Бизнес  ->  Финансы  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Старинные занимательные задачи

Математика – древнейшая наука, она мне очень интересна: особенно старинные задачи. Они часто встречаются в олимпиадах, иногда в обычных учебниках математики и считаются особо сложными.

Именно поэтому свою исследовательскую работу я решила сделать по математике и показать, какие старинные задачи я нашла и решила. Много интересных задач я нашла в сборнике «Старинные занимательные задачи» С. Н. Олехника, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапова. Именно так я и назвала свою работу.

Из первых известных письменных источников мы узнаем о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X – XI вв. Они были связаны с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д. В XVI-XVII вв в России появляется рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). Для подготовки кадров нужны были учебники. В 1703 г. Впервые был издан учебник типографским способом (2400 экземпляров), он назывался «Арифметика, сиречь наука числительная». Автором его был Леонтий Филиппович Магницкий. На протяжении пятидесяти лет он был основным учебником математики для всех учебных заведений России.

Словарь единиц измерения

Верста (поприще) – мера длины, равная 1,06 км

Аршин – мера длины, равная 0,71 м

Алтын – денежная единица, равная 3 копейкам

Полушка – денежная единица, равная 0,25 рублей

Гривна – денежная единица, равная 10 копейкам

Фунт – мера веса, равная 453,6 г

Сажень – мера длины, равная 2,13 м

Четверть – мера, равная четвертой части какой-либо единицы измерения

Пядь – расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки при их наибольшем удалении. (19 – 23 см)

Локоть – расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. (38 – 46 см)

Вершок – мера длины, равная 4,5 см

2. Практическая часть

2. 1. Решенные задачи

1. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок.

Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

Решение:

1) 8 : 2 = 4 (яблока) – было у второго (и первого) мальчика до последней передачи.

2) 8 + 4 × 2 = 16 (яблок) – было у третьего мальчика до последней передачи.

3) 16 : 2 = 8 (яблок) – было у третьего мальчика до второй передачи.

4) 4 : 2 = 2 (яблока) – было у первого мальчика до второй передачи.

5) 8 × 3 = 24 (яблока) – было у всех мальчиков.

6) 24 – 8 – 2 = 14 (яблок) – было у второго мальчика до второй передачи.

7) 8 : 2 = 4 (яблока) – было у третьего мальчика сначала.

8) 14 : 2 = 7 (яблок) – было у второго мальчика сначала.

9) 24 – 4 – 7 = 13 (яблок) – было у первого мальчика сначала.

Ответ: изначально у первого мальчика было 13 яблок, у второго мальчика – 7 яблок, у третьего мальчика – 4 яблока.

2. У пятерых крестьян – Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима – было 10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец, и говорит Иван остальным: «Будем, братцы, пасти овец по очереди – по столько дней, сколько каждый из нас имеет овец». По сколько дней должен каждый крестьянин пасти овец, если известно, что у Ивана в 2 раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в 2 раза меньше, чем у Ивана; Михаил имеет овец в 2 раза больше, чем Яков, а Герасим – вчетверо меньше, чем Петр?

Краткая запись:

Иван ? в 2 раза < , чем у 1/2 x

Петр ? x

Яков ? в 2 раза < , чем у 1/2 x : 2 10 овец

Михаил ? в 2 раза > , чем у 1/2 x

Герасим ? в 4 раза < , чем у 1/4 x

Решение:

Пусть количество овец Петра будет равным x , кол-во овец Ивана - 1/2 x , кол-во овец Якова - 1/2 x : 2 , кол-во овец Михаила - 1/2 x , кол-во овец Герасима - 1/4 x , все овцы – 10.

Составим уравнение:

1/2 x + x + 1/2 x : 2 + 1/2 x + 1/4 x = 10

Решение:

1/2 x + x + 1/4 x + 1/2 x + 1/4 x = 10

21/2 x = 10 x = 10 : 21/2 x = 4 (овцы) – у Петра.

Проверка:

1/2 × 4 + 4 + 1/2 × 4 : 2 + 1/2 × 4 + 1/4 × 4 = 10

10 = 10

2) 4 : 2 = 2 (овцы) – у Ивана.

