Как правильно строить эллипс

В системе координат, где ось Ox совпадает с линией фокусов F1F2, а начало координат находится посередине между ними, то это определение выражается уравнением

Слово focus в переводе с латинского означает «огонь», «очаг». Происхождение этого названия объясняется замечательным оптическим свойством эллипса: прямые, соединяющие любую его точку с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы. Так распространяются акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «мистического» шепота, «потусторонних» звуков.

Согласно закону, открытому в начале восемнадцатого века немецким астрономом Иоганном Кеплером, все планеты движутся вокруг Солнца по орбитам, имеющим форму эллипса. У эллипса есть несколько замечательных свойств, каждое из которых можно принять за определение. Эллипс – это «сплюснутая», а точнее, равномерно сжатая по своему диаметру окружность. То есть, из окружности получается эллипс, если все её точки приблизить к выбранному диаметру, сократив расстояние в одно и то же число раз.

Множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до данных точек F1 и F2 постоянна, есть эллипс. Точки F1 и F2 – его фокусы.

В системе координат, где ось Ox совпадает с линией фокусов F1F2, а начало координат находится посередине между ними, то это определение выражается уравнением

Слово focus в переводе с латинского означает «огонь», «очаг». Происхождение этого названия объясняется замечательным оптическим свойством эллипса: прямые, соединяющие любую его точку с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы. Так распространяются акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «мистического» шепота, «потусторонних» звуков.

Как начертить эллипс?

Если концы нити заданной длины закреплены в точках F1 и F2, то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а отрезки V1V2 и v1v2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большей и малой осями. Если точки F1 и F2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Также, Леонардо да Винчи предложил механизм для рисования эллипсов.

Эллипс, также, можно построить с помощью сечений

Выше было рассмотрено образование цилиндрической поверхности с помощью образующей - прямой линии и направляющей - окружности. Поэтому, если секущая плоскость будет проходить через образующие, то в сечении получим параллельные прямые, если через направляющие, то - окружность. Все остальные сечения цилиндра будут эллипсами. Построение сечения цилиндра фронтально проецирующей плоскостью

Рассмотрим сечения прямого кругового конуса. Если секущая плоскость будет проходить через образующую (прямую), то в сечении получим треугольник, если через направляющую (окружность) - окружность.

   Все остальные сечения кругового конуса будут лекальными кривыми второго порядка, а именно: - эллипсом, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса; - параболой - секущая плоскость параллельна одной из образующих; - гиперболой - секущая плоскость параллельна двум образующим.

"Золотой эллипс формируется с помощью двух ромбов ACBD и ICJD, вписанных в эллипс . "Золотые" ромбы ACBD и ICJD состоят из 4-х прямоугольных треугольников типа OCB или OCJ, которые являются золотыми прямоугольными треугольниками Считается, что именно этот прямоугольный треугольник является главной геометрической идеей пирамиды Хеопса

Свойство 10. 1.  

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Доказательство

Для определения точек пересечения эллипса с осью Ox нужно решить совместно два уравнения

Отсюда получим x = ±a. Таким образом, точками пересечения эллипса с осью Ox будут точки A (a; 0) и C (–a; 0).

Аналогично, точки пересечения эллипса с осью Oy – B (0; b) и D (0; –b).

Точки A, B, C и D называются вершинами эллипса. Отрезок AC называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Числа a и b называют полуосями эллипса. Точки и  где   называются фокусами эллипса.

Пусть M (x; y) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.

Рассмотрим выражение

Здесь мы учли, что координаты (x; y) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину  называют эксцентриситетом эллипса. Очевидно, для эллипса ε < 1.

Поскольку  то отсюда следует, что a – εx > 0. Поэтому  

Свойство 10. 2.  

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Доказательство

Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим

Свойство 10. 3.  

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Свойство 10. 4.   Эллипс имеет центр симметрии.

Доказательство

Если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N (–x; –y). Точка M

симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Свойство 10. 5.   Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Поскольку для эллипса ε < 1, то

Прямая x = –d называется директрисой, соответствующей фокусу F1(-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x = d, которая является директрисой, соответствующей фокусу F2(c; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы

Законы Кеплера, связанные с эллипсом.

КЕПЛЕР, ИОГАНН (Kepler, Johann) (1571–1630), немецкий астроном. Родился 27 декабря 1571 в Вейль-дер-Штаде, позднее вошедшем в княжество Вюртемберг. Окончив церковную школу в Альдерберге, в 1586 поступил в высшее духовное училище при Маульборнском монастыре. В 1589 был принят в Тюбингенский университет, где в течение трех лет изучал теологию, математику и философию. Астрономию в университете читал М. Местлин, который давал Кеплеру частные уроки и познакомил его с теорией Коперника. В 1591 Кеплер защитил магистерскую диссертацию, в 1593 окончил университет и был рекомендован на должность профессора математики в гимназии Граца (Верхняя Штирия). Здесь с 1594 читал лекции по астрономии. В 1596 вышло в свет его первое сочинение Тайна Вселенной (Prodromus dissertationum mathematicarum continens mysterium cosmographicum, 1596), в котором Кеплер попытался найти соотношения между элементами планетных орбит. Это сочинение привлекло внимание Тихо Браге, который пригласил Кеплера в качестве помощника для обработки результатов наблюдений за планетами. Сотрудничество астрономов продолжалось около двух лет, вплоть до смерти Тихо Браге 24 октября 1601. Вскоре император Рудольф II назначил Кеплера на должность придворного математика, которую он занимал до конца жизни.

Планеты движутся вокруг Солнца по вытянутым эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одной из двух фокальных точек эллипса.

Первый закон Кеплера утверждает, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Эксцентриситеты (степень вытянутости) орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно — Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса. Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов.