Простейшие математические модели описания кристаллов

Кристаллы и кристаллические вещества чрезвычайно широко распространены в природе и часто используются в жизни человека. С понятие кристалл в школе я познакомился еще в 6 классе на уроках математики при изучении пространственных фигур – многогранников. Далее при изучении нового в 8 классе предмета химии я подробнее познакомился в веществами, которые образуют кристаллы.

Кристаллы или кристаллические структуры с точки зрения математики – это способы замощения пространства различными многогранниками: кубом, шестиугольной призмой и т. д. Прежде чем рассматривать такой достаточно сложный способ замощения пространства рассмотрим более простые с точки зрения математических закономерностей способы замощения плоскости многоугольниками. Такая модель рассмотрения вполне приемлема так как при сечении кристалла плоскостью мы получаем плоскость замощенную многоугольниками.

Любое химическое вещество образовано большим числом одинаковых частиц или групп частиц (атомов, молекул, ионов), которые обладают одинаковыми свойствами и поэтому связаны между собою одинаково во всём объёме вещества. При достаточно низкой температуре, когда тепловое движение частиц затруднено, такое одинаковое взаимодействие приводит к образованию периодически повторяющейся в пространстве структуры — кристаллической решётки

Но твердые вещества могут и не иметь такой четкой пространственной структуры. Частицы, образующие такие вещества расположены хаотически, и такие вещества называются аморфными . Аморфные вещества, в отличие от кристаллических не имеют четкой температуры плавления.

Свойства кристаллических веществ в значительной степени зависят от строения их кристаллов.

Свойства твёрдых веществ зависят не только от строения их кристаллов, но в первую очередь от характера связи между образующими его частицами — молекулами, атомами или ионами. Соответственно по типам связи различают кристаллы с молекулярной, атомной и ионной структурой.

Б) Виды кристаллических решеток

I. Молекулярные кристаллы.

Молекулярными называют кристаллические решётки, в узлах которых располагаются молекулы. Химические связи в этих молекулах могут быть и полярными (HCl, H2O), и неполярными (N2, O3, P4).

Примерами веществ с молекулярными кристаллическими решётками являются твёрдые: вода, оксид углерода(IV), хлороводород, сероводород, твёрдые простые вещества, образованные одно- (благородные газы), двух- (H2, O2, Cl2, N2, I2), трёх- (О3), четырёх- (Р4), восьмиатомными (S8) молекулами. Большинство твёрдых органических соединений имеют молекулярные кристаллические решётки.

Несмотря на то что атомы внутри молекул связаны очень прочными ковалентными связями, между самими молекулами действуют слабые силы межмолекулярного притяжения. Поэтому вещества с молекулярными кристаллическими решётками имеют малую твёрдость, низкие температуры плавления, летучи.

II. Атомные кристаллы.

Атомными называют кристаллические решётки, в узлах которых находятся отдельные атомы. В таких решётках атомы соединены между собой очень прочными ковалентными связями. Примером веществ с таким типом кристаллических решёток может служить алмаз .

Число веществ с атомной кристаллической решёткой не очень много. К ним относятся кристаллический бор, кремний и германий, а также сложные вещества, например такие, в состав которых входит оксид кремния SiO2: кремнезём, кварц, песок, горный хрусталь.

Большинство веществ с атомной кристаллической решёткой имеют очень высокие температуры плавления, они прочны и тверды, практически нерастворимы.

III. Ионные кристаллы.

Ионным строением обладает большинство соединений металлов с неметаллами. В узлах кристаллической решётки находятся ионы металлов и ионы неметаллов или сложные ионы, состоящие из нескольких атомов, например, гидроксид-ион ОН-.

Ионные соединения имеют ионную связь. Ионными соединениями являются оксиды металлов, основания, соли.

IV. Металлические кристаллы.

Металлические кристаллы образуют вещества с металлической связью, то есть металлы. В узлах таких решеток находятся атомы и ионы, а между ними двигаются электроны. Такое строение металлических кристаллов объясняет характерные физические свойства металлов: ковкость, пластичность, тепло- и электропроводность, блеск. Различают несколько видов металлических кристаллических решеток. Рассмотрим их подробнее.

В) Типы металлических кристаллических решеток.

1. Кубическая объемноцентрическая

2. Кубическая гранецентрированная

3. Гексогональная

Кристаллы или кристаллические структуры с точки зрения математики – это способы замощения пространства различными многогранниками: кубом, шестиугольной призмой и т. д. Прежде чем рассматривать такой достаточно сложный способ замощения пространства рассмотрим более простые с точки зрения математических закономерностей способы замощения плоскости многоугольниками.

