Понятия дружественных чисел

С опушки леса в чащу ведет множество тропинок. Они извилисты, они сходятся, расходятся, вновь пересекаются одна с другой. Можно встать на опушку леса и выбрать одну из тропинок, по которой можно пойти и узнать много интересного. Я выбрала тропинку с названием «дружественные числа». Интерес к дружественным числам возник давно. Первые упоминание об этих числах были в работе школы Пифагора и Евклида. На уроке математики я узнала, что такое дружественные пары чисел. И возникла проблема: «Есть ли дружественные тройки чисел?»

В книге французских авторов А. Даан-Дальмедико и Ж. Пейфер «Пути и лабиринты. Очерки по истории математики » изложена арифметическая концепция школы Пифагора, который жил в первой половине VI до н. э. и основал братство религиозного, филосовского и научного характера. Основу всего Пифагор видел в числе, о чем свидетельствует его девиз «Всё есть число». Пифагорейцы рассматривали числа как образующие элементы материи. Школа Пифагора заложила основы греческой арифметики, которая ограничивалась изучением целых чисел, рассматриваемых как дискретный набор единиц. Пифагорейцы рассматривали также плоские и пространственные числа, многогранные числа. Они открыли дружественные и совершенные числа.

С помощью поисковых систем Internet я нашла сведения о другом древнегреческом математике, занимавшимся вопросами делимости чисел, Евклиде. Евклид работал в Александрии в 3 в. до н. э. Его главный труд «Начала» содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. О Евклиде ходит легенда. Рыцарь Птолемей решил изучать математику. Но оказалось, что это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К математике нет рыцарской дороги», - ответил ему ученый.

Изучая книгу И. Д. Рожанского Античная наука, видим, судя по тому, что Архимед приводит в одной из своих книг предложение, взятое из «Начал», этот основной труд Евклида, был к тому времени уже хорошо известен. Не легко оценить вклад, внесенный в математику самим Евклидом, так как он, «по всей видимости, был не столько творческим гением, подобно Евдоксу или Архимеду, сколько блестящим педагогом и систематизатором». Основное содержание «Начал» Евклида составляют открытия Гиппократа Хиосского, Теэтета, Евдокса и других математиков предшествующей эпохи. Евклид, излагаемому материалу придал стройность и формальную законченность.

«Начала», состоят из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. Во 2-й книге излагаются основы геометрической алгебры. 3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд. В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники, причем построение правильного пятнадцатиугольника принадлежит, видимо, самому Евклиду. Книга 5-я и 6-я посвящены теории отношений и ее применению к решению алгебраических задач. Книга 7-я, 8-я и 9-я посвящены теории целых и рациональных чисел, разработанной пифагорейцами не позднее 5 в. до н. э. Эти три книги написаны, по-видимому, на основе не дошедших до нас сочинений Архита.

Помимо теорем, относящихся к сложению и умножению целых чисел и умножению их отношений, здесь рассматриваются вопросы теории чисел: вводится «алгоритм Евклида», излагаются основы теории делимости целых чисел, доказывается теорема о том, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть еще большее простое число.

В V – IV вв. до н. э. Греки уже обладали определенным запасом математических знаний, но они имели скорее ремесленный характер. Соглашусь с ними, что заслуга создания математики, как дисциплины, принаждлежит в основном пифагорейской школе. Разумеется, это произошло не сразу и было делом лишь одного Пифагора, как бы он ни был гениален. Сначала в пифагорейской школе интерес к числу носил религиозно-мистическую окраску. Числам, особенно числам, находившимся в пределах первой десятки, приписывались особые, сверхъестественные свойства. Эти числа были не просто числа: они составляли сущность окружающего мира, ибо все многообразие вещей и явленийсводилось в конечном счете к числовым отношениям. Пифагорейцы ввели противостояния: единица — множество и чет — нечет. Разделению чисел на четные и нечетные придавалось у них особое значение. В связи с этим была тщательно изучена проблемаделимости на два. Затем было обращено внимание, что некоторые числа (простые) делятся только на самих себя, другие же могут быть представлены в виде произведений двух или большего числа сомножителей. Далее, из натурального ряда были выделены ряды «треугольных», «квадратных», «пятиугольных» чисел.

