Использование законов симметрии в математике и изобразительном искусстве

Наши любимые предметы в школе – это изобразительное искусство и математика, поэтому мы хотим изучить симметрию именно в этих науках. Так как глубоко познать на уроках эту тему невозможно, а в будущем, мы думаем, знания из этой области нам пригодятся, как в творчестве, так и в профессиональной деятельности, считаем выходом из этой ситуации – самостоятельное изучение, исследование этой данной темы.

Цель: обосновать многообразные проявления симметрии в математике и в изобразительном искусстве. Для достижения этой цели нам надо будет решить следующие задачи:

1) Изучить теорию симметрии.

2) Изучить симметрию в геометрических преобразованиях, графиках и функциях.

3) Изучить симметрию в изобразительном искусстве.

4) Обобщить полученные знания, сделать выводы.

Методы: Чтобы решить задачи мы воспользуемся

• Чтением и анализом художественной, научно-популярной литературы по данному вопросу.

• Решение геометрических преобразований, графиков, алгебраических примеров с помощью законов симметрии.

• Создание художественных образов симметрии с помощью рисунков, чертежей, схем с использованием программы PAINT.

• Для обобщения и выводов мы будем использовать такие методы, как анализ литературных источников, метод систематизации, классификации полученных результатов познавательной деятельности.

С симметрией мы встречаемся везде - в природных объектах и явлениях, в технике, науке, искусстве. Отметим, например, симметрию, свойственную дубовому листу или бабочке, симметрию форм велосипеда или автомобиля, симметрию глаз или рук, симметрию зданий (например, Софийский собор в Киеве). Также симметричны практически все транспортные средства, начиная с телеги и заканчивая реактивным лайнером. Это многие музыкальные инструменты (баян, скрипка) и предметы домашнего обихода (мебель, посуда). Смотреть на симметричные изображения гораздо приятнее, нежели на асимметричные.

II. Что такое симметрия?

Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется тот объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Другими словами это можно сказать так: симметрия фигуры – это любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т. е. обеспечивающее ее самосовмещение.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре. Так, фасады многих зданий обладают симметрией. В большинстве случаев симметричны (относительно оси или центра) узоры на коврах, тканях, обоях.

Принято считать, что именно соразмерность и упорядоченность, присущие симметричным объектам, предопределяют их красоту. Ведь такие объекты создают у нас представление о стабильности, порядке, умиротворенности, а потому и воспринимаются нами как красивые. А всякие же отклонения, случайные нарушения симметрии (обрушившийся угол здания), воспринимаются нами отрицательно, как нечто некрасивое, угрожающее нашей уверенности в стабильности и упорядоченности. С этим можно согласиться, однако вопрос о красоте, связанной с симметрией не так прост. Симметрия может вызывать не только положительные, но и отрицательные эмоции. Разве аккуратно подстриженные газон или дерево действительно красивее естественной лужайки или растущего в поле дуба? Разве однообразные симметричные здания не вызывают скуки? Поэтому при рассмотрении симметрии в нашем мире нужно принимать во внимание также асимметрию. В мире нет симметрии в «чистом виде», т. е. без асимметрии. Равно как и нет, по-видимому, асимметрии без симметрии. Абсолютно асимметричный мир (мир, где вообще нет симметрии) был бы полнейшим хаосом, это был бы полный беспорядок. Вполне очевидна абсурдность такого мира. Но и абсолютно симметричный мир (полностью упорядоченный) не менее абсурден. Реальный мир существует благодаря единству симметрии и асимметрии.

Рассмотрев понятие симметрии можно сделать следующие выводы:

➢ Симметрия встречается повсеместно как в человеческом творчестве так и в природе.

➢ Симметрия многообразна.

➢ Симметрия многолика: она связана с красотой и гармонией, целесообразностью и полезностью, упорядоченностью и уравновешенностью, пропорциональностью и соразмерностью частей.

➢ Весь наш мир, все существующие объекты и происходящие явления должны рассматриваться как проявление единства симметрии и асимметрии.

2 Осевая симметрия.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l в точку А, при этом отрезок АА' перпендикулярный l,называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т. е. А совпадает с А′.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l,а ось l называется ее осью симметрии.

