Лист Мёбиуса, как изобретение в геометрии

Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Это все просто, а если заглянуть чуть глубже, и представить себе, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Лист Мёбиуса относят к числу «математических неожиданностей». Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла прислуга, случайно сшившая неправильно концы ленты. Несмотря ни на что, в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик К.  Ф.   Гаусса, астроном и геометр, отправил в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался отзыв на свою работу и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. В это же время с Мёбиусом изобрел этот лист и другой последователь К.  Ф.   Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), профессор Геттингенского университета. Свой труд он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,  — в 1862 году. Что же объединило и поразило этих двух немецких ученых?

Выяснилось, что у листа Мёбиуса одна сторона. Мы же привыкли видеть, что у всякой поверхности, с которой мы контактируем (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера),  — две стороны. Удостоверится в односторонности листа Мёбиуса просто: если будем постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по окончании работы, мы обнаружим, что он полностью закрашен. Следующая неожиданность поджидает нас в то время, когда мы попытаемся разрезать лист Мёбиуса по его средней линии. «Нормальное» бумажное кольцо при этом бы распалось на две части, а лист Мёбиуса при этом превратится в одно единое перекрученное кольцо.

Природу геометрических объектов, которые не меняются при таких преобразованиях, изучает математическая наука — топология. Интересно, что это название дал ей Иоганн Листинг. Свойство односторонности листа Мёбиуса было применено в технике: если у ременной передачи ремень получить в виде ленты Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у простого кольца. Этот прием дает ощутимую экономию.

Нам известно, что лист Мёбиуса — поверхность ОДНОСТОРОННЯЯ. Пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы возвратимся в исходную точку — но флажок будет теперь «поднят» в противоположную сторону! Это означает, что флажок, не пересекая проективную плоскость, оказался из «внешности» во «внутренности» дополнения к ней. Получается, у дополнения к проективной плоскости в пространстве нет изолированных друг от друга «внешности» и «внутренности»! Вот так то!

Лист Мёбиуса служил темой для вдохновения скульпторов и живописцев. Эшер был одним из художников, кто особенно интересовался им и посвятил несколько своих произведений этому математическому объекту. Одно из известных — лист Мёбиуса II, который показывает муравьёв, ползающих по решетчатой поверхности ленты Мёбиуса.

Разумеется, это только начало. Лист Мёбиуса таит в себе ещё много сюрпризов. В силу своих необычных характеристик лента Мёбиуса широко используется фокусниками. Если разделить ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (закрученная в два раза больше, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники нарекают «афганская лента». И если теперь эту полоску разрезать вдоль посередине, появляются две ленты, намотанные друг на друга. Если же рассечь ленту Мёбиуса, отступая от края на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — лента Мёбиуса потоньше, а другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Остальные интересные комбинации лент могут быть извлечены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту Мёбиуса с тремя полуоборотами, то получится лента, напоминающая трилистник. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами рождает фантастические фигуры, называемые парадромными кольцами.

Попробуем примерить на себя плащ фокусника!

Фокус №1

Склейте один лист Мёбиуса, развернутый на пол оборота (180 градусов). А теперь попробуйте его разрезать вдоль пунктирной линии, т. е. посередине.

Ну как получилось? Обратите внимание, на сколько оборотов закручен полученный экземпляр? Получается афганская лента.

Фокус №2

Заверните ленту на 2 полуоборота (360 градусов), и разрежьте ее вдоль. Что выйдет? В этом случае получаются два кольца намотанные друг на друга.

Фокус №3

Вырежьте лист Мёбиуса, который закручен на пол оборота (180 градусов), и начните его резать, отступая все время одну треть от края. Что получается на этот раз?

Одна лента получается тонкой, а другая — длинная лента с двумя полуоборотами (так называемая Афганская лента).

Фокус №4

Можете склеить еще лист Мёбиуса, который закручен на 3 полуоборота (540 градусов), и разрезать его пополам. Получится лента, завитая в узел трилистника. Вроде этого, но сложнее:

Фокус №5

Занимательные вещи так же произойдут, если сложить бумагу гармошкой, а затем скрутить из неё лист Мёбиуса и разрезать наполовину, или отступив на одну треть. Сначала сделайте гармошку, которая состоит из одного перегиба, изготовьте лист Мёбиуса поворотом на 360 градусов, и разделите посередине. Вы увидите три сцепленных между собой кольца.

