Замечательные кривые в начертательной геометрии

В настоящее время нелегко указать ту или иную область человеческой деятельности, где бы не применялась начертательная геометрия. Являясь теоретической основой черчения, начертательная геометрия широко используется во всех областях машиностроения, приборостроения, строительства, легкой промышленности и т. п.

Начертательная геометрия широко применяется при решении различных задач в физике, механике, астрономии, химии, при выполнении чертежей горных разработок, в картографии и т. п.

Особенно велико ее значение в формировании основ графической грамоты. Как вам уже известно, в настоящее время без чертежей не может обходиться ни одно производство. Чертежи входят в паспорта оборудования, в технические документы, инструкции и справочники и т. п. Языком техники, каким является чертеж, должен владеть не только инженер или техник, но и каждый рабочий, какой бы специальности он ни был. От рабочих теперь требуется умение обращаться со сложными станками и оборудованием, точнейшими измерительными и контролирующими аппаратами, требуется знание сложных расчетов и чертежей. В этих условиях овладение основами графической грамоты приобретает особое значение.

Построение проекций фигуры сечения цилиндра плоскостью.

В сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси вращения, получается прямоугольник Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, в сечении прямого кругового цилиндра получится окружность . Если секущая плоскость наклонена к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс . Форму эллипса имеют очертания некоторых технических деталей и их элементы в сечении (фланцы, шестерни, стержни, спицы маховика и др. ), поверхность воды в наклоненном стакане, некоторые световые пятна от лампы, по эллиптическим орбитам движутся планеты вокруг Солнца и т. д.

Столб Фиксатор Зубило Втулка строительные детали:

Укосина Врубка

Укосина Врубка

Форму цилиндра, усеченного наклонной плоскостью, имеют многие технические и строительные детали, предметы быта, слесарные инструменты и др.

Пример Построить проекции фигуры сечения цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью .

Решение. Фронтальная проекция фигуры сечения в этом случае совпадает с фронтальной проекцией плоскости, а горизонтальная — с горизонтальной проекцией цилиндра. Профильная проекция строится по двум данным — горизонтальной и фронтальной. Чтобы облегчить построение, можно провести на поверхности цилиндра несколько образующих. Для этого делят его горизонтальную проекцию на несколько частей. Затем с по мощью линий связи находят фронтальные и профильные проекции образующих. Точки, принадлежащие линии сечения, переносят с фронтальной проекции по линиям связи на соответствующие образующие. Через найденные точки проводят по лекалу кривую линию. Чем больше найдено точек, принадлежащих фигуре сечения, тем точнее построение.

Построение проекций фигуры сечения конуса плоскостью. В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса могут получиться различные фигуры . Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в сечении получается треугольник . В сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность Если секущая плоскость наклонна к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении могут получиться эллипс, парабола и гипербола.

Эллипс получается в том случае, когда угол между секущей плоскостью и осью вращения β больше, чем угол между осью вращения и образующей конуса a , т. е. плоскость пересекает все образующие конуса.

Если углы а и β равны, т. е. секущая плоскость проходит параллельно одной из образующих конуса, в сечении получается парабола. Эту кривую линию практически можно получить так: плоскость, освещаемую конусообразным пучком света, поставить параллельно одной из образующих абажура — конуса Световое пятно получится в форме параболы. Поверхность воды будет иметь в конусообразной колбе форму параболы, если расположить поверхность жидкости параллельно одной из образующих колбы. Параболу описывает струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде с постоянным уровнем. Параболическую форму придают профилю моста, благодаря чему он наиболее плавно соединяется с прямыми участками дороги; такую же форму имеют некоторые своды. При укладке железнодорожных путей для постепенного, плавного перехода от прямолинейных. участков пути к криволинейным делается переходный участок в форме параболы. Параболическую форму имеют некоторые детали и их элементы. В технике широко используется поверхность, полученная в результате вращения параболы круг ее оси, — параболоид вращения. Эта поверхность используется при устройстве антенн, прожекторов и пр.

