Золотое сечение в пентограмме

Почти за 3000 лет до нашей эры изобразительное искусство подвергалось математическому анализу и анализ этот был весьма объективен, коль скоро он устраивал древнеегипетских художников на протяжении тысячелетий. Только в математических закономерностях и можно было на века сохранить художественные каноны.

В начале нашего столетия на одном из заседаний Московского научно – музыкального кружка, членами которого вместе с композиторами и пианистами Тонеевым, Рахманиновым, Глиэром были и крупные московские ученые, Розинов выступил с докладом «Закон золотого сечения в поэзии и музыке». Эту работу можно считать одним из первых математических исследований музыкальных произведений.

Издревле в пропорции художники видели объективную основу красоты формы прекрасного. Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли («Рождение Венеры», ок. 1483-1484), и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его «Венера». Неповторимо нервное изящество боттичеллиевских линий и болезненная хрупкость его вытянутых фигур. Неповторима младенческая чистота Венеры и короткая печаль ее взора. Неповторим льнущий кубок золотых волос Венеры, в котором, как в клубке змей, таится роковое коварство этого безгрешного существа. Но для неоплатоника Боттичелли его Венера, так же как и для неопифагорейца Поликлета его Дорифор, - это воплощение идеи универсальной гармонии золотого сечения, господствующего в природе. Пропорциональный анализ Венеры (слева) убеждает нас в этом.

Великий Леонардо да Винчи – одна из загадок в истории человечества. Его разносторонний гений непревзойденного художника, теоретика искусств, математика, анатома, биолога, великого ученого и неутомимого исследователя во все века повергал человеческий разум в смятение.

Отдавая в «споре искусств» пальму первенства живописи, Леонардо да Винчи считал её универсальным языком, наукой, которая подобно математике в формулах отображает в пропорциях и перспективе всё многообразие природы.

В построении пропорций человека Леонардо да Винчи исходит из анализа многочисленных измерений самого человека, из его анатомии (справа).

Не все художники рассматривали искусство только как плод фантазии и интуиции. И те из них, кто пытался постигнуть объективные законы прекрасного, находили их прежде всего в пропорции. Мы знаем, что только единство симметрии и ассиметрии создает подлинную гармонию красоты. Так вот, в качестве меры соотношения симметричного и асимметричного выступает пропорция.

"Золотое сечение и гармония форм природы и искусства"

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — теорема Пифагора, другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

И. Кеплер

Отрезок можно разделить на две части бесконечным множеством способов. В частности, можно разделить так, чтобы отношение всего отрезка к его большей части равнялось отношению большей части к меньшей.

Пусть длина некоторого отрезка равна а, длина его большей части равна х, тогда а—х — длина меньшей части отрезка. Составим отношение согласно приведенному выше определению:

Такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних, поэтому от пропорции (1) перейдем к равенству а(а-х)=х2. Отсюда получаем квадратное уравнение х2 + ах - а2 =0. Длина отрезка х выражается положительным числом, поэтому из двух корней следует выбрать положительный: , или.

Число обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия (род. в начале V в. до н. э. ), в творениях которого это число встречается многократно. Число иррациональное, с восемью десятичными знаками, оно записывается так: 0,61803398. Но в практике пользуются числом , взятым с точностью или до тысячных 0,618, или до сотых 0,61, или до десятых 0,6.

Примем длину отрезка АВ за 1 и разделим его на 10 равных частей. Тогда для того, чтобы разделить его в среднем и крайнем отношении, придется отложить от одного из его концов шесть десятых долей данного отрезка. На рис. 1 АС = 0,6, тогда СВ =0,4, а точка С является искомым сечением (с точностью до 0,1).

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, встречается оно и в живой природе, что дало повод математику XVI в. , другу известного художника Леонардо да Винчи монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употреблял много хвалебных слов, но в истории утвердились два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение.

Золотое сечение и законы искусства в Древней Греции.

Рассмотрим теперь применение золотого сечения в скульптурах Древней Греции. Работы Фидия в оригиналах почти не сохранились, поэтому для иллюстрации возьмем произведение его младшего современника, скульптора и теоретика искусства Поликлета (вторая половина V в. до н. э. ). В своем трактате "Канон" он стремился установить законы пропорциональности человеческого тела. Теория пропорций Поликлета ярко воплотилась в статуе "Дорифор" — копьеносец, которую он изваял в строгом соответствии всех частей. В этой статуе мы встречаем много раз примененное число. Так, пупок (точка О) делит высоту статуи в отношении золотого сечения. Значит, если высоту АВ принять за 1, то АО = , но тогда ОВ=1-. Однако расстояние ОВ берется равным 2. Нет ли здесь противоречия? Проверим: если считать, что 1 - = 2 , то приходим к уравнению 2 + -1 = 0. Откуда

, т. е. получили то же самое значение , которое вычислили ранее.

Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равно 3, высота шеи вместе с головой — 4, длина шеи до уха — 5, а расстояние от уха до макушки — 6. Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем : 1,, 2, 3, 4, 5, 6.

Золотое сечение многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона . Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим далеким предкам.

Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за 1 ширину торцевого фасада здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно , между третьей и шестой — 2, между четвертой и пятой — 4.

Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получим прогрессию: 1, , 2, 3, 4, 5.

Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.

Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме — так назвали греки звездчатый пятиугольник (от слова "пенте" — пять). Он служил символом Пифагорейского союза — религиозной секты и научной школы во главе с Пифагором (ок. 580 — 500 до н. э. ), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т. д. На подобных устоях основывались очень многие секты. Но Пифагорейский союз отличало от других то, что пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики.

По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) — мужскими. Число 5 — как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) — считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов.

Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гёте проникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он сам смог предстать перед Фаустом.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Построим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из ее центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные = 72°.

Стороны углов пересекут окружность в точках А, В, С, D, Е. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму.

Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций. Но, прежде чем перейти к ним, напомним читателям два свойства правильных n-угольников.

Первое. Величина угла правильного n - угольника вычисляется по формуле. При n=5 имеем.

Второе. Диагонали правильного n - угольника делят его углы на равные части. Например, в 5-угольнике ABCDE на рис. 4, б 1 = 2 = 3 = 108°: 3 = 36° (как вписанные, опирающиеся на равные дуги).

Теперь рассмотрим пентаграмму на рис. 5. Соединим в ней точки К и F. Выше уже отмечалось, что пятиугольник KLFPM — правильный, т. е. КLF = 108°. Тогда 1 = 2 = 36°. Но угол Е тоже равен 36°. Из того, что A = E следует, что ЕС KF, а тогда BEP ~BKF и

EB : KB=PB : FB. (2)

Рис. 5 Рис. 6

Обозначим ЕВ = а и KB = х, перепишем пропорцию (2) иначе: а : х = х : (а-х), или х2 + ах - а2 = 0. Таким образом, мы получили то же самое уравнение, решением которого является. Об этом уравнении мы говорили в самом начале темы. Значит, КВ : ЕВ =.

Таким образом доказано, что стороны пентаграммы, пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины которых образуют золотую пропорцию.

В Древней Греции были выработаны способы точного построения золотого сечения, хотя иррациональные числа, которые ныне применяются для его выражения, древним были неизвестны. Но они установили, что величину, которая не поддается выражению целым числом или отношением целых чисел (т. е. дробью вида m/n),можно выразить. длиной отрезка. Поэтому для них были так важны приемы построения циркулем и линейкой, которые давали возможность найти геометрические аналоги того, что мы называем иррациональным числом.

Рассмотрим способ точного построения золотого сечения с помощью циркуля и линейки по данному прямоугольному треугольнику.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами а = 1 и b = 2. Тогда его гипотенуза с =. Построим отрезки, длины которых находятся в отношении.

П о с т р о е н и е : а) из точки В как из центра проведем окружность радиусом а = 1, которая пересечет гипотенузу АВ в точке D, а ее продолжение - в точке М, тогда AM = +1; б) из точки А проведем окружность радиусом b = 2, которая пересечет отрезок AM в точке К, тогда МК = МА – АК = (+1) – 2 =- 1 и АК = АС = 2.

В таком случае МК: КА = ( - 1) : 2.

Следовательно, точка К (как и точка D) делит отрезок AM в золотом отношении.

Золотая пропорция и связанные с нею соотношения.

Применение золотой пропорции часто сводится к построению отрезка длиной Ф = 1,618. Это число является обратным по отношению к числу.

В самом деле:

Естественно поставить вопрос о том, как построить отрезок длиной Ф.

П о с т р о е н и е (рис. 7): а) отложим отрезок АВ = 1; из точки В восставим перпендикуляр к отрезку АВ и отложим на нем отрезок ВС = 1; б) разделим отрезок АВ пополам точкой О, ОС = ; в) из точки О проведем окружность радиусом , пересекающую луч АВ в точке D, AD =.

Ранее было доказано, что 2= 1 -. Теперь докажем, что Ф2 = 1 + Ф. Доказательство.

С одной стороны,

С другой стороны, Ф + 1 = , следовательно, Ф2 =Ф+1.

