Статистическое определение вероятности

Всей нашей жизнью правят законы вероятности. Кто знает, что ждёт нас завтра – выигрыш в лотерее или несчастный случай? Точно предсказать будущее невозможно. Но, обладая нужной информацией, можно просчитать степень вероятности того ли иного события в нашей жизни.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым.

Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах (Китае, Индии, Египте, Греции) уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения и даже определения численности войска неприятеля.

Но все-таки начало теории вероятностей как науки приписывают середине XVII века. Из исторических романов мы помним: это время королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных кавалеров. Как это ни парадоксально, с именем одного из них, причем реального исторического лица, связано начало теории вероятностей.

Следует сразу оговориться, что основоположником теории вероятностей считают великого ученого, математика, физика и философа Блеза Паскаля (1623-1662). Но полагают, что впервые он занялся теорией вероятностей под влиянием вопросов, поставленных перед ним одним из придворных французского двора шевалье де Мере (1607-1648). Блестящий кавалер, умный и развитый человек, де Мере увлекался философией, искусством и. был азартным игроком! Но игра, оказывается, тоже была для него поводом для довольно глубоких размышлений. Де Мере предложит Б. Паскалю два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам.

Вопросы были такие.

1. Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?

2. Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

Эти задачи обсуждались в переписке двух великих ученых Б. Паскаля и П. Ферма (1601-1665) и послужили поводом для первоначального введения такого важного понятия, как математическое ожидание, и попыток формулирования основных теорем сложения и произведения вероятностей.

Настоящую научную основу теории вероятностей заложил великий математик Якоб Бернулли (1654-1705). Его труд "Ars conjectandi" стал первым основательным трактатом по теории вероятностей. Он содержал общую теорию перестановок и сочетаний. А открытый им знаменитый закон больших чисел дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта.

Дальнейшие успехи теории вероятностей связаны, прежде всего, с именами ученых А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), К. Гаусса (1777-1855), С. Пуассона (1781-1840) и других.

1. 2. Что такое вероятность

1. 2. 1. Статистическое определение вероятности

За вероятность случайного события можно принять его относительную частоту, полученную в длительной серии экспериментов.

Оказывается, при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Многократно проводились опыты бросания однородной монеты, в которых подсчитывали число появлений "герба", и каждый раз, когда число опытов было достаточно велико, частота выпадения герба незначительно отличалась от 0. 5. Например, в нижеследующей таблице приведены результаты, полученные в XVIII веке французским естествоиспытателем Бюффоном (1707-1788) и в начале XX века – английским статистиком К. Пирсоном (1857-1936).

Таблица 1

Экспериментатор Опыты Выпало гербов Частота

   Бюффон 04 040 02 048 0. 5080

   К. Пирсон 12 000 06 014 0. 5016

   К. Пирсон 24 000 12 012 0. 5006

Описанное в примере явление, а также неоднократные наблюдения и других массовых явлений, позволяют сделать вывод, что если опыт повторяется в одинаковых условиях достаточно большое количество раз, то частота появления некоторого события колеблется около некоторой постоянной величины. Так, например, подсчитано, что частота рождения мальчиков составляет 0. 518, а девочек 0. 482.

Эту постоянную величину, к которой приближается частота событий, называют вероятностью этого события.

1. 2. 2. Классическое определение вероятности

Вероятностью P случайного события А с равновозможными исходами называется дробь , где n – число всех возможных исходов эксперимента, m – число исходов, благоприятных для события А.

1. 2. 3. Геометрическое определение вероятности

Вероятность – это отношение площади события А ко всей площади области, где случайно выбирается точка.

1. 2. 4. Аксиоматическое определение вероятности является более сложным и объединяет в себе классическое и геометрическое определения.

1. 2. 5. Задача об автобусах

Задача. Пусть необходимо добраться от станции метро «Сходненская» до некоторой точки (на схеме красным цветом). Это можно сделать тремя способами: на 96-ом автобусе, на автобусе Т и на троллейбусе №70. Причем 96 и Т отходят от одной остановки, а время, которое необходимо затратить каждому из транспортных средств, примерно одинаково (маршрут см. на схеме). Имеется расписание с интервалами движения (см. пункт 2). Необходимо рассчитать, на каком из автобусов (троллейбусов) можно доехать до пункта назначения, затратив минимальное время на ожидание транспорта, в разное время суток и день недели(будни/выходные).