3) 2 : 2 = 1 (овца) – у Якова.

4) 1 × 2 = 2 (овцы) – у Михаила.

5) 4 : 4 = 1 (овца) – у Герасима.

Ответ: если у Ивана 2 овцы, он должен быть пастухом 2 дня, Петр – 4 дня, Яков – 1 день. Михаил будет пасти овец 2 дня, Герасим – 1 день.

3. Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц. Торговцы его спросили: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, то одно яйцо лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 4 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 5 яиц, то одно же яйцо осталось; и я клал их по 6 яиц, то одно же яйцо осталось; и я клал их по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочти мне, сколько в том лукошке яиц было?»

Решение:

НОК (2; 3; 4; 5; 6) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60

Далее действуем методом подбора:

1) 60 + 1 = 61

61 : 7 = 8 (ост. 5)

61 не кратно 7

2) 60 × 2 + 1 = 121

121 : 7 = 17 (ост. 2)

121 не кратно 7

3) 60 × 3 + 1 = 181

181 : 7 = 25 (ост. 6)

181 не кратно 7

4) 60 × 4 + 1 = 241

241 : 7 = 34 (ост. 3)

241 не кратно 7

5) 60 × 5 + 1 = 301

301 : 7 = 43

301 кратно 7

НОК (4; 5; 6; 7) = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

Если к числу 301 неограниченное количество раз прибавлять 420, можно получить числа, которые подходят к условию задачи.

Ответ: наименьшее количество находившихся в лукошке яиц равно 301.

4. Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 45 верст.

На какой день второй человек догонит первого?

Краткая запись:

За один день Кол-во дней Весь путь

I человек 40 верст ? х ? 40х

I человек 45 верст ? на 1 < , чем х – 1 ? 45 × (х – 1)

Решение:

Пусть расстояние, пройденное I человеком за один день, будет равным 40, за все дни - 40х, количество дней, которое он прошел - х. Пусть кол-во верст, пройденных II человеком ежедневно, будет равным 45, весь его путь - 45 × х – 1, число пройденных дней - х – 1.

Составим уравнение:

40х = 45 × (х – 1)

Решение:

40х = 45х – 45 × 1

40х = 45х – 45

45х – 40х = 45

5х = 45 х = 45 : 5 х = 9 (дней) – шел I человек

Проверка:

40 × 9 = 45 × (9 – 1)

360 = 360

Ответ: люди встретятся на 9 день.

5. Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст.

Через сколько дней путники встретятся?

Краткая запись:

За один день Кол-во дней Весь путь

I человек 40 верст ? х ? 40х

II человек 30 верст ? х ? 30х 700 верст

Решение:

Пусть количество верст, пройденных I человеком за один день, будет равным 40, II человеком – 30. Кол-во пройденных дней обозначим за х. Весь путь займет у I человека 40х, у II человека - 30х. Всего оба человека прошли 700 верст.

Составим уравнение:

40х + 30х = 700

Решение:

70х = 700 х = 700 : 70 х = 10 (дней) – будут идти путники

Проверка:

40 × 10 + 30 × 10 = 700

700 = 700

Ответ: путники встретятся через 10 дней.

6. Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3,5 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст.

Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?

Решение:

1) 4 – 3,5 = 0,5 (верст) – отставание за один час.

2) 15 : 0,5 = 30 (часов) – время, через которое люди встретятся.

3) 30 × 4 = 120 (верст) – прошел первый человек.

4) 30 × 3,5 = 105 (верст) – прошел второй человек.

5) 120 : 15 = 8 (раз) – обошел город первый.

6) 105 : 15 = 7 (раз) – обошел город второй.

Ответ: люди сошлись через 30 часов. За это время первый человек обошел город 8 раз, а второй человек – 7 раз.

7. Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты. В третий день он прошел уже 3 версты, в четвертый 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.

Через сколько дней второй воин настигнет первого?

