Своеобразие топологических моделей в теории и практике

Окружающий нас мир многообразен, сложен, загадочен, красочен и прекрасен. Однако его основы просты и генерирующий его механизм действует по простым правилам. Об этом догадались уже древние греки, положившие в основу всего огонь, землю, воду и воздух. То, к чему применяются эти простые правила и законы или посредством чего осуществляются,- это окружающие нас объекты природы, которые мы в своём сознании имитируем идеализированными моделями. Математические модели могут быть очень простыми, простыми, сложными и очень сложными. Простые – это те, о которых рассказано в моей работе. Иерархия математических моделей подобна зданию, сложенному из очень простых частей. Простые модели – его некоторые части.

Мёбиус (Möbius) Август Фердинанд (17. 11. 1790, Шульпфорта, — 26. 9. 1868, Лейпциг), немецкий геометр. Профессор Лейпцигского университета (с 1816). Мёбиус впервые ввёл в проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования; получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования; исследовал коррелятивные преобразования. Установил (1858) существование односторонних поверхностей. В частности листа Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик К. Ф. Гаусса, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), профессор Гентингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,- в 1862 году.

КЛЕЙН (Klein) Феликс (1849-1925), немецкий математик, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1895). Труды по геометрии, оказавшие значительное влияние на ее развитие, алгебре, теории функций. Бутылка Клейна впервые была описана им в 1882 г. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

Цель моей работы изучить лист Мёбиуса и бутылку Клейна. Для того чтобы это сделать я представлю вам их модели.

Эта тема меня заинтересовала, потому что я хочу познать новое. С помощью этой темы я хочу повысить свой кругозор в области математики и в частности топологии.

2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ТОПОЛОГИЯ (от греч. Topos — место и logos — слово, учение), раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область. Стартовав как раздел геометрии, топология быстро внедрилась и во многие другие области математики. Кажется почти правильным утверждение, что топология представляет собой особое состояние ума и преследует свои собственные цели. Исходя из непрерывности пространства или форм, она переходит к обобщениям, которые затем по аналогии приводят к новому пониманию непрерывности, а «обычное» пространство, как мы себе его представляем, остается далеко позади. Истинные топологи избегают всяких картинок, испытывая к ним некоторое недоверие. Это вызвано тем, что невозможно (и бессмысленно!) изобразить занимающие их «пространства». Однако нам будет легче подойти к пониманию их целей, к топологической точке зрения на определенные формы, если мы начнем с того, что можно увидеть и потрогать. Например, лист Мёбиуса и бутылку Клейна.

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Лист Мёбиуса относиться к числу «математических неожиданностей». С топологической точки зрения — это неориентируемая поверхность с нулевой эйлеровой характеристикой, ограниченная одной замкнутой линией. Это новый тип поверхности, обладающей новым типом связности. Лист Мёбиуса был одним из основных геометрических объектов, натолкнувших математиков на изучение, как теперь принято говорить, топологических свойств фигур.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые буквы. Предлагаю представить, что они сделаны из мягкой проволоки и перечислить топологически родственные буквы (проволоку можно гнуть и растягивать).

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (т. е. двумерное многообразие). В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Бутылка Клейна — это односторонняя поверхность.

3. Лист Мёбиуса

Лист Мебиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,

Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.

Ты в одночасье насладись победой

И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства

Испытывая суеверный страх,

Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,

Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,

По экспоненте поднимаясь в высь,

Ты ощутишь восторг освобожденья,

Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,

Что взломан Мироздания пароль.

И вдруг твое стремленье в бесконечность

Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.

Но как бы ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)

Путь в бесконечность – Мёбиуса лист!

3. 1. ПОСТРОЕНИЕ И ВИДЫ ЛИСТА МЁБИУСА

Сколько сторон у листа Мёбиуса? У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса - кусок за куском, не переходя за край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса! "Если кто-нибудь вздумает раскрасить "только одну" сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской"- пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге "Что такое математика".

Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную - муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!

Получить лист Мёбиуса очень просто: склейте из бумажной полоски кольцо, только перед склеиванием поверните один конец на 180 градусов. Если полоска бумаги была длинной, то такой поворот мог произойти и случайно

Небольшая неожиданность нас ожидает в тот момент, когда мы попробуем разрезать лист Мёбиуса по его средней линии. «Нормальное» кольцо при этом бы распалось на два куска, а лист Мёбиуса превратиться в одно перекрученное кольцо. Чтобы можно было демонстрировать это свойство многократно, удобно соорудить лист Мёбиуса из застежки «молния». Еще удивительнее то, что полученное кольцо уже двустороннее. Неожиданность номер два: граница у листа Мёбиуса одна, а не распадается на две части, как у обычного кольца.

Склейте два кольца - одно простое и лист Мёбиуса . Кольца, конечно, очень похожи; но что получится, если провести непрерывную линию (т. е. не отрывая карандаша от склеенной полоски) по одной из сторон кольца?

3. 2. Кратчайший лист Мёбиуса.