2. 2 Центральная симметрия.

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А′, симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О. При этом центр О называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и другие.

3. Поворотная симметрия.

Поворот.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры (тела) на 180˚

Параллельный перенос.

Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом. Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор а.

Поворотная симметрия.

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360˚/n (или кратный этой величине), где n=2,3,4, В этом случае говорят о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.

У трехмерного объекта может быть несколько поворотных осей. Например, первый объект на данном рисунке имеет не одну, а три поворотные оси 2-го порядка, второй объект имеет наряду с поворотной осью 3-го порядка три поворотные оси 2-го порядка, третий объект имеет наряду с поворотной осью 4-го порядка четыре поворотные оси 2-го порядка (дополнительные поворотные оси показаны на рисунке штриховыми прямыми).

Рассмотрим куб. Легко сообразить, что он имеет три поворотные оси 4-го порядка. При более внимательном рассмотрении обнаруживаются шесть поворотных осей 2-го порядка, проходящих через середины противоположных параллельных ребер , а также четыре поворотные оси 3-го порядка, совпадающие с внутренними диагоналями куба . Таким образом, куб имеет всего 13 поворотных осей, среди которых встречаются оси 2-го, 3-го и 4-го порядков.

Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра. Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну поворотную ось бесконечно высокого порядка . Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.

4. Скользящая симметрия.

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

1) Отрезок переходит в равный ему отрезок.

2) Угол переходит в равный ему угол.

3) Окружность переходит в равную ей окружность.

4) Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т. д.

5) Параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

В стереометрии вводится еще один вид симметрии – симметрия относительно плоскости.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. В некоторых источниках, такую симметрию называют зеркальной. А зеркало не просто копирует объект, но и меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. В сравнении с самим объектом его зазеркальный двойник оказывается, вывернутым вдоль направления, перпендикулярного плоскости зеркала.

Примерами фигур – зеркальных отражений одна другой – могут служить правая и левая рука человека, правый и левый винты, части архитектурных форм, некоторые природные кристаллы и орнаменты.

Исторически сложилось, что именно зеркальная симметрия (ее называют геральдической) использовалась разными народами для изготовления предметов быта.

Типичен в этом отношении рисунок на известной серебряной вазы царя Шумеров Энтемены, правившего в городе Лагаше около 2700 г. до н. э.

На рисунке изображен орел с львиной головой и распростертыми крыльями. В когтях у него с каждой стороны по оленю, а на оленей нападают львы.

Перенесение точной симметрии, присущей орлу, на других животных заставило, очевидно, удвоить изображение. Позже орла стали изображать с двумя головами, смотрящими в разные стороны. Так требование симметрии полностью восторжествовало над принципом подражания природе. Затем этот геральдический мотив был обнаружен в Персии, в Сирии, а потом стал гербом Византии, символизируя устремленность государства как на запад, так на восток.

После падения Византии племянница ее последнего императора Софья Палеолог бежала в Рим, а оттуда была выдана замуж за великого князя московского Ивана III. Самым ценным приданным своей невесты жених считал ее родство с византийским императором, что давало ему повод объявить Москву третьим Римом, завладеть государственным гербом – двуглавым орлом – и объявить себя уже не великим князем, а государем (царем) всея Руси. Двуглавый орел хорошо послужил государству Российскому как символ объединения русских земель вокруг богатого города и умного, волевого лидера.

5. Зеркальная симметрия.

«Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку, которую мы вижу в зеркале «нельзя поставить на место настоящей руки». (Иммануил Кант. )

Все знают, что увидеть зазеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить объект перед зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности это не так. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (представляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у человека родинка находится на правой щеке, то у зазеркального двойника на левой.

Обратимся к более интересному примеру.

Если конус неподвижен, то его легко можно совместить со своим двойником.

Если же конус вращать относительно оси, проходящей через вершину, то направление вращения изменяется при отражении на противоположное. Теперь уже никакими перемещениями и поворотами нельзя совместить объект с зазеркальным двойником.