Много интересных свойств числа Ф можно увидеть в так называемом возвышенном треугольнике — равнобедренном треугольнике, у которого основание равно Ф, а боковые стороны Ф + 1.

Прежде всего установим величины углов треугольника АЕС. Для этого проведем ЕО АС. Из АЕО: cos

Итак, cosA = 0,309. Теперь можно установить по таблицам или с помощью МК, что A = 72°, а значит, C = 72°, Е = 36°.

С помощью возвышенного треугольника можно доказать одно красивое соотношение, связывающее числа и Ф: 2cos = Ф.

Доказательство.

AMКС — трапеция, у которой АМ= МК= КС = 1 Проведем в ней высоты ММ1 и КК1. Очевидно, что

Но АК = АС = Ф.

Тогда cosКАК1 = , однако КАК1= 36° =. Кроме того, уже было доказано, что Ф + 1 = Ф2. Следовательно, cos. Итак, cos или 2соs36° = Ф. Рассмотрим теперь способ построения отрезков длиной 1/Ф, 1/Ф2, 1/Ф3, на сторонах возвышенного треугольника.

Проведем биссектрису угла А до пересечения со стороной ЕС в точке К, а из точки К— отрезок КМ, параллельный стороне АС. Построим теперь биссектрису ML угла ЕМК и проведем прямую LN АС. В треугольнике MLN углы равны 36°, 36°, 108°, а углы треугольника MKL равны 36°, 72°, 72°. Из треугольника KML определим длину отрезка LK, используя теорему синусов:

Продолжив построения биссектрис углов GNL, FGP и т. д. , аналогично предыдущему докажем, что основания получающихся равнобедренных треугольников NPL, GHP и т. д. равны 1/Ф2,1/Ф3, т. е. LK = 1/Ф, LP =1/Ф2, РН = 1/Ф3,.

Число Ф интересно еще и тем, что оно является диагональю правильного 5-угольника со стороной 1. (Проверьте!) На этом свойстве основан способ построения правильного пятиугольника циркулем и линейкой. Ранее мы строили его "незаконно" с точки зрения древнегреческой математики, поскольку кроме циркуля и линейки применяли транспортир.

Пусть дан отрезок АВ = 1 - сторона правильного пятиугольника. Требуется найти еще три его вершины.

П о с т р о е н и е: а) разделим отрезок АВ точкой С в отношении золотого сечения, т. е. так, чтобы ВС : СА = ; б) из точки В как из центра проведем окружность, которая пересечет луч СВ в точке Р, РА = РВ + ВА = в) из точек А и В как из центров проведем окружности радиусом РА и обозначим точку их пересечения через Е; поскольку АЕ = BE = Ф, заключаем, что Е — третья точка пятиугольника, которая не является соседней для точек Аи В; г) из точки Е как из центра проведем окружности радиусом АВ, которые пересекают две предыдущие окружности в точках К и L. Так получены еще две вершины многоугольника.

Пятиугольник ABKEL правильный по построению

Рассмотрим теперь вопрос о построении правильного 10-угольника. На рис. 10 видно, что правильный 10-угольник можно разделить на 10 треугольников, углы которых равны 36°, 72°, 72°, т. е. эти

Рис. 9 Рис. 10 треугольники подобны возвышенному треугольнику. Если выбрать сторону 10-угольника равной Ф, то его можно будет вписать в окружность радиусом Ф +1.

Но с практической точки зрения гораздо важнее другая задача: вписать в окружность данного радиуса правильный десятиугольник.

Пусть на рис. 10 ОА= R. Требуется найти длину отрезка АВ.

Решение.

Проведем OP АВ, АР = АО*cos 720 = R.

Таким образом, чтобы построить правильный 10-угольник, вписанный в окружность радиуса R, надо радиус О А окружности разделить точкой С в отношении золотого сечения и раствором циркуля, равным ОС, сделать 10 засечек на окружности, которые являются вершинами вписанного 10-угольника.

Геометрические фигуры, в которых есть элементы, связанные друг с другом золотой пропорцией, большинству людей кажутся красивыми. Известен, например, такой психологический опыт: каждого из испытуемых (а их было довольно много) просили начертить прямоугольник — любой, какой больше нравится (!). Так вот, испытуемые рисовали прямоугольники разной величины, но у большинства отношение сторон оказалось близким к отношению отрезков, составляющих золотое сечение.

Прямоугольник, у которого для сторон a и b выполняется соотношение а: b =: (1 - ), иногда называют золотым прямоугольником. Золотой прямоугольник обладает интересными свойствами. Рассмотрим два из них, тесно связанные друг с другом.