Здесь представлена таблица, на которой показано расписание движения второго воина:

Дни Пройденные версты Отставание (в верстах)

1 день 1 12 – 1 11

2 день 2 12 – 2 10

3 день 3 12 – 3 9

4 день 4 12 – 4 8

5 день 5 12 – 5 7

6 день 6 12 – 6 6

7 день 7 12 – 7 5

8 день 8 12 – 8 4

9 день 9 12 – 9 3

10 день 10 12 – 10 2

11 день 11 12 – 11 1

12 день 12 12 – 12 0

13 день 13 12 – 13 – 1

14 день 14 12 – 14 – 2

15 день 15 12 – 15 – 3

16 день 16 12 – 16 – 4

17 день 17 12 – 17 – 5

18 день 18 12 – 18 – 6

19 день 19 12 – 19 – 7

20 день 20 12 – 20 – 8

21 день 21 12 – 21 – 9

22 день 22 12 – 22 – 10

23 день 23 12 – 23 – 11

Решение:

1) 12 – 1 = 11 (дней) – увеличивалось отставание между воинами.

Если количество верст, на которое второй воин отстал от первого за 11 день, второй воин проедет в 13 день; версты, на которые второй отстал от первого за 10 день, второй проедет в 14 день и т. д. , то значит, что, если второй воин отставал 11 дней, то догонять он будет тоже 11 дней. Также существует 12 день, когда отставание не увеличивалось и не уменьшалось.

2) 11 + 11 + 1 = 23 (дня) срок, за который второй воин настигнет первого.

Ответ: второму воину потребуется 23 дня, для того, чтобы настигнуть первого.

8. Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями».

Сколько верст осталось идти первому прохожему?

Решение:

1) 1/3 + 1/2 = 5/6 ( всего расстояния) – все расстояние, кроме 2 верст.

2) 1 - 5/6 = 1/6 (всего расстояния) – 2 версты.

3) 2 : 1/6 = 12 (верст) – все расстояние между деревнями.

4) 12 × 1/2 = 6 (верст) – половина всего расстояния.

5) 6 + 2 = 8 (верст) – осталось идти первому прохожему.

Ответ: первому прохожему осталось идти 8 верст.

9. Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней.

Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Решение:

1) 1/10 + 1/15 = 1/6 (всего расстояния в день) – скорость сближения путешественников.

2) 1 : 1/6 = 6 (дней) – будут идти путешественники.

Ответ: путешественники встретятся через 6 дней.

10. Некто купил 3/4 аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

Краткая запись:

Длина Стоимость

I случай 3/4 аршина 3 алтына

II случай 100 аршин ? х

Решение:

3/4 = 0,75

Пусть в первом случае за 3/4 аршина сукна заплатили 3 алтына, а за 100 аршин – х алтын.

Составим уравнение:

0,75/100 = 3/х

Решение:

0,75х = 3 × 100

0,75х = 300 х = 300 : 0,75 х = 400 (алтын) – стоимость 100 аршин сукна.

Проверка:

0,75/100 = 3/400

0,0075 = 0,0075

Ответ: за 100 аршин сукна надо заплатить 400 алтын.

11. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки.

Сколько стоит покупка?

Решение:

1) 2 × 12 + 7 = 31 (полушка) – цена 1 гуся из первой половины гусей.

2) 96 : 2 = 48 (гусей) – половина гусей.

3) 31 × 48 = 1488 (полушек) – стоимость первой половины гусей.

4) 7 + 1 = 8 (полушек) – разница в цене гусей.

5) 31 – 8 = 23 (полушки) – цена 1 гуся из второй половины гусей.

6) 23 × 48 = 1104 (полушки) – стоимость второй половины гусей.

7) 1488 + 1104 = 2592 (полушки) – стоимость всех гусей.

8) 2592 : 400 = 6,48 (рублей) – стоимость всех гусей.

Ответ: покупка стоила 6 рублей 48 копеек.

12. Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын.

Сколько каких баранов было куплено?

