Золотое сечение в математике

С давних пор человек стремился окружать себя красивыми вещами. На определенном этапе своего развития он начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки – эстетику. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Известный итальянский ученый, архитектор, теоретик искусства эпохи раннего Возрождения Леон Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее: «Назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии». Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

Эта пропорция была известна древним грекам, которые называли ее делением отрезка в крайнем и среднем отношении, и встречается в бессмертных «Началах» Евклида, где дан геометрический метод ее построения с помощью диагоналей двойного квадрата. По преданию, задолго до Евклида золотую пропорцию знал Пифагор, который в свою очередь, скорее всего, позаимствовал ее у древних египтян, которых он посетил в своих странствиях. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Загадка притягательной силы золотого сечения давно волнует человечество. «Эта наша пропорция, высокочтимый герцог, достойна такой привилегии и такого превосходства, какие только можно высказать по поводу ее безграничных возможностей». Этими словами начиналась одна из глав книги монаха ордена франсисканцев Луки Пачоли «О божественной пропорции». «Золотое сечение» назвал эту пропорцию друг Пачоли великий итальянский живописец, скульптор, архитектор, ученый и инженер Леонардо да Винчи.

Что же такого замечательного скрыто в этой пропорции, что она занимает умы людей уже много веков? В золотой пропорции кроются удивительные математические закономерности, но самое главное — считается, что формы, основанные на золотом сечении, наиболее привлекательны с эстетической точки зрения и поэтому с давних пор используются художниками, дизайнерами, архитекторами.

Золотое сечение в математике

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

или где а, b, с не равны нулю.

Геометрически золотое сечение отрезка АВ можно построить следующим образом (рис. 2): в точке В восставляем перпендикуляр к АВ и на нём откладываем ; далее, соединив точки A и C, откладываем CD=BC и, наконец, AE=AD. Точка E является искомой - она производит золотое сечение отрезка AB.

Докажем это. Заметим, что по теореме Пифагора:

По построению:

Подставляя (2) в (1), получим:

,(3) а отсюда уже получается равенство:

Что и требовалось доказать.

Если длину отрезка AB обозначить через a, а длину отрезка AE – через x, то длина отрезка EB будет a-x, и пропорция (4) примет следующий вид

Решая это уравнение относительно x , мы находим, что.

Значит,. Таким образом, части золотого сечения составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Число обозначается греческой буквой ( («фи») в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в. до н.  э, и является коэффициентом золотого сечения:

Число ( - единственное положительное число, которое обращается в обратное себе при прибавлении единицы.

Число, обратное ( обозначается Ф:

Из основного золотого сечения вытекает «второе золотое сечение», которое дает другое отношение 44 : 56. Об этом впервые в Болгарском журнале "Отечество" (№10, 1983г. ) была опубликована статья Цветана Цекова-Карандаша "О втором золотом сечении". Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Геометрически «второе золотое сечение» отрезка АВ можно построить следующим образом (рис. 3): делим отрезок AB в пропорции золотого сечения, как было показано выше. Из точки С восставляем перпендикуляр. Строим окружность с центром в точке А и радиусом AB. Находим точку D - точку пересечения окружности с перпендикуляром. Соединяем точку D линией с точкой А. Прямой угол АСD делим пополам. Из точки С проводим линию до пересечения с линией AD. Находим точку Е, которая делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

На рисунке 4 показано положение линии «второго золотого сечения». Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотое сечение можно увидеть в пентаграмме - так называли греки звездчатый многоугольник. Пентаграмма — правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте. Интересно, что стороны пентаграммы, пресекаясь, образуют правильный пятиугольник, в котором пресечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник (рис. 5(а)). Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть O - центр окружности, A - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму.

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC (рис. 5(б)), в котором , (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги BC (имеет градусную меру равную ), AC и AB (имеют градусную меру ) соответственно). Но , поэтому CD является биссектрисой в треугольнике ABC и отсекает от него подобный. Из подобия этих треугольников имеем AB:BC=BC:DB. Учитывая, что BC=CD=AD, получаем пропорцию. Итак, мы получили, что точка D делит отрезок AB в золотом сечении.

Примем сторону пятиугольника за единицу , положим и, следовательно,. Так как точка D делит отрезок AB в золотом сечении, т. е. , то получаем уравнение , которое имеет единственный положительный корень. Итак мы получили:

Аналогично, рассмотрев треугольник DGH, в котором DG=φ, получим, что стороны внутренней звезды будут равны , а стороны внутреннего правильного пятиугольника -. И т. д.

