Учеба  ->  Науки  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Геометрические фракталы и их свойства

Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Кто хоть однажды видел сказочные, обворожительные, волнующие, красивые фракталы, тот никогда их не забудет . Горы, облака, кора дерева – всё это выходит за рамки привычной евклидовой геометрии. Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. И здесь нам приходят на помощь фракталы. Что же это за знакомые незнакомцы? Когда они появились?

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Термин «фрактал» он ввёл в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Эта книга – лучшее и основное введение в теорию фракталов и фрактальную геометрию (на русском языке издана в 2002 году). Что же такое фрактал? Сам Мандельброт вывел слово «fractal» от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделённый на части). И одно из определений фрактала – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Классификация.

1. Алгебраические фракталы. 5. Детерминированные фракталы.

2. Геометрические фракталы. 6. Недетерминированные фракталы.

3. Стохастические фракталы. 7. Аттракторы

4. Природные фракталы. 8. Квазифрактал и мультифрактал.

Цель изучения фракталов - предсказать закономерность в системах, которые могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими. Для многих хаологов изучение фракталов не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии - это революция. Это открытие нового типа геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной!

Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. Именно с геометрических фракталов началась их история. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка»- аксиома- набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме), бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Свойства

Размерность

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью одного числа – положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий – окружность, квадрат, парабола и т. д. Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами.

Таким образом, размерность D можно рассчитать исходя из зависимости увеличения «размера» объекта S от увеличения линейных размеров L. D= log (S)/log (L). Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, то возникает парадоксальная ситуация – их размерность окажется дробным числом.

Самоподобие

Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветви поменьше и т. д. теоретически, элемент "разветвление" повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия. Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства.

Моделирование фрактального многогранника «Пирамиды Серпинского»

Проблема: Как смоделировать фрактальный многогранник глядя на «Решетку Серпинского»?

Возьму правильную треугольную пирамиду (тетраэдр). Вставлю в неё октаэдр, ребро которого в два раза меньше ребра пирамиды. И увижу образовавшихся четыре пирамиды. Вставлю в каждую из них октаэдр, ребро которого также в два раза меньше ребра меньшей пирамиды.

Повторю ещё раз этот приём.

Этот процесс можно продолжить до бесконечности. Таким образом я смоделировала фрактальный многогранник «Пирамиду Серпинского», который обладает свойством самоподобия .

Исследую количество вписанных октаэдров.

Шаги 1 2 3 4 5

Количество октаэдров 1 1+4 1+4+16 1+4+16+64 1+4+16+64+256

Закономерность чисел 40 40+41 40+41+42 40+41+42+43 40+41+42+43+44

Всего октаэдров 1 5 21 85 341

Замечу, что в пирамиду с каждым шагом добавляется 4n-1 октаэдров, то есть на шестом шаге я добавлю 45 октаэдров, на седьмом шаге 46 октаэдров и т. д.

Выведу рекуррентную формулу для количества октаэдров.

, значит и т. д.

Рекуррентная формула:

Проверю:

и т. д.

Докажу, что площадь поверхности фрактального многогранника действительно на пятом шаге увеличится на.

Площадь поверхности фрактального многогранника. Шаг пятый:

Таблица площадей фрактального многогранника в зависимости от шагов.

шаги 1 2 3 4 5

Площадь многогранника

Выведу формулу площади фрактального многогранника.

Парадокс: не смотря на то, что фрактальный многогранник «Пирамиды Серпинского» ограничен тетраэдром, площадь его поверхности с увеличением шагов стремится к бесконечности.

Выводы:

1. Я смоделировала фрактальный многогранник, используя рисунок «Решетка Серпинского».

2. Нашла закономерность вписанных октаэдров в зависимости от шагов.

3. Вычислила площади поверхности многогранников в зависимости от шагов.

4. Заметила закономерность при вычислении площадей и вывела формулу площади поверхности фрактального многогранника.

5. Разрешила для себя гипотезу: действительно площадь поверхности фрактального многогранника превосходит площадь поверхности ограничивающего его тетраэдра (с третьего шага).

6. Убедилась в парадоксе фракталов в том, что площадь поверхности фрактального многогранника стремится к бесконечности.

Заключение.

Фрактальная наука очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и ещё подарит нам не мало шедевров – тех, которые услаждают глаз, и тех которые доставляют истинное наслаждение разума. В этом заключается новизна работы. Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны большим интересом к теме «Геометрические фракталы» в современной науке, с одной стороны и её недостаточной разработанностью.

Теоретическое значение изучения проблемы классических фракталов заключается в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин. При этом предметом исследования является рассмотрения отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования.

Лично для меня изучение темы «Неисчерпаемое богатство фрактальной геометрии» оказалось очень интересной и необычной. В процессе исследования я сама для себя сделала массу новых открытий, связанных не только с темой проекта, но и с окружающим миров в целом. Я испытываю огромный интерес к этой теме, и поэтому данная работа оказала исключительно положительное влияние на мое представление о современной науке.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)