Бизнес  ->  Финансы  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Задачи на проценты в жизни человека

Математика в современном мире проникла во все сферы общественной жизни. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана компьютерная грамотность и экономическая деятельность, все более увеличивается ее роль и в гуманитарных науках, не говоря уже о роли математики в естественных дисциплинах и, вообще, в научно-техническом прогрессе. Математические знания, представления о роли математики в современном мире стали необходимыми элементами общей культуры. В школе и в большинстве высших учебных заведениях математика является опорной дисциплиной, обеспечивающей изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и гуманитарных.

Несомненно, человек зависит от математики так же, как и от любой другой науки, но математика вторгается в жизнь людей гораздо чаще, чем все остальные дисциплины. Можно сказать – без математики никуда! Человек часто встречается с такими ситуациями, в которых нужно применять математические знания или когда, человек, идя по улице иногда "срезает" путь. Это из теоремы Пифагора, мол, гипотенуза всегда короче суммы двух катетов. Таких примеров можно привести бесконечно много, но я хотела бы остановиться на применении процентов в жизни современного человека. Они применяются почти во всех областях деятельности человека: промышленности, образовании, медицине. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Знание процентов необходимо там, где требуется сравнительный анализ нескольких величин (круговая диаграмма), в подавляющем большинстве банковских операций, используются при изменении цен на товары и потребительские услуги и т. д.

Я выбрала тему «Задачи на проценты в жизни человека», потому что мне интересно получить больше информации о процентах, так как они актуальны в современной жизни, и человек всё чаще сталкивается с различными задачами на проценты.

Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения учащихся и очень многие выпускники, окончившие школу, не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку: значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Предлагаемый курс сейчас весьма актуален, ибо понятие «кредит» (будь то ипотека или автокредит) прочно вошло в жизнь современного человека. Люди берут банковские кредиты и, как правило, не могут правильно рассчитать процентные выплаты.

Для меня эта тема весьма полезна, так я узнаю много нового для себя, а умение решать задачи на проценты пригодиться в жизни.

История возникновения %(знак).

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. Знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6  классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.

Процент

Процент — одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг. Справедливо также утверждение, что 200 % от 500 кг является 1000 кг. Поскольку по отношению к половине тонны, тонна соответствует 2×100 %.

Соотношение процентов и десятичных дробей

▪ 0 % = 0;

▪ 0,07 % = 0,0007;

▪ 45,1 % = 0,451;

▪ 100 % = 1;

▪ 200 % = 2.

Правила набора

В тексте знак процента используется только при числах в цифровой форме, от которых при наборе отделяется неразрывным пробелом (доход 67 %), кроме случаев, когда знак процента используется для сокращённой записи сложных слов, образованных при помощи числительного и прилагательного процентный. Например: 20%-я сметана (означает двадцатипроцентная сметана),10%-й раствор, 20%-му раствору, но жирность сметаны составляет 20 %, раствор концентрацией 10 % и т.  п.

Разговорное употребление

▪ «Работать за проценты» — работать за вознаграждение, исчисляемое в зависимости от прибыли или оборота.

▪ «На (все) сто процентов» — полностью.

▪ «Процентщик» — человек, ссужающий деньги под большие проценты, ростовщик.

Использование в информатике

▪ В Бейсике знак процента, поставленный сразу после имени переменной, означает тип данных «целое».

▪ В языке Си знак процента обозначает операцию вычисления остатка от деления (8 % 3 == 2); также совместно с символами «d», «s» и некоторыми другими используется в строках задания формата ввода/вывода данных в соответствующих функциях.

▪ В Perl знак процента, предшествующий имени переменной, означает тип данных «хэш».

▪ В командах DOS и пакетных файлах используется как первый символ объявления подстановочной переменной для команды FOR; для пакетных файлов нужно указывать удвоенный символ процента — %%.