Если секущая плоскость, направленная под углом к оси вращения конуса, пересечёт его так, что угол β будет меньше угла а, то в сечении получится гипербола . Гипербола имеет две ветви, так как коническая поверхность двуполостная.

Такую кривую можно увидеть в комнате, в которой лампочка находится под коническим абажуром и свет от нее падает на вертикальную стену (граница между освещенной и затемненной частями стены имеет форму гиперболы).

Гиперболу можно получить в конусообразной колбе, если поверхность жидкости расположить параллельно оси вращения колбы.

Свойствами гиперболы пользуются ученые и инженеры при расчете паровых и газовых машин. По гиперболе движутся некоторые кометы, в мировом пространстве. Граненый карандаш, очинённый при помощи машинки в виде конуса, содержит дуги гиперболы. По этим дугам плоские грани карандаша пересекаются с конической частью. Гиперболы содержат поверхности гайки и головок болтов. Гиперболу можно увидеть в гипоидных передачах, передающих вращение между скрещивающимися валами при помощи зубчатых колес конической формы.

Интересным свойством обладает и гиперболоид — поверхность, получаемая вращением гиперболы вокруг ее оси уу1. Гиперболоид был использован известным русским инженером, академиком В. Г. Шуховым при разработке конструкций мачт, башен и опор. Форму конуса, усечённого наклонной плоскостью, имеют многие технические детали (сопло, гайка, клапан, клин, центр воронка и др. ). Приведем несколько примеров построения проекций линии сечения конуса плоскостью.

Пример 1 Построить проекции фигуры сечения конуса фронтально-проецирующей плоскостью, пересекающей все образующие конуса.

Решение, На фронтальной проекции фигура сечения совпадает с фронтальной проекцией плоскости. На горизонтальной проекции вначале определяем положение двух крайних точек а и b Они находятся с помощью линий связи, которые проводим от а' и b' — точек пересечения очерковых образующих конуса с фронтальной проекцией р' секущей плоскости Р

Горизонтальная проекция отрезка аb — большая ось эллипса.

Для определения малой оси делим а'b' пополам и отмечаем точки с' и d'. Через них проводим вспомогательную горизонтальную плоскость Q, которая пересечет коническую поверхность по окружности (радиус которой равен расстоянию от оси до очерковой образующей конуса), а заданную секущую плоскость Р по прямой. Пересечение этой прямой с окружностью определяет положение горизонтальных проекций точек c и d. Отрезок cd — малая ось эллипса.

Промежуточные точки, например 1 и 2, определяем построением, аналогично точкам с и d. Построив горизонтальные проекции достаточного числа точек, можно найти их профильные проекции. Построенные точки соединяют по лекалу.

Пример 2. Построить проекции параболы, получившейся в результате сечения конуса плоскостью, параллельной одной из его образующих

Решение. Так как секущая плоскость Q — фронтально-проецирующая, то фронтальная проекция линии сечения конуса (парабола) совпадает с ее фронтальной проекцией q'. Горизонтальную проекцию линии сечения строим следующим образом: находим проекцию k точки К с помощью линии связи по фронтальной проекции. Точки А и В лежат на окружности, т. е. на основании конуса. Промежуточные точки 3 и 4 находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Т, которая пересечет конус по окружности, а плоскость Q по прямой L. Для определения истинной величины параболы проведем вначале прямую (ось симметрии) параллельно фронтальной проекции q' секущей плоскости Q. Парабола будет ограничена точками А, В и К. Расстояние между точками А и В, а также 3 и 4, расположенными на перпендикуляре к оси симметрии, определяем по горизонтальной проекции.

Пример 3. Построить проекции гиперболы, получившейся в результате сечения конуса горизонтально-проецирующей плоскостью (параллельной двум образующим конус рис10).