Вы изготавливаете всё новые и новые листы, в таком случае не каждую полоску можно свернуть в лист Мёбиуса. Например, из бумажного листа квадрата вы лист Мёбиуса не сделаете. Тогда какое может быть минимальное положение длины к ширине полоски, чтобы из неё можно было создать лист Мёбиуса? Возьмем для понятия ширину нашей полоски за 1. Оказывается, что минимальная длина полоски равна v3, это приблизительно равно 1,73. Полученное значение равно второму «Золотому сечению».

Принцип ленты Мёбиуса нашло применение в промышленности. Полоса ленточного конвейера изготавливается в виде ленты Мёбиуса, что позволяет его использовать дольше, потому, что вся поверхность ленты стирается равномерно. Также в системах магнитной записи на непрерывную плёнку используются ленты Мёбиуса (чтобы увеличить время записи). В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения его ресурса.

Конечно же, главное достоинство листа Мёбиуса имеется в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Вот поэтому его считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Хочется спросить: А есть в нашем мире ещё подобные объекты?

Да, они есть, и ещё более удивительные. Если лист Мёбиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской поверхности), то его партнер - Бутылка Клейна полноценно занимает все три измерения. Вот как она выглядит:

Бутылка Клейна - 3D подружка плоского Мёбиуса. Бросьте сюда муравья, и бедняга посетит все точки Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.

На всех изображениях видно следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» - нет зазора, хотя это не правильно! Ибо если нет зазора, тогда муравей обязан будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Неужели бродя по листу Мёбиуса ему необходимо было разворачиваться после того как он куда то дошёл? Бесконечность, как она есть!

А зачем мы только обходим по поверхности Бутылки Клейна? Ведь ранее лист Мёбиуса мы активно резали вдоль и поперёк. Что же случится, если вскрыть Бутылку Клейна?

Это невероятно, однако у нас вышел лист Мёбиуса! Резать, правда, надобно было так, что как бы режущий предмет выполнял оборот в 360 градусов между первой точкой и конечной.

Бутылка Клейна в трёх измерениях - это аналог листа Мёбиуса в двух измерениях. Выше вы видели «многослойный» лист Мёбиуса - полученный склеиванием бумаги сложенной «гармошкой». А существуют ли «Многослойные» Бутылки Клейна? Как оказалось – существуют.

Вот – обычная Бутылка Клейна:

А теперь мысленно представьте себе, как внутри этой бутылки начинает образовываться новая Бутылка Клейна. Сначала внутри формируется «Бутылка Клейна» без «горлышка» - бутылка с двумя отверстиями, затем образуется трубка, которая проникает в «трубку» исходной «Бутылки Клейна», проходит всю «трубку», проникает через отверстие в только что сформировавшуюся «Бутылку Клейна». Затем трубка проникает во второе отверстие основной «Бутылки Клейна ». Находясь в задней части основной бутылки, «трубка» начинает медленно обволакивать исходную «Бутылку Клейна» превращаясь при этом в третью, самую большую «Бутылку Клейна».

Процесс доходит до «трубки» - изначальной «Бутылки Клейна», и постепенно обволакивает её, затем эта «трубка» проникает только что сформировавшуюся «Бутылку Клейна», затем в исходную, затем в самую маленькую. Проникнув в самую маленькую «Бутылку Клейна », «трубка» доходит до отверстия и сливается с ним.

Получилось что самая маленькая «Бутылка Клейна» перешла в самую большую, и стала с ней одним целым. Выше рисунок того, что вы пытались вообразить.

И всё же, так ли уж нужно ломать голову над тем, как устроен этот мир? Или всё что нам нужно уже есть, и нам остается лишь выбрать «правильный» вариант? Выбор как всегда за вами. Он у вас есть даже в том – делать этот выбор или нет.

В заключение, маленькая ремарка:

Не обязательно понимать этот мир, нужно лишь найти себя в нем – Альберт Эйнштейн