▪ В системе Windows для доступа к переменным в консоли и bat файлах используется имя переменной заключённое между знаками процента, например, %username% покажет имя учётной записи, которой принадлежит запущен процесс.

▪ Применяется для замены символов, не входящих в ASCII, в строках URL в виде кодов типа %D0%9F%D1%80%D0%BE (первым стоит знак процента, потом двузначное шестнадцатеричное число).

▪ В SQL знак процента при команде LIKE заменяет любое количество любых символов, то есть обеспечивает поиск по маске.

▪ В Matlab-программах, LaTeX-разметке и PostScript знак процента употребляется перед началом строчного текстового комментария.

Отбивка знака процента от предшествующей цифры

Русский язык

В русском языке в течение многих десятилетий существует традиция не отбивать (т. е. не отделять пробелом) знак процента от последней цифры числа, к которому он относится, в отличие от обозначений прочих единиц и аналогично обозначению градусов, минут и секунд. Эта традиция отражена в справочнике М. В. Шульмейстера (1967):

Знак процента (%) применяется только после цифр, можно набирать 5%, но нельзя пять %. Как исключение, знак процента без цифр может быть применен в заголовках таблиц и выводов (в %). Знак процента никогда не отбивают от цифр, к которым он относится, от текста его отбивают обычным между словным пробелом. Если знак относится к нескольким числам в перечислении, его ставят лишь с последним числом, например, в 5, 7, 10 и 15%, а не в 5%, 7%, 10% и 15%. То же самое относится и к применяемому иногда знаку ‰ (промилле).

. Вероятно, эта традиция объясняется тем, что процент можно считать не обозначением единицы измерения, а математическим знаком, обозначающим сотую долю, т. е.  обозначения «1%», «0,01», «10–2», «0,00(9)» — это просто разная запись одного и того же числа.

В 1982 г. введён в действие ГОСТ 8. 417—81, в соответствии с которым знак процента следует писать по тем же правилам, что и обозначения остальных единиц, то есть между последней цифрой числа и обозначением единицы следует оставлять пробел. Однако для обозначений градусов, минут и секунд было сделано исключение. Это правило набора введено в действие в 1982 году нормативным документом ГОСТ 8. 417—81 (впоследствии заменённым на ГОСТ 8. 417—2002); ранее нормой было не отделять знак процента пробелом от предшествующей цифры.

В настоящее время правило отбивки знака процента не является общепризнанным. До сих пор многие российские издательства не следуют рекомендациям ГОСТ 8. 417—2002 и по-прежнему придерживаются традиционных правил набора, то есть при наборе знак процента от предшествующего числа не отделяется

Между последней цифрой числа и обозначением единицы следует оставлять пробел.

Правильно: Неправильно:

100 kW; 100 кВт 100kW; 100кВт

80 % 80%

20 °C 20° C; 20°C

Исключения составляют обозначения в виде знака, поднятого над строкой (п. 5. 1), перед которыми пробела не оставляют.

Правильно: Неправильно:

20° 20 °

Правило, введённое ГОСТ 8. 417—81, в советское время не стало общепризнанным. Уже после введения этого ГОСТа были изданы справочники В. А. Вигдорчика (1985) и П. Г. Гиленсона (1988), в которых по-прежнему рекомендовалось придерживаться традиционных правил набора и не отбивать знак процента:

Знаки процента (%), градуса(°), минуты ('), секунды (") нельзя отбивать от цифры, к которой они относятся. От следующих за ними цифр эти знаки отбиваются на 2 п. Эта отбивка при выключке строки не изменяется.

5%; 36°; 2'; 31"; 16° 15' 3".

В частности, в следующих изданиях знак процента не отбит:

1. Большая советская энциклопедия / Гл. ред.  А. М. Прохоров. — 3-е изд. , 1975.

2. Физика космоса: Маленькая энциклопедия / Редкол. : Р. А. Сюняев (Гл. ред. ) и др. — 2-е изд. , перераб. и доп. — М. : Сов. энциклопедия, 1986. — 783 с. , ил. — (Биб. серия).

3. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред.  А. М. Прохоров; редкол. : А. А. Гусев и др. — 4-е изд. — М. : Сов. энциклопедия, 1987. — 1660 с. , ил.

4. Политехнический словарь. Редкол. : А. Ю. Ишлинский (гл. ред. ) и др. — 3-е изд. , перераб. и доп. — М. :Советская энциклопедия, 1989. — 656 с. , ил.  ISBN 5-85270-003-7.

Впервые в издательских справочниках рекомендация отбивать знак процента от предшествующей цифры упоминается в справочнике А. Э. Мильчина (1988):

6. 1. 7. Сочетание чисел с обозначениями физических величин Обозначения физ. величин нельзя отрывать от цифровой формы значения этих величин, т. е. нельзя переносить на следующую строку. Последняя цифра числа отбивается от обозначения единицы на 2 п. , в т. ч. и от обозначений °C и %, кроме спец. знаков, поднятых на верхнюю линию шрифта (°, ′, ″), которые требуется писать слитно с последней цифрой. Напр. :

Правильно: Неправильно:

500 т; 485 °C; 20 %; 15°; 45'; 15" 500т; 485°C; 20%; 15 °; 45 '; 15 "

В настоящее время правило отбивки знака процента не является общепризнанным. До сих пор многие российские издательства не следуют рекомендациям ГОСТ 8. 417—2002 (заменившего ГОСТ 8. 417—81) и по-прежнему придерживаются традиционных правил набора, то есть, согласно их внутренним техническим правилам, при наборе знак процента от предшествующего числа не отделяется.

Знаки процента (%) и промилле (‰) применяют только с относящимися к ним числами, от которых отбивка не делается.

В Рунете, судя по преобладающему написанию, de facto можно считать языковой нормой правило, в соответствии с которым знак процента следует отличать от обозначений других единиц и писать слитно с числовым значением.

Знак процента пишется слитно:

▪ Microsoft Excel (в процентном формате ячейки знак «%» не отбит — впрочем, как и, например, «р. »);

▪ http://google. com (калькулятор Google при выдаче результата вычислений знак процента не отбивает, в отличие от других единиц измерения);

▪ http://wikipedia. org («движок» Википедии не отбивает знак процента, даже если в соответствующем языковом разделе отбивка производится, см.  релевантность статей, найденных через функцию «поиск»).

▪ http://www. gks. ru (Федеральная служба государственной статистики).

▪ http://cikrf. ru (Центральная избирательная комиссия РФ).

Знак процента отделяется пробелом:

▪ http://ruscorpora. ru ( Национальный корпус русского языка. Соблюдается частично).

Решение задач на проценты

Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 * а

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д

Определение процента от числа

Найти: 25% от 120.

Решение:

1) 25% = 0,25;

2) 120 .  0,25 = 30.

Ответ: 30.

Определение числа по известной его части, выраженной в процентах

Найти число, если 15% его равны 30.

Решение:

1) 15% = 0,15;

2) 30 : 0,15 = 200.

или: х - данное число;

0,15. х = 300; х = 200.

Ответ: 200.

После рассмотрения этих простейших задач можно рассмотреть задачи типа:

1. На сколько процентов 6 меньше 10?

Решение:

1. ((10 - 6). 100%)/10 = 40%

Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение:

Пусть цена товара х руб.

1) х + 0,25х = 1,25х;

2) 1,25х - 0,25. 1,25х = 0,9375х

3) х - 0,9375х = 0,0625х

4) 0,0625х/х .  100% = 6,25%

Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:

1) 22 .  0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;

2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.

Ответ: 2,5 кг.

А сейчас предлагаю решить более сложные задачи:

То да это да половина того да этого – сколько это будет процентов от трёх четвертей того да этого?

