

И до этих вот снегов

Постулат, как черный идол,

В жертву требует умов

«Постулат недоказуем!»

Даже страшно произнесть

Ах, догматики! Грозу им

Принесет такая весть. »

Лобачевский создал «неевклидову геометрию», в которой через точку можно провести более одной линии, не пересекающей данную прямую. Он заменил евклидов пятый постулат более общей аксиомой параллельности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. Чтобы легче было понять смысл аксиом Лобачевского, возьмем прямую AB и вне ее точку C. Пусть ﮮCAB прямой. Построим луч CD, пересекающий прямую АВ в точке D, лежащей вправо от точки А, и вообразим, что он вращается против часовой стрелки. По мере вращения луча CD непосредственное наблюдение пересечения его с АВ становиться неосуществимым. По этой причине будет логически правомерным измерить наше представление о прямой линии и луче, которое теперь позволило бы нам вообразить, что луч CD в какой-то момент своего вращения «отрывается» от прямой АВ, т. е. перестает иметь с ней общую точку.

Тогда «прямую» (аа`), содержащую луч, впервые «оторвавшийся» от АВ, назовем прямой, параллельной прямой АВ в направлении луча АВ.

Рассмотрев симметрию с осью АС, видим, что есть «прямая» (bb`), симметричная «прямой» (аа`) и проходящая через точку С. Ясно, что и эту «прямую» (bb`) следует считать параллельной АВ, но уже в направлении луча АВ`. Следовательно, через С проходят две «прямые», параллельные прямой ВВ`.

С каждой из этих «прямых» луч СА, перпендикулярный прямой В`В, образует угол π (ρ), названный Лобачевским углом параллельности. Угол π(ρ) зависит от длины СА=ρ и имеет следующее свойство: все прямые, проходящие через С и образующие с перпендикуляром СА угол, меньший π(ρ) (например, прямая t), пересекают В`В, все остальные «прямые», проходящие через С (например,S), не пересекают В`В, их называют расходящимися прямыми или сверхпараллелями к прямой В`В. Через С проходит бесконечное множество таких «прямых».

В частном случае, когда π(ρ)=90º, получается постулат Евклида и соблюдаются все предложения обычной геометрии, «употребительной», как называл ее Н. И. Лобачевский.

Угол π(ρ) возрастает и приближается к прямому углу при приближении точки С к прямой В`В. b

С а' S b'

π π а p t

В' А Д В

Из допущения, что π(ρ) ے 90º, вытекают совершенно иные следствия, составляющие содержание новой геометрии, так же непротиворечивой, как и евклидова геометрия, но значительно точнее, чем евклидова, отображающей пространственные геометрические и физические соотношения, например, за пределами мировых областей «средней величины».

Оказалось также, что взаимосвязь пространства и времени, открытая Х. Лоренцом, А. Пуанкаре, А. Эйнштейном и Г. Минковским и описываемая в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.

Такую геометрию Лобачевский сначала назвал «воображаемой», а потом (в конце жизни) – «пангеометрией», т. е. всеобщей геометрией. Теперь ее во всем мире называют «геометрией Лобачевского».

«Был мудрым Евклид,

Но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть провела. »

Из понимания параллельностно «по Лобачевскому» вытекает много диковинных на первый взгляд, но строго обоснованных следствий. Например, в пространстве Лобачевского параллельные прямые неограниченно сближаются в направлении параллельности и потому существуют «бесконечные треугольники», стороны которых попарно параллельны, но нет подобных многоугольников.

«Скоро порохом вспыхнет рассветная тишь.

Ты на четкий чертеж неотрывно глядишь.

После встал, потянулся устало.

Вечность тайну тебе нашептала,

И душой изумленной увидел ты то,

Что доселе не знал и не ведал никто:

Параллели стрелою нацелены в высь,

Параллели пронзают межзвездные дали.

Параллели – ты, чуешь? – стремятся сойтись,

Только сразу такое постигнешь едва ли. »

В геометрии Лобачевского интересна и важна такая теорема: «Сумма углов треугольника всегда меньше 180º.

У Данте есть такие строки:

«Как для смертных истина ясна

Что в треугольник двум тупым не влиться. »

Теперь-то нам понятно, что не может быть двух тупых углов не только в нашем «земном» треугольнике, но и в «звездном» треугольнике геометрии Лобачевского

Пусть α, β и γ – углы треугольника, тогда число δ=180º–(α+β+γ) называют «дефектом треугольника» и справедлива поразительная формула, выведенная Н. И. Лобачевским, δ=S - R², где S – площадь треугольника, а R – число, одинаковое для всех треугольников. Величину R, имеющую размерность длины, называют радиусом кривизны пространства Лобачевского, а отрицательную величину k= –1-R² - кривизной этого пространства.