I свойство. Если от золотого прямоугольника со сторонами а и b (где а > b) отрезать квадрат со стороной b, то получим прямо угольник со сторонами b и а — b, который тоже золотой. Продолжая этот процесс, мы каждый раз будем получать прямоугольник меньших размеров, но опять золотой

II свойство. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой спиралью. Точка

S, с которой она начинает раскручиваться, называется полюсом.

Отрезки, соединяющие точку S c точками спирали, называются полярными радиусами.

Французский ученый Пьер Вариньон (1654—1722) назвал эту спираль логарифмической, поскольку логарифм расстояния движущейся точки М от полюса S изменяется пропорционально углу поворота а.

Одно из важнейших свойств этой кривой состоит в том, что она пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса S.

Свойства логарифмической спирали первым начал изучать французский ученый Рене Декарт (1596—1650). Много занимался этой спиралью и швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 — 1705). Он настолько был восхищен ею, что даже завещал вырезать ее на своем надгробии вместе со словами: "Измененная, я воскресаю той же" .

Золотое сечение и золотая спираль в живой природе.

Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил — тяготения и инерции. Золотая пропорция — символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлет легкого юного побега до зрелости и замедленный рост "по инерции" до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.

Одним из первых проявления золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571—1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

Приведем один из сравнительно недавно установленных фактов. В 1850 г. немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°.

Представим себе, что две соседние ветви растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами-ветками обозначим через , a угол, дополняющий его до 360°, — через Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол — большая часть этой величины:

Отсюда получаем уравнение + 360 - 3602 = 0 и находим положительный корень = - 180 + Тогда = 360° - 222,48° = 137,52° 138°.

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

Рассмотрим теперь расположение семечек в корзинке подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую — 1. В более крупных соцветиях подсолнечника число соответствующих спиралей 21 и 34 или 34 и 55. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов.

Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно, отличается у разных растений, но чаще всего принимает следующие значения (в числителе записано число длинных рядов, в знаменателе — число коротких):

½= 0,5, 2/3= 0,666, 3/5 = 0,6, 5/8 = 0,625, 8/13 = 0,615, 13/21 = 0,619047, 34/55 = 0,61818, 55/89 = 0,617977, 89/144 = 0,618055.

Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число, с каждым новым шагом выражаемое все более точно: = 0,618033.

Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других. По логарифмической спирали свернуты раковины многих улиток и моллюсков ; та же спираль встречается в соцветиях растений; даже пауки, сплетая паути-1 ну, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Таким образом, человеческие представления о красивом формируются явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения. В различных своих творениях, казалось бы, очень далеких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы.

Золотое сечение — один из этих основополагающих принципов природы.

"Музыкальная гармония пропорций".

Музыка — это радость души, которая вычисляет, сама того не замечая.

Г. Лейбниц

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Мнение одного из знаменитых математиков приведено в эпиграфе, а вот что говорил далекий от математики человек — известный пианист Генрих Нейгауз: "Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства".

Пифагор и зарождение теории музыки.

Теория музыки начала формироваться в трудах одного из самых таинственных ученых античного мира — Пифагора. О нем самом знают немного. Даже годы его жизни известны приблизительно: около 570—500 гг. до н. э. Историки утверждают, что Пифагор учился в Египте у жрецов, с меньшей уверенностью упоминают о его посещениях Вавилона. Точно известно, что в греческой колонии на юге Италии, в г. Кротоне, было организовано Пифагором философское братство, которое по своему уставу и обрядам походило, скорее, на религиозную секту. Членам братства запрещалось разглашать непосвященным учение своей школы. Поэтому теперь невозможно определить, какие открытия были сделаны самими пифагорейцами, а какие были заимствованы у восточных мудрецов и в чем состоял вклад в эти открытия самого основателя школы.

Несомненны три факта. Первый — своего руководителя члены братства уважали до обожествления, иначе о нем не сохранилось бы столько легенд при скудных точных сведениях. Второй — организованный в Кротоне союз людей, ищущих знания, сам по себе явил миру великий подвиг объединения интеллектуальных сил для бескорыстного служения истине. Третий и самый важный — пифагорейцы существенным образом продвинули математическую науку, поскольку через математику надеялись понять законы, управляющие миром. Они утверждали, что число есть сущность всех вещей, и приписывали числам мистические свойства. Научная трагедия пифагорейцев состояла в том, что в то время были известны только положительные целые и дробные числа, т. е. собственно науку о числах еще предстояло развить. Начало этому процессу они фактически и положили, поскольку в силу своих философских установок стали изучать числа сами по себе, т. е. оказались родоначальниками теоретической арифметики.