Решение:

1) 10 алтын = 10 × 12 = 120 полушек

2) 15 алтын 4 полушки = 15 × 12 + 4 = 184 полушки

3) 49 рублей 20 алтын = 49 × 400 + 20 × 12 = 19600 + 240 = 19840 полушек

Пусть молодой баран будет стоить 120 полушек, старый – 184, всего баранов – 112. Цену молодого барана обозначим за х, старого – у, общая стоимость – 19840 полушек.

Составим систему уравнений:

120х + 184у = 19840 х + у = 112

Решение:

120х + 184 × (112 – х) = 19840

120х + 20608 - 184х = 19840

–64х + 20608 = 19840

–64х = 19840 – 20608

–64х = –768 х = –768 : (–64) х = 12

Проверка:

120 × 12 + 184 × (112 – 12) = 19840

19840 = 19840

12 + у = 112 у = 112 – 12 у = 100

Проверка:

120 × 12 + 184 × 100 = 19840

19840 = 19840

12 + 100 = 112

112 = 112

Ответ: было куплено 100 старых баранов и 12 молодых.

13. Один человек купил 3 курицы и заплатил за них 46 копеек. Первая курица несла по 3 яйца через 4 дня, вторая – по 2 яйца через 3 дня, а третья – по 1 яйцу через 2 дня.

Продавал он яйца по 5 штук за 1/2 копейки.

За какое время окупятся куры?

Краткая запись:

1 день Кол-во дней Всего

1 курица 3/4 × 1/2 : 5 копеек ? х ?

2 курица 2/3 × 1/2 : 5 копеек ? х ? 46 копеек

3 курица 1/2 × 1/2 : 5 копеек ? х ?

Решение:

Пусть первая курица давала 3 яйца за 4 дня, то есть за день она давала 3/4 яйца; вторая курица давала за 3 дня 2 яйца, соответственно в день она давала 2/3 яйца; третья курица раз в 2 дня давала 1яйцо, значит, за день она давала 1/2 яйца. Так как крестьянин продавал яйца по 5 штук за 1/2 копейки, то цена одного яйца равна 1/2 : 5 копеек. Количество дней, за которое куры окупятся, обозначим за х. Куры окупятся тогда, когда доход от яиц составит стоимость всех кур – 46 копеек.

Составим уравнение:

(3/4 + 2/3 + 1/2) × 1/2 : 5 × х = 46

Решение:

111/12 × 1/2 : 5 × х = 46

23/24 : 5 × х = 46

23/120 х = 46 х = 46 : 23/120 х = 240 (дней) – срок, через который окупятся куры.

Проверка:

(3/4 + 2/3 + 1/2) × 1/2 : 5 × 240 = 46

46 = 46

Ответ: куры окупятся через 240 дней.

14. Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него оставалось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек то не хватило денег полтора рубля с гривною

Сколько денег было у этого человека?

Решение:

1) 20 алтын = 20 × 3 копеек = 60 копеек.

2) 1,5 рублей = 1,5 × 100 копеек = 150 копеек.

3) 1 гривна = 1 × 10 копеек = 10 копеек.

4) 60 + 150 + 10 = 220 (копеек) – цена одной бочки.

5) 220 × 8 = 1760 (копеек) – стоимость восьми бочек.

6) 1760 + 60 = 1820 (копеек) – было у человека.

Ответ: у человека было 1820 копеек.

15. Хозяин нанял работника на год и обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей. Сколько стоит кафтан?

Решение:

1) 12 - 7 = 5 (месяцев) – осталось работнику.

2) 12 - 5 = 7 (рублей) – недополучил работник.

3) 7 : 5 = 1,40 (рублей) – за один месяц.

4) 7 × 1,4 = 9,8 (рублей) – за 7 месяцев.

5) 9,8 - 5 = 4,8 (рублей) – цена кафтана.

Ответ: цена кафтана равна 4,8 рублей.

16. Хозяин нанял работника с таким условием: За каждый рабочий день будет ему платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий день – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал.

Сколько было рабочих дней?

Решение:

1) 20 × 60 = 1200 (копеек) – заработал бы работник, если бы не пропустил ни одного дня.