Решение. Горизонтальная проекция гиперболы совпадает с одноименной проекцией секущей плоскости. Фронтальную и профильную проекции гиперболы необходимо построить. Вначале строим вершину гиперболы — точку К. Для этого через ось вращения конуса проводим плоскость Q, перпендикулярную заданной секущей плоскости Р (на чертеже q= P). Плоскость Q пересекает плоскость Р по прямой L, а поверхность конуса по образующей IS, пересечение фронтальной проекции образующей l'S с l определяет положение фронтальной проекции k'. Все остальные точки, принадлежащие фронтальной проекции гиперболы, построены, как в примере 2. Профильные проекции точек гиперболы строим по двум построенным проекциям.

Обратите внимание, точка А на фронтальной плоскости проекций невидима, следовательно, участок фронтальной проекции гиперболы от а' до т' невидимый. В точке t' фронтальная проекция линии сечения меняет видимость, поэтому ее называют точкой ограничения видимости.

На профильной проекции такой точкой является n'. Точки ограничения видимости лежат на крайних образующих конуса. Крайние линии, определяющие на чертеже границу проекции, называют очерковыми.

Следует иметь в виду, что кривая линия, полученная в сечении, будет построена тем точнее, чем больше точек, принадлежащих ей, будет найдено. Построенные точки соединяют по лекалу.

Чертеж шара, усеченного плоскостью. В сечении шаровой поверхности плоскостью всегда получается окружность. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Построить сечение шаровой поверхности горизонтальной плоскостью Р .

Решение. Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фронтальной проекцией плоскости. Горизонтальная проекция линии сечения — окружность, так как секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций и линия сечения на нее проецируется без искажения.

Величина радиуса окружности R определяется по фронтальной проекции, так как диаметр окружности-сечения проецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения.

Пример 2. Построить сечение шаровой поверхности горизонтально-проецирующей плоскостью Р .

Решение. Секущая плоскость не всегда параллельна фронтальной плоскости проекций. В этом случае окружность — линия сечения — проецируется на нее с искажением, в виде эллипса.

Построение начинают с определения положения характерных точек. Фронтальные проекции a'b' точек А и В строят по их горизонтальным проекциям а и b, в которых горизонтальная проекция секущей плоскости р пересекается с очерком шаровой поверхности. Отрезок а'b' — малая ось эллипса.

Для определения большой оси эллипса делаем следующее построение. Через центр шара О проводим горизонтально-проецирующую плоскость Q, перпендикулярную заданной секущей плоскости Р. Плоскости Q и Р пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой L. Через прямую L проводим вспомогательную фронтальную плоскость T, которая пересечет шаровую поверхность по окружности радиуса R. На фронтальной проекции из точки о' проводим окружность до пересечения с Г — получим точки с' и d'.

Отрезок с'd' — большая ось эллипса.

Промежуточные точки, например 1 и 2, находят построением, аналогично точкам С и D. Точки М и N лежат на главном меридиане. Их фронтальные проекции t' и n' являются границами видимости кривой. Участок t'b'n' кривой невидим.

Чем больше проведем вспомогательных фронтальных плоскостей, тем больше получим точек, принадлежащих эллипсу.

III. ПОСТРОЕНИЕ НА ЧЕРТЕЖЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЯМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ.

Построение на чертеже точек пересечения. В практике выполнения чертежей часто приходится решать задачи на построение точек пересечения прямой линии с поверхностью геометрического тела;

Рассмотрим примеры.

П р и м е р. Построить точки пересечения прямой с поверхностью треугольной призмы, т. е. найти точки входа и выхода ее .

Решение. Боковая поверхность призмы проецирующая, она перпендикулярна к плоскости проекций (в нашем примере к горизонтальной). Поэтому проекции точек пересечения А и В на горизонтальной проекции уже имеются — они совпадают с проекциями тех граней призмы, в которых они лежат. Отмечаем на горизонтальной проекции , точки а и b и с помощью линий связи находим на фронтальной проекции точки а' и b'. Линии обведены с учетом видимости участков прямой. Аналогично строят точки пересечения прямой с поверхностью цилиндра .