Пифагорейцы первыми явно разделили числа на четные и нечетные, они же выделили понятие простого числа, им были знакомы три вида пропорций: арифметическая, т. е. равенство (а - b) : (b - с) = а : а, геометрическая (a - b) : (b - c) = a : b, гармоническая (а - b) : (b - с) = а : с, а также, естественно, соответствующие средние, обозначаемые нами в каждом приведенном равенстве через b. Так, из первой пропорции получаем знаменитую формулу для среднего арифметического двух чисел а и с: , отсюда а – b = b – с и а + с = 2b, или b =.

Пифагорейцы доказали, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов; установили, что плоскость можно "замостить" правильными многоугольниками так, что вокруг одной точки будут лежать или шесть треугольников, или четыре квадрата, или три шестиугольника. Вообще сами понятия "плоскость", "точка" восходят к Пифагору.

Бытует мнение, что Пифагор открыл теорему, носящую ныне его имя. Но в истории науки речь идет о том, что он нашел доказательство факта, который был известен задолго до него. Он вообще был сторонником интеллектуального исследования фактов, известных в землемерии. В то время сама мысль о том, что практические навыки землемеров (слово "геометрия" и означает "землемерие") должны быть обоснованы логическим путем, а не просто передаваться от учителя к ученику, как навыки мастеровых, была революционной. Таким образом, идея о необходимости доказательства утверждений, получаемых из опыта, своим распространением в науке в немалой степени обязана Пифагору.

В эллинистическом мире неотъемлемой частью общего образования была музыка. Как люди аристократические и образованные, члены пифагорейского братства, конечно, не могли не интересоваться музыкальными произведениями, инструментами, законами распространения звука. Именно в музыке некоторые исследователи усматривают причину, породившую интерес пифагорейцев к числам, поскольку им удалось установить некоторые закономерности музыкальных созвучий. А эти закономерности прекрасно укладывались в общую теорию Пифагора об абсолютной числовой гармонии всего сущего.

Для изучения музыкальных закономерностей Пифагор изобрел специальный инструмент — монохорд. Он состоит из резонаторного ящика, натянутой струны и подвижной подставки для деления струны на части. Назначение резонаторного ящика понятно — он усиливает звук струны. Подвижные подставки помогали быстро увеличивать или уменьшать размер струны. Тем самым убыстрялась работа и можно было проводить десятки и сотни опытов, а на это Пифагор, конечно, не жалел ни времени, ни усилий. Шкала же служила контролером длины струны, т. е. позволяла сразу увидеть и запомнить, струна какой длины дает тот или иной звук. Достаточно было натянуть две струны, чтобы установить, какое соотношение их длин дает гармоничный аккорд.

После длительных экспериментов Пифагор установил, что две струны дают приятное для слуха совместное звучание (в музыке такое звучание называют консонансом), когда их длины относятся, как 1: 2, 2 : 3 или 3 : 4.

Конкретно это означает, что если взять четыре струны, то длина первой будет в два раза больше последней (их совместное звучание дает интервал, называемый октавой). Длина третьей струны будет относиться к длине первой, как 2 : 3 (получим интервал квинту), и отношение второй к первой равно 3:4, что определяет еще один интервал — кварту. На рис. 1 показаны отрезки, соответствующие длинам струн великого тетраксиса — так называли греки четверку чисел, лежащих в основе их теории музыки.

Получить музыкальную пропорцию пифагорейцам помогло сочетание среднего арифметического и среднего гармонического. Взяв струны длиной 6 и 12 (т. е. в отношении 1:2), они нашли их среднее арифметическое (6+12): 2 = 9, а среднее гармоническое дало равенство (6-b):(b-12) = 6:12, т. е. , 2(6-b) = b-12, или 3b = 24, b = 8. Но отношение 9 : 12 = 3:4 дает кварту, а отношение 8 : 12 = 2:3 — квинту (третья струна на рис. 1). Таким образом, длины четырех струн, дающих консонансы, должны быть 6, 8, 9,12.

Можно заметить, что 6/8 * 6/9 = ½ или ¾ * 2/3 = 1/2. От последнего равенства можно перейти к музыкальной пропорции: 2: 4/3 = 3/2 : 1 (здесь фактически речь идет о делении октавы на кварту и квинту, которые, как видно, не равны по длине).

А теперь давайте подумаем сами, поскольку история не дает нам здесь достаточно понятного руководства: какой естественный вопрос напрашивается человеку, экспериментирующему с монохордом? Вопрос такой: "Почему надо делить октаву на два неравных интервала — кварту и квинту? Что будет, если мы поделим октаву на два равных интервала?" Но тогда согласно музыкальной пропорции получим:

и, следовательно,.