2) 20 – ( – 30) = 50 (копеек) – разница между рабочим и нерабочим днем.

3) 1200 : 50 = 24 (дня) – нерабочие дни.

4) 60 – 24 = 36 (дней) – рабочие дни.

Ответ: работник проработал 36 дней.

17. Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «25 яиц без полушки стоят 5 полушек без 5 яиц».

Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.

Краткая запись:

Было Отняли Осталось

Товар 25 яиц 25х 1 полушка у ? 25х – у

Стоимость 5 полушек 5у 5 яиц 5х ? 5у - 5х

Решение:

Пусть одно яйцо будет х, а одна полушка – у. Было 25 яиц без полушки, а стоили они 5 полушек без 5 яиц.

Составим уравнение:

25х – у = 5у - 5х

Решение:

25х – у + 5х = 5у

30х – у = 5у

30х = у + 5у

30х = 6у

30х : 3 = 6у : 3

10х = 2у

Ответ: 10 яиц стоят 2 полушки.

18. Куплено 9/4 аршина сукна и за них уплачено 25/4 гривны. Сколько надо уплатить за 289/4 аршина сукна?

Краткая запись:

Цена Кол-во Стоимость

I случай ? х 9/4 аршина 25/4 гривны

II случай ? х 289/4 аршина ?

Решение:

Пусть цена за аршин сукна будет х гривен, количество сукна – 9/4 аршин, стоимость покупки – 25/4 гривны.

Составим уравнение:

9/4 х = 25/4

Решение: х = 25/4 : 9/4 х = 25/9 (гривен) – цена одного аршина сукна.

Проверка:

9/4 × 25/9 = 25/4

25/4 = 25/4

2) 25/9 × 289/4 = 20025/36 (гривен) – стоимость 289/4 аршина сукна.

Ответ: за 289/4 аршина сукна надо уплатить 20025/36 гривен.

19. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго – 85 рублей. Деньги всех купцов кроме третьего составят 80 рублей, кроме четвертого – 75 рублей.

Сколько у кого денег?

Решение:

Сначала рассмотрим первую и вторую ситуацию: в первой ситуации не участвует I купец, а во второй – II, но во втором случае I купец складывается уже вместе с III и IV купцами. То есть во второй ситуации I купец заменяет II.

1) 90 – 85 = 5 (рублей) – разница между I и II купцами. То есть у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго.

Затем разберем вторую и третью ситуацию: во второй ситуации не участвует II купец, а в третьей – III, но в третьем случае II купец складывается уже вместе с I и IV купцами. То есть в третьей ситуации II купец заменяет III.

2) 85 – 80 = 5 (рублей) - разница между II и III купцами. То есть у второго купца на 5 рублей меньше, чем у третьего.

Рассмотрим третью и четвертую ситуацию: в третьей ситуации не участвует III купец, а в четвертой – IV, но в четвертом случае III купец складывается уже вместе с I и II купцами. То есть в четвертой ситуации III купец заменяет IV.

3) 80 – 75 = 5 (рублей) - разница между III и IV купцами. То есть у третьего купца на 5 рублей меньше, чем у четвертого.

4) 5 + 5 = 10 (рублей) – разница между I и III купцами.

5) 10 + 5 = 15 (рублей) - разница между I и III купцами, а также разница между I и II купцами, вместе взятые.

6) 75 – 15 = 60 (рублей) – утроенная сумма денег первого купца.

7) 60 : 3 = 20 (рублей) – деньги первого купца.

8) 20 + 5 = 25 (рублей) – деньги второго купца.

9) 25 + 5 = 30 (рублей) – деньги третьего купца.

10) 30 + 5 = 35 (рублей) – деньги четвертого купца.

Ответ: у первого купца было 20 рублей, у второго – 25. Сумма денег третьего купца была равна 30 рублям, четвертого – 35.

20 У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Здесь я привожу старинный способ решения задач на смешение веществ.

Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и посередине – стоимость масла, которое должно получиться после смешения. Проведя черточки от стоимости масла, которое должно получиться после смешения, к уже имеющимся маслам, получим такую картину:

От масла, которое должно получиться после смешения, вычтем меньшую цену, и результат запишем справа от большей цены.