1.  Расписание (интервалы движения автобусов в будни/выходные)

Время 7-9 9-16 16-19 После 19

Автобус №96 11/13 11/13 11/10 17/17

Автобус Т 20/24 20/24 17/20 17/17

Троллейбус №70 7/11 11/10 9/11 27/26

2. Карта маршрутов.

3.  Решение.

А) 16-19 будние дни

Начнем с подсчета того, сколько автобусов каждого маршрута пройдет за один час.

• 70 троллейбус (интервал движения 9 минут)

Существует несколько вариантов прихода первого троллейбуса в час. Допустим, первый троллейбус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 7 штук: 1-ый-в 0, 2-ой в 9, 3-ий в 18, 4-ый – в 27, 5-ый -36, 6-ой – 45 и 7-ой в 54 минуты. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4 и 5 минут (в 0, в 1,в 2,3,4,5 – 6 случаев). Если же первый приходит в 6,в 7 или в 8 мин (ещё 3 случая), то количество троллейбусов в час в этом случае становится равно 6. Если первый автобус пришел в 6 минут, то остальные в 15, в 24, в 33, 42 и в 51 минуту. Получилось 9 случаев, в 6 из них приедет 7 троллейбусов, а в 3 – 6 троллейбусов. Вероятность того, что придет 7 тр. – 6/9, а 6 тр. – 3/9.

• 96-ой автобус (11 мин) и Т (17 мин)

Аналогично предыдущему случаю, рассчитываем кол-во автобусов в час:

1) 96-ой. Существует несколько вариантов прихода первого автобуса в час. Допустим, первый автобус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 6 штук: 1-ый-в 0, 2-ой в 11, 3-ий в 22, 4-ый – в 33, 5-ый - 44 и 6-ой – в 55 минут. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4 и 5 минут (в 0, в 1,в 2,3,4 – 5 случаев). Если же первый приходит в 5, в 6, в 7 , в 8, в 9 или в 10 мин (ещё 6 случаев), то количество автобусов в час в этом случае становится равно 5. Если первый автобус пришел в 5 минут, то остальные в 16, 27, в 38 и в 49 минут. Получилось 11 случаев, в 5 из них приедет 6 автобусов, а в 6 – 5 автобусов. Вероятность того, что придет 6 авт. –5/11, а 5 авт. – 6/11.

2) Т. Существует несколько вариантов прихода первого автобуса в час. Допустим, первый автобус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 4 штуки: 1-ый-в 0, 2-ой в 17, 3-ий в 34, 4-ый – в 51 минуту. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4,5,6,7 или 8 минут (в 0, в 1, в 2,3,4,5,6,7,8 – 9 случаев). Если же первый приходит в 9, в 10 , в 11, в 12, в 13, в 14, в 15 или в 16 мин (ещё 8 случаев), то количество автобусов в час в этом случае становится равно 3. Если первый автобус пришел в 9 минут, то остальные в 26, и в 43 минуты. Получилось 17 случаев, в 9 из них приедет 4 автобуса, а в 8 – 3 автобуса. Вероятность того, что придет 4 авт. – 9/17, а 3 авт. – 8/17.

Составим схему, выражающую все варианты количества пришедших в час автобусов 96 и Т.

Таким образом, за один час на остановку 96/Т может прийти 8, 9 или 10 автобусов. Рассчитаем вероятность каждого случая.

1) Вероятность того, что на остановке будет 8 авт. /час:

2) Вероятность того, что на остановке будет 9 авт. /час:

Таких случаев у нас 2, поэтому необходимо применить теорему о сложении вероятностей:

3) Вероятность того, что на остановке будет 10 авт. /час:

Таким образом, вероятнее всего на остановку 96/Т прибудет 9 автобусов. На остановку троллейбуса №70 за час придет 7 троллейбусов. 9 > 7, следовательно, в будние дни с 16 до 19 ехать лучше от остановки 96/Т автобусов.

Б) 9-16 выходные

Начнем с подсчета того, сколько автобусов каждого маршрута пройдет за один час.