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует ряд золотого сечения:

1, , , ,, , ,, причем стороны правильных пятиугольников образуют ряд четных степеней, а стороны звезд – ряд нечетных степеней.

Если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой x находится со стороной исходного пятиугольника AF=1 в золотом отношении, т. е.

Итак, ряд золотого сечения можно неограниченно продолжить и в сторону увеличения, и в общем виде ряд золотого сечения будет иметь вид:

, , , , , , ,, или

, , , , 1, , ,(5)

Этот ряд отличается уникальным свойством, называемым аддитивным свойством: сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда: или. Проверим это. Т. к. , то

Рассмотрим теперь ряд золотого сечения:

1, , , , , , ,

() и, пользуясь аддитивным свойством ряда, выразим степени через : n=1 : =, n=2 : =1+, n=3 : =+=+(1+)=1+2, n=4 : =+=(1+)+(1+2)=2+3, n=5 : =+=(1+2)+(2+3)=3+5,

Мы видим, что коэффициенты при , также как и первые слагаемые, образуют последовательность натуральных чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ,(6) каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов: 1+1=2; 1=2=3; 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13; 8 + 13= 21 и т. д. Эта последовательность была впервые описана в 1202 году в «Книге об абаке» итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу – Фибоначчи. С тех пор последовательность (6) называется рядом Фибоначчи, а ее члены – числами Фибоначчи. Ряд Фибоначчи тесно связан с золотым сечением. Если взять отношение последующего члена ряда (6) к предыдущему , то мы обнаружим, что это отношение с ростом k стремиться к коэффициенту золотого сечения: и т. д.

Связь ряда Фибоначчи с золотым сечением была впервые установлена И. Кеплером спустя четыре столетия после его открытия.

Заметим также, что отношение предыдущего члена ряда к последующему стремится к коэффициенту. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, ), мы обнаружили, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу (: чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение.

Рассмотрим способ построения золотого треугольника (рис. 6): проведем прямую АВ, от точки А отложим на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проведем перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р отложим отрезки О. Полученные точки d и d1 соединим прямыми с точкой А. Отрезок dd1 отложим на линию Ad1 , получим точку С. Она делит линию Ad1 в пропорции золотого сечения.

Множество «золотых» фигур дополняет золотой прямоугольник, отношение сторон которого равно числу Ф.

Золотой прямоугольник можно построить следующим образом (рис. 7): строим квадрат ABCD. Сторону AB делим пополам точкой E. Строим окружность с центром в точке E и радиусом EC. Нас интересует точка пересечения окружности с продолжением стороны AB за точку B. Эта точка — F — третья вершина искомого прямоугольника (первая — точка A, еще одна — D). Восстанавливаем перпендикуляр в точке F к прямой AF. Продлеваем DC до пересечения с перпендикуляром. Таким образом получаем третью вершину — G. Прямоугольник построен.

Точка B разделила отрезок AF в пропорции золотого сечения. Докажем это. По теореме Пифагора:

Что и требовалось доказать.

Так как по построению, то и мы действительно построили золотой прямоугольник с отношением сторон равным.

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от него квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники и так до бесконечности. Соединив диагонали квадратов, можно получить бесконечную, не имеющую начала спираль золотого сечения (рис. 8).

Спираль, построенная на основании ряда Фибоначчи, разворачиваясь, приближается к спирали золотого сечения, но, в отличие от спирали золотого сечения, имеет начало (рис. 9).

Сравнение этих двух моделей отражает соотношение между идеальным (спираль золотого сечения) и реальным (спираль на основе ряда Фибоначчи) мирами.

Рассмотрим построение спиральной линии (рис. 9). На листе бумаги чертится золотой прямоугольник со сторонами, равными 8 и 5 см. Внутри прямоугольника с левой стороны выделяется квадрат 5 X 5 см. Справа образуется уменьшенный золотой прямоугольник со сторонами 5 и 3 см. В этом прямоугольнике также строится квадрат со сторонами 3 см. Далее строим соответственно квадрат со стороной 2 см. В конце остаются два квадрата со сторонами 1 см. Всего получается шесть равномерно уменьшающихся квадратов, вписанных в золотой прямоугольник. Затем, последовательно устанавливая циркуль в точки A, B, C, D, E, проводим дуги в каждом из квадратов. Спиральная линия построена.