Впрочем, можно обойтись и без вращения конуса. Достаточно изготовить из конуса винт. Винт-объект и винт-двойник имеют разные направления нарезки: чтобы ввинтить в дерево винт-объект, надо вращать его головку по часовой стрелке, а чтобы ввинтить винт-двойник, - против часовой стрелки.

Пара зеркально асимметричных объектов (фигур), являющихся зеркальным изображением один другого, называются энантиоморфами.

Энантиоморфами могут быть отдельные объекты, но могут быть и половинки соответствующим образом разрезанного объекта. Чтобы различить энантиоморфы в данной паре, вводят обозначения «левой» и «правой».

Двумерные энантиоморфы можно совместить друг с другом, выполнив поворот в трехмерном пространстве, перевернуть плоскость обратной стороной.

А для совмещения трехмерных энантиоморфов требуется поворот в фантастическом четырехмерном пространстве. Поэтому для трехмерных энантиоморфов справедливо утверждение: никакие перемещения и повороты не в состоянии обратить левый энантиоморф в правый, и наоборот. Как бы не вертели левый ботинок, он никогда не подойдет к правой ноге.

2. 7 Зеркально-поворотная симметрия.

Вырежем из плотной бумаги квадрат и впишем внутрь его косо другой квадрат . Затем отогнем углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны). В результате получим объект. Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей симметрии. Будем рассматривать наше изделие сначала сверху, а затем снизу (с противоположной стороны листа бумаги). Мы обнаружим, что никакого различия между «верхом» и «низом» нет; в обоих случаях объект выглядит одинаково. В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта.

Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, - это так называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой в результате поворота на 90˚ вокруг оси АВ и последующего отражения в плоскости СDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка. Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух последовательно выполняемых операций – поворота на 90˚ и отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота.

6. Переносная (трансляционная) симметрия.

Рассмотрим плоскую фигуру. При переносе (трансляции) вдоль прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой. В этом случае говорят о переносной, или трансляционной симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а – элементарным переносом, или периодом. Строго говоря, симметричная по отношению к переносам фигура должна быть бесконечно длинной в направлении оси переноса. Однако понятие переносной симметрии применяют и в случае фигур конечных размеров, имея в виду наблюдаемое при переносе частичное совмещение фигуры. При переносе конечной фигуры на расстояние а вдоль прямой АВ наблюдается совмещение участков 1 и 2.

С переносной симметрией связано важное понятие двухмерной периодической структуры – плоской решетки. Плоская решетка может быть образована в результате пересечения двух семейств параллельных, равноотстоящих друг от друга прямых . Точки пересечения прямых называют узлами решетки. Чтобы задать решетку, достаточно задать ее элементарную ячейку и затем переносить эту ячейку параллельно самой себе вдоль прямой АВ на расстояния, кратные а, либо вдоль прямой АС на расстояния, кратные b. Заметим, что элементарную ячейку данной решетки можно выбрать разными способами. Так, можно выбрать в качестве элементарной ячейку. Однако можно было бы воспользоваться и любой из заштрихованных на рисунке ячеек.

Переносная симметрия плоской решетки полностью определяется совокупностью двух векторов. Различают пять типов плоских решеток (пять типов переносной симметрии на плоскости); они показаны на рисунке 8: а) a=b, y=90˚ (квадратная решетка); б) a≠b, y=90˚ (прямоугольная решетка); в) a=b, y=60˚ (гексагональная решетка); г) a=b, y≠90˚, y≠60˚ (ромбическая решетка); д) a≠b, , y≠90˚ (косая решетка).

С переносной симметрией в трехмерном пространстве связано понятие трехмерной периодической структуры – пространственной решетки. Такая решетка может рассматриваться как результат пересечения трех семейств параллельных плоскостей. Переносная симметрия трехмерной решетки определяется совокупностью трех векторов, задающих элементарную ячейку решетки. На рисунке 9 показана ячейка решетки, задаваемая векторами a, b, c. В простейшем случае длины всех ребер ячейки равны между собой, а углы между ребрами составляют 90˚. В этом случае говорят о кубической решетке. Всего же существует 14 типов пространственных решеток, различающихся по типу переносной симметрии. Иначе говоря, существует 14 типов решеток Бравэ (О. Бравэ – французский кристаллограф XIX века).