В книге сергея Валянского и Дмитрия Калюжного «Другая история науки» в разделе «Византийская математика» я прочитала о том, что Пифагор первым заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальными объектами. Например, прямая линия — это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. В школе Пифагора из арифметики была выделена в отдельную область теория с чисел, то есть математические знания, относящиеся к свойствам операций с натуральными числами. Были рассмотрены более широко вопросы делимости чисел, введены пропорции.

В книге Н. Н. Воробьева Признаки делимости приводится теоретический материал по теме «Делимость чисел». Уже при самом беглом знакомстве с конкретными фактами делимости бросается в глаза следующее обстоятельство: возможности делимости чисел практически не связаны с их величиной. С одной стороны, существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3,4, 6 и 12; число 60 имеет 12 делителей. Таким богатым делителями числам можно противопоставить весьма большие числа, которые имеют минимальное число делителей, т. е. два: единицу и само это число. Такие числа называются простыми. Далее Воробьев вводит определение деления без остатка и с остатком и приводит доказательство теоремы о бесконечности ряда простых чисел, предложенное Евклидом.

В главе 4 «Наука эпохи эллинизма» книги «Античная наука», знакомимся с математическими трудами друга Архимеда – Эратосфена Киренского, которые свидетельствуют об оригинальном и творческом уме их автора. Так, Эратосфен дал механическое решение знаменитой задачи об удвоении куба; это решение было высечено на стене одного из александрийских храмов. Он занимался теорией чисел и предложил оригинальный способ выделить простые числа из последовательности всех чисел.

Понятие дружественных чисел

Определение дружественных чисел имеется уже в "Началах" Евклида, а также в трудах Платона и Пифагора.

Древним грекам была известна одна пара дружественных чисел: 220 и 284. Суммы их делителей соответственно равны 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 1+2+4+71+142 = 220.

Пара дружественных числел – два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первого числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе.

2. 2. Результаты поиска математиками дружественных чисел

220 и 284, 1184 и 1210, 2620 и 2924, 5020 и 5564, 6232 и 6368, 10744 и 10856, 12285 и 14595, 17296 и 18416.

конецформыначалоформы

Все эти числа 220 и 284 связаны крепкой дружбой: каждое из них является суммой собственных делителей другого.

Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями.

конецформыначалоформы Дружественные чисела, тесно связанных с совершенными числами, так восхитившими Пифагора двумя тысячами лет раньше. Дружественными числами называются два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Пифагорейцы совершили необычайное открытие, установив, что 220 и 284 — дружественные числа. Делителями числа 220 служат числа 1, 2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а их сумма равна 284. С другой стороны, делителями числа 284 служат числа 1, 2, 4, 71, 142; их сумма равна 220.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. Мартин Гарднер в книге «Математические новеллы» 2 рассказывает о том, что в Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Некий арабский нумеролог сообщает об обычае вырезать числа 220 и 284 на плодах, один из которых влюбленный съедал сам, а другой давал съесть предмету своей страсти, как своего рода математическое средство усиления любовного влечения. Первые теологи отмечали, что в Книге Бытия Иаков отдает в подарок брату своему Исаву 220 животных — «двести коз, двадцать козлов». По мнению теологов, число животных, равное одному из чисел, образующих дружественную пару, свидетельствует о любви Иакова к Исаву. Помимо 220 и 284 других дружественных чисел не было известно вплоть до 1636 года, когда Ферма обнаружил пару 17 296 и 18 416. И хотя это открытие нельзя назвать важным, оно свидетельствует о том, что Ферма хорошо знал натуральные числа и любил «играть» с ними. Ферма стал своего рода законодателем моды на нахождение дружественных чисел. Декарт открыл третью пару (9 363 584 и 9 437 056), а Леонард Эйлер продолжил список дружественных чисел до 62-й пары. Интересно отметить, что Декарт и Эйлер «проглядели» гораздо меньшую пару дружественных чисел. В 1866 году шестнадцатилетний итальянец, тезка великого скрипача, Никколо Паганини открыл пару 1184 и 1210.

