"Золотое сечение" как гармоническая пропорция

Известно, что в жизни человека ведущую роль имеет зрительный анализатор. Благодаря зрению мы ориентируемся в пространстве и познаем мир во всей многогранности цветов и форм.

Человек способен различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме предмета может быть продиктован как жизненной необходимостью, так и вызван его эстетической привлекательностью.

Вы не задумывались, почему люди с затаенным дыханием могут любоваться прекрасной бабочкой или стрекозой, грациозной ланью или стремительной пантерой? Получать удовольствие от красот природы, в том числе рассматривая побеги и листорасположение на них, цветы, плоды, шишки? Ответ, на самом деле, прост. Все тела природы построены в соответствии с определенными правилами пропорции и симметрии, которые получили название – "золотая пропорция" или "золотое сечение". Именно это способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению у человека ощущения красоты и гармонии.

Этим же объясняется и восхищение, которое вызывают у нас памятники архитектуры и произведения искусств, основанные на правилах "золотой пропорции". Именно она используется и в таких новомодных дизайнерских направлениях как "фэн-шуй", "арт-нуво", "хай-тек" и других.

По сути, общий принцип "золотого сечения" является высшим проявлением структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и, конечно, в природе.

Последнее утверждение дает нам право говорить, что "золотая пропорция" имеет право быть предметом исследования нашего научно-прикладного проекта. Это глубокая, разносторонняя, интереснейшая тема, не потерявшая актуальность до сих пор.

В своем проекте мы ставим себе цель изучить само понятие "золотая пропорция", рассмотреть историю этого вопроса со времен цивилизации Древнего Египта до наших дней. Также мы попытаемся найти и доказать наличие "золотого сечения" в объектах природы и в произведениях искусства. Кроме того, для усиления визуального ряда работы, мы планируем создать макет одного из чудес "инженерного дела" природы, уникальнейшего ее творения, созданного на основе "золотой пропорции" – стрекозы.

Из истории вопроса.

Очевидно, что принцип "золотой пропорции" был известен ряду древних цивилизаций Земли. Изучение наследия Древнего Египта доказывает, что пропорции пирамид Хеопса, храмов, гробниц и фигур фараонов строго соответствуют этой пропорции.

Пирамида Хеопса была построена фараоном Хуфу, чье имя по-гречески звучало как "Хеопс", в 2590-2568 годах до нашей эры. Два царя последующих династий – Хефрен и Микерин – возвели рядом свои пирамиды. Все вместе эти три пирамиды представляют собой один из самых знаменитых в мире архитектурных комплексов и до сих пор привлекают в Египет огромное количество туристов. Высота пирамиды Хеопса составляет 138 метров, а изначально – 147 метров. Основание пирамиды представляет собой квадрат, длина каждой из его сторон равна 227,5 метра. Это архитектурное сооружение выстроено из 2,5 миллионов отлично отшлифованных и подогнанных друг к другу известняковых блоков. Каждый блок весит в среднем 2,5 тонны. Во всех измерениях пирамиды не наблюдается отклонения более чем на два сантиметра, и все они соответствуют законам "золотой пропорции".

Более того, древнеегипетский зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски его гробницы, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции "золотого деления".

Жители Древней Греции также были искусными геометрами. Принято считать, что понятие о "золотом делении" ввел в научный обиход древнегреческий философ и математик Пифагор (VI век до н. э. ). Знаменитый квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Другой великий грек Платон (427 347 г. г. до н. э. ) также имел представление о "золотом сечении". Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам "золотого деления".

Следует также упомянуть о том, что "золотые пропорции" присутствуют в фасаде самого знаменитого древнегреческого храма Парфенона. А при его раскопках даже найдены циркули, которые использовались при планировке и строительстве этого храма. Парфенон, построенный в пятом веке до нашей эры из знаменитого пентилейского мрамора, является одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. По коротким сторонам Парфенон обрамлен 8 колоннами, а по длинным – 17. Отношение высоты здания к его длине равно 0, 618, а если произвести деление пропорций Парфенона по "золотому сечению", то мы получим те или иные выступы фасада.