Итак, на плоскости мы имеем семь видов движений, переводящих фигуру F (тела) в равную фигуру F1 (тело):

1) Осевая симметрия (отражение от прямой).

2) Поворот вокруг точки (частичный случай – центральная симметрия).

3) Поворотная симметрия.

4) Скользящая симметрия.

5) Зеркальная симметрия.

6) Зеркально-поворотная симметрия.

7) Переносная (трансляционная) симметрия.

III. Симметрия вокруг нас.

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счет хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге «Архитектура XX века» он писал: «Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимосвязь. Чем совершение порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Он делает умозрительные построения, основываясь на порядок, который продиктован ему потребностями его психики, - это творческий процесс. Творчество есть акт упорядочения».

3. 1 Симметрия в ИЗО.

Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляются природой. В сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты.

Не говоря уже об архитектуре и скульптуре, симметрия господствует в изобразительном искусстве Древнего Египта, Древней Греции и Рима, Средневековья и Возрождения.

Зеркальная симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии. Композиция таких картин скучна, потому что симметрия слишком очевидна.

Сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами, как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор (храм Василия Блаженного) на красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора «кружатся» в своем асимметричном «танце», создавая впечатление радости и праздника.

В книге М. А. Ильина «Москва» читаем: «При первом взгляде на собор Василия Блаженного можно подумать, что количество архитектурных форм, примененных в нем, необычайно велико. Однако скоро становится ясно, что мастера воспользовались всего двумя архитектурными мотивами – формой восьмерика и полукружия. Если первая определяет граненые формы основных объемов, то вторая представлена значительным количеством вариантов, начиная от широких и спокойных арок подклета и кончая заостренными кокошниками. »

Симметрия и асимметрия в живописи.

Живопись весьма многообразна. Различают живопись монументально-декоративную (стенные росписи, плафоны, панно), станковую (картины), декорационную (декорации в театре и кино, роспись предметов обихода), миниатюру (в частности, иллюстрирование книг), иконопись.

Остановимся более подробно на симметрии – асимметрии в картинах художников. Для примера обратимся к известной картине В. И. Сурикова, хранящейся в Третьяковской галерее в Москве. Это «Боярыня Морозова».

Заметим, что картина – это отнюдь не цветная фотография. Художник тщательно обдумывает взаимное расположение фигур, сочетания поз и жестов, чередование цвета и т. п. Тем самым он добивается определенного эмоционального воздействия картины на зрителя. Используя асимметричные элементы, художник стремится создать произведение, обладающее как целое скрытой симметрией. О своей работе над картиной «Боярыня Морозова» Суриков писал: «А какое время нужно было, чтобы картина утряслась так, чтобы переменить ничего нельзя было. Действительные размеры каждого предмета найти нужно. Важно найти замок, чтобы все части соединить. Это – математика».

Конечно, трудно анализировать симметрию (или, как выразился художник, математику) такой довольно сложной картиной, как «Боярыня Морозова». Однако можно проделать простой опыт, позволяющий убедиться в том, что в картине действительно есть некая скрытая симметрия. Надо посмотреть на изображение в зеркале, то есть поменять в картине правое и левое. Оказывается, что при этом фактически исчезает эффект движения саней, пропадает внутренняя напряженность всей ситуации, изображенной на картине. Дело в том, что при разглядывании картины мы непроизвольно начинаем рассматривать изображение с левого нижнего угла, переходя взглядом к центру и опускаясь затем к правому нижнему углу. Вследствие такой особенности зрения художественное впечатление от картины оказывается зависящим от того, в каком направлении построена композиция.

Всякий раз, когда мы восхищаемся тем или иным произведением искусства, говорим о красоте, эмоциональности воздействия, мы тем самым фактически касаемся одной и той же неисчерпаемой проблемы – проблемы соотношения симметрии и асимметрии, их диалектического единства. Как правило, находясь в музее или концертном зале, любуясь архитектурными сооружениями или наслаждаясь высокой поэзией, мы не задумываемся над этой проблемой. Ведь нельзя одновременно (в один и тот же момент времени!) и воспринимать, и анализировать воспринимаемое. Но сам по себе анализ симметрии полезен. После того как он проведен, произведение искусства начинает восприниматься острее.