Золотое сечение в музыке

Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении золотого сечения. Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии. Можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

В начале XX века на одном из заседаний Московского научно-музыкального кружка, членами которого вместе с композиторами и пианистами Танеевым, Рахманиновым, Глиэром были и крупные московские ученые, русский музыковед Э. К. Розенов (1861-1935) выступил с докладом "Закон золотого сечения в поэзии и музыке". Эту работу можно считать одним из первых математических исследований музыкальных произведений.

Розенов проанализировал популярнейшие произведения гениальных авторов Баха, Моцарта, Бетховена, Шопена, Вагнера, Глинки, а также произведения народного творчества наиболее древнего происхождения. Сравнивая проявление закона золотого сечения у Баха и Бетховена, Розенов пишет: "Мы находим у Баха сравнительно более детальную и органическую сплоченность. Закон золотого деления проявляется у него с поразительной точностью в соотношениях крупных и мелких частей как в строгих, так и в свободных формах, что, несомненно, соответствует с характером, этого гениального мастера-труженика, сильным, здоровым и уравновешенным, с его глубоко сосредоточенным отношением к работе и детально отделанной манерою письма. У Бетховена проявление закона золотого сечения глубоко логично по отношению к размерам частей формы, но главным образом указывает на силу темперамента этого автора по точности совпадения всех моментов высшего напряжения чувств и разрешения подготовленного ожидания с моментами золотых сечений. У Шопена внутренняя формальная связь сравнительно слабее и проявляется не сплошь, а лишь местами. По силе темперамента он сходен с Бетховеном, но проявление это более внешне и касается чаще изящной нарядности изложения мысли, нежели его внутренней логики. У Моцарта темперамент проявляется сравнительно слабее, закон золотого сечения направлен у него особенно часто к подчеркиванию драматических элементов (психологических контрастов, противопоставлений характеров) и трагических положений. У Глинки мы находим применение данного закона только лишь в широких масштабах при полном почти отсутствии мелочных соответствий, встречающихся так часто у Баха и Шопена". Вот к каким глубоким эстетическим выводам приводит простейший математический анализ музыки!

В качестве примера остановимся на анализе Хроматической фантазии И. С. Баха, проведенном Э. К. Розеновым. Хроматическая фантазия написана в размере 4/4, имеет 79 тактов, т. е. 79. 4 = 316 четвертных долей.

Итак, "целое" а=316. Фантазия состоит из двух ясно различимых по характеру частей, отделенных друг от друга паузой. Первая часть, прелюдия, заканчивается на 2-й четверти 49-го такта и затем идет пауза. Таким образом, первая часть фактически заканчивается на 3-й четверти 49-го такта, т. е. на 195-й (48. 4 + 3) четверти a1=195. На вторую часть приходится 121 четверть (a2=a - a1=316 - 195=121). Вычисляя "теоретическую" длину первой части с помощью коэффициента золотого сечения, мы с поражающей точностью находим:

Итак, Хроматическая фантазия разделена на первую и вторую части в золотой пропорции:

Но на этом чудеса гениального творения Баха только начинаются. Построив ряд золотого сечения при а=316, имеем:

316 195,3 120,7 74,6 46,1 28,5 17,6.

Каково же должно быть наше удивление, когда мы обнаружим, что на 124-й четверти находится кульминация первой части, а на 77-й четверти от начала второй части имеет место кульминация второй части. Таким образом, кульминация обоих частей с небольшой погрешностью, легко объяснимой растяжимостью темпов, делит эти части по закону золотого сечения. Далее, каждый из полученных четырех разделов Хроматической фантазии имеет характерные особенности, которые также с потрясающей точностью приходятся на точки золотого сечения этих разделов. Также Розенов нашел и более мелкие деления Хроматической фантазии в золотой пропорции. Итак, Хроматическая фантазия, произведение свободного по форме жанра, буквально соткано из золотых пропорций.

В 1925 году искусствовед Л. Л. Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. У Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Наиболее детально были изучены 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции. Итак, простой математический анализ, не выходящий за рамки арифметики, позволяет совершенно иными глазами взглянуть на музыкальное произведение, увидеть его скрытую внутреннюю красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение, и которую мы "видим", проводя его математический анализ. Характерно то, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Таким образом, можно предположить, что частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов.

Золотое сечение в поэзии и прозе.

Если музыка – гармоническое упорядочение звуков, то поэзия – гармоническое упорядочение речи. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определенного момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинаются они с поэзии А. С. Пушкина. Ведь его произведения - образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. Рассмотрим его знаменитую «Вакхическую песню». В стихотворении всего 16 строк. Ставшая крылатой десятая строка стихотворения «Да здравствуют музы, да здравствует разум!» концентрирует в себе главную мысль стихотворения. Где расположена эта строка? Точно на линии золотого сечения! (16:10=1,6).

