Построение графика функции с помощью сдвига графика функции вдоль осей координат

p>Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида, где a, b и c - некоторые числа, причём a.

Областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел.

График любой квадратичной функции – это парабола. Если >0, то ветви параболы направлены вверх, если <0, то ветви направлены вниз. Каждая парабола имеет ось симметрии и вершину. Ось симметрии – прямая, параллельная оси y, или сама ось y; вершина – это точка, в которой ось симметрии пересекает параболу. Вершина – самая верхняя или самая нижняя точка параболы (в зависимости от того, куда направлены ее ветви).

Открыли параболы еще математики Древней Греции, когда занимались геометрией – изучением конических сечений. Если конус рассечь плоскостью, параллельной какой-нибудь одной из его образующих, то в сечении получится линия, которую и называют параболой.

Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе.

Рассмотрим различные способы построения графика квадратичной функции.

График функции

Графиком функции , где , является парабола с вершиной в начале координат; ее осью симметрии служит ось y; при ветви параболы направлены вверх, при ветви параболы направлены вниз.

Пример 1.

Построим график функции при : а) (график выделен синим цветом); б) (график выделен красным цветом); в) (график выделен зеленым цветом).

(0,0) – вершина параболы; x = 0 - ось симметрии; ветви параболы направлены вверх; чем больше , тем парабола круче идёт вверх.

Пример 2.

Построим график функции при a<0: а) (график выделен синим цветом); б) (график выделен красным цветом); в) (график выделен зеленым цветом).

(0,0) – вершина параболы; x = 0 - ось симметрии; ветви параболы направлены вниз; чем больше , тем парабола круче идёт вниз.

Сдвиг графика функции вдоль осей координат

• Сдвиг графика функции вдоль оси

Чтобы построить график функции , нужно перенести параболу вдоль оси y на q единиц вверх, если , или на единиц вниз, если. При этом вершина параболы окажется в точке (0; q); x = 0 – ось симметрии.

Пример 3.

Построим график функции.

1. Построим параболу.

2. Перенесём ее на 1 единицы вверх – в результате получится график функции.

Пример 4.

Построим график функции.

1. Построим параболу.

2. Перенесём ее на 2 единицы вниз – в результате получится график функции.

• Сдвиг графика функции вдоль оси x

Чтобы построить график функции , нужно перенести параболу вдоль оси x на p единиц влево, если , или на единиц вправо, если. При этом вершина параболы окажется в точке (-p; 0); x = 0 – ось симметрии.

Пример 5.

Построим график функции.

1. Построим параболу.

2. Перенесём ее на 3 единицы влево – в результате получится график функции.

Пример 6.

Построим график функции.

1. Построим параболу.

2. Перенесём ее на 2 единицы вправо – в результате получится график функции.

• Сдвиг графика функции вдоль осей координат

Из параболы с помощью двух параллельных переносов: вдоль оси x на единиц – влево или вправо в зависимости от знака числа p и вдоль оси y на единиц – вверх или вниз в зависимости от знака числа q можно получить график функции. При этом вершина параболы – это точка с координатами ; – ось симметрии.

Пример 7.

Построим график функции.

1. Построим параболу ;

2. Перенесём ее на 1 единицу влево – в результате получится график функции ;

3. Сдвинем построенный график на 4 единицы вниз – получится график заданной функции.

Действия, которые мы выполнили для построения графика, можно описать такой схемой: влево вниз на 1 ед. на 4 ед.

Параллельные переносы можно было бы выполнять и в другом порядке: сначала сдвинуть параболу на 4 единицы вниз – получился бы график функции , а затем построенный график сдвинуть на 1 единицу влево – получился бы график функции : вниз влево на 4 ед. на 1 ед.

График функции

Точка с координатами и есть вершина параболы.

График квадратичной функции можно получить из графика функции с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, а можно найти координаты еще нескольких точек и построить параболу. Ось симметрии параболы – вертикальная прямая.

Пример 8.

Построим график функции.

Координаты вершины параболы. Найдем координаты дополнительных точек, симметричных относительно оси симметрии параболы :

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

y 14 4 -2 -4 -2 4 14

Построим параболу, проходящую через найденные точки.

График функции.

• Метод выделения полного квадрата

Квадратичную функцию можно привести к виду путем выделения полного квадрата.

Отсюда p=,

Построим график квадратичной функции - параболу с вершиной в точке. Ось симметрии параболы – вертикальная прямая.

Пример 9.

Построим график функции.

Преобразуем квадратный трехчлен , выделив полный квадрат:.

Построим график функции. График квадратичной функции можно получить из графика функции с помощью параллельных переносов влево на 3 единицы и вниз на 4 единицы, а можно найти координаты еще нескольких точек и построить параболу.

