Преобразование графиков функций

При исследовании различных явлений и процессов природы, решении технических задач, изучении математики сплошь и рядом встречаются примеры изменения одной величины в зависимости от изменения другой — так называемой функциональной зависимости. Понятие функциональной зависимости — одно из важнейших понятий современной математики, оно «кик ни одно другое, воплощает в себе диалектические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственно препарированной неподвижности, в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга»

Существуют различные способы задания функций: аналитический, табличный, словесный, а также графический. Иногда график является единственно возможным способом задания функции. Он широко используется в технике, лежит в основе работы многих самопишущих автоматических приборов. Однако несмотря на значительное распространение этого способа, справочной литературы, достаточно полно освещающей вопросы исследования функций и построения графиков разнообразнейших функций, причем с привлечением методов высшей математики, пока неоправданно мало.

Я предлагаю рассмотреть некоторые из них:

1. Преобразования, не изменяющие масштаба.

➢ Преобразования, обусловленные особенностями графиков четных и нечетных функций

Приведем здесь преобразование симметрии, обусловленные особенностями графиков четных и не четных функций, а именно:

← графиком функции y=-f(x) симметричен графику функции y=f(x) относительно оси абсцисс;

← график функции y=f(-x) симметричен графику функции y=f(x) относительно оси координат;

← график функции у= -f(-x) симметричен графику функции y=f(x) относительно начала координат.

Y=-f(x)

➢ Параллельный перенос вдоль оси абсцисс

График функции y=f(x+а) получаем с помощью параллельного переноса последнего вдоль оси Ох на единиц масштаба в направлении, имеющим знак, противоположный знаку числа а. Это выполняется так: строим известный график функции y=f(x). Далее ось ординат параллельно переносим вдоль оси абсцисс на единиц масштаба в направлении, имеющим знак числа а. Это и есть окончательная ось ординат.

Например для построения графика функции вспомогательную ось ординат графика функции y=f(x) переносим параллельно вдоль оси абсцисс на две единицы масштаба вправо. Для построения графика функции y=f(x-2) вспомогательную ось ординат графика функции y=f(x) переносим параллельно вдоль оси абсцисс на две единицы масштаба влево.

Пример1. Построить график функции.

Строим график функции. Далее ось ординат переносим параллельно вдоль оси абсцисс на три единицы масштаба влево.

➢ Параллельный перенос вдоль оси ординат

График функции y=f(x)+b получаем из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу на единиц масштаба, в направлении, имеющим знак числа b. Этот перенос выполняется так: строим известный график функции y=f(x). Далее ось абсцисс переносим параллельно вдоль оси ординат на единиц масштаба в направлении, имеющим знак, противоположный знаку числа b. Это и есть окончательная ось абсцисс. Например, для построение графика функции вспомогательную ось абсцисс графика функции опускаем вдоль оси ординат на четыре единицы масштаба. Для построения графика функции вспомогательную ось абсцисс графика функции поднимаем вдоль оси ординат на четыре единицы вверх.

Пример 2. Построить график функции.

Строим график функции Далее ось абсцисс опускаем вдоль оси ординат на три единицы.

3. Преобразования, изменяющие масштаб

✓ Растяжение или сжатие вдоль оси абсцисс.

График функции y=f(kx) получаем из графика функции y =f(x) с помощью сжатия по оси абсцисс исходного графика пропорционально коэффициенту k при аргументе (если k >1, то график сжимается в k раз, а если 0< k <1, то график растягивается в раз)

Если k <0, то можно сначала построить график функции y=f(x), а затем отобразить его симметрично оси Оу.

Сжатие или растяжение графика по оси абсцисс осуществляется так: строим график функции y=f(x) , далее при k >1 уменьшаем абсциссы точек этого графика в k раз, при 0< k <1 уменьшаем абсциссы точек в раз, оставляя при этом ординаты без изменения.

Пример 3. Построить график функции.

Строим график функции , далее сжимаем график по оси абсцисс в два раза

, т. е. уменьшаем абсциссы точек графика в два раза, оставив ординаты без изменения.

y=sinx y=sin2x

✓ Растяжение или сжатие по оси ординат

График функции получаем из графика функции с помощью растяжения этого графика по оси ординат пропорционально коэффициенту m (если m>1, то график растягивается в m раз, если 0

Растяжение или сжатие графика функции по оси ординат выполняется так: строим график функции , далее при m>1 уменьшаем ординаты точек этого графика в m раз, при 0 < m< 1 уменьшаем ординаты точек в раз, оставляя при этом абсциссы без изменения.

Пример 4. Построить график функции

Строим график функции , далее осуществляем сжатие графика по оси ординат в три раза

, т. е. уменьшаем ординаты точек графика в три раза, оставляя абсциссы без изменения.

✓ Построение графика функции.

Этот график строят, применяя в определенной последовательности описанные выше преобразования.

Сначала строим график функции , далее строим график функции (заметим, что при этом преобразовании на R умножается только х). Затем строим график функции Наконец получаем график функции

Можно эти преобразования выполнять в другом порядке: сначала построить график функции затем перенести его вправо (или влево) на поднять (или опустить) на и, наконец, растянуть (или сжать) в т раз. В зависимости от знаков R и т придется, возможно, отображать график симметрично относительно оси Оу или оси Ох.

Заметим, что рассмотренные преобразования можно выполнять в любом порядке, но величины, на которые график переносится вдоль осей, зависят от порядка преобразований.

Пример 5. Построить график функции.

Строим график функции. Далее последовательно преобразуем график функции , а именно: увеличив в раза ординаты точек графика функции , оставив неизменными абсциссы, построим график функции с помощью симметричного отображения относительно оси Оу строим график функции затем выполняем параллельный перенос полученного графика на две единицы масштаба влево, т. е. вспомогательную ось ординат графика переносим на две единицы масштаба вправо, наконец, выполняем параллельный перенос графика на 0,7 единицы масштаба вдоль оси ординат вниз, т. е. вспомогательную ось абсцисс графика поднимаем вдоль оси ординат на 0,7 единицы масштаба вверх.

Пример 6. Построить график функции

Записываем заданную функцию в виде

Очевидно, что график функции получим из графика параболы , выполнив последовательно такие преобразования: параллельный перенос вдоль оси абсцисс на две единицы масштаба вправо; параллельный перенос вдоль оси ординат на четыре единицы масштаба вниз; растяжение по оси ординат в два раза; симметричное отображение относительно оси абсцисс.

График функции приведен на рисунке (4)

4. Построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.

✓ Построение графика функции.

Для построения этого графика нужно построить график функции для а затем отобразить построенную кривую симметрично относительно оси ординат. Эти две части (построенная и отображенная) дадут в совокупности график функции

Пример 7. Построение графика функции.

Строим график функции , а затем этот график зеркально отображаем относительно оси Оу.

✓ Построение графика функции

Для построения графика функции надо построить график функции , далее оставить без изменения все части построенного графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части, расположенные ниже ее, отобразить симметрично относительно этой оси.

Пример 8. Строим график функции.

Строим график функции. затем симметрично отображаем его относительно оси абсцисс

Замечание. При построении графиков функций, являющихся суммой, произведением, частным функций или более сложной функцией, из которых одна или несколько содержат знак модуля, находят область определения функции, раскрывают знак модуля на тех промежутках, где выражения с модулем не меняют знака, и, наконец, строят график функции, заданной на разных промежутках разными формулами.