В качестве примера прозаического произведения исследователями была рассмотрена  композиция «Пиковой дамы» А. С. Пушкина. В повести 853 строки. Главным моментом является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну трех карт, сцена, которая оканчивается смертью графини. Следовательно, кульминационный момент повести – это смерть графини. Ему отвечает 535 –я строка. Эта строка расположена в повести почти точно в месте золотого сечения, т. к. 853:535=1,6.   Повесть «Пиковая дама» состоит из шести глав. В первой главе золотому сечению отвечает 68 строчка (всего в главе 110 строк). Но ведь это узловая точка повествования, в ней переломный момент всей главы: откроет ли граф Сен-Жермен свою тайну графине! Вторая глава повести содержит 219 строк. Золотое сечение здесь приходится на 135 строку. Но ведь это кульминационный момент главы: Лиза увидела в окне  стоящего на улице Германна! Отсюда начался для нее новый отсчет времени, начались события, определившие всю ее дальнейшую судьбу. А. С. Пушкин совершенно точно определил это место во второй главе: ведь 219:135 = 1,62. Третья глава повести описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведать у нее тайну трех карт. Это место начинает новый отсчет времени для Германна. Эта ситуация приходится на 131 строку третьей главы, а всего в ней 212 строк. Разделив 212 на 131, мы получим точно золотую пропорцию 1,618! В четвертой главе размером 113 строк золотая пропорция приходится на 70 строку. Это также переломный, трагический момент в жизни Лизы. В пятой главе описано посещение Германна похорон графини. 46 строка пятой главы разделила повествование на две части: первая - похороны графини и вторая – сон Германна. Эта 46 строка также отвечает золотой пропорции, ведь всего в этой главе 75 строк (75:46=1,63). В последней главе повести золотая пропорция приходится на 77 строчку, которая завершает описание первого дня игры Германна в карты и первого его выигрыша. Как видим, и в композиции последней главы повести присутствует золотая пропорция.

Золотая пропорция присутствует и в композиции других произведений Пушкина. В рассказе «Станционный смотритель» 377 строк. Кульминационный момент рассказа – это известие о том, что дочь смотрителя уехала с гусаром. Этот момент отражен во фразе, которая является 214 строкой. Здесь почти точное соответствие золотой пропорции.

В маленьком рассказе «Гробовщик» всего 229 строк. Со 139 строки начинается описание страшного сна гробовщика. И здесь переломный момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию (229:1,618=141 строка).

Совпадение кульминационных моментов в произведениях А. С. Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великого поэта и писателя. В этой работе мы остановились на анализе произведений А. С. Пушкина. Однако следует отметить, что аналогичные выводы были получены и при анализе поэтических и прозаических произведений авторов, живших в различные эпохи.

Золотое сечение в скульптуре и живописи.

Во все времена, от наскальной живописи в Сахаре до полотен Сальвадора Дали, человек был и остается главной темой изобразительного искусства. С древнейших времен пропорции человека составляли предмет изучения художников. Ими руководила необходимость в каких-то числовых или геометрических формах передать свой опыт преемникам. Так египтяне исходили из какой-то условной единицы измерения, например длины среднего пальца, которую затем целое число раз «укладывали» в ту или иную часть изображения человека. Древнегреческий скульптор и теоретик искусства 2-й половины 5 века до н. э. Поликлет рост человека принимал за единицу, затем фиксировал определенную часть тела, какова бы она ни была по размерам, и находил их отношение. Великий художник и мыслитель эпохи Возрождения Леонардо да Винчи в построении пропорций человека исходил прежде всего из анализа многочисленных измерений самого человека, из его анатомии, а немецкий живописец, основоположник немецкого Возрождения, Альбрехт Дюрер с такой скурпулезностью проводил свои измерения, что в конце концов довел разбиение человеческого тела до 1/ 1800 части его длины, т. е. до величины, не превышающей одного миллиметра.

В 1855г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон.

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1,618 .

Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1,618.

Расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1,618.

Расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1,618.

Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1,618.

Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора .

Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1,618.

Если внимательно посмотреть на указательный палец , то вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца). Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Действительно, пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Таким образом, несомненным является то, что развитие золотых пропорций художественной формы в искусстве идет от золотых пропорций человека.

Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.

Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя “Дорифор” , изваянная Поликлетом в V веке до н. э.

Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с золотым сечением =0,618

Проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равна (3, высота шеи вместе с головой - (4, длина шеи до уха - (5, а расстояние от уха до макушки - (6. Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем (: 1, (, (2, (3, (4, (5, (6.

Венера Милосская , статуя богини любви Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства. Она также построена на пропорциях золотого сечения.

Переходя к примерам золотого сечения в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Портрет Моны Лизы (Джоконда) привлекает  тем, что  композиция рисунка  построена  на «золотых  треугольниках»,  точнее на  треугольниках,  являющихся  кусками  правильного  звездчатого  пятиугольника.  Зрачок левого  глаза, через  который проходит  вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух  биссектрис верхнего золотого  треугольника, которые с одной  стороны, делят пополам углы  при основании золотого треугольника, а с другой  стороны, в точках пересечения  с бедрами золотого треугольника делят их в  пропорции золотого сечения. Таким образом, Леонардо да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и золотое сечение.

Картина «Святое семейство» Микеланджело  признана одним из шедевров  западноевропейского искусства эпохи  Возрождения. Гармонический анализ показал,  что композиция картины основана на  пентаграмме.

Золотое сечение в архитектуре.

Вся история архитектуры – это история поисков гармонического единства «функции – конструкции – формы». Но все-таки одному из начал – красоте – зодчие придают особое значение. Памятник архитектуры может стать непрочным и бесполезным, но памятник архитектуры не может быть некрасивым, ибо в таком случае он из памятника превращается в строение. Французский зодчий Франсуа Блондель (1618 – 1686) в своем «Курсе архитектуры» писал о пропорциях: «Удовлетворение, которое мы испытываем, глядя на прекрасное произведение искусства, проистекает оттого, что в нем соблюдены правила и мера, ибо удовольствие в нас вызывают единственно лишь пропорции». Архитектурные пропорции – это математика зодчего. А математика – это универсальный язык науки, поэтому мы можем сказать, что пропорции – это универсальный язык архитектуры. По сравнению с композитором или скульптором архитектор находится в более сложном положении, ибо на пути к гармонии он должен заботиться не только о «красоте», но также и о «пользе» и «прочности». К сожалению, ни древние египтяне, ни древние греки, ни средневековые каменщики, ни плотники Древней Руси не сохранили для потомков секреты своих пропорций. Единственное дошедшее до нас античное сочинение о зодчестве – это знаменитые «Десять книг об архитектуре» римского архитектора и инженера Витрувия, время написания которых относят к 27 – 14 годам до н. э. «Десять книг» Витрувия в архитектуре, как и «Начала» Евклида в математике, - это энциклопедия античных знаний, это не только собственное сочинение автора, но и собрание известных к тому времени трудов в данной области. В своем сочинении Витрувий справедливо называет совершенными те сооружения, в которых достигнута «точная соразмерность» всех частей с основной мерой. Однако какой математический смысл вкладывал автор в эту фразу, оставался неясным. Как именно, по какой системе древние строили свои замечательные пропорции? Это по-прежнему оставалось тайной, и здесь теоретики архитектуры могли довольствоваться лишь гипотезами. Замечательный зодчий и теоретик И. В. Жолтовский (1867 – 1959) считал, что гармония в архитектуре обретает математическое выражение в законе золотого сечения.

Существует удивительное свидетельство мудрости древних. В Неаполе, в Национальном музее, хранится пропорциональный циркуль, найденный при раскопках в Помпеях . Пропорциональный циркуль является необходимым атрибутом архитектора. Он состоит из двух равных по длине ножек, скрепленных винтом наподобие ножниц, и позволяет для любого отрезка получать отрезок, находящийся с ним в заданном отношении. Помпейский циркуль наглухо закреплен в отношении золотого сечения

Стремление познать тайны древних пропорций было огромным. Естественно, что каждый автор стремился проверить свою теорию на пропорциях Парфенона. Парфенон был и остается совершеннейшим из архитектурных сооружений. Главный вопрос о том, какой системой пропорций пользовался гениальный создатель Парфенона зодчий Иктин, пока остается открытым. Разнообразные теории, несмотря на внешнее различие, дают золотое сечение в главных вертикалях Парфенона. Так, приняв за единицу ширину торцевого фасада здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из 8 членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно , между третьей и шестой , между четвертой и пятой. Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получаем прогрессию:. Указанным членам ряда отвечают основные пропорции фасада Парфенона . Высота крыши Парфенона относится к расстоянию между крышей и капителями колонн, как.