Великий древнегреческий скульптор Фидий также прибегал к "золотой пропорции" при создании своих шедевров. Самыми знаменитыми его работами являются статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из чудес света, и статуя Афины Парфенос.

Хотя в знании геометрии ученые Древнего Рима отставали от греков, но и они были знакомы с "золотыми пропорциями". В историческом музее Неаполя выставлен античный циркуль "золотого сечения", найденный при раскопках Помпеи.

Сведений о знании геометрии жителей Древнего Востока очень мало, однако есть материальные подтверждения того, что и им было известно правило "золотого деления". Например, таким доказательством является так называемое восьмое чудо света – терракотовая армия первого императора Китая Цинь Шихуанди (259-210 г. г. до н. э. ). Раскопки его гигантского погребального комплекса подтверждают применение китайцами "золотых пропорций" как в строительстве самого мемориала, так и в фигурах терракотовых воинов.

Черты знаменитой пропорции найдены не только в древней архитектуре. В дошедшей до нас античной литературе "золотое деление" впервые упоминается в "Началах" Евклида (век III до н. э. ). Во второй книге этого труда дается геометрическое построение "золотой пропорции". После Евклида исследованием "золотого деления" занимались Гипсикл (II век до н. э. ), Папп (III век н. э. ), и другие. В средневековой Европе с этой пропорцией познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III век н. э. ) дал к переводу собственные комментарии.

Долгое время секрет "золотого сечения" хранился в строгой тайне и ревностно оберегался. Он был известен лишь некоторым посвященным. В эпоху Возрождения на волне гигантского подъема в области наук и искусства интерес к "золотой пропорции" резко возрос. Она стала широко использоваться в геометрии, изобразительном искусстве и, особенно, в архитектуре.

Широкую популярность "золотое деление" получило благодаря усилиям итальянца Луки Пачоли (1445-1517 г. г). По мнению многих ученых, Лука Пачоли был настоящим светилом науки, величайшим математиком-теоретиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Этот итальянский монах прекрасно понимал значение науки, особенно начертательной геометрии, для искусства.

В 1496 году он по приглашению герцога Моро читал лекции по математике в Милане. В это время при дворе Моро в Милане работал и великий Леонардо да Винчи (1453-1519 г. г. ).

Да Винчи, как и Пачоли, полагал, что у итальянских ученых накоплен большой эмпирический опыт, а научных знаний мало. В 1509 году в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция". Эта книга произвела впечатление не только своим содержанием, но и великолепными иллюстрациями, выполненными Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном "золотой пропорции". Среди многих достоинств этой пропорции Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: Бог-отец, Бог-сын и Бог-святой дух. Подразумевалось, что малый отрезок пропорции олицетворяет собой Бога-сына, большой отрезок – Бога-отца, а их совокупность – Бога-святого духа.

Леонардо да Винчи также уделял много внимания изучению "золотой пропорции". Все его работы выполнены в соответствии с ней. Знаковым доказательством этого принципа стал знаменитый "Человек, вписанный в круг" да Винчи. Кроме того, Леонардо да Винчи производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношением сторон в "золотой пропорции". Вследствие этого да Винчи дал этому правилу название – принцип "золотого сечения". Этот термин и используется поныне.

В это же время, на севере Европы, в Германии, над этой проблемой трудился ученый и художник Альбрехт Дюрер (1471-1528 г. г. ). Он подробно разработал теорию пропорций человеческого тела, опираясь в своей системе соотношений на принцип "золотого сечения". Дюрер также является автором пропорционального циркуля.

Великий астроном Иоган Кеплер (1571-1630 г. г. ) называл "золотое сечение" одним из сокровищ геометрии. Он утверждал, что "золотая пропорция" продолжает саму себя. Кеплер писал: "Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности". Действительно, построение ряда отрезков "золотой пропорции" можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Кстати, именно Иоган Кеплер первым обратил внимание на значение "золотой пропорции" в ботанике, изучающей рост и строение растений.

В последующие века правило "золотой пропорции" превратилось в академический канон. И, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу "вместе с водой выплеснули и ребенка", то есть отказались от этой пропорции.