В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском так называемых «общительных» чисел — замкнутых циклов из трех и более чисел.

Например, в тройке чисел

(1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953 920) делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый длинный из известных циклов состоит из 28 общительных чисел, первое из которых равно 14 316.

Хотя открытие новой пары дружественных чисел сделало Ферма своего рода знаменитостью, его репутация выросла еще больше благодаря серии решенных им трудных задач.

Глава III. Результаты исследования и их обсуждения

Сказка о дружбе и совершенстве

Был жаркий летний денек. По лесу гуляли натуральные числа. На лесной поляне встретились числа 220, 284, 28 , 496 и 200. С полянки вело вглубь леса две тропинки: «дружественные» и «совершенные». У чисел возник спор о том, по какой тропинке им идти. И давай 200 хвастаться: “Я такое красивое, совершенное, я пойду по тропинке «совершенные»!”. А 496 и 28 отвечают: “Хоть ты и красивое число, но несовершенное, а мы совершенные. Если сложить наши делители, кроме самого себя, то мы и получаемся”. Вот смотрите: делители 28: 1, 2, 4, 7, 14, а 1+2+4+7+14=28.

Делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 128, 248, а 1+2+4+8+16+31+62+128+248=496. А мы, - говорят 220 и 284 — дружественные, ведь сумма делителей каждого из нас равна второму числу, поэтому мы живем в дрежбе и согласии. Делтели 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110; делители 284: 1, 2, 4, 71, 142. 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284, 1+2+4+71+142=220.

Так значит вы дружественные!” – воскликнуло 200. Так, сделав выводы, все пошли по своим тропинкам, а число 200 вернулось на опушку леса и продолжило искать свою тропинку.

Определение и примеры дружественных троек

Исследуем тройки чисел 176, 160, 16. Видим, что 176=160+16 и если в числе 160 зачеркнуть одну цифру, то получится число 16.

Таким же свойством обладают числа 138, 38, 176. 176=138+38 и если в числе 138 зачеркнуть одну цифру, то получим число 38.

Аналогичным свойством обладает тройка чисел 163, 13, 176 и тройка чисел 158, 18, 176. Можем сформулировать определение дружественной тройки.

Тройка чисел называется дружественной, если одно натуральное число равно сумме двух других и если в одном из чисел зачеркнуть цифру, то получится другое.

Исследуем двузначное натуральное число и число, записанное теми же цифрами, только в обратном порядке и их сумму. Например, 42+24=66, 21+12=33, 63+36=99. Видим, что сумма – двузначное число, записанное одинаковыми цифрами.

Будем считать такие числа дружественными и дадим следующее определение.

Тройка двузначных чисел называется дружественной, если сумма числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке равна двухзначному числу, записанному одинаковыми цифрами.

Примерами таких троек могут быть 34, 43 и 77; 31, 13 и 44; 41, 14 и 55; 71, 17 и 88; 81, 18 и 99.

Исследуем тройку чисел 563, 63, 29839. Если в числе 563 зачеркнуть 1-ую цифру, то получим число 63. Если эти числа перемножить, то получим число 29839.

Этим же свойством обладают числа 948, 48 и 45504; 842, 42 и 35364.

Тройка трехзначных чисел называется дружественной, если зачеркнув в одном из чисел цифру, получим второе число, а их произведение дает третье.

Тройка чисел называется дружественной, если к одному из них дописать цифру, то получим другое, и если сумма двух этих чисел будет равна трехзначному числу, записанному одной цифрой.

