Фракталы: геометрия природы и искусство

В современном мире всё стремительно меняется. Это касается и самой «старой» науки – математики. Меня заинтересовало одно из открытий тридцатилетней давности – открытие фракталов – удивительно красивых и таинственных геометрических объектов.

На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, треугольники, квадраты и т. д. Однако в природе большей частью объекты «неправильные» - шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями. По этому поводу родоначальник фракталов Б. Мандельброт в своей книге «Фрактальная геометрия природы» замечает следующее:

«Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в её неприспособленности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, древесная кора не гладкая, а молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярны (от латинского неправильный, не подчинённый определённому положению, порядку) и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом – термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно».

В своей работе я уделил основное внимание различным определениям фрактала, классификации фракталов, связи фракталов, природы и искусства, а также построению фракталов в замечательной программе «Живая геометрия. »

2. Исторический экскурс. Б. Мандельброт – основоположник фракталов.

Основоположником фракталов является Бенуа Мандельброт. Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. В 1936 году семья Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж (там уже жил дядя Бенуа – Франсуа Мандельброт, член группы математиков, известной под псевдонимом «Никола Бурбаки»). После войны Мандельброт стал студентом Сорбонны. В университете, по настоянию дяди, юный Бенуа внимательно проштудировал полузабытые разделы комплексного анализа, развитые в начале века Пьером Фату (1878 -1929) и Гастоном Жюли (1893 - 1978): они исследовали именно преобразования комплексной плоскости, и эти штудии весьма пригодились через 30 лет при поисках множества Мандельброта. Его вело провидение. Окончив университет, Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Но, получив докторскую степень, он ушел от академической науки. В 1958 году Мандельброт приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне. Работая в IBM, Бенуа Мандельброт занимался самыми разнообразными задачами. Трудился в области лингвистики, где переформулировал и уточнил эмпирический закон частотного распределения слов в тексте: теперь он называется закон Ципфа-Мандельброта. Работал над задачами теории игр, экономики, географии, астрономии, физики. Ему нравилось бросаться от одной темы к другой: он искал. Он всегда искал одно и то же, даже не осознавая точно, что именно ищет.

Исследуя экономику, Мандельброт обнаружил, что произвольные, на первый взгляд, колебания цены могу следовать скрытому математическому порядку. Он занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течении дня казались случайными, но Мандельброт различил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Уже тогда, почти за двадцать лет до открытия множества Мандельброта, которое стало его своеобразным «автографом», Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где все остальные видели только деньги и ткани.

Сегодня Бенуа Мандельброт – профессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук США. Он удостоен многочисленных почётных степеней и наград. Его последняя важная награда – премия Вольфа по физике.

3. Определение фрактала.

Nomen est numen

Назвать значит понять.

Формально определения фрактала не существует. Сам термин фрактал принадлежит Мандельброту. Я нашел несколько определений фрактала, данных Мандельбротом. Приведу их в порядке появления.

Первое определение Мандельброта: «Термин фрактал образован от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т. е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом, разумно – и как кстати! – будет предположить, что помимо значения «фрагментированный»(как, например, в словах фракция или рефракция), слово fractus должно иметь и значение «неправильный по форме»; примером сочетания обоих значений может служить слово фрагмент. Словосочетание «фрактальное множество» мы впоследствии определим строго, сочетание же «естественный (или природный фрактал)» я предлагаю применять более свободно для обозначения естественных структур, которые с той или иной целью могут быть представлены в виде фрактального множества. Например, броуновские кривые являются фрактальными множествами, а броуновское движение мы назовём природным фракталом. »

Второе определение Б. Мандельброта: «Все фигуры, которые я исследовал и назвал фракталами, в моём представлении обладали свойством быть «нерегулярными», но самоподобными. »

Третье определение Б. Мандельброта: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. »

Приведу определения фракталов других учёных.

Дж. Глейк: «Фракталы – это геометрические фигуры, полученные в результате дробления на части, подобные целому, или при одном и том же преобразовании, повторяющемся при уменьшающихся масштабах. »

Джеф Проузис: «Фрактал – это объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий вблизи рассмотреть не меньше деталей, чем издалека. Классический пример – Земля. Из космоса она выглядит как шар. Приближаясь к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Позднее взору предстанут более мелкие детали: кусочек земли на поверхности гор, столь же сложный и неровный, как сама гора. Потом покажутся крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом.