Если нужно найти точки пересечения прямой с поверхностью конуса, сферы и тора, поступают аналогично.

IV. ПОСТРОЕНИЕ ЧЕРТЕЖЕЙ ВЗАИМНО ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ

ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Большинство технических деталей, элементов архитектуры и предметов быта представляет собой сочетание различных геометрических тел. Пересекаясь между собой, они образуют на поверхности детали различные прямые или кривые линии. В техническом черчении, как вам известно, их называют линиями пересечения или линиями перехода.

Два многогранника пересекаются между собой по пространственным ломаным линиям.

Поверхность вращения с многогранником пересекается по линиям, состоящим из участков плоских кривых. Две поверхности вращения пересекаются между собой по плоским или пространственным кривым линиям.

Как строят линию взаимного пересечения двух поверхностей? Очевидно, для построения такой линии нужно найти точки, которые одновременно принадлежали бы обеим поверхностям.

Пример 1. Построить проекцию линии пересечения поверхностей цилиндра и треугольной призмы .

Решение. Изучая чертеж, можно установить, что эти поверхности пересекаются между собой по двум кривым линиям. Каждая из кривых — результат пересечения поверхности цилиндра с гранями призмы. В пересечении участвуют две наклонные грани призмы. Они направлены под некоторым углом к оси вращения цилиндра, следовательно, пересекут поверхность цилиндра по эллипсам. Таким образом, линия пересечения цилиндра, и призмы состоит из двух эллипсов, точнее, из двух полуэллипсов.

Покажем на этом примере, как находят линию взаимного пересечения двух тел.

Рассматривая чертеж на рис. 17, замечаем, что горизонтальная проекция линии пересечения тел совпадает с горизонтальной проекцией поверхности цилиндра. Профильная проекция этой линии совпадает с профильной проекцией граней призмы, так как эти грани — профильно-проецирующие плоскости. Следовательно, на чертеже нужно строить лишь фронтальную проекцию линии пересечения. Поскольку цилиндр расположен симметрично относительно граней призмы (см. профильную и горизонтальную проекции), участки кривой линии, расположенные на передней и задней гранях призмы, на фронтальной проекции совпадут. Из них линия АЕСМB видима, а линия AKDNB на фронтальной проекции невидима.

Начиная построение, прежде всего выявим точки, которые могут быть найдены без дополнительных построений. Такими являются точки А и В. "Они находятся в пересечении фронтальных проекций контурных (крайних) образующих цилиндра с фронтальной проекцией ребра призмы (точки а' и b' на чертеже).

Аналогично могут быть найдены точки С и D на профильной проекции С помощью линии связи они перенесены с профильной проекции на фронтальную. Точки А, В, С и D опорные (или характерные).

Для того чтобы найти промежуточные точки (например Е, М, К и N), обе поверхности пересекают какой-нибудь проецирующей плоскостью или плоскостью уровня, находят линии пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданных поверхностей. Такой плоскостью является горизонтальная — Р. Плоскость Р пересекает грани призмы по двум прямым линиям, а цилиндр по окружности. Эти линии пересекаются в точках (на чертеже точки Е, М, К и N), которые принадлежат одновременно и поверхности цилиндра (лежат на окружности, которая принадлежит цилиндру), и поверхности призмы (лежат на прямых линиях, которые принадлежат граням призмы). Таким образом, точки Е, М, К, N принадлежат линии пересечения данных поверхностей.

Обратите внимание, что линии пересечения граней призмы плоскостью Р найдены сначала на профильной проекции, а затем с помощью линии связи перенесены на горизонтальную проекцию призмы. Точки е, t, k и n пересечения их с окружностью при помощи линий связи перенесены на фронтальную проекцию (на p'). Построенные точки соединяют по лекалу.