В евклидовом пространстве δ=0 (так как α+β+γ=180º), поэтому его кривизна считается равной нулю.

Получается так, что наша «употребительная» геометрия является предельным (при δ→0) случаем геометрии Лобачевского.

«В мире все криволинейно.

Прямота лишь сферы часть.

И Евклидово ученье

В космосетеряет власть. »

Стихотворение поэта Александра Лихолета (Донецк), напечатанное в альманахе «Истоки» (М. : Молодая гвардия, 1983).

Лобачевский.

«Все! Перечеркнуты «Начала».

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

Иной имеет вид

О чем он думал во вчерашнем?

О звездном облаке, летящем

Из ниоткуда в никуда?

О том, что станет новым взглядом:

Две трассы, длящиеся рядом,

Не параллельны никогда?

Что постоянному движенью

Миров сопутствует сближенье,

И, значит, встретятся они:

Его земная с неземными

Непараллельными прямыми

Когда-нибудь, не в наши дни?. »

Открытие Лобачевского настолько опередило развитие математической мысли того времени, было настолько непредвиденным и смелым, что во всем мире почти никто из математиков – его современников – не был готов к восприятию идей «воображаемой геометрии». Поэтому при жизни Лобачевский попал в тяжелое положение «непризнанного ученого».

Могучий «властитель дум» передовой интеллигенции – Н. Г. Чернышевский. Казалось, он-то мог, хотя бы интуитивно, ощутить в утверждениях геометрии Лобачевского идею революционного переосмысливания веками укоренившейся системы восприятия пространства. Увы, так не случилось. Иначе Чернышевский не иронизировал бы в письме к сыновьям: «Что такое «кривизна луча» или «кривое пространство»? Что такое геометрия без аксиомы параллельных?» Он сравнивает это с «возведением сапог в квадраты» и «извлечением корней из голенищ» и говорит, что это столь же нелепо, как писать по-русски без глаголов. » (А ведь Фет писал без глаголов и получалось здорово: «Шелест, робкое дыханье, трели соловья. »)

«Отшатнулись коллеги, отстали друзья

Может, в партии жизни зевнул ты ферзя?

-Чушь,- кричат,- Лобачевский,- нелепица, бред.

Ничего смехотворней и в мире-то нет!

Параллели не встретятся – это же просто,

Как дорога от города и до погоста!

Ну хоть рельсы возьми, пересечься им что ли,

Хоть сто лет рассекая раздольное поле?

Где ж понять им: коль к звездам протянутся рельсы,

Окунутся с разбега в иные законы.

Там, где в нуль обращается зябнущий Цельсий,

Мировые законы пока потаенны.

Проплывают в ухмылке ученые лица,

И насмешек у сердца стоит ледостав.

Так неужто же он, Лобачевский, смирится?

Нет, он целому миру докажет, что прав!»

Геометрия Лобачевского не была признана при жизни ученого. Среди математиков с мировым именем только Гаусс оценил значение работ Лобачевского. Только в 60-х годах XIX века неевклидовой геометрией заинтересовалось новое поколение математиков. В 1868 году непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана итальянцем Э. Бельтрами.

Потребовалось полвека для того, чтобы идеи Лобачевского сделались неотъемлемой частью математических наук, проникли в механику, физику, космологию, стали общекультурным достоянием. Так, в «Братьях Карамазовых» Иван, обладающий, по словам автора романа, «евклидовским» характером ума, говорит: «Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму» Это значит, что Достоевский имел отчетливое представление о новой геометрии.

В 1827 году Лобачевского избирают ректором Казанского университета. Эти обязанности он исполнял весьма энергично и плодотворно почти 20 лет. В бытность его ректором студентами Казанского университета были Л. Н. Толстой и И. Н. Ульянов – отец В. И. Ульянова-Ленина.

«-Хочу держать испытанье. Прошу бумаги принять.

-Так, что там у вас? Прошенье

Свидетельство о рожденье

Дворянское происхожденье -

Ну, это не суть и важно: к учебе талант главней.

Граф Тульский Глядит отважно.

Кустятся крылья бровей.

Откланялся юноша. Долго глядит Лобачевский вслед.

Зачислит на век Толстого России университет!»

Много было совершено Лобачевским ночных походов на башню университетскую обсерваторию для наблюдений, вычислений и размышлений.