Головоломки приводят порой к экспериментам с совершенно неожиданными результатами. Мы сейчас собираемся обсудить вопрос о реальном конструировании листа Мёбиуса, причем использовав самую короткую из бумажных лент. Определение «короткая» относится здесь к длине исходной полоски бумаги. После перекручивания на пол оборота и склеивания длина единственного края листа Мёбиуса окажется равной удвоенной длине исходной полоски А1 В1. ширина листа Мёбиуса равна длине края АВ. Не вдаваясь в утомительные доказательства, можно сказать, что если бумагу перегнуть, а затем крепко прижать, то складка окажется прямолинейной.

Какой формы бумажную полоску следует взять, чтобы склеить ленту Мёбиуса?

Ожидаемый ответ: полоска должна быть узкой и длинной, с возможно бóльшим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь.

Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается  мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров» – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

Сделать это можно так . Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его  чётное  число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка 3 видно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мёбиуса, оказался смятым.

3. 3. Конический лист Мёбиуса.

Если бы нам сказали, что разрешается брать листы бумаги произвольной формы, то мы могли бы взять лист с небольшим «языком» и, перевернув конец этого «языка», приклеить его к основной части , а всю получившуюся фигур назвать Листом Мёбиуса.

В некотором смысле так оно и есть, но если бы мы попытались поступать подобным образом в более сложных случаях, например в случае бутылки Клейна или проективной плоскости, то оказались бы на опасном пути. Так, согласно описанию бутылки Клейна, все, что от нас требуется,- это склеить одну пару противоположных краев с перекручиванием на пол-оборота, а другую пару - без такого перекручивания. Трудность здесь состоит в том, что как в случае бутылки Клейна, так и в случае проективной плоскости мы предлагали, что склеиваются все края бумаги, так что получается поверхность без края: при этом неизбежно возникает самопересечение поверхности.

3. 4. РАЗНОВИДНОСТИ МОДЕЛЕЙ ЛИСТА МЁБИУСА

3. 5. ПРИМЕНЕНИЕ В ЖИЗНИ ЛИСТА МЁБИУСА

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде ленты Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию. Возникшая недавно мода на рисунки «невозможных объектов» не обошла и лист Мёбиуса. Вот так его изобразил шведский художник О. Рутерсвард

Лист Мёбиуса часто использовал в своих рисунках нидерландский художник М. Эшер.

Лист Мёбиуса изображают на различных эмблемах, значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета. Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

В системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

В матричных принтерах красящая лента имеет вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Из модели листа Мёбиуса таким образом можно сделать цепь для пилы, что применимо в жизненных ситуациях в целях экономии материала пилы.

Также на листе Мёбиуса можно проводить такие игры как шашечные турниры и «крестики-нолики».

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Трюк с шапкой Мёбиуса. Лист Мёбиуса получают, склеивая концы перекрученной на пол-оборота полоски бумаги. В результате у полоски соединяются оба края и обе стороны, так что у листа Мёбиуса - только одна сторона и только один край. Если вы проведете продольную линию по центру листа Мёбиуса, то она пройдет по обеим «сторонам»; если же вы произведете вдаль этой линии разрез, то в результате получаться не две, а снова одна часть. Что бы заниматься подобными головоломками, требуются карандаш, бумага и ножницы. Если мы воспользуемся достаточно плотной бумагой, то петля будет выглядеть как неправильный овал с прогибами. Растянув стороны, мы добьемся только того, что петля примет треугольную форму. Но исходная полоска не обязана быть треугольной: нужно только, что бы края полоски, даже если искривлены, были «параллельны», подобно краям дороги. I. определите с помощью эксперимента и рассуждений наилучшую форму полоски, при которой дыры в листе Мёбиуса, образованном из этой плоскости, была бы близка к круглой. II. Все сказанное выше было лишь подготовкой к основному вопросу: можно ли использовать лист Мёбиуса в качестве полей в шляпе? Задача сводиться к тому, чтобы приделать край листа или, точнее, часть края к цилиндру, поскольку часть шляпы, окружающая голову, имеет форму цилиндра. При внимательном изучении становиться очевидным, что как бы мы ни искривляли и ни обрезали край полого цилиндра, его нельзя полностью соединить с краем листа Мёбиуса, поскольку последний перекручен. Сделайте просто шляпу, которая выглядела бы достаточно разумно и бала бы, если возможно, довольно красивой.

Решение: 1. Наилучшая форма полоски, при которой дыры в листе Мебиуса, образованные из этой полоски, были наиболее близки к круглой является S- образная кривая.

2. Лист Мёбиуса можно использовать в качестве полей в шляпе. Согнём лист бумаги в форме цилиндра, пока не склеивая его, просунем его в дыру листа Мёбиуса и дадим ему свободно развернуться. Отметим линию, по которой цилиндр касается листа, разрежем цилиндр вдоль этой линии и верхнюю половину прикрепим к листу Мёбиуса. Теперь остаётся только приклеить сверху к цилиндру круглое дно. Получившаяся шляпа вполне подходит для куклы, однако для человека надо позаботиться о чём-то более элегантном.