На протяжении долгих лет значение "золотой пропорции" сохранялось лишь в архитектуре. Так, выдающийся русский архитектор Михаил Казаков широко применял "золотое сечение" в своих проектах усадеб и жилых домов. Также в соответствии с указанными пропорциями им была построена в Москве Голицинская больница, ныне – Первая клиническая больница им. Пирогова. "Золотые пропорции" просматриваются и в здании Сената в Кремле.

Еще один архитектурный шедевр Москвы, созданный архитектором Василием Баженовым, дом Пашкова также выдержан в традициях "золотого сечения". По этим же канонам был выстроен и Храм Христа Спасителя – архитектурная жемчужина не только Москвы, но и всей России.

Вновь "открыто" "золотое сечение" было в середине XIX века. В 1855 году немецкий исследователь профессор Адольф Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Его ошибкой стало то, что он рассматривал явление "золотой пропорции" как таковое, без связи с другими явлениями. Вследствие этого, Цейзинг абсолютизировал этот принцип и объявил "золотую пропорцию" универсальной для всех явлений природы и произведений искусства. Однако, это не так.

Ошибочность подхода к исследуемому предмету нисколько не умаляет заслуг Цейзинга. Он проделал колоссальную работу. Ученому удалось путем измерения около двух тысяч человеческих тел выразить средний статистический закон пропорций. Справедливость своего закона Цейзинг проверял на греческих статуях (статуе Аполлона Бельведерского и других), греческих вазах, архитектурных сооружениях разных эпох. С этой же целью он исследовал строение растений и животных, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры.

Цейзинг дал определение "золотому сечению", показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда он получил цифры, выражающие длины отрезков, стало очевидно, что они представляют собой "ряд Фибоначчи", который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название "Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве".

У абсолютизированного закона Цейзинга было много как сторонников, так и противников. Последние объявили это учение о пропорциях "математической эстетикой".

В конце XIX – начале XX веков появилось немало чисто формалистических теорий о применении "золотой пропорции" в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона "золотого сечения" распространилось на конструирование машин, мебели, одежды, оформление пространства и так далее.

Математика.

"Золотое сечение" как гармоническая пропорция.

В математике пропорцией (от латинского "proportio") называют равенство двух отношений – А : В = С : D.

Отрезок прямой АВ можно разделить точкой С на две части следующим образом:

• на две равные части (АС = ВС) и получить пропорцию АВ : АС = АВ : ВС

• на две неравные части; в этом случае пропорция не образуется

• так, чтобы получить пропорцию АВ : АС = АС : ВС

Последнее представляет собой деление отрезка в крайнем и среднем отношении или "золотое деление".

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Иными словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

а : в = в : с или с : в = в : а

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется прямой с точкой А. На полученной прямой откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок АD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью АЕ = 0,618. , если АВ принять за 1, ВЕ = 0,382. Для практических целей часто используются приближенные значения – 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описывают уравнением:

Решение этого уравнения:

Из основного золотого сечения вытекает другое соотношение 44 : 56, которое получило название второе золотое сечение. Такая пропорция обнаружена в Архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется следующим образом.

Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С строится перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется прямой с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится прямая до пересечения с линией АD. Точка Е делит отрезок АD в соотношении 56: 44.

Также можно осуществить деление прямоугольника линией второго золотого сечения. Эта линия находится между линией основного золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Албрехт Дюрер.

Пусть точка О – центр окружности, точка А – точка на окружности и точка Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок СЕ = ЕD. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DС. Откладываем на окружности отрезки, равные DС, и получаем пять точек для начертания правильного пятиугольника. Затем соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец полученной пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник.

Его стороны образуют угол 36 градусов при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Построение золотого треугольника осуществляется следующим образом.

Проводим прямую АВ. Из точки А откладываем на прямой три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к прямой АВ. На перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на прямую Аd1, получая точку С. Она разделила прямую Аd1 в пропорции золотого сечения. Прямыми Аd1 и dd1 пользуются для построения золотого прямоугольника.

Ряд Фибоначчи.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 году вышел в свет его математический труд "Книга об абаке", в котором были собраны все известные на то время задачи.

Одна из задач гласила: "Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится?" Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Месяцы.

12 и т. д. Пары кроликов.

144 и т. д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55и т. д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих чисел: 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д. , а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618.

Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличения его или уменьшения до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи также занимался решением практических нужд торговли. В частности, искал ответ на вопрос: "С помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар?" Фибоначчи доказал, что оптимальной является следующая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16

"Обобщенное золотое сечение".

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач, с помощью чисел Фибоначчи решена 10 проблема Гилберта и т. д.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1,1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же двоичный ряд гирь (1,2, 4, 8, 16) на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае это сумма двух предыдущих чисел, а во втором – каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой. Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и двоичный ряд, и ряд Фибоначчи? А, может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададим числовой параметр S, который может принимать любые значения: 0,1,2,3,4,5 Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если п-й член этого ряда мы обозначим через фs (п), то получим общую формулу фs (п) = фs (п - 1) + фs (п - S -1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим двоичный ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2,3,4 – новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция представляет собой положительный корень уравнения золотого S-сечения

Не трудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями. Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Фактов, подтверждающих существование золотых S-сечений в природе и технике много. Например, хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (термоустойчивость, твердость, износостойкость, устойчивость к окислению и т. д. ) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Биология.

Принципы формообразования в природе.

Природа не терпит пустоты. Все в ней стремится занять место в пространстве и сохранить себя.

• Золотая симметрия.

Одной из основных формообразующих тенденций живой и неживой природы является симметрия. И здесь находит отражение золотая пропорция. Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863-1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям, золотое деление – это асимметричная симметрия.

В науку о симметрии вошли такие понятия как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой и равновесие, являющееся, в частности, главной чертой экосистем всех рангов. Ей свойственны равные отрезки, равные величины. На основе принципов статистической симметрии построены, например, все природные кристаллы.

Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, рост, ритм, она – свидетельство жизни. Ей свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

В растительном и животном мире наблюдается симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Среди придорожных трав растет ничем непримечательное растение цикорий. Приглядимся к нему внимательно.

От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого. Снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера, и снова – выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24. Длина листовых пластинок тоже подчинена золотой пропорции. В своем росте и завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции и симметрию.

Пьер Кюри в начале двадцатого века сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности есть в строении отдельных органов человека и его тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

• Золотая спираль

Еще одной формообразующей тенденцией природы является ее спиральность. Стремление природы к проявлению себя в форме спирали подчеркивал еще великий Гете, он называл ее "кривой жизни". В свою очередь представление о золотом сечении будет неполным, если мы не упомянем классическую спираль как одно из проявлений золотой пропорции.

Так, раковина моллюска закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 сантиметров.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали.

Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется спиралью Архимеда. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Спирали широко распространены в природе. Спиралью закручиваются смерчи, ураганы, торнадо, циклоны и антициклоны. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Паук спиралеобразно плетет свою паутину. Молекула ДНК представляет собой две нити, закрученные спирально. Для многих растений характерно винтообразное и спиралеобразное расположение листьев на побегах. Цветки и семена подсолнечника и ромашки, чешуйки плода ананаса и хвойной шишки также размещены в соответствии со спиралью.

• Ряд Фибоначчи.

Фактически в любом объекте живой природы можно найти соответствие его частей ряду Фибоначчи. Например, в описанных выше спиралях подсолнечника, ромашки, ананаса, шишки числа правых и левых спиралей относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи. Эти числа часто встречаются в филлотаксисе (листорасположении) многих растений. Зачастую они расположены строго через одно, например у лещины – 1/3, у дуба и вишни – 2/5, у облепихи – 5/13.

Стоит любой бабочке развести крылья, как мы увидим все тот же принцип членения тела на 2,3, 5, 8.

• Золотая пропорция.

В природе представлено великое множество примеров соответствия золотой пропорции. Посмотрим на обычное яйцо курицы или любой другой птицы и без затруднений найдем в нем золотое сечение.

А вот приятные для глаза в пропорциональном отношении очертания тела ящерицы. Она кажется совершенной. Почему? Ответ прост – золотые пропорции.

Как уже говорилось, членение тела у бабочек соответствует ряду Фибоначчи. Но это еще не все. У большинства чешуекрылых соотношение размеров грудной и брюшной частей тела отвечает золотой пропорции. Поэтому, сложив крылья, такие бабочки образуют правильный равносторонний треугольник.