7 – 6 = 1

После этого цену смешанного масла вычитаем из большей цены, а разность напишем справа от меньшей цены.

10 – 7 = 3

Получится такая картина:

Из нее узнаем, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, то есть для получения 1 ведра масла ценою 7 гривен нужно взять 1/4 ведра дорогого масла и 3/4 ведра дешевого.

21 Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?

(В России существовала золотниковая система обозначения пробы на основе русского фунта, содержащего 96 золотников, по которой проба выражалась весовым количеством благородного металла в 96 единицах сплава, например, слова «серебро одиннадцатой пробы» означают, что в 96 частях сплава содержится 11 частей серебра. Позже проба стала обозначать число частей благородного металла в 1000 частях (по массе) сплава. )

Решение:

1) 12 – 11 = 1 (часть) – серебра четырнадцатой пробы.

2) 14 – 12 = 2 (части) – серебра одиннадцатой пробы.

3) 1 + 2 = 3 (части) – всего в сплаве.

Ответ: для получения серебра двенадцатой пробы нужно взять 1/3 фунта серебра четырнадцатой пробы и 2/3 фунта одиннадцатой пробы.

22. Имеет некто чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти 3 сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Здесь можно применить такое же решение, как и в задачах 20-21:

Метод решения, данный в прошлых задачах на смешение двух веществ, нужно повторить 2 раза. Сначала возьмем самую маленькую и среднюю стоимость:

1) 6 – 5 = 1 (часть) – индийского чая.

2) 8 – 6 = 2 (части) – количества долей цейлонского чая.

Затем рассмотрим наименьшую и наибольшую стоимость:

3) 6 – 5 = 1 (часть) – китайского чая.

4) 12 – 6 = 6 (частей) - количества долей цейлонского чая.

Затем складываем числа, стоящие справа от наименьшей стоимости:

5) 2 + 6 = 8 (частей) – цейлонского чая.

Ответ: для получения чая стоимостью 6 гривен за фунт нужно взять 1 часть индийского чая, 1 часть китайского чая и 8 частей цейлонского чая.

23. Некто имеет серебро разных проб: одно – двенадцатой пробы, другое – десятой пробы, третье – шестой пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить один фунт серебра девятой пробы?

Решение:

1) 9 – 6 = 3 (части) – серебра десятой пробы.

2) 10 – 9 = 1 (часть) – количества долей серебра шестой пробы.

3) 9 – 6 = 3 (части) – серебра двенадцатой пробы.

4) 12 – 9 = 3 (части) – количества долей серебра шестой пробы.

5) 3 + 1 = 4 (части) – серебра шестой пробы.

6) 3 + 3 + 4 = 10 (частей) – всего в сплаве.

7) 4/10 = 2/5

Ответ: чтобы получить один фунт серебра девятой пробы, нужно взять 2/5 фунта серебра шестой пробы, 3/10 фунта серебра десятой пробы и 3/10 фунта серебра двенадцатой пробы.

24. Найти число такое, что если к нему добавить его третью часть и от полученной суммы отнять ее шестую часть, то будет 100.

Здесь я привожу решение этой задачи по «фальшивому» или «гадательному» правилу:

Предположим, что неизвестное число равно 162. Далее совершим с ним те действия, которые даны в условии задачи:

1) 162 × 1/3 = 54

2) 162 + 54 = 216

3) 216 × 1/6 = 36

4) 216 – 36 = 180

180 > 100 – число угадано неверно

Теперь предположим, что неизвестное число равно 117:

5) 117 × 1/3 = 39

6) 117 + 39 = 156

7) 156 × 1/6 = 26

8) 156 – 26 = 130

130 > 100 – число угадано неверно

Дальше находим разность между получившимися числами и 100:

9) 180 – 100 = 80

10) 130 – 100 = 30

Далее рисуем схему:

Сначала пишем в столбик числа, которые мы предполагали на место неизвестного числа. Затем напротив каждого из них пишем, на сколько мы ошиблись. Соединяем числа крест накрест.

