Разрезание и складывание многоугольников

Начнем с главного правила разрезания и складывания:

Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно разбить (разрезать) на некоторые другие многоугольники, из которых затем можно составить второй многоугольник.

Равносоставленные многоугольники, конечно, имеют одинаковую площадь (равновелики), и поэтому свойство равносоставленности позволяет иногда получить формулы для вычисления площадей или сравнивать площади фигур (как говорят, методом разбиения или разложения). Примером является сравнение (вычисление) площадей параллелограмма и прямоугольника: проводится высота H, которая является стороной прямоугольника той же площади .

Таким же способом Евклид в своих знаменитых «Началах» (III в. До н. э. ) доказывал, что параллелограммы ABCD и ABC'D', имеющие общее основание и равные соответствующие высоты равновелики.

Докажем это утверждение. На прямой CD отложим последовательно ряд отрезков AB и через каждую точку деления проведем прямые, параллельные отрезкам AD и AD'. Тогда полоса между параллельными AB и CD разобьется на ряд многоугольников; Фрагмент этого разбиения полосы и показан на рисунке 2. Фигуры, отмеченные одинаковыми цифрами равны, так как при наложении совпадают.

При помощи разрезания и складывания американский ученый Генри Перигаль получил любопытное доказательство теоремы Пифагора. Его способ состоит в том, что квадраты со сторонами a и b (катеты треугольника, c – гипотенуза) прикладываются друг к другу, затем, полученная фигура разбивается на три части, из них составляется квадрат со стороной, равной гипотенузе c. .

Общий вопрос о равносоставленности двух многоугольников далеко не простой. Мне интересно было доказать удивительную теорему, в которой не только утверждается, что из любого данного многоугольника, посредством разрезания его на части, может быть сконструирован любой другой многоугольник той же площади, но и увидеть способ, как это можно сделать.

В этой теореме речь идет о так называемых простых многоугольниках. Простой многоугольник – это такой многоугольник, у которого граница состоит из одной замкнутой линии без самопересечений, и в каждой вершине этой ломаной сходится ровно два ее звена. Важным свойством простого многоугольника является тот факт, что он имеет, по крайней мере, одну внутреннюю диагональ.

Докажем, Что любой простой n-угольник имеет, по крайней мере, одну внутреннюю диагональ.

Используя это утверждение и принцип математической индукции, покажем, что: а) имеется ровно n – 3 различных внутренних диагонали; б) Сумма всех внутренних углов многоугольника равна (n – 2)π.

Указание. Рассмотрим самый большой по величине внутренний угол многоугольника и покажем, что из этой вершины видны две соседние стороны или их части (возможно, и несколько таких пар).

Выше мы установили, что равносоставлены прямоугольник и равновеликий ему параллелограмм , а также, что два квадрата равносоставлены с квадратом, площадь которого равна сумме их площадей . Покажем теперь, что равносоставленными являются треугольник и прямоугольник. Действительно, выберем наибольшую сторону треугольника в качестве основания и продлим среднюю линию треугольника, параллельную этому основанию. Проведя перпендикуляры на нее из вершин у основания треугольника, мы получим две пары равных треугольников, что и доказывает нужное утверждение.

Докажем, что равносоставленными являются прямоугольник и равновеликий ему квадрат.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, a ≥ b. Рассмотрим три случая.

Случай 1. a = b. В этом случае доказывать нечего, так как прямоугольник равен квадрату.

Случай 2. b < a ≤ 4b. Обозначим через c сторону квадрата AEFH, равновеликого прямоугольнику ABCD, и расположим квадрат и прямоугольник так, как показано ; c2 = ab.

Из подобия треугольников MDH и EDA замечаем, что MH ∙ AD = AE ∙ HD, тем самым,

MH = AE ∙ = c ∙ = c – = c – b.

В рассматриваемом случае 4b ≥ a, и поэтому 4b2 ≥ ab = c2. Следовательно, 2b ≥ c, и поэтому c – b ≤ b. Другими словами, данный случай отвечает взаимному расположению квадрата и прямоугольника, когда точка M принадлежит отрезку HL.

Заметим что EB = c – b = MH, следовательно, прямоугольные треугольники MHD и EBK равны.

Также равны и прямоугольные треугольники EFM и KCD, так как FM = c – (c – b) = CD. Таким образом, и прямоугольник, и квадрат состоят из одних и тех же трех частей — фигуры ABKMH, треугольников MHD и EBK и треугольников KCD и EFM. То есть прямоугольник и равновеликий ему квадрат равносоставлены.

Случай 3. a > 4b. В этом случае построим новый прямоугольник, основание которого a' в два раза меньше, а высота b' в два раза больше. Если для него выполняется a ≤ 4b, то это случай 2. Если нет, то будем повторять эту операцию до тех пор, пока это неравенство не будет выполняться.

Следовательно, равновеликие прямоугольник и квадрат равносоставлены.

Заметим, что для допустимого превращения прямоугольника в квадрат нам (в случае 2) понадобилось разбить его на три части. Однако это разбиение не является единственным. Можно, например, привести пример разбиения прямоугольника на четыре части (рисунок 6).