Многие пытались разгадать секреты пирамиды фараона Хеопса в Гизе. Пирамида Хеопса, одна из трёх пирамид в Гизе и находится неподалёку от Каира. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий. Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты :

1. в основании лежит квадрат со сторонами по 230. 35 метров (b=230. 35 м);

2. высота пирамиды Хеопса: 146. 71 метра (h=146. 71 м);

3. боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник - угол при вершине 90o, два угла внизу - по 45o;

4. всего треугольных граней 4 (естественно, т. к. в основании - квадрат).

Обозначим длинy "лестницы", которую образует наклонная боковая грань пирамиды, с. По теореме Пифагора:

- золотое сечение.

Кроме этого была найдена ещё одна "золотая закономерность" в пропорциях пирамиды Хеопса. Площадь основания пирамиды относится к площади ее 4-х боковых граней в пропорции "золотого сечения":

- площадь основания, - площадь боковой грани, следовательно: - золотое сечение.

Почему же закон золотого сечения так часто проявляется в архитектуре? Этому есть вполне рациональное математическое объяснение. Исследователи считают, что для достижения гармонии должен выполняться принцип Гераклита: «Из всего – единое, из единого - все». В самом деле, гармония в архитектурном произведении зависит не столько от размеров самого сооружения, сколько от соотношения между размерами составляющих его частей. Для того чтобы выполнялся основной принцип гармонии «все во всем», взаимосвязь частей и целого в архитектурном произведении должна иметь единое математическое выражение, т. е. архитектурное «целое» и его части должны находиться в одинаковых отношениях. Отсюда , , , , или , , , (), т. е. «целое» и его части должны образовывать геометрическую прогрессию

(). (7)

Но части архитектурного целого должны «сходиться» в целое, т. е. , разделив «целое» на части и , необходимо, чтобы

Учитывая (7), условие (8) примет вид: , т. е. положительное значение для равно коэффициенту золотого сечения.

Итак, из всех геометрических прогрессий (7) только ряд золотого сечения обладает аддитивным свойством (8), поэтому только при делении «целого» на части и в золотой пропорции выполняется принцип «все во всем» и одновременно части «сходятся» в целое. При этом соотношения (7) и (8) принимают вид

(n=0, 1, 2,). Это и есть ряд золотого сечения.

Рассуждения о золотом сечении в архитектуре хочется закончить примером пропорционального строя храма Василия Блаженного в Москве

За «целое» принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:

Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря аддитивному свойству золотого сечения мы уверены в том, что части сойдутся в целое, т. е. , , , и т. д. Таким образом, аддитивное свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой.

Заключение.

Задолго до нашей эры и в настоящее время философы, искусствоведы, художники, архитекторы, математики пытались и пытаются найти пути к решению вопроса о сущности прекрасного. К концу ХХ века количество мнений о природе прекрасного достигло такого объема, что собрать их вместе нет никакой возможности. Знаменитый датский физик Нильс Бор так определил место математики в системе наук: «Математика – это больше, чем наука, это язык». Математика может быть языком любой науки, умеющей на нем разговаривать. В этом универсальность и могущество математики. Как только любая из наук переведет свои проблемы на язык математики, так тут же к ее услугам откроется весь богатейший арсенал математики, способный решать практически любые конкретные задачи.

Одна из таких задач – задача о золотом сечении. Золотое сечение мы находим всюду: в архитектуре, музыке, живописи, литературе, прикладных искусствах. На точку золотого сечения обычно приходится кульминация или главная мысль поэтического, драматургического или музыкального произведения. Золотое сечение мы находим всегда: в цивилизациях, отделенных друг от друга тысячелетиями, в усыпальнице Хеопса в Древнем Египте и в храме Парфенон в Древней Греции, в Баптистерии эпохи Возрождения в Пизе и в ультрасовременных сооружениях Ле Корбюзье. Золотое сечение мы обнаруживаем и в музыкальных произведениях от Баха до Бартока, и в поэтических произведениях от Пушкина до Вознесенского, и в живописи от Андрея Рублева до Сальвадора Дали.

Наука и искусство – два высших начала культуры. Их высшая цель – быть дополняющими друг друга. Из многих искусств, допускающих математическое описание, мы рассмотрели только пять: музыка, литература, скульптура, живопись и архитектура. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. Поэтому, именно математике, лежащей в основе гармонии искусства, посвящена эта работа.