Автор книги считает, что «известное евангельское выражение: «Я есть Альфа и Омега, начало и конец, первый и последний» - безупречно сформулированное определение фрактала. »

В 1922 году английский математик и метеоролог Льюис Фрай Ричардсон (1881-1953) опубликовал работу, посвящённую математическим моделям предсказания погоды. В ней он в частности, пародировал стихи Джонатана Свифта: «Блох больших кусают блошки

Блошек тех – малютки-крошки,

Нет конца тем паразитам,

Как говорят, ad infinitum. »

(«Ad infinitum» в переводе с латыни – «до бесконечности»). Я считаю (особенно при взгляде на звезды Кох в виде окружностей), так же как и автор статьи в , что это четверостишие вполне может служить описанием фрактала, т. к. оно образное и бьёт в самую точку.

«Фрактал – бесконечно самоподобная фигура,» - так говорят математик.

Итак, фракталы – это геометрические фигуры с набором очень интересных особенностей, а именно: дробление на части, подобные целому, или одно и то же преобразование, повторяющееся при уменьшающемся масштабе.

Важнейшие признаки фрактала: самоподобие и изломанность.

В геометрии самоподобной называют ту фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Самоподобными являются, например, правильный треугольник и квадрат.

Изломанность фрактала понятна и визуально.

В самом простом случае часть фрактала содержит информацию о всём фрактале.

4. Классификация фракталов.

4. 1 Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры и получается геометрический фрактал.

Я в своей работе основное внимание уделил именно геометрическим фракталам , т. к. для детального изучения других видов у меня пока не хватает знаний.

4. 2 Алгебраические фракталы.

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.

Наиболее известный алгебраический фрактал – удивительная фигура, известная во всём мире под именем «множество Мандельброта», которое до Мандельброта видели (не вычислили, не построили! Так что можно утверждать: фракталы были открыты экспериментально) и другие учёные (Р. Брукс, Дж. Мателски, Дж. Хаббард). Но первооткрывателем считают Мандельброта, потому что он увидел новую область знаний и исследований – фрактальную геометрию.

Задаётся «множество Мандельброта» с помощью преобразования комплексной плоскости Z → Z+C. Авторы считают, что «по простоте предпосылок и богатству следствий и смыслов алгоритм Мандельброта Z →Z+C сравним с гениальной теоремой Пифагора a+b=c или с уникальной формулой Эйнштейна E=mc. »

4. 3 Стохастические фракталы.

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности или поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов.

5. Фракталы и природа.

Природа – это сочетание самых простых математических идей.

А. Эйнштейн.

Человек – нелинейный фрактал

Вселенной.

Ю. Тихоплав.

Удивительная простота фрактальных алгоритмов и потрясающее великолепие их форм сделали их фрактальную геометрию необычайно эффективным орудием для описания морфологических (морфология – комплекс наук, изучающих форму и строение животных и растительных организмов) свойств природы. Не случайно говорится: «Мудрость в простоте. » Принцип единого простого, задающего разнообразное сложное, можно проследить в устройстве всего мироздания. Этот принцип заложен в геноме человека и животных, когда одна клетка живого организма содержит всю информацию обо всём организме в целом.

Форму фрактала имеют легкие человека, мозг, кровеносная система и др. На сегодняшний день исследования в области фракталов получили широкое применение в таком важном разделе медицины как кардиология.

Итак, конец XX века ознаменовался не только открытием поразительно красивых и бесконечно разнообразных фракталов, но и осознанием фрактального характера геометрии природы.

Если на заре естествознания Галилей (1564 - 1642) утверждал, что «книга природы раскрыта перед нами, но она написана не теми буквами, из которых состоит наш алфавит; её буквы – это треугольники, четырёхугольники, круги, шары», то к концу XX века стало ясно, что книга природы написана на языке фракталов. Причудливые очертания береговых линий и замысловатые извилины рек, изломанные поверхности горных хребтов и причудливые очертания облаков, раскидистые ветви деревьев и разветвлённые сети кровеных сосудов и нейронов, робкое мерцание свечи и вспенённые турбулентные (беспорядочные) потоки горных рек – всё это фракталы. Одни фракталы, типа облаков или бурных потоков, постоянно меняют свои очертания, другие, подобно деревьям или нейронным сетям, сохраняют свою структуру неизменной. Общим для обоих типов фрактальных структур является их самоподобие – основное свойство, обеспечивающее выполнение во фракталах основного закона – закона единства в многообразии мироздания. Что касается соответствия реальному миру, то фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений, и поэтому мы можем вслед за Б. Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы.