А венец творения природы – человек?! Да, пропорции идеального человеческого тела также соответствуют золотой пропорции. Все выдающиеся художники и скульпторы учитывали это, создавая свои работы.

Уже упоминавшийся Адольф Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорции составляют отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году – равняется мужской.

Но из всех животных планеты в наибольшей степени соответствует золотому сечению уникальное создание природы – стрекоза.

Стрекоза – уникальное создание природы.

Представители биологического отряда Odonata – стрекозы – уникальные и удивительные существа. Это древнейшие и самые умелые воздушные акробаты на Земле. Их предки – гиганты с тридцатисантиметровым телом и размахом крыльев до девяноста сантиметров – существовали уже в карбоне. Стрекозы были одной из первых форм летающих насекомых на нашей планете.

В зависимости от строения тела среди современных стрекоз выделяют две группы: больших и быстрых представителей подотряда Anisoptera (Неравнокрылые) и более мелких, хрупких и медлительных стрекоз Zygoptera (Равнокрылые).

Строение стрекозы.

Как и у любого насекомого тело стрекозы состоит из трех отделов: головы, груди и брюшка. На голове выделяются огромные глаза, каждый из которых состоит примерно из 25-30 тысяч простых глазков-линз. Угол зрения охватывает почти 360 градусов. Крупные стрекозы способны различить объекты, расположенные от них на расстоянии 35 метров. У неравнокрылых стрекоз глаза занимают большую часть поверхности головы, вверху они соприкасаются и позволяют насекомым отлично обозревать окрестности. Глаза равнокрылых стрекоз меньше и удалены друг от друга, поэтому их голова имеет форму молотка, однако видят они также хорошо. Некоторые стрекозы могут поворачивать голову, меняя угол зрения. Иногда, правда, поведение стрекоз заставляет усомниться в остроте их зрения: виды, живущие обычно на реках, начинают летать над мокрым от дождя асфальтом дорог; другие откладывают свои яйца не в водоемы, а на отполированные до блеска автомобильные капоты.

Голову стрекоз украшают также крупные челюсти, выдающие в них жестоких хищников. Усики этих насекомых маленькие, малозаметные. Туловище (грудь) стрекозы отличается от туловища других насекомых. Оно скошенное, поэтому нижняя часть, из которой растут ноги, выдвинута вперед, а верхняя часть с крыльями отодвинута назад. Две пары ног расположены сразу за головой. Такое положение конечностей не позволяет стрекозам ходить, но они могут держаться за любое основание, а также ловить и удерживать ими добычу.

Жизненный цикл.

В умеренном климате стрекозы появляются весной и погибают поздней осенью. Только некоторые виды живут дольше нескольких месяцев. Однако крылатая особь – имаго – это последний этап сложного жизненного цикла, который может продолжаться несколько лет.

С наступлением брачного периода первыми к водоемам слетаются самцы. Они окрашены значительно ярче, чем самки. Начинается битва за территорию. Оба соперника стараются устрашить друг друга, совершая головокружительные виражи и кичливо растопыривая крылья. Победитель садится на возвышенное место и оттуда нападает на любого самца, который осмелится нарушить границы его участка. Когда самец замечает самку, он старается завоевать ее расположение.

Оплодотворенная самка откладывает яйца либо прямо в воду, либо в подводные и надводные части растений. Неравнокрылые стрекозы обычно откладывают яйца прямо на воду, а равнокрылые заботливо пристраивают их на растениях.

Весной из яиц вылупляются эмбриональные личинки с продолговатым телом. Они сразу же линяют и превращаются в наяд с хорошо развитыми конечностями. Наяды представляют собой малопривлекательных созданий грязно-бурого цвета У наяд нет крыльев, они скромно окрашены и живут в воде. Их туловище состоит из головы, часто с большими глазами, груди с двумя парами лап и брюшка, на котором находятся органы дыхания. Дыхание личинок стрекоз осуществляется за счет кислорода, растворенного в воде. Дыхательными органами служат листовидные трахейные жабры, находящиеся на заднем конце брюшка.

Наяды такие же хищники, как и взрослые стрекозы. Они быстро растут и за время развития линяют 9-15 раз. Под водой наяды могут развиваться до 6 лет, прежде чем превратятся в имаго.