Итак, для того чтобы построить линию пересечения поверхностей, используют вспомогательные плоскости. Их выбирают такими, чтобы они пересекали поверхности по простейшим линиям (окружности, прямой линии).

Заметьте — одни и те же точки могут быть получены пересечением поверхностей различными плоскостями. (Какую можно выбрать еще плоскость, чтобы получить точки Е и M?)

Следует также иметь в виду, что часто одна или обе пересекающиеся поверхности являются проецирующими, т. е. перпендикулярными к той или иной плоскости проекций. Линия пересечения таких поверхностей на чертеже на одной или двух плоскостях проекций уже имеется. Поэтому следует лишь найти способ перенесения точек линии пересечения с одной плоскости проекций на другую.

Рассмотрим примеры построения линий взаимного пересечения поверхностей вращения.

Пример 2. Построить проекцию линии взаимного пересечения двух цилиндров.

Решение. Два цилиндра разных диаметров пересекаются между собой по двум пространственным кривым линиям. Некоторые точки этой линии могут быть найдены без дополнительных построений. Например, точка 1 (и ей симметричная) находится по профильной проекции, точку 2 (и ей симметричную) легко определить по фронтальной проекции. Для построения промежуточных точек использована вспомогательная плоскость Q. Она рассекает цилиндр c горизонтальной осью по двум прямым линиям — образующим, а цилиндр с вертикальной осью — по окружности. Последовательность нахождения этих точек 3 и 4 показана стрелками. Найденные точки соединены по лекалу.

П р и мер 3. Построить проекции линии пересечения цилиндра и конуса .

Решение. Рассмотрите чертеж и наглядное изображение пересекающихся между собой цилиндра и конуса. Найдите на чертеже точки, которые могут быть определены без вспомогательных построений. Очевидно, это точки 1, 2, 3 и 4 и им симметричные Стрелками на чертеже показана последовательность построения соответствующих проекций точек. Так, точки 1' и 3" на фронтальной проекции определены как точки пересечения очерковых образующих цилиндра b'с' и d'е' с очерковой образующей конуса a's'. Точки 2" и 4" на профильной проекции — как точки пересечения очерковой образующей конуса k"s" с проекцией цилиндрической поверхности. По этим проекциям точек определены две другие их проекции.

Промежуточные точки найдены с помощью горизонтальной плоскости Т. Эта плоскость рассекает цилиндр по образующим, а конус — по окружности радиуса R. Истинную величину радиуса находят на профильной проекции конуса. На горизонтальной проекции проводят окружность радиуса R и две прямые линии, по которым плоскость рассекает цилиндр (их переносят с помощью вспомогательной прямой с профильной плоскости проекций). В месте пересечения этих линий находят 4 точки.

По горизонтальным проекциям найденных точек с помощью линий связи строят остальные проекции. Последовательность построения показана стрелками.

Пример 4. Построить проекции линии взаимного пересечения цилиндра и шара.

Решение. На чертеже пересекаются поверхности цилиндра и полусферы. Подобные примеры часто встречаются при построении чертежей технических деталей (крышек, корпусов и пр. ). Ряд точек, принадлежащих линии пересечения, находят без вспомогательных построений (например, точки, лежащие в пересечении очерковых линий). Другие точки строят с помощью вспомогательных плоскостей.

Следует иметь в виду, что точки линии пересечения поверхностей могут быть получены по-разному. Так, точки А и В найдены в пересечении обеих поверхностей горизонтальной плоскостью Р. Точки С и D найдены в пересечении сферы и цилиндра фронтальной плоскостью Q.

Каким же плоскостям следует отдавать предпочтение? Прежде всего тем, которые дают в сечении поверхностей простейшие линии. В обоих случаях — линии простейшие. Поэтому надо выбрать ту из них, которая поможет найти наибольшее количество точек. Если в этом смысле плоскости дают одинаковый результат, исходят из минимального количества необходимых построений.