Решение:

Пусть «то» равно а, а «это» - b. Тогда «то да это да половина того да этого» равно (a+b+0. 5(a+b))=1. 5(a+b). «Три четверти того да этого», или 0. 75(a+b), примем за 100%. Составим пропорцию: 0. 75(a+b):1. 5(a+b)=100: x. Отсюда x=200. Значит, «то да это да половина того да этого» составляет 200% от трёх четвертей того да этого. Или «то да это да половина того да этого» в два раза больше трёх четвертей «того да этого».

Ответ: 200%

Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?

Решение:

Пусть Остап взял себе x рублей, а Киса взял себе y рублей, тогда, по условию, 0,4x = 0,6y. Отсюда получим, что 0,5x = 0,75y. Следовательно, если бы доля Остапа увеличилась на 50%, то доля Воробьянинова уменьшилась бы на 75%.

Доля Воробьянинова уменьшилась бы на 75%.

За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

Решение:

Пусть вес Обломова a кг, которые берем за 100%, тогда в конце весны вес Обломова составляет 75%, т. е. его вес станет 0,75a = y кг. За лето Обломов поправился на 20% и его вес стал 1,2y = p кг. За осень он похудел на 10%, т. е. его весь стал 0,9p = k кг. За зиму его вес увеличился на 20% и стал 1,2k кг. Собираем результаты: 1,2k = 1,2 × 0,9p = 1,2 × 0,9 × 1,2y = 1,2 × 0,9 × 1,2 × 0,75a = 0,972a. В итоге Обломов похудел на 2,8%.

Обломов похудел на 2,8%.

В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?

Решение:

Первое решение. До начала посадок липы составляли 2/5, а клёны - 3/5 всех деревьев в парке. К лету число клёнов не изменилось, однако они стали составлять 1/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев в парке увеличилось втрое. При этом липы составляли 4/5 всех деревьев.

К зиме не изменилось количество лип, но они стали составлять 2/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев увеличилось ещё вдвое. Таким образом, за год количество деревьев увеличилось в 6 раз.

Второе решение. Сначала лип было в 1,5 раза меньше, чем клёнов, а потом стало в 4 раза больше. При этом количество клёнов не менялось. Значит, лип стало в 1,5 · 4=6 раз больше. Заметим, что к концу года отношение числа клёнов к числу лип стало таким же, как было в начале.

Поскольку осенью количество лип не менялось, количество клёнов тоже увеличилось в шесть раз. То есть число деревьев в парке увеличилось в шесть раз.

Ответ: в 6 раз.

Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля блондинов среди всех людей.  

Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

Решение:

Положим Л — число людей, Г — число голубоглазых, Б — число блондинов, А — число голубоглазых блондинов. Известно, что А/Г > Б/Л. Умножим это неравенство на Г/Б. Получим :

Следовательно, доля голубоглазых среди блондинов больше, чем доля голубоглазых среди всех людей.

Ответ: доля голубоглазых среди блондинов больше.

При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаю задачи на эти понятия.

Диаграмма

Диагра́мма (греч.  Διάγραμμα (diagramma) — изображение, рисунок, чертёж) — графическое представление числовых данных, позволяющее быстро оценить соотношение нескольких величин[1]. Представляет собой геометрическое символьное изображение информации, с применением различных приёмов техники визуализации[2].

Иногда, для оформления диаграмм, используется трёхмерная визуализация, спроецированная на плоскость, что придаёт диаграмме отличительные черты или позволяет иметь общее представление области, в которой она применяется. Например: финансовая диаграмма, связанная с денежными суммами, может представлять собой количество купюр в пачке или монет в стопке; диаграмма сравнения количества подвижного состава — различную длину изображённых поездов и т.  д. Благодаря своей наглядности и удобству использования, диаграммы часто используются не только в повседневной работе бухгалтеров, логистов и других служащих, но и при подготовке материалов презентаций для клиентов и менеджеров различных организаций.