• Отыскание координат вершины параболы

Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене , получили формулу для вычисления абсциссы вершины параболы. Ординату вершины параболы вычислим по формуле. Ось симметрии параболы – вертикальная прямая. Найдем координаты дополнительных точек и построим параболу.

Пример 10.

Построим график функции.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле:. Имеем ,. Тогда. Найдем ординату вершины параболы. Найдем координаты дополнительных точек, симметричных относительно оси симметрии параболы :

x -3 -2 -1 0 1 2

y -2 2 4 4 2 -2

Построим параболу, проходящую через найденные точки.

• Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена

Рассмотрим квадратичную функцию.

Пусть. Тогда.

Решив полученное уравнение, получили две точки параболы, симметричные относительно оси симметрии параболы: А(0; c), В(; c). Поэтому ось симметрии параболы является серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Следовательно, абсцисса середины отрезка AB и есть абсцисса вершины C параболы. По формуле находим ординату вершины. Можно построить параболу по трем точкам A, B, C. Для более точного построения можно найти координаты еще нескольких точек.

Пример 11. Построим график функции.

Пусть y = 5.

Решим уравнение x2-4x+5=5 x2-4x=0 x(x-4) =0 x = 0 или x-4 = 0 x = 4

Получим две точки параболы: A(0; 5), B(4; 5).

Находим абсциссу вершины параболы как абсциссу середины отрезка AB

, подставив значение x = 2 в формулу , получим y = 4-8+5 = 1. Значит, координаты вершины (2; 1).

Найдем координаты дополнительных точек, симметричных относительно оси симметрии параболы x = 2:

x -1 0 1 2 3 4 5

y 9 5 2 1 2 5 9

Построим параболу, проходящую через найденные точки.

• Построение параболы по корням квадратного трехчлена

Пусть и – корни квадратного трехчлена. Тогда парабола, служащая графиком функции , пересекает ось абсцисс в точках Aи B, а ось симметрии параболы проходит через его середину перпендикулярно отрезку AB. Точка C является вершиной параболы. Так как точка C – середина отрезка AB, то её абсцисса равна. Зная абсциссу хв вершины параболы, найдем ее ординату по формуле.

Можно построить параболу по трем точкам A, B, C. Для более точного построения можно найти координаты еще нескольких точек и построить их.

Пример 12.

Построим график функции.

Из уравнения находим x1 = 1, x2 = 5. Теперь мы знаем две точки искомой параболы, ось симметрии параболы:, x = 3. Подставив значение 3 вместо x в формулу , находим y = 4. Значит, вершиной параболы является точка C(3; 4). Затем найдем координаты дополнительных точек, симметричных относительно симметрии параболы :

x 0 1 2 3 4 5 6

y -5 0 5 4 5 0 -5

Построим параболу, проходящую через эти точки.

• Построение параболы в новой системе координат

Математик, который привык быть экономным в своих действиях, может применить другой подход к построению графика квадратичной функции, заданной формулой вида или формулой вида.

Ведь фактически графиком функции является та же парабола, что служила графиком функции , только вершина параболы переместилась из начала координат в точку. Поэтому можно перейти к вспомогательной системе координат с началом в точке. Для этого построить (пунктиром) прямые и В этой вспомогательной системе координат нужно построить параболу (математики обычно в таких случаях выражаются по-другому, они говорят: «привяжем функцию к новой системе координат») и получим в итоге график функции.

Аналогично можно поступать и при построении графика функции. Определив координаты вершины параболы тем или иным способом, можно строить параболу, которая служит графиком функции , в новой системе координат с началом в точке. Получим в итоге график функции.

Пример 13.

Построим график функции.

Ее графиком является парабола, вершина которой точка. Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке. Для этого построим (пунктиром) прямые и. В этой вспомогательной системе координат нужно построить параболу.

Пример 14.

Построим график функции.

Найдем координаты вершины параболы: ,. Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке. Для этого построим (пунктиром) прямые и. В этой вспомогательной системе координат нужно построить параболу.

Заключение

Возможность «привязать параболу к новой системе координат» значительно облегчает построение графика квадратичной функции, если координаты вершины выражаются целыми числами.

Например, для построения графика функции удобно определить координаты вершины параболы, выделяя полный квадрат: , , , и строить график функции в новой системе координат с началом в точке.

Выбор способа построения параболы определяется, прежде всего, видом формулы, задающей квадратичную функцию, а также условием задачи, для решения которой строится парабола. Строить параболу стоит наиболее удобным способом в данной ситуации, либо тем способом, который больше нравится или более понятен.