Созревшая личинка выбирается из воды, бурая хитиновая оболочка лопается и из нее вылезает переливчатое насекомое. Еще оставаясь мягким, податливым, оно расправляет крылья и тельце, которое зачастую бывает в три раза длиннее самой личинки. На этой стадии своей жизни стрекоза всего уязвимее. Ее легко может склевать птица. Но стоит ей лишь подсохнуть, стоит затвердеть ее оболочке, и она способна ускользнуть от любой атаки.

Когда молодая стрекоза впервые поднимается в воздух, она выглядит еще довольно скромно, как будто ее метаморфозы не завершены. Только через несколько дней или даже недель она приобретает окраску взрослой особи. В это время стрекозы держатся вдали от воды и возвращаются к водоемам только с приходом брачного периода.

Стрекозы – выдающиеся авиаторы, прекрасно приспособленные к полету. Эти создания, способные развивать скорость до 50 км/ч, вдобавок еще и поднимают вверх добычу, весом вдвое больше собственного. Сконструированным человеком летательным аппаратам до сих пор не удалось сравниться с этим достижением. Стрекозы могут стартовать с места назад, внезапно сменять направление на обратное и также внезапно останавливаться, парить на месте, даже проделывть на лету сальто.

Каждое из их четырех крыльев напоминает экстентрично расположенные качели. Игра двух мышечных связок приводит крылья в движение со сравнительно небольшой частотой – до 50 ударов в секунду. Для сравнения, мухи, имеющие более современное устройство двигательных мышц, взмахивают крыльями до 200 раз в секунду. Однако, стрекозы едят мух, а не наоборот! Это объясняется устройством крыльев стрекоз и гениальной системой их управления.

Стрекозьи крылья, на вид сделанные из тончайшего целлофана, пронизаны сетью соединительных жилок. И расположены они при этом не в одной плоскости, а образуют поперечные зигзаги, подобно складкам веера, укрепляя тем самым летательную поверхность. Чтобы резко ускориться, стрекозам нужно привести свои крылья в движение одновременно. Замедление темпа связано с тем, что передние и задние крылья движутся в разном ритме. Волоски на голове и передней части туловища, а также короткие антенны между глаз позволяют улавливать малейшие изменения в воздушном потоке, корректируя скорость и направление.

В прохладные дни многие из этих искусных летунов остаются на земле: их мускулатуре, работающей на полет, нужна определенная температура. Некоторые виды, впрочем, умеют разогревать двигательный аппарат – их летательные мускулы начинают работать еще до полета.

Все эти приспособления делают стрекоз виртуозами аэродинамики.

Стрекозы – не только прирожденные летуны, они представляют собой уникальную машину для охоты. И имаго, и личинки являются жестокими и прожорливыми хищниками.

Личинка стрекозы большими, широко расставленными глазами исследует подводный мир. Ее глаза следят за приближением маленькой рыбки или другой добычи, затем все тело наяды медленно поворачивается вслед. Едва жертва приближается на достаточное расстояние, личинка стрекозы выбрасывает вперед хватательную маску. Обычно это охотничье оружие спрятано под головой. Внешне маска напоминает бороду и в длину составляет треть всего тела наяды. Личинка может расправить свой хватательный аппарат за доли секунды и поймать с его помощью рыбного малька, головастика или мушиную личинку.

Взрослые стрекозы хорошо приспособлены для охоты в воздухе на летающих насекомых. При этом они используют два основных метода: неравнокрылые стрекозы обычно обследуют территорию с воздуха, а равнокрылые (лютки, красотки и стрелки), как правило, поджидают добычу, сидя в засаде, а когда она приблизится – бросаются на нее.

Большинство стрекоз летает днем в самые жаркие часы, особенно много их по берегам водоемов. Во время охоты стрекозы надеются только на зрение – обоняние не помогает им в охоте. Большие сложные глаза этих насекомых улавливают любое, даже самое легкое движение. Когда потенциальная добыча приближается, ее изображение переходит из одного простого глазка в другой. Стрекоза двигает головой так, чтобы сделать изображение максимально четким. Прекрасное зрение сопровождается уникальными способностями к полету, о которых мы уже говорили.

