Четырехугольники в нашей жизни

В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырёхугольников: квадраты, прямоугольники равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями к одному из катетов на прямоугольные трапеции.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

Термин «диагональ» происходит от сочетания двух греческих слов «диа» (через) и «гониос» (угол), т. е. прямая, проходящая через вершины углов. Однако Евклид и большинство древнегреческих математиков пользовались почти всюду, в частности для прямоугольника, не этим, а другим термином - «диаметр». Это объясняется тем, что первые геометры мыслили о прямоугольнике вписанным в круг. В средние века были в ходу оба термина. Фибоначчи и Региомонтан еще пользовались термином «диаметром». Лишь в XVIII в. термин «диагональ» входит в общее употребление.

Слово «ромб» тоже греческое происхождение, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare-сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон”-четырехугольник. “Первый четырехугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат”, - пишет Д. Д. Мордухай-Болтовский. «Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик» (по гречески «трапедзион»). В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречаются впервые у древнегреческого математика Посидония (I в. ). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в XVIII в. это слово приобретает современный смысл. Предложение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме ее основания, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе Ахмеса и фигурирует в виде инспекции (II в. до н. э. ) на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было известно также вавилонским землемерам, оно содержится в трудах Герона Александрийского.

"Где мы можем увидеть, а также столкнуться с ними?"

Сразу можем заметить, что четырехугольники встречаются в нашей жизни везде. Они могут “попасться” дома, а могут повстречаться на улице. На улице мы можем встретить дом с прямоугольной дверью и квадратными окнами, а дома смотреть телевизор с прямоугольным экраном. Перечислять можно до бесконечности. Но, столкнувшись с ними, разве Вы будите обращать внимание на то, что эти вещи имеют форму четырехугольника?

В нашей жизни мы можем встретить много разных предметов , имеющих четырехугольные формы , будь то обычная линейка или старые советские автомобили и даже здания конца 19 века.

Автомобиль ИЖ 412 имеет четырехугольные: капот, передние двери, а также крышку багажника

У этого москвича 2141 четырехугольными являются заднее стекло , а также крыша , переднии двери , капот и лобовое стекло

Это здание приблизительно конца 19 века , у которого четырехугольными являются рамки окон , стекла и т. д.

А это линейка , у которой все четыре угла прямые и равны 90 градусам.

Второй этап

Практическая часть

Школьная мастерская получила заказ на изготовление партии пластин прямоугольной формы. Параллельность противолежащих сторон пластин технология изготовления гарантирует. Как проверить, располагая лишь линейкой, будет ли пластина иметь форму прямоугольника?

Решение:

Располагая лишь линейкой, мы измерили и сравнили диагонали пластины (если у пластины диагонали равны (по теореме), то пластина будет иметь форму прямоугольника).

Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточна ли такая проверка?

Решение:

Из 7-ми свойств квадрата паркетчик, проверяя, имеет ли, выпиленный четырехугольник его форму, убеждается лишь 2-мя свойствами. Поэтому такой проверке недостаточно. Паркетчик должен упомянуть 5-ть свойств параллелограмма, прямоугольника и ромба, справедливых для квадрата:

1). Противолежащие стороны и противолежащие углы равны.

2). Все углы прямые.

3). Все стороны равны.

4). Противолежащие стороны попарно параллельны.

5). Диагонали являются биссектрисами прямых углов.

Сторона квадратной шайбы равна 60 мм. Какой длины должен быть лист стали, чтобы из него можно было сделать 50 шайб? Ширина листа 300 мм.

Решение:

1). Для начала нам надо узнать, сколько шайб поместится на ширине листа?

300 мм60 мм 5 шайб поместится на ширине листа.

2). Мы узнали, сколько шайб поместится на ширине листа. Теперь нам надо узнать, сколько рядов нужно для того, чтобы поместилось 50 шайб?

50 шайб 5 шайб 10 рядов нужно для того, чтобы поместилось 50 шайб.

3). Переходим к заключительному действию. Какой же длины должен быть лист стали, чтобы из него можно было сделать 50 шайб?

60 мм 10 рядов 600 мм длина стали, из кот - ой можно сделать 50 шайб

(при том, что сторона одной квадратной шайбы равна 60 мм).

Ответ: 600 мм.

Хотят убедиться, что кусок материала в форме четырехугольника форму квадрата. Для этого материю дважды перегибают сначала по одной, а потом по другой диагонали. Образующиеся треугольники оба раза точно совмещаются. Доказывает ли такая проверка, что этот кусок материи действительно имеет форму квадрата?

Решение:

Так как материю дважды перегибали сначала по одной, а потом по другой диагонали, и образующиеся треугольники оба раза точно совмещались, то диагонали четырехугольника пересекаются и точкой параллелограмм. Но такая проверка не доказывает нам, что этот кусок материи действительно имеет форму квадрата, т. к. надо было убедиться, еще в том, что:

1). Все стороны равны – это свойственно, только ромбу и квадрату (из четырехугольников).

2). Диагонали равны – это свойственно, только прямоугольнику и квадрату. По этим двум параметрам можно было убедиться, что кусок материала в форме четырехугольника имеет форму квадрата.

Заготовлены одинаковые по длине и ширине рейки в форме прямоугольников. Как обрезать концы реек под углом в 45 , не используя углоизмерительного инструмента, чтобы из них можно было сложить раму?

Решение:

Сначала надо отметить равные отрезки AB, BC и CD, затем провести диагональ BD, и по ней обрезать на два равных угла квадрат ABCD. Следова-тельно ⦟ABD ⦟CBD. Вот мы и обрезали концы реек под углом в 45ᵒ, не используя углоизмерительного инструмента так, чтобы из них можно было сложить раму.

Фруктовый сад колхоза имеет форму прямоугольника, стороны которого относятся как 16 : 11, причем его ширина меньше длины на 250 м. за сколько времени сторож может обойти по краю весь участок, идя со скоростью 4 км/ч ?

Решение:

Рисунок фруктового сада.

1). Пусть x (м) – ширина фруктового сада, тогда (x 250 )м – длина сада. По условию фруктовый сад (прямоугольник) относится как 16 : 11.

Составим и решим уравнение:

2). Нам известна ширина сада, следовательно мы можем найти длину:

550 м + 250 м = 800 (м) – длина фруктового сада.

3). Мы нашли ширину и длину сада, значит можем найти и периметр (прямоугольник):

Р=(550 м + 800 м)2=2700 (м).

4). Зная, что "Р" прямоугольного фруктового сада равен 2700 м мы сможем найти за сколько времени сторож может обойти по краю весь участок, идя со скоростью 4 км/ч.

2700 м = 2,7 км

2,7 км 4 км/ = 0, 675 ч.

0,675 ч = 40,5 мин.

Ответ: 40,5 мин.