История возникновения логических задач

Многие люди считают, что математика – это только процесс вычисления, формулы и больше ничего. Если бы им сказали, что это не так, они бы удивились и, скорее всего, не поверили бы. А ведь это именно так. Математика – это еще и своеобразный тип мышления и восприятия окружающего. Примером, иллюстрирующим данное утверждение, является тот любопытный факт, что логические задачи, относящиеся к математическим, лучше решаются школьником, чем студентом, а сложнее всего они даются профессорам и академикам. Более того, доказано, что школьник, сидящий где-нибудь на «Камчатке» будет более успешен в решении такого рода задач, чем какой-нибудь отличник, потому что ему постоянно приходится искать «способы выживания» в том или ином случае. Именно поэтому я бы хотела предоставить и рассмотреть различные логические задачи. Мои цели и задачи - это систематизация типов задач и выделение основных способов их решения. Также я хочу доказать, что основные способы решения не основаны на методах вычисления. Актуальность выбранной темы подтверждается простым примером:

Даже дети в детских садах часто бегают и спрашивают друг у друга: что тяжелее – килограмм пуха или килограмм железа? Вдобавок, могу сказать, что существует такая игра, как «Ситуации» (кто-то ее знает как «Данетки», «Следователь» или «Детектив») основная задача в которой составить пропущенную последовательность действий и объяснить то или иное происшествие, которая основана именно на математическом способе мышления. Давайте сначала рассмотрим, откуда же взялись эти задачи.

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мышления. Изучение законов человеческого мышления является предметом логики.

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г. до н. э. ). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной, или Аристотелевой логикой.

Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и потребовало дальнейшего ее развития.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

«Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» (Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому ученому Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки - математической логики.

Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно, расширило область логических исследований. К концу XIX столетия актуальное значение для математики приобрели вопросы обоснования ее основных понятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики.

Особенности математического мышления объясняются особенностями математических абстракций и многообразием их взаимосвязей. Они отражаются в логической систематизации математики, в доказательстве математических теорем. В связи с этим современную математическую логику определяют как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

2. Типы логических задач.

Существует множество разных логических задач. В ходе знакомства с ними, я выделила несколько основных типов задач:

1. «Правдивые задачи» В этих задачах нужно определить, какое выражение истина. Такие задачи могут иметь разную форму, но в них есть одна общая часть. В условие будет сказано, что есть человек, говорящий всегда правду, и его антагонист, говорящий всегда неправду. Существуют также задачи и с тремя персонажами, добавляется человек, говорящий по случаю, либо правду, либо ложь без всякой последовательности в ответах.

Примером такой задачи является:

Известно, что на одной двери надпись истина, а на другой ложь.

Если надпись на первой двери - "за этой дверью есть подарок", а на второй двери - “подарок за обеими дверьми", то:

1) подарок за обеими дверьми;

2) подарок только за второй дверью;

3) подарка нет ни за одной дверью;

4) подарок только за первой дверью;

5) определенно место подарка установить нельзя.

Как решать такие типы задач я объясню в следующем параграфе.

2. Задачи на последовательности. В этих задачах может быть дан какой-то шифр, разгадав который, вы сможете ответить на вопрос задачи.

Примером такого типа задач служит:

Ученик написал на доске все числа от 1 до 60 таким образом, что 1235960, а затем стер 100 из этих чисел таким образом, что из оставшихся цифр получилось новое наибольшее число из возможных. Что это за число?

3. Задачи на вычисление соотношения. Эти задачи довольно популярны среди составителей задачников и даже ученых. Самая известная из таких задач называется загадкой Эйнштейна.

4. Ну и последний тип, на котором я хотела бы остановиться, это задачи о различных сосудах, с помощью которых необходимо отмерить какое-то количество жидкости.

3. Методы решения логических задач.

Я выделила 4 метода решения логических задач.