В воздухе стрекозы бросаются на добычу с расставленными в стороны ногами, которыми они, как корзиной, захватывают жертву. Пойманную добычу они начинают поедать еще в полете.

Стрекозы очень прожорливы. Например, в тропиках эти беспощадные охотники за неделю уничтожают до 800 комаров, укус которых вызывает жестокую лихорадку.

И хотя стрекозы принадлежат к отряду Odonata, что примерно значит "зубастые", человека они могут только ущипнуть. А потому мы имеем уникальную возможность наблюдать за этими прекрасными насекомыми и продолжать исследование их необыкновенных способностей.

Что же касается темы нашего проекта, то отметим еще раз, что стрекоза является наиболее точной моделью золотой пропорции в природе. Отношение длин брюшка и груди равно отношению общей длины тела к длине брюшка.

Прикладная часть. Макет стрекозы.

Математические расчеты.

Прежде чем приступать к изготовлению макета стрекозы нами были произведены расчеты на основе золотой пропорции и природных особенностей строения этого насекомого. В результате мы получили следующую пропорцию: длина брюшка : длина груди = общая длина туловища : длина брюшка, то есть

29 см : 17,5 см = 48 см : 29 см

Таким образом, мы располагали следующими параметрами макета стрекозы:

• общая длина тела – 48 см

• длина брюшка – 29 см

• длина груди – 17,5 см

• длина головы – 7 см

• обхват брюшка – 22 см

• обхват груди – 26 см

• обхват головы с глазами – 32 см

• длина крыльев – 29 см

• ширина крыльев – 16 см

• длина конечностей – 29 см

Этапы изготовления макета.

Макет стрекозы изготавливался нами в четыре этапа.

1. Изготовление туловища и головы.

• Расходные материалы: воздушные шарики округлой и вытянутой формы, хлопчатобумажные нитки, клей ПВА, клей "Момент", вата, нитрокраска, проволока.

• Инструменты: швейные иглы, ножницы, шило, линейка.

• Ход работы.

Для создания брюшка и груди были надуты два вытянутых воздушных шарика соответствующей длины, а для головы, глаз и ротовой маски – три шарика округлой формы. Затем вдели нитки в иголки, проткнули пластиковые емкости с клеем ПВА в их нижней части и пропустили через них нитки. Нитками, пропитанными ПВА, тщательно обмотали шарики и дождались их полного высыхания.

Когда эти заготовки высохли, шилом были проткнуты шарики в коконе из ниток. После этого на концах брюшка, груди и головы при помощи шила были сделаны небольшие отверстия. Затем мы отрезали небольшие отрезки проволоки, скрутили их спиралями и эти спирали вставили в отверстия. Таким образом, мы скрепили детали вместе.

Затем места соединения деталей мы обмотали толстыми шерстяными нитками и залили клеем "Момент". Туловище и голова макета, были покрашены аэрозольной нитрокраской медного цвета.

Ротовая маска и глаза были созданы посредством распиливания маленьких округлых коконов и наполнения их ватой. Глаза и ротовая маска были приклеены к голове клеем "Момент". Затем посредством аэрозольной нитрокраски фиолетового были покрашены глаза.

2. Изготовление конечностей.

• Расходные материалы: проволока, нитрокраска.

• Инструменты: ножницы, линейка, плоскогубцы.

• Ход работы.

При помощи линейки были отмерены и отрезаны отрезки проволоки соответствующей длины. Затем плоскогубцами проволока была изогнута в соответствии с анатомическими особенностями строения конечностей стрекозы. После этого заготовки были окрашены медной нитрокраской.

3. Изготовление крыльев.

• Расходные материалы: проволока, целлофан, тонкий шелковый шнур, клей "Момент", ватман

• Инструменты: карандаш, ластик, линейка, плоскогубцы, ножницы, маркер

• Ход работы.

На листе ватмана была при помощи линейки, карандаша, ластика была вычерчена выкройка крыла. Затем по выкройке из проволоки собран каркас крыльев. На него приклеен целлофан, который после высыхания обрезан строго по контуру крыла.

На целлофан клеем "Момент" приклеены отрезки тонкого шелкового шнура в качестве основных прожилок крыла. Мелкие прожилки нарисованы черным маркером.