• 70 троллейбус (интервал движения 10 минут)

Существует несколько вариантов прихода первого троллейбуса в час. Допустим, первый троллейбус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 6 штук: 1-ый-в 0, 2-ой в 10, 3-ий в20, 4-ый – в30, 5-ый -40, и 6-ой в 50 минут. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4,5,6,7,8,9 минут (в 0, в 1,в 2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 случаев). Получилось 10 случаев, в 10 из них приедет 6 троллейбусов. Вероятность того, что придет 6 тр. – практически 100%.

• 96-ой автобус (13 мин) и Т (24 мин)

Аналогично предыдущему случаю, рассчитываем кол-во автобусов в час:

1) 96-ой. Существует несколько вариантов прихода первого автобуса в час. Допустим, первый автобус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 6 штук: 1-ый-в 0, 2-ой в 13, 3-ий в 26, 4-ый – в 39, 5-ый – в 52 минуты. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4,5,6 и 7 минут (в 0, в 1,в 2,3,4,5,6,7 – 8 случаев). Если же первый приходит в 8, 9,10,11, или в 12 мин (ещё 5 случаев), то количество автобусов в час в этом случае становится равно 4. Если первый автобус пришел в 8 минут, то остальные в21, 34, и в 47 минут. Получилось 13 случаев, в 8 из них приедет 5 автобусов, а в 5 – 4 автобуса. Вероятность того, что придет 5 авт. – 8/13, а 4 авт. – 5/13.

2) Т. Существует несколько вариантов прихода первого автобуса в час. Допустим, первый автобус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 3 штуки: 1-ый-в 0, 2-ой в 24 и 3-ий в 48 минут. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 или 11 минут (в 0, в 1,в 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 –12 случаев). Если же первый приходит в 12, в 13, в 14, в 15, 16,17,18,19,20,21,22 или в 23 мин (ещё 12 случаев), то количество автобусов в час в этом случае становится равно 2. Если первый автобус пришел в 12 минут, то другой в 38 минут. Получилось 24 случая, в 12 из них приедет 3 автобуса, а в 12– 2 автобуса. Вероятность того, что придет 3 авт. – 12/24 , а 2 авт. – 12/24.

Составим схему, выражающую все варианты количества пришедших в час автобусов 96 и Т.

Таким образом, за один час на остановку 96/Т может прийти 6,7 или 8 автобусов. Рассчитаем вероятность каждого случая.

1) Вероятность того, что на остановке будет 6 авт. /час:

2) Вероятность того, что на остановке будет 7 авт. /час:

Таких случаев у нас 2, поэтому необходимо применить теорему о сложении вероятностей:

3) Вероятность того, что на остановке будет 8 авт. /час:

Таким образом, вероятнее всего на остановку 96/Т прибудет 7 автобусов. На остановку троллейбуса №70 за час придет 6 троллейбусов. 7 > 6, следовательно, в выходные дни с 9 до 16 ехать лучше от остановки 96/Т автобусов.

В) 7-9 будние дни

Начнем с подсчета того, сколько автобусов каждого маршрута пройдет за один час.

• 70 троллейбус (интервал движения 7 минут)

Существует несколько вариантов прихода первого троллейбуса в час (считаем, что час начинается с момента прихода на остановку, поэтому точное время не важно). Допустим, первый троллейбус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 8 штук: 1-ый-в 0, 2-ой в 7, 3-ийв 14, 4-ый - в21, 5-ый -28, 6-ой – 35, 7-ой в 49 и 8-ой в 56 минут. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4, 5 и 6 минут (в 0, в 1,в 2,3,4,5,6 – 7 случаев). Получилось 7 случаев, в 7 из них приедет 8 троллейбусов. Вероятность того, что придет 8 тр. – практически 100%.

• 96-ой автобус (11 мин) и Т (20 мин)

Аналогично предыдущему случаю, рассчитываем кол-во автобусов в час:

1) 96-ой. Существует несколько вариантов прихода первого автобуса в час. Допустим, первый автобус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 6 штук: 1-ый-в 0, 2-ой в 11, 3-ий в 22, 4-ый – в 33, 5-ый - 44 и 6-ой – в 55 минут. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4 и 5 минут (в 0, в 1,в 2,3,4 – 5 случаев). Если же первый приходит в 5, в 6,в 7 ,в 8, в 9 или в 10 мин (ещё 6 случаев), то количество автобусов в час в этом случае становится равно 5. Если первый автобус пришел в 5 минут, то остальные в 16, 27, в 38 и в 49 минут. Получилось 11 случаев, в 5 из них приедет 6 автобусов, а в 6 – 5 автобусов. Вероятность того, что придет 6 авт. –5/11, а 5 авт. – 6/11.