Вопрос о том, какое наименьшее число разрезов достаточно, чтобы сконструировать из одной фигуры другую, остается открытым и по сегодняшний день. Пример, что прямоугольник со сторонами 9 и 16 можно разрезать на два многоугольника (а меньше частей быть и не может!) и сложить квадрат, как показан на рисунке.

Сейчас мы докажем одну из теорем на разрезание. Сейчас считается, что ее доказали независимо друг от друга венгерский математик и поэт Фаркаш Больяй (1832), друг К. Ф. Гаусса, и (годом позже) простой любитель математики Пауль Гервин, который был лейтенантом пехотного полка прусской армии. Доказательство Фаркаша Больяи (он отец Яноша Больяи, одного из создателей неевклидовой геометрии) было довольно громоздким, а доказательство Пауля Гервина – элегантным и простым, оно и по сей день излагается в математической литературе.

Теорема Больяи–Гервина. Два любых многоугольника Равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены.

Доказательство. То, что если два многоугольника равносоставлены, то они имеют одинаковые площади, не требует доказательства.

Пусть P и Q два данных равновеликих многоугольника. Идея доказательства состоит в следующем. Рассмотрим сначала многоугольник P и покажем, что его можно разрезать на части, из которых можно сложить квадрат. Это же справедливо и для многоугольника Q. Мы получим два одинаковых квадрата (так как их площади равны), и каждый из них имеет свою систему разрезов. Теперь возьмем точно такой же третий и обе системы разрезов с первых двух квадратов и перенесем на него. Разрезав по этим линиям квадрат, мы получим части, из которых можно составить как P, так и Q.

Проводя последовательно внутренние диагонали в многоугольниках, разрежем P на треугольники T1, T2, , Tn, все вершины которых являются вершинами многоугольника P. Сделаем это так. Проведем какую-либо внутреннюю диагональ в многоугольнике P (такая существует). Она разобьет многоугольник P на два новых, простых многоугольника. Если они не треугольники, то в каждом из них снова проведем по одной внутренней диагонали и т. Д. Ясно, что описанная процедура приведет к нужному разбиению на треугольники.

Однако нужно иметь в виду, что такая триангуляция (разбиение на треугольники), конечно, не единственна. Можно, например, выбирать на каждом шаге различные диагонали. Более того, возможны разбиения на треугольники, не все вершины которых являются вершинами многоугольника и т. д.

По доказанному выше, каждый из треугольников T1, T2, , Tn можно разрезать на части и получить из них некоторые прямоугольники R1, R2, , Rn: они, тем самым, равносоставлены с T1, T2, , Tn соответственно . Каждый из этих прямоугольников равносоставлен, с некоторым квадратом .

Квадрат S, равный по площади сумме площадей всех этих квадратов, равносоставлен с объединением квадратов S1, S2, , Sn . Это является следствием доказанного выше утверждения о двух квадратах (n – 1) раз, мы и получим «маленькие» части, из которых можно сложить один «большой» квадрат.

Таким образом, многоугольник P равносоставлен с равновеликим ему квадратом S.

Аналогично действуя с многоугольником Q, мы получаем, что он равносоставлен равновеликому ему квадрату. Объединяя эти два разбиения квадратов в один, заключаем, что равновеликие многоугольники P и Q равносоставлены.

Теорема Больяи-Гервина полностью доказана.

ЗАДАЧИ НА ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

1. У одной женщины был прямоугольный коврик размером 27 на 36 дюймов два противоположных его угла истрепались и их пришлось отрезать, но она хотела именно прямоугольный коврик. Она дала эту работу мастеру и он справился. Каким путем он это сделал?

Если зубчатую часть A вынуть из зубчатой части B и затем снова вдвинуть ее между зубьев части B, переместив на один зуб вправо, то получится желанный прямоугольник.

2. Как из пяти одинаковых квадратов путем разрезания составить квадрат.

четыре квадрата нужно разрезать на треугольник и трапецию. Четыре трапеции приложить к сторонам пятого квадрата и, наконец, приложим треугольники катетами к основаниям трапеций.

3. Разрезать квадрат на семь таких частей, чтобы, сложив их, получить три равных квадрата.

Пусть ABCD – данный квадрат. Отложим на его стороне линию AE, которая равна половине диагонали этого квадрата. Соединим две точки D и E и на полученную линию опустим перпендикуляры AF и CG. Затем отложим прямые GF, GK, FL, все они равны AF. Закончим построение линией, перпендикулярной AF и проходящей через точку H и двумя параллельными этой же линии, берущих свое начало из точек K и L. Если теперь разрезать квадрат по этим линиям и сложить так, как показано на рисунке , то получим три искомых квадрата.

4. Разрезать квадрат на восемь частей так, чтобы сложив их получить два квадрата, один из которых вдвое меньше другого.

Решение схоже с решением предыдущей задачи. Линии AF, GG и точка L находятся так же, как и в предыдущей задаче. А линии GH и GI проводятся параллельно сторонам квадрата, линия HK = GH. На рисунке показано, как нужно сложить части, чтобы получить два искомых квадрата. Аналогично разрезав квадрат можно получить три квадрата, площади которых пропорциональны числам 2, 3 и 4.