Пифагорейцы числа не знали! Это число нельзя получить как отношение двух целых чисел, оно не выражается обыкновенной дробью. Вопрос, заданный нами самим себе, оказался очень упорен в своей неразрешимости и с музыкальной точки зрения, поскольку при соотношении длин струн 1: в музыке получался не консонанс, а неприятный звук, просто шум.

Доводя свою теорию до логического конца, пифагорейцы не могли не заметить одной весьма неприятной для них логической неувязки: длины струн определенно существуют (сами-то струны можно просто потрогать), но числа, которым выражалось бы отношение этих длин, они указать не могут. Для них это число не существовало! Во-первых, таких чисел тогда просто не знали, а во-вторых, всю свою философию они строили на целых числах и их отношениях. Получалось, что приятное звучание, т. е. консонанс, можно задать отношением целых чисел, а числа, ответственного за "шум", не находилось. Но шум-то тоже существует! Как явление мирового устройства вещей он должен быть математически определен. Так рассуждали пифагорейцы или не так — мы не знаем. Но хорошо известно, что существование несоизмеримостей, т. е. того, что сейчас мы называем иррациональным числом, они обнаружили в экспериментах с длинами струн.

Более знаменитый случай обнаружения несоизмеримостей связан с теоремой Пифагора. Обычно его называют открытием несоизмеримости стороны квадрата с его диагональю. В современных пояснениях это выглядит так.

Примем сторону квадрата за 1, а его диагональ за х. Тогда по теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, который образован двумя соседними сторонами квадрата и его диагональю, получим: х2 = 12 + 12 = 2, т. е. х =.

Разумеется, пифагорейцы пользовались совсем другим доказательством и не знали современных обозначений. Но они отлично поняли, что по их основному догмату — "число (т. е. целое положительное число) есть сущность всех вещей" — нанесен сильнейший удар. Были обнаружены объекты, обычные отрезки, длины которых нельзя было измерить, если принять сторону квадрата за 1.

Позже пришлось признать, что существуют объекты более общей природы, чем числа, т. е. то, что нельзя выразить числом, можно выразить. длиной отрезка. Это был важнейший вывод для геометрии, поскольку все математические факты и доказательства стали формулировать на геометрическом языке. А это предопределило такой расцвет геометрии в эллинистическом мире, который и сейчас вызывает удивление, а некоторыми воспринимается как чудо.

Неизвестно, как школа Пифагора преодолевала возникшую перед ней трудность. Дело в том, что она распалась, членов секты изгнали из Кротона. Причину мы находим в несколько туманных разъяснениях историков XIX в. После победы в очередной войне (города-государства эллинистического мира часто воевали между собой) к Кротону отошли какие-то новые земли. Но богачи-аристократы поделили их несправедливо, простому народу мало что досталось. Начались конфликты между демосом и аристократией, в которых члены пифагорейского союза приняли сторону аристократов, поскольку сами принадлежали к их числу. На школу Пифагора жители Кротона и так посматривали косо, ведь его слушатели презирали простой народ, не разделяли его веру в богов-олимпийцев, не участвовали в обрядах народной религии и т. д. К тому же среди аристократов школа Пифагора имела значительное политическое влияние.

Стоит ли удивляться, что возмущение народа однажды приняло самую жесткую форму! Люди окружили дома пифагорейцев и сожгли их. Немногим удалось спрятаться от народного гнева. Но Пифагор спасся. Он бежал в г. Метапонт, где вскоре и умер. Члены его школы рассеялись по разным городам великой Греции. Тайно или явно они пропагандировали свое учение, что позволило многим ученым познакомиться с идеями Пифагора и развить всё то ценное, что в них заключалось. Однако пифагорейцы уже никогда не достигали такого влияния на общественную жизнь, как при своем основателе.

Архит и развитие теории музыки в эллинистическом мире.

Примерно через 60 лет после смерти Пифагора, в г. Таренте, что находился в восточной части южной Италии, родился человек, которого называют последним великим пифагорейцем — Архит Тарентский (ок. 428—365 до н. э. ). Он был учеником пифагорейца Филолая, который сумел внушить ученику интерес к основным научным проблемам своей школы. Судьба Архита была более счастливой, чем его научных предшественников. Известно, что он вел активную общественную деятельность и даже семь раз избирался в Таренте стратегом, причем как полководец не проиграл ни одного сражения. Но военные действия явно не составляли главного увлечения его жизни. Архит был прежде всего разносторонним ученым. Ему приписывается установление первых принципов механики, а также изобретение блока и винта. В истории о нем сохранилось представление как об очень добром человеке, который увлекался созданием. детских игрушек. Архит смастерил, например, деревянного голубя, который мог летать. Впрочем, игрушка всегда служила гению первым воплощением его дальновидных замыслов.