Особенно ярко симметрия – асимметрия проявляется в орнаментах (узоры, состоящие из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов). Как выразился А. С. Сонин, «богатство симметрии и красота орнаментов кажутся бесконечными». Ссылаясь для примера на азербайджанские и туркменские ковры, Сонин подчеркивает: «Фантазия мастеров ковров не имеет предела, хотя симметрия и диктует им свои строгие законы». Симметрия диктует законы, а асимметрия открывает простор для фантазии.

Орнамент – язык народа, душа народа. Узоры на одежде, обрядовых и бытовых вещах разных уголков России поражают разнообразием. Одни отличаются простотой. Другие, наоборот, сложным построением. Но все объединены «родственными» мотивами, восходящими к единому прототипу. Орнаментика развилась и стала выразительным декоративным искусством еще в Древнем мире. Искусство Египта и Передней Азии сумело извлечь из форм внешнего мира особые орнаментальные образы и использовать их для художественной обработки однообразных плоскостей, превратив последние из тяжелых в легкие, изящные и неповторимые.

Греческое искусство многое восприняло от египетского, от финикийского и ассирийского. Но все воспринятое переработано по-своему и создало, как в пластике, так и в архитектуре, свой совершенно не похожий на другие стиль. Он отличался математической и художественной ясностью и чистотой. Строгая симметрия геометрического орнамента, состоящего иногда из самой простой комбинации вертикальных и горизонтальных линий и прямых углов, передается греками как совершенная гармония. Самыми излюбленными орнаментами были меандр, листья аканта.

3. 2 Симметрия в математике.

Симметрия в алгебре.

1) Симметрические многочлены от 2-х переменных.

Многочлен от переменных x и y через P(x;y). Тогда P(x;y) означает многочлен, получаемый заменой P(x;y) переменной x на y, а y на x. Если выполняется равенство P(x;y)=P(y;x), то многочлен P(x;y) называют симметрическим. Например, симметрическими являются многочлены x+y и xy. В самом деле, при замене x на y и y на x из x+y получается равный ему многочлен y+x, a xy – равный ему одночлен yx.

Введем обозначения u=x+y и v=xy назовем y и v элементарными симметрическими многочленами от x и y.

Теорема: Для любого симметрического многочлена P(x;y) от x и y существует такой многочлен f(u;v) от u и v, что P(x;y)=f(x+y;xy).

Таким образом, любой симметрический многочлен от двух переменных x и y можно выразить в виде многочлена от u=x+y(δ1) и v=xy(δ2).

Пример. Р(х;у)=2x4-Зх3у+5х2у2–Зху3+2у4.

Сначала сгруппируем симметричные друг другу слагаемые и вынесем за скобки общие множители. Получим:

Р(х;у)=(2х4+2y4)-(Зх3у+Зху3)+5х2у2=2(х4+у4)-3ху(х2+у2)+5х2у2.

Так как u=х+у и v=ху, получаем:

Р(х;у)=2(x4+у4)-Зv(х2+у2)+5v2.

Выразим х2+y2 и х4+у4 через элементарные симметрические многочлены u и v.

х2+у2=(х2+2ху+у2-Зху)=(х+у)2-2ху=u2-2v.

2х4+у4=(x2)2+(у2)2=(х2+y2)v-2х2у2=(u2–2v)2–2v2=u2-4u2v+4v2-2v2=u2-4u2v+2v2.

2) Симметрические многочлены от 3-х переменных.

Определим понятие симметрического многочлена от 3-х переменных x;y;z. Три переменные можно переставлять друг с другом шестью различными способами: (x;y;z); (x;z;y); (y;x;z); (y;z;x); (z;x;y); (z;y;x).

Назовем P(x;y;z) симметрическим, если он не меняется при всех перестановках переменных, т. е. если

P(x;y;z)=P(x;z;y)=P(y;x;z)=P(y;z;x)=P(z;x;y)=P(z;y;x).