В различных процессорах графопостроения (графических редакторах) и электронных таблицах, при изменении данных, на основе которых построена диаграмма, она будет автоматически перестроена с учётом внесённых изменений в таблицу исходных данных диаграммы. Это позволяет быстро сравнивать различные показатели, статистические данные и т.  д.  — можно вводить новые данные и сразу видеть изменения диаграммы.

Основные типы диаграмм

Диаграммы в основном состоят из геометрических объектов (точек, линий, фигур различной формы и различных цветов) и вспомогательных элементов (осей координат, условных обозначений, заголовков и т.  п. ). Также диаграммы делятся на плоскостные или двухмерные, и пространственные (трёхмерные или объёмные). Сравнение и сопоставление геометрических объектов на диаграммах может происходить по различным измерениям: по площади фигуры или её высоте, по местонахождению точек, по их густоте, по интенсивности цвета и т.  д. Кроме того, данные могут быть представлены в прямоугольной или полярной системе координат.

Круговые (секторные) диаграммы

Достаточно распространённым способом графического изображения структуры статистических совокупностей является секторная диаграмма, так как идея целого очень наглядно выражается кругом, который представляет всю совокупность. Относительная величина каждого значения изображается в виде сектора круга, площадь которого соответствует вкладу этого значения в сумму значений. Этот вид графиков удобно использовать, когда нужно показать долю каждой величины в общем объеме. Сектора могут изображаться как в общем круге, так и отдельно расположенными на небольшом удалении друг от друга секторами.

Круговая диаграмма сохраняет наглядность только в том случае, если количество частей совокупности диаграммы небольшое. Если частей диаграммы слишком много, её применение неэффективно по причине несущественного различия сравниваемых структур. Недостаток круговых диаграмм — малая ёмкость, невозможность отразить более широкий объём полезной информации.

Столбчатые и линейные диаграммы (гистограммы)

Сгруппированная столбчатая диаграмма

Классическими диаграммами являются столбчатые и линейные (полосовые) диаграммы. Также они называются гистограммами. Столбчатые диаграммы в основном используются для наглядного сравнения полученных статистических данных, или для анализа их изменения за определённый промежуток времени. Построение столбчатой диаграммы заключается в изображении статистических данных в виде вертикальных прямоугольников или трёхмерных прямоугольных столбиков. Каждый столбик изображает величину каждого уровня данного статистического ряда. Все сравниваемые показатели выражены одной единицей измерения, поэтому удаётся сравнить статистические показатели данного процесса.

Разновидностями столбчатых диаграмм являются линейные (полосовые) диаграммы. Они отличаются горизонтальным расположением столбиков. Столбчатые и линейные диаграммы взаимозаменяемы, рассматриваемые в них статистические показатели могут быть представлены как вертикальными, так и горизонтальными столбиками. В обоих случаях для изображения величины явления используется одно измерение каждого прямоугольника — высота или длина столбика. Поэтому и сфера применения этих двух диаграмм в основном одинакова.

Столбчатые диаграммы могут изображаться и группами (одновременно расположенными на одной горизонтальной оси с разной размерностью варьирующих признаков). Образующие поверхности столбчатых и линейных диаграмм могут представлять собой не только прямоугольники, но также квадраты, треугольники, трапеции и т.  д.

Формулы расчета процентов

Проценты — удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами, в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число.

Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.

Банк (от итал. banco — лавка, стол, на которых менялы раскладывали монеты) — финансово-кредитный институт, основной функцией которого является оказание финансовых услуг юридическим и физическим лицам.

1. Формула расчета доли в процентном отношении.

Пусть задано два числа: A1 и A2. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A1 от A2.

P = A1 / A2 * 100.

В финансовых расчетах часто пишут

P = A1 / A2 * 100%.

Пример.  Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200

P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов).

2. Формула расчета процента от числа.

Пусть задано число A2. Надо вычислить число A1, составляющее заданный процент P от A2.

A1= A2 * P / 100.

Пример.  Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.

P = 10000 * 5 / 100 = 500.

3. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое больше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A2= A1 + A1 * P / 100.

A2= A1 * (1 + P / 100).

Пример 1.  Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.

A2= 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1. 05 = 10500.

Пример 2.  Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с НДС составляет:

A2= 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1. 18 = 1180.

4. Формула уменьшения числа на заданный процент.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое меньше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A2= A1 - A1 * P / 100.

A2= A1 * (1 - P / 100).

Пример.  Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:

A2= 10000 * (1 - 13 / 100) = 10000 * 0. 87 = 8700.

5. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС.

Пусть задано число A1, равное некоторому исходному числу A2 с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A2. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.

Обозначим p = P / 100, тогда:

A1= A2 + p * A2.

A1= A2 * (1 + p).

A2= A1 / (1 + p).

Пример.  Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет:

A2= 1180 / (1 + 0. 18) = 1000.

Сложные проценты (реинвестирование, капитализация)

Сложные проценты начисляют проценты на проценты; ваш вклад растет с невероятной скоростью экспоненты, превращая ваш стартовый капитал в сверхприбыльную финансовую машину.

Введение в сложные проценты

Сложные проценты — понятие, которое описывает особый вид начисления процентов в банковском депозите, при котором, по истечении каждого периода, начисленные проценты становятся основной суммой. Вследствие этого, в следующем периоде, проценты начисляются на бóльшую сумму, чем в предыдущем, за счет чего вклад растет очень быстро.

Сложные проценты — самая мощная сила в природе.

Альберт Эйнштейн

Более подробно про сложные проценты

Для понимания сложных процентов необходимы базовые знания банковской математики. Есть капитал или основная сумма (англ. principal), обозначаемая как буква латинского алфавита P. Есть также такие немаловажные параметры как частота начисления процентов, процентная ставка (англ. interest rate, r), период ставки (по умолчанию имеется ввиду ежегодное начисление) и период вложения t.

При простом начислении процентов, в конце каждого периода начисляется процент, согласно процентной ставке, на ваш капитал, т. е. тело. Независимо от периода вложения, хоть год, хоть 100 лет, в конце каждого периода простые проценты начисляются на тело, т. е. на изначальный вложенный капитал.

При сложном начислении процентов, начисленные проценты, по окончании периода, присоединяются к капиталу. Это присоединение начисленных процентов к капиталу играет важнейшую роль во всем процессе начисления сложных процентов, т. к. в последующем периоде, новые проценты будут начисляться уже на новую, увеличенную сумму. Таким образом, общая сумма вклада растет со скоростью экспоненты (т. е. все быстрее и быстрее), а не по модели скучной арифметической прогрессии.

Сложные проценты (англ. compound interest) именуется по-разному в разных кругах и сферах деятельности. Мы используем термин «сложные проценты», но можно также встретить следующие названия сложных процентов:

▪ проценты на проценты

▪ эффективные проценты

▪ композиционный процент

▪ норма доходности с учетом реинвестирования

▪ норма доходности с учетом капитализации

Становиться ясно, что процесс, который происходит для начисления сложных процентов, называется реинвестирование или капитализация.

Сложные проценты в жизненном примере

Предположим, что наш воображаемый герой и экзотическим именем Благолюб решил защитить и преумножить свои сбережения. Он идет в банк, и кладет свои 10 тыс. грн. на 20 лет на депозитный счет с годовой процентной ставкой 13%.  Капитализация начисленных процентов осуществляется в конце каждого года. Итого:

▪ P=10000

▪ r=13, ежегодно (англ. annually), сложные

Получаем следующий расчет:

Из таблицы видно, что по истечении всего периода в 20 лет, при годовой ставке в 13%, начальном капитале в 10 тыс. и ежегодном реинвестировании, сложные проценты принесли более 105 тыс. чистой прибыли Благолюбу. Конечно, в течение этих 20 лет, покупательная способность валюты бы уменьшилась, но все равно это колоссальный результат в среднем в 50% доходности в год.