В математике Архит развил арифметику натуральных чисел и далеко продвинул теорию несоизмеримых величин. Здесь не место описывать его математические достижения. Но скажем, что, например, геометрическую пропорцию (a-b):(b-c) = a: b он привел к более удобному соотношению c:b = b:a, которым сейчас весьма часто пользуются учащиеся средней школы, получая из него формулу среднего геометрического b =. Гармоническое среднее (а - b): (b - с) = а: с после Архита тоже стало вычисляться более удобно: было установлено, что если а > b > с, то среднее гармоническое b удовлетворяет равенству

Заметим, что сейчас дело сводится к алгебраическим преобразованиям, поэтому приведенные видоизменения кажутся простыми. Но когда алгебры не существовало и все равенства формулировались на языке геометрии, получение нового соотношения было сопряжено с немалым трудом. Например, пропорцию с : b = b : а на геометрическом языке можно описать следующим образом: «Гипотенуза с прямоугольного треугольника так относится к катету b, как этот катет b относится к той части гипотенузы, имеющей длину а, которая прилежит к катету b»

Архит указал способ вычисления квадратного корня из числа, не являющегося полным квадратом. Проиллюстрируем этот способ на примере вычисления числа. Число 2 разлагается на два неравных множителя 2 = 2*1, и вычисляется их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Так образуется уже знакомая нам музыкальная пропорция 2 : 4/3 = 3/2 : 1. В ней произведение средних членов равно 2, а разность меньше 1. Следовательно,. Повторим этот процесс. Найдем среднее арифметическое чисел 4/3 и 3/2, оно равно. Среднее гармоническое этих же чисел вычисляется так:

Это достаточно хорошее приближение, поскольку 24/17 меньше 17/12 всего лишь на 1/204.

Итак, Архиту удалось снять покров таинственности с несоизмеримых отрезков, доказав, что их длины можно выразить отношением целых чисел, хотя и не совсем верно, но с такой точностью, которая требуется для практики.

Перейдем теперь к тому вкладу, который Архит внес в теорию музыки, ведь он считается самым крупным теоретиком музыки античности. Мы уже говорили о законе, который экспериментально был установлен в школе Пифагора. Архит же обосновал еще один важный закон музыкальных созвучий, который мы сейчас поясним.

Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струн. Некоторые исследователи связывали это только с натяжением струн. Однако данное мнение было ошибочным. Архит показал, что ответ на этот трудный вопрос кроется в высоте тона (или частоте колебания струны). Колебание струны представляет собой процесс ударения струны по частичкам воздуха, который передается слушателю звуковыми волнами. Конечно, в те годы не была известна волновая теория распространения звука. Однако Архит верно установил, что частота колебания струны (высота тона) обратно пропорциональна ее длине.

Основные математические пропорции в пифагорейской музыкальной гамме.

В основу музыкальной системы, открытой учеными пифагорейского союза, были положены два закона, носящие сегодня имена Пифагора и Архита.

Закон I. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся, как целые числа: 1:2; 2:3; 3:4.

Закон II. Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l, т. е. f = a/l, где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны (особенности материала и процесса натяжения).

Рассмотрим некоторые пропорции, устанавливающие зависимости между звуками, которые были заложены в пифагорейской музыкальной гамме.

Гамма — это последовательность звуков, которые расположены от основного звука вверх или вниз. Следуя современным представлениям, надо нажать, например, клавишу "до" и двигаться постепенно вправо или влево по клавиатуре фортепиано до тех пор, пока не дойдем до ноты "до", но уже следующей или предыдущей октавы.

Выше уже упоминалось, что древнегреческие ученые верили в совершенные пропорции и существование музыкальной и космической гармонии. Поэтому они и связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим. Эти пропорции устанавливали зависимость между длинами струн трех основных интервалов: октавы, квинты и кварты. Те же самые пропорции используются и для определения связи между частотами звуков, соответствующих указанным интервалам.