2) Т. Существует несколько вариантов прихода первого автобуса в час. Допустим, первый автобус приходит в 00 минут, тогда за час их придёт 3 штуки: 1-ый-в 0, 2-ой в 20, 3-ий в 40 минут. Столько же придет, если первый – в 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 или 19 минут (в 0, в 1,в 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16. 17,18,19 – 20 случаев). Получилось 20 случаев, в 20 из них приедет 3 автобуса. Вероятность того, что придет 3 авт. – практически 100%.

Составим схему, выражающую все варианты количества пришедших в час автобусов 96 и Т.

Таким образом, за один час на остановку 96/Т может прийти 8 или 9 автобусов. Рассчитаем вероятность каждого случая.

1) Вероятность того, что на остановке будет 8 авт. /час:

2) Вероятность того, что на остановке будет 9 авт. /час:

Таких случаев у нас 2, поэтому необходимо применить теорему о сложении вероятностей:

Выходит, что вероятнее всего на остановку 96/Т прибудет 8 автобусов. На остановку троллейбуса №70 за час придет 8 троллейбусов. 8 = 8 →в будние дни с 7 до 9 всё равно от какой остановки ехать. Аналогичными вычислениями получаем ответ задачи – таблицы с результатами[2].

4. Ответ и итог задачи.

• Количество автобусов в час (в скобках наиболее вероятное)

A) Будние дни

Время 7-9 9-16 16-19 После 19

№ автобуса

96/Т 8-9 (8) 8-9 (8) 8-10 (9) 7 (7)

Троллейбус №70 8 (8) 5-6 (5) 6-7 (7) 2-3 (2)

Б)Выходные

Время 7-9 9-16 16-19 После 19

№ автобуса

96/Т 6-8 (7) 6-8 (7) 9 (9) 7 (7)

Троллейбус №70 5-6 (5) 6 (6) 5-6 (5) 2-3 (2)

• На каком лучше ехать?

Время 7-9 9-16 16-19 После 19

День будни

001 001/1000 500

005 005/1000 050

020 020/1000 010

974 974/1000 000

Итак, на все 1000 билетов выплачивается общая сумма 1·$500 + 5·$50 + 20·$10 = $950, или в среднем $0. 95 на каждый билет. Этот показатель называется ожидаемый выигрыш (Expected Return, ER). Если из дохода вычесть наши расходы (цена билета), то получим $0. 95-$1=-$0. 05 - средний результат (Edge, Profit). В данном случае получилось, что играть в эту лотерею не выгодно: в среднем каждый билет проигрывает $0. 05.

А как же рассчитать ожидаемый выигрыш для других игр? В общем случае ожидаемый выигрыш считается как математическое ожидание выигрыша, а средний результат считается как математическое ожидание результата игры. Действительно, результат из примера можно получить и по этой формуле:

Ожидаемый выигрыш: сумма по всем случаям произведений вероятности на выигрыш 500·1/1000 +50·5/1000 + 10·20/1000 + 0·974/1000 = 0. 95

Средний результат: сумма по всем случаям произведений вероятности на результат игры (500-1) ·1/1000 + (50-1) ·5/1000 + (10-1) ·20/1000 + (0-1) ·974/1000 = -0. 05

Для удобства часто ожидаемый выигрыш и средний результат вычисляются как процент от ставки или вложенных в игру денег: Ожидаемый выигрыш = 100% ·($0. 95/$1) = 95% Средний результат = 100% · (-0. 05/$1) = -5%

В процентном виде результат и ожидаемый выигрыш связаны формулой: Средний результат = ожидаемый выигрыш - 100%

Обычно средний результат является основной характеристикой игры, но, например, в видео покере принято использовать ожидаемый выигрыш.