Так, если рассмотреть металлическую объемноцентрированную кубическую решетку и ее сечение по одной из плоскостей, можно увидеть картину, что напоминает паркет, составленный из квадратов. Аналогично можно рассмотреть и другие виды кристаллических решеток

Такая модель рассмотрения вполне приемлема так как при сечении кристалла плоскостью мы получаем плоскость замощенную какими-либо многоугольниками.

Прежде чем рассматривать паркеты, обратимся к понятию движения.

2. Движение

Самыми важными являются такие преобразования фигур, при которых сохраняются все их геометрические свойства: расстояния между точками, углы, площади, параллельность отрезков и т. д. Оказывается, для этого достаточно потребовать сохранения лишь расстояний между точками данной фигуры. Тогда у полученной фигуры сохраняются и все остальные геометрические свойства, поскольку они зависят только от расстояний.

Определение. Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением этой фигуры.

Подробнее: фигура N получена движением фигуры М, если любым точкам Х, У фигуры М сопоставляются такие точки Х', Y’, фигуры N, что X'Y'=XY.

Замечание. Со словом «движение» обычно связывается представление о движениях реальных твердых тел, когда тело меняет свое положение без деформаций, т. е. без изменений расстояний в нем. В геометрии движение ­ это отвлеченный образ реальных движений. Геометрическую фигуру нельзя передвинуть в буквальном смысле слова, как нельзя передвинуть участок земли. Рисунок на бумаге тоже нельзя передвинуть, это можно проделать с самой бумагой, но не с рисунком на' ней .

2. 1. СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ.

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой,- в три точки, не лежащие на одной прямой.

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая - в прямую.

Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник.

Свойство 5. Движение сохраняет величины углов.

Подробнее: если точкам A, В, С, не лежащим на одной прямой, движение сопоставляет точки А', B', С', то L A'B'C'=L АВС.

Итак, движение сохраняет углы, а значит, и перпендикулярность. Поэтому высота треугольника движением переводится в высоту треугольника, образа. Длина высоты, как и длина основания треугольника, как полагается при движении, сохраняется. Значит, движение сохраняет площадь треугольника. И не только треугольника. Многоугольные фигуры составляются из треугольников, а потому справедливо такое свойство:

Свойство 6. При движении сохраняются nлoщади многоугольных фигур.

Из определений движения и обратимого преобразования.

Непосредственно вытекает еще одно свойство движении:

Свойство 7. Движение обратuмo. Преобразование, обратное движению, является движением.

2. 2. ВИДЫ ДВИЖЕНИЙ

На плоскости существуют четыре типа движений:

1)Параллельный перенос.

2)Поворот вокруг точки

3)Осевая симметрия

4)Центральная симметрия конецформыначалоформыЦентральная симметрия (симметрия относительно точки)

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм.

Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии.

Теорема: Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Доказательство. Пусть М и N - две произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки M' и N'. Рассмотрим треугольники MON и M'ON'. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OM=OM', ON=ON' по свойству симметрии относительно точки O. Из равенства треугольиков следует равенство сторон: MN=M'N'. А значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана.

Поворот

Отметим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота).

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М', что ОМ=ОМ' и угол МОМ' равен α. При этом точка О остаётся на месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении - по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Поворот является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Докажем, что поворот является движением:

Пусть О - центр поворота, α - угол поворота против часовой стрелки (случай поворота по часовой стрелке рассматривается аналогично). Допустим, что при этом повороте точки М и N отображаются в точки M' и N'. . Треугольники ОМN и OM'N' равны по двум сторонам и углу между ними: ОМ=OM', ON=ON' и L MON = L M'ON'. Из равенства этих треугольников следует, что MN = M'N', т. е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между точками M' и N'. Итак, поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки О на данный угол α.

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180°. При повороте вокруг прямой a на 180° каждая точка A переходит в такую точку A", что прямая a перпендикулярна отрезку AA" и пересекает его в середине. Про такие точки A и A" говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180° вокруг прямой является осевой симметрией.

Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

Точки М и M' называются симметричными относительно прямой b, и каждая из них симметричной другой, если b является серединным перпендикуляром отрезка MM'.

Каждая точка прямой b считается симметрична самой себе (относительно прямой b). Если дана прямая b, то каждой точке M соответствует единственная точка M', симметричная M относительно b .

На рисунке точки M и M', N и N' симметричны относительно прямой b, а точка P симметрична самой себе относительно этой прямой.

Осевая симметрия есть движение. Чтобы доказать это применим метод координат. Примем ось симметрии за ось x прямоугольных координат . Тогда отражение сопоставит точке (x;y) точку (x; -y). Возьмём любые две точки A(x1;y1) и В (х ; у ) и рассмотрим симметричные им относительно оси х точки A’(x1 ; у1 ) и B’(x2 ; у2 ). A’B’² =(х2-х1 )²+(y2-y1 )²=(x2 – x1 )²+(y2 –y1)²=AB². Итак, осевая симметрия сохраняет расстояния, т. е. является движением.

