Доказательство других теорем с помощью теоремы Птолемея

Известно, что геометрия – это одна из древнейших наук на земле. Изучение различных теорем дает человеку множество знаний, которые он будет использовать всю свою жизнь. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах, а также в других источниках. Название науки “геометрия” – древнегреческого происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих слов: geо – “Земля” и metreo – “измеряю”.

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция происходит от греческого слова trapezion – “столик”, от которого также произошло слово “трапеза” и другие родственные слова.

Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами.

Понятие и факты геометрии постоянно применяются при решении практических задач.

Биография Птолемея:

Птолемей (Ptolemáios) Клавдий (2 в. ), древнегреческий учёный. Разработал так называемую геоцентрическую систему мира, согласно которой все видимые движения небесных светил объяснялись их движением (часто очень сложным) вокруг неподвижной Земли. Биографические сведения о Птолемее очень скудны: известно, что он провёл большую часть жизни в Александрии, где в 127—151 производил астрономические наблюдения; имеются сведения, что умер он около 168. Основное сочинение Птолемея по астрономии — «Великое математическое построение астрономии в 13 книгах», арабизированное название «Альмагест». До появления книги «Об обращениях небесных сфер» Николая Коперника «Альмагест» оставался непревзойдённым образцом изложения всей совокупности астрономических знаний. Исключительно велико было практическое значение этой работы для мореплавания и определения географических координат, В «Альмагесте» впервые законы видимых движении небесных тел были установлены настолько, что стало возможным предвычисление их положений. В начале 17 в. , во время борьбы за утверждение гелиоцентрической системы мира, отношение к сочинению Птолемея резко изменилось, так как в нем стали, прежде всего, видеть опору геоцентрических взглядов; в это же время, после появления таблиц Коперника и особенно Иоганна Кеплера этот труд потерял свое практическое значение.

 Большой известностью пользовалось и др. сочинения Птолемея — «Руководство по географии» (8 книг) (с 1475 по 1600 вышло 42 издания этого сочинения). В нём дана полная, хорошо систематизированная сводка географических знаний древних. Птолемей особенно много сделал для развития и использования теории картографических проекций. Он дал координаты 8000 пунктов (по широте — от Скандинавии до верховьев Нила, а по долготе — от Атлантического океана до Индокитая), основанные, впрочем, почти исключительно на сведениях о маршрутах купцов и путешественников, а не на астрономических определениях. К трактату приложены одна общая и 26 специальных карт земной поверхности.

  Астрономические наблюдения датировались в древности годами правления царей. В связи с этим Птолемей составил «Хронологический канон царей», являющийся важным источником для хронологии. Написанный им пятитомный трактат по оптике считался окончательно утраченным. Но в 1801 был найден почти полный лат. перевод его, сделанный с арабского. Наибольший интерес в нём представляют развитая П. теория зеркал, таблицы углов преломления при переходе светового луча из воздуха в воду и в стекло, а также теория и таблица астрономической рефракции.

Кратер Птолемей (на Луне) Из собрания библиотеки Зальцсбургского университета

История создания теоремы Птолемея

Теорема элементарной геометрии, утверждающая, что произведение длин диагоналей вписанного в круг четырёхугольника равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Эта теорема понадобилась александрийскому астроному Клавдию Птолемею, жившему во II в. н. э. , для составления таблицы синусов, точнее, таблицы длин хорд. Если AC диаметр окружности, то теорема Птолемея перепишется в виде cos a sin b+sin а cos b=sin (а+b) ; если же в качестве диаметра взять сторону АВ, то получим формулу для синуса разности двух углов. Именно эти частные случаи использовал Птолемей для составления своих таблиц, очень нужных для астрономических расчетов; аналогичные таблицы составлялись и задолго до Птолемея астрономами Гиппархом и Менелаем.

В эпоху средневековья книга Птолемея, в которой содержались обширные сведения по астрономии, получила распространение в странах арабского Востока; астрономы называли ее там “Аль Маджисти” “Величайшее”, отсюда и происходит ее название “Альмагест”.

Четырехугольники, вписанные в окружность, представляют собой замечательные фигуры, которые имеют ряд интересных метрических соотношений элементов. Они обладают более высокой структурной симметрией, чем сходные соотношения между элементами треугольников.

Теорема Птолемея

Условие:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность.

Доказать, что

AB∙CD + AD∙BC = AC∙BD

Доказательство

Возьмем на диагонали АС такую точку Е, что угол ABE = углу DBC. Треугольник АВE подобен треугольнику DBC. Следовательно АВ:DB= BE:BC=AE:DC, значит АВ·DC=DB·AE.

Треугольник СВE подобен треугольнику DBA. Следовательно СВ:DB=ВЕ:ВА=СЕ:DA, значит АD·CВ=CE·DB.

Сложив два равенства, получим:

AD·DC+AD·CB=DB·AC. Теорема доказана.

Следствия из теоремы Птолемея

Если трапеция равнобедренная, то d2=a·b+c2

Доказательство:

Пусть AC= BD= d (диагонали трапеции), ВС = а, AD= b и АВ= CD= c. По теореме Птолемея BD·AC=BC·AD+AB·CD следовательно d2=a·b+c2

Для любого прямоугольника справедливо равенство d2=a2+b2

Доказательство:

Пусть АС=BD=d, АВ =CD = а, AD =BC = b. По теореме Птолемея AC·BD=AB·CD+BC· AD следовательно d2=a2+b2

Доказательство других теорем с помощью теоремы Птолемея

Задача.

Пользуясь теоремой Птолемея, докажем теорему Пифагора

Доказательство:

Дополним прямоугольный треугольник АВС до прямоугольника АDВС. По определению прямоугольника, его внутренние углы будут равны 90 градусов , значит, прямоугольник можно вписать в окружность. Следовательно, по теореме Птолемея, АС · BD + AD · BC = =AD · CD, но по свойству прямоугольника AB = CD, AD = BC и AC =BD. Поэтому AC2 + BC2 = AB2. Итак, теорема доказана

Задача. Пользуясь теоремой Птолемея, докажите теорему косинусов.

Доказательство:

Дополним треугольник АВС до равнобедренной трапеции АМВС. По свойству трапеции сумма противоположных углов равна 180 градусов , поэтому около АМВС можно описать окружность. Следовательно, по теореме Птолемея, АВ · МС = ВС · АМ + АС · ВМ. Но АВ = МС и ВС = АМ (по свойству и определению равнобедренной трапеции соответственно), пусть ВН – высота трапеции, тогда ВМ = АС – 2·ВН = АС – 2·ВС·cos угла АСВ, следовательно, АВ2 = ВС2 + АС2 – 2·ВС·АС· cos угла АСВ. Теорема доказана.

Использование теоремы Птолемея при решении задач

Задача. Вокруг правильного треугольника описана окружность. Докажите, что сумма расстояний от точки М, лежащей на окружности, до двух вершин треугольника равна расстоянию от точки М до третьей вершины.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник АВМС. Он вписанный, значит, по теореме Птолемея АМ·ВС=АВ·МС + АС·ВМ. По условию треугольник АВС правильный, поэтому АВ=ВС=АС. Следовательно, АМ·ВС=ВС·(МС + ВМ); т. е. АМ = МС + ВМ.

AB·CD+BC·AD=AE·BD+CE·BD=AC·BD.