Зная средний результат игры, можно достаточно уверенно спрогнозировать результат для достаточно длительного периода игры. Например, средний результат в рулетку составляет -2. 7%, значит после 1000 ставок по $1 баланс приблизительно составит -0. 027·$1000 = -$27. С другой стороны, средний результат позволяет сравнивать между собой различные игры. Очевидно, что выгоднее играть в те игры, результат которых больше. А на играх с положительным результатом можно даже с уверенностью заработать!

Да, это так, но менеджеры в казино очень любят считать деньги. К играм с положительным результатом относится блэк джэк и некоторые вариации видео покера. В первой игре надо уметь считать выходящие карты, а во второй - помнить около 20-30 правил обмена карт плюс исключения из правил. Это очень сложные игры, и если Вы не владеете серьезными навыками, то рассчитывать можете только на удачу. Средний результат предполагает, что игрок неукоснительно следует оптимальной стратегии в игре!

3. Исследование «случайного»

3. 1. Лотерея «Русское лото»

В этой части работы я рассмотрела 2 тиража известной лотереи «Русское лото» и подсчитала некоторые параметры. Рассмотрены следующие данные 679 и 681 тиражей лотереи:

✓ Кол-во билетов, участвовавших в тираже;

✓ Призовой фонд игры;

✓ Стоимость билета;

✓ Кол-во выигрышных билетов;

✓ Выигрыш каждого из них;

✓ Номера и порядок выпадения бочонков.

679 тираж

Джекпот – 3550000 руб.

Кубышка – 152236 руб.

В тираже участвовало 259620 билетов.

Призовой фонд игры 6490500 руб.

Выиграли 35897 билетов.

1) Шансы купить выигрышный билет. Выиграли 35897 билетов из 259620. Значит, вероятность купить выигрышный билет:

35897/259620=0,13826≈0,14≈14%

2) Ожидаемый выигрыш и средний результат этой лотереи.

Разыгрывается лотерея из 259620 билетов. Стоимость каждого билета 50 руб.

Итак, на все 259620 билетов выплачивается общая сумма: 6568099 руб. или в среднем 6218099/259620 = 2 3,95077 ≈ 23,95 руб. на каждый билет (ожидаемый выигрыш). Если из дохода вычесть наши расходы (цена билета), то получим 23,95 - 50 = - 26,05р. - средний результат. В данном случае получилось, что играть в эту лотерею невыгодно: в среднем каждый билет проигрывает 26,05р.

681 тираж

Джекпот – 840000 руб.

Кубышка – 204267 руб.

В тираже участвовало 274213 билета.

Призовой фонд игры 6855325 руб.

Выиграли 83113 билетов.

1) Шансы купить выигрышный билет.

Выиграли 83113 билетов из 274213. Значит, вероятность купить выигрышный билет:

83113/274213=0,30309 ≈ 0,3 ≈ 30%

2) Ожидаемый выигрыш и средний результат этой лотереи.

Разыгрывается лотерея из 274213 билетов. Стоимость каждого билета 50 р. Призы распределяются следующим образом .

Аналогично разбору предыдущего тиража, посчитаем ожидаемый выигрыш и средний результат:

6505325/274213= 23,72361≈23,72р. на каждый билет (ожидаемый выигрыш). 23,72 - 50 = - 26,28 р. - средний результат. В данном случае получилось, что играть в эту лотерею не выгодно: в среднем каждый билет проигрывает 26,28 р.

Сравнение результатов.

1) 14% < 30%. Вероятность купить выигрышный билет в 681 тираже была выше, чем в 679. Это можно объяснить тем, что бочонки выпадают случайным образом, то есть количество выигрышных билетов может различаться в разных тиражах. Так, например, в 679 тираже их было примерно в 2,5 раза меньше, чем в 681 тираже.

2) 26,05р. ≈ 26,28р. Средний результат примерно одинаковый, ведь лотерея была одна и та же (с одинаковыми правилами). Однако небольшая разница обусловлена тем, что вероятность купить выигрышный билет в 681 тираже была выше, чем в 679.

3. 2. Телеигры

Также я провела исследование одной из телеигр, которая называется «Вы-играй».