5. Бутылка Клейна

Изучение и исследования бутылки Клейна путем разрезов.

Что получится, если склеить границами два листа Мёбиуса? Представить себе это очень трудно, притом невозможно совершить такую операцию, если не разрешать поверхности пересекать саму себя. Если же разрешить это делать, то получим любопытную поверхность без границы, которая и будет бутылкой Клейна. К сожалению, в трехмерном пространстве нельзя построить бутылку Клейна, поверхность которой была бы свободна от точек самопересечения. Представим себе, что мы оттянули нижний конец трубки, загнули его вверх и, пропустив сквозь поверхность трубки, совместили с верхним концом. У реальной модели, изготовленной, например, из стекла, в том месте, где конец трубки проходит сквозь ее поверхность, придется оставить отверстие. Его не следует принимать во внимание: оно считается как бы затянутым продолжением поверхности бутылки. Иначе говоря, отверстия нет, есть только самопересечение поверхности бутылки. Такое самопересечение неизбежно до тех пор, пока мы имеем дело с трехмерной моделью. Если же мы представим себе, что вся поверхность погружена в четырехмерное пространство, то самопересечение можно будет полностью исключить.

Известный специалист по алгебраической геометрии Д. Пидо написал книгу под названием «Прекрасное искусство математики». Это великолепная книга, однако, профессор Пидо, следуя установившейся традиции, допускает там неверное утверждение. Он пишет, что изготовить бутылку Клейна под силу лишь искусному стеклодуву, сделать же бутылку Клейна «из бумаги совсем невозможно». Действительно, в то время, когда профессор Пидо писал свою книгу, никто даже не пытался склеить бумажную модель бутылки Клейна. Но так продолжалось лишь до тех пор, пока за дело не взялся Стивен Барр, писатель-фантаст, а на досуге -большой любитель занимательной математики.

Барр довольно быстро придумал множество способов складывания из бумаги моделей бутылки Клейна и даже написал книгу о топологических развлечениях. В книге Барра приводится множество новых способов, позволяющих складывать из обыкновенного листа бумаги изящные топологические модели. Из многих способов изготовления бутылки Клейна, предлагаемых Барром, мы приведём лишь один.

Прежде всего перегните квадрат пополам и соедините клейкой лентой его стороны, на рисунке обозначенные точечками. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата . Эта прорезь соответствует "отверстию" в стенке бутылки Клейна на стеклянной модели. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой А, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки в соответствии со стрелками. Нетрудно видеть, что наша плоская модель, сделанная из квадратного листа бумаги, топологически эквивалентна стеклянной бутылке и в сравнении с последней даже обладает одним преимуществом: в стенке бумажной модели нет заметного отверстия.

Правда, там, где поверхность самопересекается, в нашей модели (точнее, в модели Барра) есть прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так, чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края.

Разрезая бумажную модель разными способами, можно с легкостью демонстрировать многие удивительные свойства бутылки Клейна. Число Бетти для нее равно 2. Это нетрудно доказать, с помощью двух замкнутых разрезов, если их провести вдоль склеенных сторон квадрата. Разрезав бутылку пополам вертикальной плоскостью, вы получите два листа Мебиуса( сделанных из квадратного листа), переходящих друг в друга при зеркальном отражении. Это свойство бутылки Клейна удобнее всего демонстрировать на высокой "стройной" бутылке , склеенной не из квадрата, а из узкого длинного прямоугольника. Разрезав такую бутылку пополам вдоль пунктирной прямой (на само деле это не прямая, а одна большая петля вокруг всей поверхности бутылки), вы обнаружите, что каждая половина представляет собой лист Мебиуса, имеющий в том месте, где ранее была прорезь, самопересечение. Однако, вынув каждый лист из принадлежащей ему половинки прорези, вы можете совсем заклеить ее, ибо она не влияет на топологические свойства листа Мебиуса.

Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса , должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора:

Великий Феликс,

Славный Клейн,

Мудрец из Геттингена,

Считал, что Мебиуса лист—

Дар свыше несравненный.

Гуляя как-то раз в саду.

Воскликнул Клейн наш пылко:

"Задача проста —

Возьмем два листа

И склеим из них бутылку"

Как это ни удивительно, но оказывается, что с помощью одного замкнутого разреза бутылку Клейна можно превратить не в два листа Мебиуса, а всего лишь в один. Огромное достоинство бумажных моделей Барра состоит в том, что они допускают " экспериментальный подход" к решению подобных задач.

Чтобы нарисовать бутылку Клейна необходимо сделать следующее:

Нарисовать эскиз профиля колбы

Инструментом "бобышка вращения" создать заполненную колбу

Сделать тонкостенную оболочку (вид в разрезе)

Нарисовать траекторию горлышка

Используя существующие кромки в качестве профилей сечения, создать бобышку по траектории, указав в качестве осевой предыдущую кривую

Поверхностью полученного тела вырезать отверстие под горлышко

Соединить тела в единое тело, добавить округлений в материал

Бутылка Клейна готова!