Для того чтобы проследить процесс построения пифагорейской музыкальной гаммы, введем систему координат, у которой ось абсцисс — шкала частот звуков гаммы, а ось ординат — шкала соответствующих длин струн Пусть начало координат — звук "до", длина струны — 1, его частота также равна 1. Тогда звук на октаву выше будет иметь частоту 2, а длину струны ½. Возьмем квинту "до-соль". Отношение частот – 3/2 (отношение частоты верхнего звука к частоте нижнего). "До"—"фа" кварта —4/3. Если взять отношение частот "до1" к "соль", получим 2 : 3/2 = 4/3, т. е. данный интервал так же является квартой. В начале урока речь шла о музыкальной пропорции 2 : 4/3 = 3/2 : 1, для которой, как и для всякой другой пропорции, выполняется 4/3 * 3/2 = 2:1. На языке математической теории музыки это означает, что "сумма" квинты и кварты есть октава (см. рис. 3).

Найдем теперь частотный интервал между звуками "фа" и "соль". Для этого поделим частоту последующей ноты на частоту предыдущей, т. е. 3/2 : 4/3 = 9/8. Число 9/8 выражает так называемый тон - интервал. С его помощью получают частоты звуков, отличающихся друг от друга на целый тон. Например, если мы хотим узнать частоту звука "ми" по частоте звука "ре", то должны выполнить умножение 9/8 * 9/8 = 81/64. Точно так же от "соль" можно перейти к «ля» - 3/2 * 9/8 = 27/16, а от «ля» - к «си» - 27/16 * 9/8 = 243/128, поскольку эти пары звуков отличаются друг друга на целый тон.

Но вот звуки "ми" и "фа", "си" и «до1» различаются на полутон (см. рис. 3). Для того чтобы показать, как это выражается математически, поделим частоту звука "фа" на частоту звука "ми": 4/3 : 81/64 = 256/243.

Итак, полутон выражается дробью 256/243. В самом деле, при переходе от "си" к "до1" имеем: 243/128 * 256/243 = 2.

Естественно ожидать, что в одном тоне-интервале содержится два равных полутона. Проверим, так ли это. Если представить полутон дробью х/у и считать, что два полутона составляют целый тон, то математически это выражается равенством , т. е.

На самом же деле полутон выражается дробью256/243 = 1,053.

Очевидно расхождение между реальным числом, выражающим полутон, и его значением, вытекающим из гипотезы о том, что два полутона составляют целый тон. Как видим, расхождение небольшое. В реальности имеем 1,053, а гипотетически — 1,061. Эта неточность получила название пифагоровой коммы. Она свидетельствовала о несовершенстве пифагоровой теории музыки, поскольку не давала возможности точно настроить инструменты. Тот факт, что два полутона "не укладывались" в целый тон, улавливался чутким ухом музыканта.

Увлекшись построением музыкальной гаммы, мы забыли о пропорциях, которые были положены пифагорейцами в ее основу. Покажем это на примерах. Найдем среднее арифметическое частот "до" и «до1»: , получим частоту, соответствующую квинте ("до" — "соль"). А если теперь найти среднее гармоническое тех же частот , то придем к кварте ("до" — "фа"). Точно также можно получить "ля" как среднее арифметическое частот "ре" и "ре1" И т. д.

Описанная выше музыкальная гамма называлась лидийской. Кроме нее были и другие гаммы. Древние греки их называли гармониями (напомним: "гармония" — это связь, согласие, созвучие). В Древней Греции считалось, что с помощью гамм разных музыкальных оттенков и разного математического построения можно воздействовать на душу человека. Вообще в античные времена была популярна мысль о том, что хорошая музыка может улучшить душу человека, а плохая — испортить ее. Музыка почиталась очищающей силой души.

На протяжении многих столетий музыканты настраивали инструменты так, как это делали в Древней Греции. Однако этот настрой не мог казаться им полностью подходящим, поскольку в нем сохранялась "пифагорова комма". Она была следствием несовершенства не только пифагорейской музыкальной гаммы, но и учения о числе. Теорию музыки оказалось возможным улучшить только после достаточного развития математики иррациональных величин.

Но, прежде чем в науке утвердилось новое учение о числе, прежде чем появился новый музыкальный строй, прошла целая эпоха.

Выводы.

1. Анализ пропорций «Дорифора» и других скульптур Поликлета подтверждает мои предположения: в скульптурах Поликлета с большой точностью выдержаны пропорции ряда «золотого сечения»:

1, , 2, 3, 4, 5, 6.

2. В основу музыкальной системы, открытой учеными пифагорийского союза, были положены 2 закона, носящие сегодня имена Пифагора и Архита.

Закон I. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся, как целые числа: 1:2; 2:3; 3:4.

Закон II. Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l, т. е. f = a/l, где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны (особенности материала и процесса натяжения).

3. Золотое сечение – один из основополагающих принципов природы.