«Ректор дверцу толкнул, сбивши с валенок снег.

У прибора застыл молодой человек.

Лобачевский студента, конечно, узнал,

Высший ставил недаром вступительный бал!

-Здравствуй, друг! Почему же ты ночью не спишь? –

Ректор юношу тихо спросил. –

Чем тут занят на башне в рассветную тишь?

Да тужурку надень – ведь застыл.

-Наблюдаю за небом и запись веду

Подошло время (1846 год), когда Лобачевскому по формальным причинам пришлось уволиться с должностей «профессора чистой математики» и ректора университета, с которым была связана вся его жизнь и который обязан ему своим развитием. Взамен Лобачевский получил другую должность, существенно менее оплачиваемую.

Значительно ухудшившееся материальное положение, а затем и большое горе, постигшее Лобачевского в 1852 году (от туберкулеза скончался его любимый старший сын Алексей, студент университета), заметно подорвали здоровье Николая Ивановича.

Но несмотря на болезнь и начавшую прогрессивно развиваться слепоту, он приходил в университет на экзамены, принимал участие в научных диспутах при защитах диссертаций.

В 1855 году Лобачевский закончил свой последний труд – «Пангеометрию», посвятив эту работу 50-летию университета. В сентябре того же года Николай Иванович обратился к министру с просьбой предоставить ему годичный отпуск и денежную помощь для серьезного лечения. Министр же в своем докладе царю Александру II предложил уволить Лобачевского «как бесполезного» и получил на это согласие царя.

Сумерки гения.

Где-то Волга блестит, зеленеют луга,

Разнотравьем шелковым манят берега.

Здесь же мраком налит кабинет до краев.

Приговор катаракты бесстрастно суров.

Темнота подступает волной,

Нависает зловещей стеной.

Мир окрестный, геометр, ты больше не видишь.

О, как тьму бессердечную ты ненавидишь!

Жизнь наощупь: вот книга, вот стол, вот перо,

Вот подсвечник – чеканенное серебро.

Прежде всех ты почуял – сквозь стылую млечность

Параллели, сливаясь, спешат в бесконечность.

Слишком рано Других убедить ты не в силе.

И тебя осмеяли, при жизни забыли,

Просто видел ты дальше, чем видит иной.

Просто видел ты больше, чем видит любой.

Все труднее шаги, все короче дыханье.

Паралич И в простор «отлетает душа»,

Где бегут параллели, столкнуться спеша

После смерти тебя ожидает признанье. »

Подавленный неурядицами, смертью сына, больной и ослепший, Лобачевский скончался 12 февраля 1856 года на 65-м году.

«Николай Иванович, прости нам,

Так устроен уж евклидов мир:

В жизни воздается и кретинам,

После смерти – гениям одним!»

В 1896 году, через 40 лет после дня смерти Н. И. Лобачевского, перед зданием Казанского университета был установлен памятник великому математику, созданный русским скульптором Марией Диллон.

Стихотворение Владимира Фирсова.

Н. И. Лобачевскому.

Высокий лоб, нахмуренные брови,

В холодной бронзе – отраженный луч

Но даже неподвижный и суровый

Он, как живой, - спокоен и могуч.

Когда-то здесь, на площади широкой,

На этой вот казанской мостовой,

Задумчивый, неторопливый, строгий,

Он шел по лекции – великий и живой.

Пусть новых линий не начертят руки,

Он здесь стоит, взнесенный высоко,

Как утверждение бессмертья своего,

Как вечный символ торжества науки.

Еще со времен пифагорийцев многие из выдающихся математиков любили поэзию и даже пробовали сами писать. В 1980 году найдено стихотворение, написанное Лобачевским в его молодые годы.

Разлив Волги при Казани.

(отрывок)

Царица рек, в торжественном теченье

К далеким Каспия обширного водам

Ты уклоняешься к Казани на свиданье

С ней – древней матерью татарским городам!.

Ужели и твоих иссякнет волн стремленье –

И Волга зарастет болотною травой?

И где суда твои крылатые скользили,

Увязнет странника усталая нога?

Куда они с собой веселье привозили –

Осиротелые умолкнут берега!.

Нет!. бытие твое до вечности продлится

Как память ясная великих дел.

Великое в веках бессмертием хранится,

И не ему ничтожество – удел.

Вот образ мирного могущества России!

Ее разлив не страшен никому.

Великодушие обуздывает силы,

Всегда, везде покорные ему.

Существует ли «страна» с аксиомой Лобачевского? Да! И даже не одна! Название одной из них – «Псевдосфера», и отрыл ее итальянский математик Бельтрами в 1868 году, т. е. уже спустя 12 лет после смерти Н. И. Лобачевского.