Примеры таких «друзей»: 211, 11 и 222 (211+11=222); 303, 30 и 333; 101, 10 и 111; 402, 42 и 444.

Исследуем числа 964, 576 и 384. Произведение первой цифры числа 964 на оставшуюся часть дает 576, а произведение последней цифры числа на оставшуюся часть дает 384. Таким образом, эту тройку тоже можно считать дружественной.

Тройка трехзначных чисел называется дружественной, если произведение первой цифры одного из чисел на его оставшуюся часть дает второе число, а произведение последней цифры этого числа на его оставшуюся часть дает третье число.

Попробуем провести аналогию с определением «дружественной двойки», данным Пифагором, но рассмотреть три числа.

Тройка чисел называется дружественной, если сумма младших делителей двух чисел равна третьему числу.

Например, 42, 24 и 90. Младшие делители 42: 1, 2, 3, 7, 6, 14, 21. Младшие делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Сумма младших делителей 42 и 24 равна 1+2+3+7+6+14+21+1+2+3+4+6+8+12= 90.

Дружественными можно считать трехзначные числа, которые составлены только из двух цифр, одна из которых повторяется, а вторая нет. Их всегда будет только три.

Например, 224, 422, 242;

442, 244, 424.

Исследуем числа: 7, 5 и 2. 7+5+2=14; 7*2=14 и 5+2=7, таким образом, числа 7, 5 и 2 можно считать дружественной тройкой.

Практическая значимость полученных результатов

Сформулируем ряд задач, которые можно предлагать ученикам для решения с целью развития логического мышления и повышения интереса к математике:

Сумма двух натуральных чисел 176. Если в одном зачеркнуть цифру, получится второе, найдите эти числа.

Ответ: 176, 160, 16; 138, 38, 176; 163, 13, 176; 158, 18, 176.

Сумма числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке равна двухзначному числу, записанному одинаковыми цифрами. Найдите это число.

Ответ: 42, 21, 63, 34, 31 и т. д.

Произведение двух натуральных чисел 29839. Если в большем зачеркнуть одну цифру, получится меньшее число. Найдите эти числа.

Ответ: 563 и 63.

Произведение двух натуральных чисел 45504. Если в большем зачеркнуть одну цифру, получится меньшее число. Найдите эти числа.

Ответ: 948 и 48.

Произведение двух натуральных чисел 35364. Если в большем зачеркнуть одну цифру, получится меньшее число. Найдите эти числа.

Ответ: 842 и 42.

Произведение первой цифры задуманного трехзначного числа на оставшуюся часть дает 576, а произведение последней цифры этого же числа на оставшуюся часть дает 384. найдите задуманное число.

Ответ: 964

Сумма младших делителей двух чисел равна числу 90. Найдите эти числа.

Ответ: 42 и 24.

Известно, что а + в + с = х, а*с = х, в + с = а. Найдите эти числа.

Ответ: 7, 5 и 2

Заключение

Закончив свою работу, я могу сказать, что не все из того, что было задумано, получилось, например не смогла сформулировать задачу по определению: тройка чисел называется дружественной, если к одному из них дописать цифру, то получим другое, и если сумма двух этих чисел будет равна трехзначному числу, записанному одной цифрой. Не смогла придумать дружественные тройки для больших чисел, потому что это очень сложная работа.

Если бы я начала работу заново, я бы нашла больше информации по данной теме или выбрала другую тему, которая больше привязана к жизни.

В следующем году я, может быть, продолжу эту работу для того, чтобы отправить работу на конкурс исследовательских и творческих работ.

Думаю, что я решила проблему, которую ставила перед собой: дружественные тройки чисел существуют и их очень интересно искать.

Исследовательская деятельность показала мне, что так много интересного и неизведанного лежит за пределами нашего знания, и, находясь на «опушке математики», можно выбрать абсолютно любую тропинку в чащу этой науки или проложить абсолютно иной, новый путь.