Параллельный перенос

Реальным примером фигур, полученных друг из друга параллельным переносом, являются одинаковые окна на фасаде дома. Начертив на плане одно из окон, можно затем получить любое другое окно, сместив все точки первого в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это свойство и определяет перенос.

конецформыначалоформыПараллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние. Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам Х и Y фигуры сопоставляет такие точки X' и Y', что направленные отрезки ХХ’ и YY’ равны по длине и одинаково направлены, т. е. ХХ’=YY’

Равные направленные отрезки представляют один и тот же вектор. Значит, параллельный перенос – это преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса. Параллельный перенос задаётся вектором переноса: зная этот вектор, мы знаем, в какую точку перейдёт любая точка переносимой фигуры.

Параллельный перенос является движением, которое сохраняет направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X' и Y'. Тогда, как следует из определения переноса, выполняется равенство ХХ’=YY’ .

Согласно признаку равенства векторов, из равенства ХХ’=YY’ следует XX’=YY’ и XX’//YY’. Отсюда получившийся четырёхугольник – параллелограмм. Следовательно, XY=X’Y’. Поэтому, во-первых, X’Y’=XY, т. е. параллельный перенос является движением, а во-вторых, из равенства X’Y’=XY следует, что X’Y’/ /XY. Это означает, что параллельный перенос сохраняет направления.

Свойства параллельного переноса:

1) параллельный перенос есть движение;

2) точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние;

3) прямая переходит в параллельную прямую (или в себя);

4) каковы бы ни были две точки M и M', существует, и при том единственный, параллельный перенос, при котором точка М переходит в точку М';

5) преобразование, обратное параллельному переносу, есть параллельный перенос;

6) два параллельных переноса, выполненные один за другим, дают снова параллельный перенос.

3. Способы замощения плоскости

Самый простой способ рассмотреть способы замощения плоскость – рассмотреть паркеты.

Правильным называется такой паркет, который составлен повторением одной и той же фигуры.

Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий - треугольник, квадрат и шестиугольник .

В каждом из этих замощений любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющие этому требованию, называют паркетами.

Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов многоугольника. Если паркет составлен из n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться k = З6О°/αn многоугольников, где αn — угол правильного n-угольника. Легко найти, что α3 = 60°, α4 = 90°, α5 = 108°, α6= 120° и 120°<αn<180° при n≥7. Поэтому 360° делится нацело на αn только при n = 3; 4; 6.

Паркеты из правильных многоугольников сами правильные в том смысле, что они «одинаково устроены» относительно всех своих вершин и всех составляющих паркеты кусочков-многоугольников. (Эти кусочки называются гранями замощения или просто плитками. ) Другими словами, для любых двух вершин правильного паркета можно указать такое его самосовмещение, при котором одна из вершин попадает на другую. То же верно для любых двух плиток паркета.

Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь

Рассматривают и другое обобщение — паркеты из копий произвольного многоугольника, правильные «по граням» (т. е. допускающие самосовмещения, которые переводят любую заданную плитку в любую другую). Число таких паркетов — 46, включая и первые три. Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами. Ясно, что плоскость можно уложить копиями произвольного треугольника, но менее очевидно, что произвольный четырёхугольник — планигон . То же верно и для любого шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны.

Все рассмотренные выше паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить (и даже многими способами) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет. Интерес учёных к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры. Существуют и непериодические замощения, например очень красивое спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936г. немецким математиком X. Фодербергом. Впрочем, объединив эти плитки попарно в центрально-симметричные восьмиугольники, можно замостить ими плоскость и периодически.

Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость только непериодически. Однако в середине 6О-х гг. XX в. эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками. Но при их выкладывании необходимо соблюдать некоторые простые правила сочетания фигурок. Форма фигурок может быть различной, но все они связаны с правильным пятиугольником. Один из примеров подобной пары плиток — так называемые треугольники Робинсона (треугольники ЛВС и АСВ ). Другой пример - ромбы с острыми углами 72 и 36°. Участок одного из бесконечного множества образуемых ими паркетов. Как и все другие мозаики Пенроуза, этот паркет квазипериодический (от лат. — «почти»), т. е. любая его конечная часть повторяется в нём бесконечно много раз. Но самое интересное заключается в том, что вскоре — уже через несколько лет после открытия квазипериодических замощений, вначале казавшихся не более чем игрой ума, — были получены вещества с квазипериодической структурой. ( на конец)

В мозаике Пенроуза плоскость закрывается золотыми ромбами без пропусков и перекрытий, и ее можно беспредельно расстилать в длину и ширину. Но для построения бесконечной мозаики надо соблюдать определенные правила, существенно отличающиеся от однообразного повторения одинаковых элементарных ячеек, составляющих кристалл. Если правило подгонки золотых ромбов нарушить, то через некоторое время рост мозаики прекратится, так как появятся неустранимые несогласования. В бесконечной мозаике Пенроуза золотые ромбы располагаются без строгой периодичности.