Псевдосфера – это вогнутая бесконечная поверхность, образованная вращением трактрисы вокруг ее асимптоты. Трактрисой назвали плоскую кривую, в любой точке которой постоянна длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с «направляющей» прямой – асимптотой трактрисы. Псевдосфера имеет ряд интересных геометрических свойств. Например, она бесконечна и все же имеет конечную площадь, равную 4πa² (как сфера радиуса а). Но самое важное то, что в геометрии Лобачевского эта поверхность играет такую же роль, как и плоскость в геометрии Евклида. При этом отрезком, соединяющим любые две точки псевдосферы, считается та дуга на поверхности, длина которой определяет кратчайшее расстояние между этими точками, т. е. дуга так называемой «геодезической» линии на данной поверхности (аналог отрезка прямой на плоскости). Тогда оказывается, что на псевдосфере выполняются почти все положения геометрии Лобачевского, в том числе аксиома параллельности, теорема о сумме углов треугольника (меньше 2d) и многие другие.

Вслед за псевдосферой Бельтрами не замедлили появиться и другие модели плоскости Лобачевского – круг Ф. Клейна, круг А. Пуанкаре. Так, в модели Ф. Клейна, состоящей только из внутренних точек круга, «прямой линией» считается любая хорда, но без своих концов. На рисунке видно, что у геометрических обитателей «страны Клейна» через любые две точки А, В проходит единственная «прямая» и что через точку А, не принадлежащую «прямой» (а), проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих (а).

Этими и другими моделями «плоскости Лобачевского» была полностью установлена непротиворечивость его геометрии. В XX веке была установлена и непосредственная связь геометрии Лобачевского с реальными физическими закономерностями. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.

И все же Огромному множеству успехов в земных делах человечество обязано безупречным закономерностям евклидовой геометрии. Свое стихотворение Дмитрий Челышев так и озаглавил.

Геометрия удач.

У каждого из нас своя ПРЯМАЯ,

Им пересечься только раз дано.

И в их пересечении мы встречаем

Свою беду, судьбу, удачу, но

У каждого своя ОКРУЖНОСТЬ,

Непроводящий круг проблем, забот,

Потерянность, утраченность, ненужность

И новый к потепленью ПОВОРОТ.

У каждого из нас свой ТРЕУГОЛЬНИК.

И, убегая от страстей своих,

Мы мечемся, настигнутые болью

И счастьем, поделенным на троих.

А как нас век кидает и ломает!

Но на губах так мало добрых слов.

У каждого из нас своя КРИВАЯ

И ломанная с множеством УГЛОВ.

Геометрия Лобачевского не была признана современниками, она была встречена с полным равнодушием или даже с иронией. Презрительное отношение к новой геометрии не изменилось на протяжении всей жизни ее творца. Но даже оставшись в одиночестве, Н. И. Лобачевский не отказался от своих идей. Он не только был убежден в логической непротиворечивости новой геометрии, но твердо верил и в ее применимость к реальному физическому пространству. Он утверждал, что только опытным путем можно проверить, соответствует ли та или иная геометрическая система законам физики и астрономии. С этой целью он производил астрономические наблюдения и измерения, чтобы установить, чему же равна сумма внутренних углов треугольника. Однако такие измерения не могли и не могут дать определенного результата в силу недостаточной точности инструментов и приближенного характера любых измерений. Николай Иванович упорно искал оправдание своей теории в механике и астрономии. Хотя развитие науки и техники в то время не позволяло подтвердить высказанные положения, Н. И. Лобачевский не переставал верить, что торжество его идей рано или поздно наступит, и даже незадолго до смерти, уже слепой, он диктует свою «Пангеометрию».

Лобачевский умер непризнанным, казалось, забытым. Но уже в 70-х годах прошлого столетия имя Лобачевского было на устах математиков всего мира, а его работы были переведены и распространены во всех культурных странах.

После того как идеи Лобачевского получили признания, его геометрия стала бурно развиваться, особенно в трудах Римана, Кэли, Клейна, Гильберта. Несмотря на то, что геометрия Лобачевского и открытая за нею неевклидова геометрия Римана прочно вошли в современную науку, геометрия Евклида сохраняет свое полное значение в вопросах практики, строительства и техники. Неевклидовы геометрии находят себе применение в некоторых более сложных теоретических и практических вопросах современной математики, физики и техники.

Открытие гениального русского ученого Николая Ивановича Лобачевского дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и способствует поныне более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.