Простые (фиксированные) проценты vs. сложные проценты

А теперь давайте рассмотрим пример с товарищем мудрого Благолюба, персонажем со старославянским именем Святогор, который решил сохранить и преумножить ту же сумму, что и Благолюб. Другие параметры вложения Святогора остались такими же, как и у Благолюба, за исключением того, что у Святогора проценты не сложные, а фиксированные, и процентная ставка выше: 15,5%. Итого:

▪ P = 10000

▪ r = 15,5, ежегодно, фиксированные

▪ t = 20

И получаем следующее:

Как видите, у Святогора, при фиксированном проценте, тело вложения остается неизменным на протяжении всего 20-ти летнего периода. Начисленные проценты тоже являются константой, вычисляемой по классической формуле I=P·R·T.

Но самое главное — это прибыль: у Святогора при простых процентах она составила всего 31 тыс или 310%, а у Благолюба — 105 тыс или 1050%. Разницу, чувствуете? У Благолюба при 13 сложных процентах прибыль намного превысила прибыль при 15,5 фиксированных процентах, которыми довольствовался Святогор.

Сравните рост капитала при простых и сложных процентах наглядно:

Даже при том, что у Святогора 15,5 процентов, сложные проценты принесли существенно больше прибыли при годовой ставке в 13%.

Время имеет значение

Важно понять, что при вложении капитала в депозит со сложными процентами, имеет смысл держать счет открытым как можно дольше. Красота сложных процентов заключается в том, что сумма на счету растет тем быстрее, чем дольше открыт счет. В примере с Благолюбом и сложных процентах, на первом году прибыль составила 13%, на пятом — уже 21%, на 10-м — 39%, на 20м — 132% и т. д. , и происходит это за счет того, что каждые новые проценты работают на вас, и приносят прибыль в 13% соответственно. Т. е. чем дольше деньги лежат на депозите со сложными процентами, тем быстрее растет ваш капитал.

Взгляните, но ускорение роста капитала:

Иными словами, чем раньше вы откроете такой счет, тем больше денег вам будут приносить в будущем сложные проценты.

Формула начисления сложных процентов

Если по-простому, то: FV=PV·(1+r)t

В нашем случае, PV (от англ. present value, т. е. текущая стоимость) равна P. Для вышеупомянутого примера, вычисление выглядит так: FV = 10000·(1+0,13)20 = 10000·11,523=115230.

Если же капитализация процентов происходит чаще, чем раз в год, то используется другая формула: FV=PV·(1+r/m)t·m, где m — количество капитализаций в году.

Для вычисления прибыли при вложении со сложными процентами, вы можете воспользоваться публичным депозитным калькулятором, при этом указав все необходимые детали (там сложные проценты обозначаются как «капитализация»).

Вы также можете самостоятельно спланировать вашу прибыль при сложных процентах в MS Excel. Для этого скачайте исходный файл моих расчетов, и измените входные данные (в ячейках C5, C6 и C7); вы сразу уведите общую сумму, начисленные проценты и прибыль в процентном отношении.

Заключение

Вот в таких жизненных ситуациях нам встречаются процентные вычисления: в магазине, на рынке, при оплате услуг, при подсчете изменения тарифных цен, в работе избирательной комиссии во время голосования, при банковских операциях. Я думаю, что проценты еще не раз встретятся на нашем пути, еще не раз заставят нас “поломать” голову, удивят красивыми решениями, помогут в изучении новых предметов (химия, физика, алгебра и др. )

Аннотация

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными. Вопросы инфляции, повышения цен, рост стоимости акций, планирование семейного бюджета касаются каждого человека в нашем обществе. В данной работе представлены наиболее распространённые задачи на проценты, которые затрагивают все сферы жизни. Также имеются задачи, которые вызывают затруднения у школьников, а также взрослых людей. Кроме того, в работе показана история возникновения процентов, правила набора и использование процентов в информатике.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)