Пример: q1=x+y+z; q2=xy+x²+yz; q3=xyz.

Теорема: Любой симметрический многочлен от переменных x;y;z может быть выражен в виде многочлена Q1;Q2;Q3.

Пример: S2=x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+xz+zy)=Q1²-2Q²

S3=x³+y³+z³=Q³-3Q1Q2+3Q3.

3) Симметрические системы уравнений.

Система уравнений называется симметрической, если при замене x на y и y на x система не изменяется.

x3у + у3х = 8,

Например, 2ху+х2+у2=6.

При решении симметрических систем уравнений используют прием, основанный на введении новых переменных u=x+y и v=xy. Любой симметрический многочлен может быть записан в новых переменных u и v.

x³+y³=x³+3x²y+3xy²+y³-3x²y-3xy²=(x+y)²-3xy(x+y)=u³-3vu.

Пример 1. Решите систему уравнений.

ху+х+у=1, x2+у2=6.

Решение.

Сделаем замену х+у=u и ху=v, тогда v+u=1, u=1-v u=1-v, u2-2v=6; 1+v2-2v-2v-6=0; v2-4v-5=0;

v=-1, u=2; (1) v=5, u=-4 (2)

Вернемся к замене:

1) x+y=2,x=2-y,x=2-y, x=1±, xy=-1;2y- у2=-1;у2-2y-1=0;y=1±.

2) x+y=-4, x=-4-y , x=-4-y, xy=5; -4y- y2=5; y2+4y+5=0. решения нет.

Ответ: (1-;1+);(1+;1-).

Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций.

1. Основные формулы и утверждения.

Симметрия встречается и при построении графиков функций.

График четной функции симметричен относительно оси y , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат . График периодической функции имеет переносную симметрию вдоль оси x.

Функция y=f(x) с симметричной относительно начала координат О(0;0) областью определения D(f) называется:

• Четной, если для любого xD(f) выполняется равенство f(-x)=f(x);

• Нечетной, если для любого xD(f) выполняется равенство f(-x)=-f(x);

Пример: Показать, что функция y=x² является четной, а y=x³ нечетной.

Решение:

1) y=x²;

D(y)=R (область определения симметрична относительно начала координат);

Y(-x)=(-x)²=x²=y(x) – функция четная.

2) y=x³;

D(y)=R (область определения симметрична относительно начала координат);

Y(-x)=(-x)³=-x³=-y(x) – функция нечетная.

Для того, чтобы построить график четной функции, достаточно построить график при x0 и полученную часть графика отразить симметрично относительно оси ОУ.

Пример 1: Построить график функции y=x²+1.

Решение: D(y)=R;

Y(-x)=(-x)²+1=x²+1=y(x).

Функция y=x²+1 – четная.

1) Строим график функции y=x²+1 при x0.

2) Симметрично относительно оси ОУ отражаем часть графика при x0.

Пример 2: Построить график функции y=x³+2x.

Решение: D(y)=R;

Y(-x)=(-x)³+2(-x)=-(x³+2x)=-y(x) – функция нечетная.

1) Строим график функции y=x³+2x при x0.

2) Часть графика y=x³+2x при x0 отражаем симметрично относительно начала координат.

2. Переносная симметрия.

График функции f(x+c) получается параллельным переносом графика f(x) в отрицательном направлении оси OX на при c>0 и в положительном направлении при c<0.

Пример: Постройте график функции y=. Решение:

План построения:

1) Строим график функции y=(I).

2) График функции y=(II) получаем из графика функции y= параллельным переносом вдоль оси ОХ вправо на 1 единицу.

3. Построение графиков вида y= и y=f().

• График функции y= получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика y=f(x), лежащая над осью ОХ , сохраняется, часть его , лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

• График функции y=f()получается из графика функции y=f(x) следующим образом: при x0 график y=f(x) сохраняется, а при x<0, полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ.

IV. Заключение.

Итак, проделав эту работу, мы убедились, что симметрия – асимметрия играет большую роль, как в природе, так и в жизни человека. Что большинство растений и животных симметричны, также симметрия есть и в изобразительном искусстве, и математике.