Правила игры

1) Выполнить задание игры

2) Угадать 3 номера из 16-ти (суперигра)

3) Дозвониться (в эфир попадает 1 человек из 200 дозвонившихся в течение 3-5 мин)

Допустим, вы выполнили задание правильно (обычно оно достаточно простое). Посмотрим, каковы шансы попасть в эфир:

Рассчитаем, какова вероятность угадать 3 числа из 16-ти. Для этого сначала посчитаем, сколькими способами можно выбрать 3 числа из 16-ти. Для этого подставим значения в формулу расчета числа сочетаний:

способов

Теперь вероятность:

Теперь посмотрим, сколько же человек может выиграть. Для этого перемножим вероятности:

, следовательно, выигрывает 1 человек из 112000.

3. 3. Азартные игры и общество

Я решила провести опрос, чтобы выяснить отношение разных людей к азартным играм, а также уровень знаний их по этой теме. В анкете присутствуют такие вопросы:

1.  Укажите Ваш возраст, пол и род занятий.

2. Как вы относитесь к азартным играм?

3.  Как вы думаете, насколько реально ли выиграть в какую-либо из них?

4.  Укажите, в какую из азартных игр, на Ваш взгляд, больше шансов выиграть?  

5.  Играли ли Вы когда-нибудь в азартные игры?

6. Как часто Вы играете в азартные игры?

7.  В какие азартные игры Вы когда-либо играли?

8.  Насколько успешно Вы играли в азартные игры?

9.  Назовите свой наибольший выигрыш.

10.  Назовите свой наибольший проигрыш.

В опросе участвовало 94 человека. Обработанные данные были представлены в виде диаграмм:

1. Разделение опрошенных по полу

2. Количество человек каждого рода деятельности, участвовавших в опросе

3. В какую игру больше шансов выиграть?

4. Количество играющих и неиграющих

5. Разграничение неиграющих людей по полу

6. Отношение к азартным играм

7. Реальность выигрыша

8. Насколько успешно люди играют в азартные игры?

Необходимо уточнить, что полученные результаты объективны в пределах круга опрошенных. А их выбор проводился в основном среди знакомых и друзей. Об этом можно судить по первой и второй из представленных выше диаграмм.

Далее я представлю некоторые выводы по результатам исследования общественного мнения об азартных играх.

1) Игра, в которую больше всего шансов выиграть – карточная.

2) Среди опрошенных 11% никогда не играли, а 89% –играли хоть раз в жизни. Причём из тех, кто никогда не играл, 40% мужчин и 60% женщин. Можно сделать вывод, что мужчины играют чаще.

3) Чаще всего отношение людей к азартным играм отрицательно, однако положительные и нейтральные отзывы тоже присутствуют.

4) 50 человек из 94 опрошенных считают, что шансы выиграть в азартную игру очень малы, причём 43 из них играли в азартные игры.

5) 30% опрошенных чаще проигрывали, чем выигрывали, а 16% – наоборот, у 44% примерно поровну выигрышей и проигрышей. Значит, выиграть в азартные игры сложнее, чем проиграть.

Эти выводы были сделаны мной в ходе собственных исследований, и об успехе результата говорит то, что выводы 1, 2, 3, 5 совпали с выводами ранее проведенных опросов другими людьми, результаты которых я также рассматривала. В частности, одно из таких исследований было проведено социологическим факультетом МГУ им. Ломоносова в 2006 году

Заключение

Изучая весь собранный материал о теории вероятностей и математической статистике, я познакомилась с новыми разделами этой замечательной науки, узнала, что же всё-таки такое «азартные игры», приобрела опыт по проведению социологических опросов, а также провела несколько исследований, результаты которых помогли мне понять всю важность «законов случайного». После проведения данной работы, могу с уверенностью сказать, что все поставленные цели и задачи выполнены, а тема раскрыта.

Выводы:

1. Существует 4 вида определений вероятности: статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое. Однако мной использовались лишь классическое (для решения комбинаторных задач) и статистическое (для обработки результатов опроса).

2. Авторская задача составлена и решена с использованием правил теории вероятностей.

3. Среди азартных игр различают игры случая, пари, игры на ловкость.

4. В лотерею «Русское лото» и телеигру «Вы-играй» играть не выгодно, и это можно доказать путем подсчета вероятности выигрыша.

5. Об успехе результатов проведенного мной социологического исследования говорит то, что некоторые выводы совпали с выводами ранее проведенных опросов другими людьми, результаты которых я также рассматривала.