В нашем примере в первом случае таких построений меньше. Для этой цели рассмотрите чертеж и сравните выполненные построения. Иногда, с тем чтобы более точно построить линию, приходится в одном примере использовать различно расположенные секущие плоскости

Пример 5. Построить проекцию линии пересечения двух цилиндров одинакового диаметра.

Решение. Если диаметры пересекающихся цилиндров равны, то линии их пересечения-эллипсы . Показан случай, когда цилиндры одинакового диаметра пересекаются под некоторым углом, отличным от прямого. Линии пересечения их также эллипсы.

Пример 6. Построить профильную проекцию цилиндра со сквозным цилиндрическим отверстием .

Решение. При вычерчивании профильной проекцииследует построить линию пересечения этих цилиндров. Точки а" и b" (и им симметричные) на профильной плоскости проекций находят без дополнительных построений. Их переносят с помощью линий связи с фронтальной проекции. Точки с" и d" (и им симметричные) и другие строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей (как в примерах 1, 2, 3). Кроме того, их можно построить, как обычно, по двум заданным проекциям. Например, по фронтальной е" и горизонтальной е проекциям точки Е построена третья е". Последовательность построения показана стрелками.

V. Решение практических задач с помощью построения чертежей геометрических тел.

Задача №1

Луна освещена солнечными лучами, направление которых L. Изобразить серп Луны, наблюдаемый с Земли.

Решение. Наблюдаемый с Земли серп представляет собой проекцию части поверхности Луны. Она заключена между двумя полуокружностями, образованными пересечением Луны с плоскостями Р и Q. Линия пересечения Луны с плоскостью Q на фронтальной плоскости проекций совпадает с очерковой линией шара. С плоскостью Р шар пересекается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость в виде эллипса. Положение плоскости Р определяется направлением освещения Луны солнечными лучами L. Плоскость Р должна быть перпендикулярна L.

Характерные точки эллипса: К (k') лежит в горизонтальной плоскости, проходящей через центр О (о') Луны (ее крайнее положение этой плоскости фиксируется горизонтальной проекцией точки k), А и В (а' и b') определяются как полюсные.

a' m' o' k' l n' b' l

A=B=O R

Для нахождения промежуточных точек выполняем следующее построение: а) вводим вспомогательную, фронтальную секущую плоскость Т; б) строим на фронтальной плоскости проекций линию пересечения двух плоскостей — Т и Р, она перпендикулярна оси х, так как представляет собой горизонтально-проецирующую прямую. Затем строим линию пересечения плоскости Т с шаром — окружность радиуса R; в) точки m' и n' пересечения прямой с окружностью являются искомыми; г) последовательно соединяем точки a', m', k', n', b' и обводим контур серпа Луны.

Задача №2

Построите точки пересечения прямых линий с геометрическими телами.

1 2 Задача №3 Запишите какие геометрические фигуры

3получаются при пересечении цилиндра, конуса, и шара.

Круг мы увидим на рисунке 3а при сечении прямыми 4,5; на рисунке 3б при сечении конуса прямыми 2,5.

На рисунке 3в при сечении прямой 3

Параболу мы увидим при сечении прямыми 1,3,6 шара.

Эллипс мы увидим при сечении прямой 3 на рисунке 3а цилиндра

На рисунке 3б при сечении прямой 4 конуса

И на рисунке 3в при сечении прямыми 1,2 шара

При сечении конуса прямой 1 получим прямоугольник

Пи сечении прямой 2 конуса получим усеченный круг

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной работе я изучил некоторые главы из начертательной геометрии и самостоятельно решил несколько практических задач. Изученный материал поможет мне при поступлении и учёбе в техническом высшем учебном заведении. Данная тема привлекла меня своей практичностью и актуальностью. Я считаю, что это работа будет востребована мною на протяжении нескольких последующих лет.