Перемножим числа, соединенные линиями:

11) 162 × 30 = 4860

12) 117 × 80 = 9360

Находим разность полученных произведений:

13) 9360 – 4860 = 4500

Вычисляем разность чисел, стоящих во втором столбике:

14) 80 – 30 = 50

Находим частное получившихся разностей:

15) 4500 : 50 = 90 – неизвестное число.

Ответ: неизвестное число равно 90.

Числа 162 и 117 были выбраны наугад, и они оказались больше, чем 100.

Решать задачу таким же способом следует, если оба числа окажутся меньше, чем неизвестное число. Если одно из взятых наугад чисел окажется больше данного числа, а другое меньше, то следует разделить не разность произведений (13 действие) на разность ошибок (14 действие), а сумму произведений на сумму ошибок.

25. Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько учеников в классе?

Решение:

Предположим, что в классе 16 учеников:

1) 16 + 16 + 16 × 1/2 + 16 × 1/4 + 1 = 45

45 < 100 – число не угадано

Предположим, что в классе 20 учеников:

2) 20 + 20 + 20 × 1/2 + 20 × 1/4 + 1 = 56

56 < 100 – число не угадано

3) 100 – 45 = 55 – число, на которое была совершена ошибка при первом подборе.

4) 100 – 56 = 44 – число, на которое была совершена ошибка при втором подборе.

5) 16 × 44 = 704 – первое произведение.

6) 20 × 55 = 1100 – второе произведение.

7) 1100 – 704 = 396 – разница между произведениями.

8) 55 – 44 = 11 – разница между числами, на которые были совершены ошибки.

9) 396 : 11 = 36 – учеников в классе.

Ответ: в классе у Пифагора было 36 учеников.

26. Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго на 9 аршин больше, чем третьего.

Сколько же сукна каждого сорта было куплено?

Решение:

Предположим, что первого сорта сукна было 48 аршин:

1) 48 – 12 = 36 (аршин) – второго сорта сукна.

2) 36 – 9 = 27 (аршин) – третьего сорта сукна.

3) 48 + 36 + 27 = 111 (аршин) – все сорта сукна.

111 > 106 – число не угадано

Предположим, что купили 40 аршин первого сорта сукна:

4) 40 – 12 = 28 (аршин) – второго вида сукна.

5) 28 – 9 = 19 (аршин) – третьего вида сукна.

6) 40 + 28 + 19 = 87 (аршин) – вся покупка.

87 < 106 – число не угадано

7) 111 – 106 = 5 (аршин) – ошибка при первом подборе.

8) 106 – 87 = 19 (аршин) – количество аршин, на которое была совершена ошибка при втором подборе.

9) 48 × 19 = 912 – первое произведение.

10) 40 × 5 = 200 – второе произведение.

11) 912 + 200 = 1112 – сумма произведений.

12) 5 + 19 = 24 – сумма ошибок.

13) 1112 : 24 = 461/3 (аршина) – сукно первого сорта.

14) 461/3 – 12 = 341/3 (аршина) – сукно второго сорта.

15) 341/3 – 9 = 251/3 (аршин) – сукно третьего сорта.

Ответ: купили 461/3 аршина сукна первого сорта, 341/3 аршина сукна второго сорта и 251/3 аршина сукна третьего сорта.

27. Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне 2/3 твоих денег, то я один смогу заплатить ее цену». А второй отвечает первому: «Дай мне 3/4 своих денег, тогда и я заплачу ее цену».

Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 рубля?

Решение:

Предположим, что у первого человека было 20 рублей:

1) 24 – 20 = 4 (рубля) - 2/3 денег второго человека.

2) 4 : 2/3 = 6 (рублей) – у второго человека.

3) 20 × 3/4 = 15 (рублей) - 3/4 наличности первого человека.

4) 15 + 6 = 21 (рубль) – должна стоить корова, если у первого человека 20 рублей.

21 < 24 – число не угадано

Предположим, что деньги первого человека составляют 22 рубля:

5) 24 – 22 = 2 (рубля) - 2/3 наличности второго человека.