6. Фракталы и искусство.

Глубочайшее эмоциональное воздействие на людей оказывают фракталы, возникшие на самом гребне научно-технического прогресса XXв. Человеку, впервые созерцающему фантастические узоры, трудно поверить, что выполнила их не обладающая воображением «бесчувственная» вычислительная машина, следуя несложному математическому замыслу.

Многообразие фракталов превосходит фантазию любого художника. Чего здесь только нет: листья «папоротника», расходящиеся причудливые узоры, невероятные изгибы и закрутки. Многоцветье, динамика и разрастание множеств поражает и завораживает. В этих современных математических картинах безраздельно властвует цвет, форма, богатейшая фантазия и тонкий композиционный расчёт. Все слито воедино. Компьютер, как мастистый и самобытный художник, создаёт прекрасные, радующее глаз, полотна.

Существует множество программ для построения фракталов. Принцип работы многих из них одинаков. В соответствующую рамочку на главной панели вводится формула, а потом появляется фрактал. Или просто выбирается уже заложенная в программу формула, которая отвечает той или иной фигуре.

Кроме плоских фракталов, с помощью компьютера можно строить и пространственные. Пространственные фрактальные рисунки ещё более красивы. Здесь и причудливые облака, и остроконечные горы, и замысловатые глубоководные впадины.

Фракталам подвластны самые невероятные формы, ведь компьютерное искусство фрактальной геометрии не знает границ.

Главное применение фракталов – современная компьютерная графика. С их помощью можно создавать плоские множества и поверхности очень сложной формы. Фрактальная геометрия незаменима при создании искусственных облаков, морей, горных ландшафтов.

Именно алгоритмом Мандельброта пользуется природа, создавая свои шедевры – фракталы золотого сечения – от листа травы до биологической популяции. Поэтому не удивительно, что фракталы поразительно красивы. Своей красотой и разнообразием форм они поразили не только математиков. Устроенная в 1984 году Институтом Гёте выставка «Границы хаоса», представлявшая собой «портреты» фракталов, имела сенсационный успех и обошла весь мир.

Впервые в истории науки результат математических расчетов демонстрировались широкой публике как произведения искусства.

Ещё через два года представленные на выставке материалы были собраны в книге Петера Рихтера и Ханса-Отто Пайтгена «Красота фракталов», которая в 1993 году вышла в России.

Рихтер и Пайтген были буквально потрясены красотой и разнообразием нелинейных фракталов. Они писали: «Мы обнаружили там фантастический мир, богатство форм которого контрастирует почти на грани абсурда с простой формулы Z → Z+C». Фрактальный бум охватил всю планету и стал одной из примет науки конца второго тысячелетия.

При ближайшем рассмотрении оказывается, что вся символика различных религий и эзотерических школ также содержит элементы фрактальных конструкций, базирующихся на некоторой фундаментальной геометрической первооснове – изображении креста.

Внешняя архитектурная сферо– кубо- пирамидальная форма евроазиатских христианских монастырей, буддийских храмов, исламских мечетей, египетских пирамид, пирамидальных конструкций цивилизации майя и т. д. , содержит в себе тот же фрактальный базис – трехмерный крест.

7. Заключение.

Фрактальная наука ещё очень молода, и ей предстоит большое будущее.

Задачи, которые открываются перед новой областью математики – фрактальной геометрией , - сложны и многообразны.

Но я убедился, что тем, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором царят математика, природа и искусство.

Я думаю, что после знакомства с моей работой, вы, как и я, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна.

В дальнейшем я собираюсь написать алгоритмы построения в программе «Живая геометрия» остальных известных геометрических фракталов, а так же придумать свои геометрические фракталы, и попробовать построить алгебраические нелинейные фракталы.