Мозаика Пенроуза имеет свою особую прелесть и как объект занимательной математики. Не вдаваясь во все аспекты этого вопроса, отметим, что даже первый шаг - построение мозаики - достаточно интересен, так как требует внимания, терпения и определенной сообразительности. А уж массу выдумки и фантазии можно проявить, если сделать мозаику разноцветной. Раскраску, превращающуюся сразу в игру, можно выполнить многочисленными оригинальными способами, варианты которых представлены на рисунках. Белой точкой отмечен центр мозаики, поворот вокруг которого на 72° переводит ее саму в себя.

Мозаика Пенроуза - великолепный пример того, как красивое построение, находящееся на стыке различных дисциплин, обязательно находит себе применение. Если узловые точки заменить атомами, мозаика Пенроуза станет хорошим аналогом двухмерного квазикристалла, так как имеет много свойств, характерных для такого состояния вещества. И вот почему. Во-первых, построение мозаики реализуется по определенному алгоритму, вследствие чего она оказывается не случайной, а упорядоченной структурой. Любая ее конечная часть встречается во всей мозаике бесчисленное множество раз. Во-вторых, в мозаике можно выделить много правильных десятиугольников, имеющих совершенно одинаковые ориентации. Они создают дальний ориентационный порядок, названный квазипериодическим. Это означает, что между удаленными структурами мозаики существует взаимодействие, которое согласовывает расположение и относительную ориентацию ромбов вполне определенным, хотя и неоднозначным способом. В-третьих, если последовательно закрасить все ромбы со сторонами, параллельными какому-либо выбранному направлению, то они образуют серию ломаных линий . Вдоль этих ломаных линий можно провести прямые параллельные линии, отстоящие друг от друга приблизительно на одинаковом расстоянии. Благодаря этому свойству можно говорить о некоторой трансляционной (переносной) симметрии в мозаике Пенроуза. В-четвертых, последовательно закрашенные ромбы образуют пять семейств подобных параллельных линий, пересекающихся под углами, кратными 72°. Направления этих ломаных линий соответствуют направлениям сторон правильного пятиугольника. Поэтому мозаика Пенроуза имеет в какой-то степени поворотную симметрию 5-го порядка и в этом смысле подобна квазикристаллу. Мозаика Пенроуза - модель квазикристалла. Итак, модель квазикристалла может быть создана на основе мозаики Пенроуза с двумя "элементарными ячейками", соединенными друг с другом по определенным правилам стыковки. Эти специальные правила намного сложнее, чем примитивное транслирование одинаковых ячеек в классических кристаллах. Модель Пенроуза хорошо описывает некоторые основные свойства квазикристаллов, но недостаточно объясняет реальные процессы их атомного роста, носящие явно нелокальный характер. В большинстве публикаций изящные мозаики Пенроуза с двумя и более фигурами признаются наиболее правильным ключом к пониманию структуры квазикристаллов.

4. Экспериментальная часть.

Задачей моего эксперимента было попытаться вырастить кристаллы меди.

Медь – один самых распространенных металлов.

Медь, как и все металлы, образована металлической связью и имеет металлическую кристаллическую решетку. Кристаллическая решетка меди кубическая гранецентрированная и кристаллы меди представляют собой куб. Чаще всего медь можно увидеть в виде проволоки или медной фольги

Медь можно получить с помощью реакции замещения меди в солях более активным металлом, например железом:

CuSO4 + Fe → FeSO4 + Cu

Существует множество способов постановки эксперимента, я рассмотрел два.

Первый способ:

В раствор сульфата меди (II) опускают железный предмет. Постепенно на поверхности железа появляется налет меди, состоящей из мелких кристаллов.

Второй способ.

На дно химического стакана поместить несколько кристалликов сульфата меди (II), засыпать слоем поваренной соли. Сверху положить фильтровальной бумагой. На слой бумаги положить кружок их жести, зачищенный наждачной бумагой. Залить насыщенным раствором поваренной соли.

Первый способ позволяет получить мелкокристаллическую медь, а второй – более крупные кристаллы. Я выбрал второй способ.

Опыт был начат 18 февраля, а 21 февраля окончен.

В результате получили друзы (сростки) кристаллов меди размером около 1-2 мм. Результаты представлены на фотографиях

Кристаллические вещества имеют ряд особенностей строения и свойств, главной особенностью кристаллических веществ является упорядоченное расположение частиц.

Если рассмотреть сечение кристаллической решетки плоскостью, то получим плоскостную фигуру – паркет. Таким образом, в качестве плоскостных моделей кристаллов можно использовать мозаику Пенроуза и паркеты.