1. Первым способом, о котором я расскажу, решаются самые простейшие задачи, но в то же время на нем основываются остальные. Это метод рассуждения. Идея этого метода – последовательность рассуждений и выводы их утверждений, содержащихся в условии задачи. Возьмем первый тип задачи, в котором необходимо определить правдивость предложенных утверждений, решение рассмотрим на примере, предложенным мною в описании данного типа. Рассуждать в данном случае надо так:

Рассмотрим такой случай - если выражение на второй двери правдиво, то на первой должно быть ложно, но тогда не выполняется условие, что подарок за обеими дверями.

Следовательно, надпись на первой двери будет правдиво, а на второй ложно.

Теперь внимательно прочитаем условия, переработав их в связи со сделанными выводами. За этой дверью есть подарок – правдиво, за обеими дверями есть подарок - ложь. Отсюда делаем вывод – подарок находится только за одной дверью – первой.

С помощью этого метода решаются задачи о правде, а также задачи на последовательность.

2. Второй способ, который я выделила – это метод таблицы, который очень удобен при решении задач на соотношение. Его выгода в наглядности логических размышлений, возможности контролировать цепочку рассуждений, а также возможность формализовать некоторые новые логические суждения. Разберем его на таком примере:

Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Составим таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета рубашек и туфель клоунов. Будем заполнять таблицу, используя условия задачи.

Так как Бам был в зеленых туфлях, то его туфли не могли быть никакого другого цвета и ни у кого другого не могли быть зеленые туфли, поэтому в этих полях ставим крестики.

РУБАШКИ ТУФЛИ

Бим х

Бам х + х

Бом х

Красный Зеленый Синий Красный Зеленый Синий

У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными, поэтому в этих полях ставим крестики. Из нашей таблицы видно, что его туфли могли быть только синими, ставим плюс, тогда туфли Бима могли быть только красными.

РУБАШКИ ТУФЛИ

Бим + х х

Бам х + х

Бом х х +

Красный Зеленый Синий Красный Зеленый Синий

Теперь рассмотрим их рубашки. Известно, что у Бима цвет рубашки и туфель совпадали, следовательно, его рубашка была красной. Так как Бам был в рубашке, отличной по цвету от его туфель, на нашей таблице мы видим, что она могла быть только синей, следовательно, у Бома она была зеленой.

РУБАШКИ ТУФЛИ

Бим + х х + х х

Бам х х + х + х

Бом х + х х х +

Красный Зеленый Синий Красный Зеленый Синий

На основе сделанной таблицы можно дать ответ – Бим был в красной рубашке и красных туфлях, Бам – в синей рубашке и зеленых туфлях, а Бом в зеленой рубашке и синих туфлях.

3 метод немного сложнее двух предыдущих, он заключается в том, что вводятся обозначения, выводится логическая формула из условия задачи, а затем решается и записывается ответ. Давайте разберем этот метод на таком примере:

Три друга обсуждали историю Нового года и каждый сказал следующее:

Празднование Нового года с 1 января установили во Франции в 45 году до Рождества Христова (Юлием Цезарем).

Празднование Нового года с 1 января установили римляне в 1659 году указом Карла IX.

Празднование Нового года с 1 января установили во II веке и не французы.

Оказавшийся рядом знаток истории сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предложений.

Где и в какое время было установлено празднование Нового года с 1 января?

Введем обозначения:

Ф – французы

Р – римляне

К – Карл IX в 1659

Ц – Цезарь в 45 году до Рождества Христова

В –2 век

Теперь составим логическую формулу:

(Ф&неЦ + неФ&Ц)&(Р&неК + неР&К)&(неВ&неФ +Ф&В)

Упростим полученную формулу, используя распределительный закон:

(Ф&неЦ + неФ&Ц)&(Р&неК + неР&К)&(неВ&неФ +Ф&В)=

=((Ф&неЦ+неФ&Ц)&Р&неК+(Ф&неЦ+неФ&Ц)&неР&К)&(неВ&неФ+Ф&В)=

=(Ф&неЦ&Р&неК+неФ&Ц&Р&неК+Ф&неЦ&неР&К+неФ&Ц&неР&К)&

&(неВ&неФ+Ф&В), т. к. Ф&Р=0, Ц&К=0, то формулу можно переписать в виде:

=(неФ&Ц&Р&неК+Ф&неЦ&неР&К)&(неВ&неФ+Ф&В)=(неФ&Ц&Р&неК+Ф&неЦ&&неР&К)&неВ&неФ+(неФ&Ц&Р&неК+Ф&неЦ&неР&К)&Ф&В,т. к. Ф&неФ=0, неФ&неФ=неФ, Ф&Ф=Ф, перепишем формулу в виде: неФ&Ц&Р&неК&неВ+Ф&неЦ&неР&К&В=(неФ&Ц&Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&

&(неВ&неФ+Ф&В)=(неФ&Ц&Р&неК+Ф&неЦ&неР&К)&неВ&неФ+(неФ&Ц&Р&

&неК+Ф&неЦ& неР&К)&Ф&В, т. к. Ф&неФ=0, неФ&неФ=неФ, Ф&Ф=Ф, то неФ&Ц&Р&неК&неВ+Ф&неЦ&неР&К&В, т. к. К&В=0, запишем формулу в виде:

Ц&Р&неК&неВ&неФ.

Из полученной формулы следует, что значение истинно только при Ц=1, Р=1, а К,В,Ф=0,

Запишем ответ:

Празднование Нового года с 1 января установили римляне в 45 году до Рождества Христова (благодаря введению нового календаря Юлием Цезарем).

4 метод называется методом блок-схем, и он лучше подходит для решения задач, в которых необходимо перелить из одного сосуда в другой. Если вы когда-нибудь составляли алгоритмы, то вам будет просто понять этот метод, ведь он основан именно на составлении элементарных алгоритмов. Преимущество метода в том, что он помогает проследить последовательность выполнения операций, определить порядок их выполнения и фиксировать состояния. Рассмотрим его на таком примере:

Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Перечислим все возможные операции, которые могут быть использованы нами, и введем для них следующие сокращенные обозначения:

НБ — наполнить большой сосуд водой из-под крана

НМ - наполнить маленький сосуд из-под крана

ОБ — опорожнить большой сосуд, вылив воду в раковину

ОМ – опорожнить малый сосуд, вылив воду в раковину

Б→М — перелить из большого в маленький, пока большой сосуд не опустеет или маленький сосуд не наполнится

М→Б — перелить из маленького в большой, пока маленький сосуд не опустеет или большой сосуд не наполнится

Среди перечисленных возможных действий нам понадобиться только 3 - НБ, Б→М, ОМ.

Кроме этих трех команд рассмотрим еще две вспомогательные команды: Б = 0? — посмотреть, пуст ли большой сосуд; М = З? — посмотреть, наполнен ли маленький сосуд.

Теперь составим алгоритм, при помощи которого мы будем решать поставленную задачу. Для этого обозначим действия в прямоугольниках, последовательность действий стрелками, а вопросы в ромбиках с двумя возможными вариантами ответов. Начнем выполнять полученную схему и фиксировать все результаты в таблицу.

Б 0 5 2 2 0

Цвет дома желтый синий красный зеленый белый

Животное кошки лошади птицы рыбки собаки

Национальность Норвежец Датчанин Англичанин Немец Швед

Заключение.

В заключение хочу сказать, что логические задачи необходимо решать, потому что

1. При решении логических задач вырабатывается навык нестандартного мышления, который пригодится в различных жизненных ситуациях.

2. Логические задачи помогают научиться делать последовательные логические выводы, приводящие к единственно верному решению.

3. Основные методы решения основаны на систематизации данных и выведении основных выводов на их основе.

4. Решение логических задач предполагает, что человек обладает разнообразными знаниями и умеет обращать внимание на незначительные, на первый взгляд, мелочи, без которых решение будет неправильным.