6) 2 : 2/3 = 3 (рубля) – у второго человека.

7) 22 × 3/4 = 16,5 (рублей) - 3/4 денег первого человека.

8) 16,5 + 3 = 19,5 (рублей) – цена коровы, при условии, что у первого человека 22 рубля.

19,5 < 24 – число не угадано

9) 24 – 21 = 3 (рубля) – ошибка при первом подборе.

10) 24 – 19,5 = 4,5 (рублей) – ошибка при втором подборе.

11) 20 × 4,5 = 90 – первое произведение.

12) 22 × 3 = 66 – второе произведение.

13) 90 – 66 = 24 – разница между произведениями.

14) 4,5 – 3 = 1,5 – разница между ошибками.

15) 24 : 1,5 = 16 (рублей) – сумма денег первого человека.

16) 24 – 16 = 8 (рублей) - 2/3 наличности второго человека.

17) 8 : 2/3 = 12 (рублей) – все деньги второго.

Ответ: у первого человека было 16 рублей, у второго – 12 рублей.

28. Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорил: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня бы было 17 рублей». Второй же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если бы они дали ему по 1/3 своих денег, то у него стало бы также 17 рублей. На что и третий сказал, что если бы собеседники дали ему 1/4 своих денег, то также и у него стало бы 17 рублей.

Сколько денег имеет каждый из собеседников?

Решение:

Предположим, что у первого человека 12 рублей:

1) 17 – 12 = 5 (рублей) – половина денег второго и третьего мужчины.

2) 5 × 2 = 10 (рублей) – деньги второго и третьего человека.

3) 12 + 10 = 22 (рубля) – общая сумма денег.

4) 22 : 3 = 71/3 (рублей) – 1/3 всех денег.

5) 17 – 71/3 = 92/3 (рублей) – 2/3 денег второго.

6) 92/3 : 2/3 = 141/2 (рублей) – вся наличность второго человека.

7) 22 – 141/2 – 12 = –41/2 (рубля) – деньги третьего человека.

8) 141/2 × 1/4 = 35/8 (рублей) – 1/4 всех денег второго.

9) 12 × 1/4 = 3 (рубля) – 1/4 денег первого.

10) –41/2 + 35/8 + 3 = 21/8 (рубля) – должно быть у третьего человека.

21/8 < 17 – число не угадано

Предположим, что у первого человека было 8 рублей:

11) 17 – 8 = 9 (рублей) – половина денег второго и третьего мужчины.

12) 9 × 2 = 18 (рублей) – деньги второго и третьего человека.

13) 18 + 8 = 26 (рублей) – общая сумма денег.

14) 26 : 3 = 82/3 (рублей) – 1/3 всех денег.

15) 17 – 82/3 = 81/3 (рублей) – 2/3 денег второго.

16) 81/3 : 2/3 = 121/2 (рублей) – вся наличность второго человека.

17) 26 – 121/2 – 8 = 51/2 (рубля) – деньги третьего человека.

18) 121/2 × 1/4 = 31/8 (рубля) – 1/4 всех денег второго.

19) 8 × 1/4 = 2 (рубля) – 1/4 денег первого.

20) 51/2 + 31/8 + 2 = 105/8 (рублей) – должно быть у третьего человека.

105/8 < 17 – число не угадано

21) 17 – 21/8 = 147/8 – ошибка при первом подборе.

22) 17 – 105/8 = 63/8 – ошибка при втором подборе.

12 147/8

23) 63/8 × 12 = 761/2 – первое произведение.

24) 8 × 147/8 = 119 – второе произведение.

25) 119 – 761/2 = 421/2 – разность произведений.

26) 147/8 – 63/8 = 81/2 – разность ошибок.

27) 421/2 : 81/2 = 5 (рублей) – у первого.

28) 17 – 5 = 12 (рублей) – половина денег второго и третьего мужчины.

29) 12 × 2 = 24 (рубля) – деньги второго и третьего человека.

30) 24 + 5 = 29 (рублей) – общая сумма денег.

31) 29 : 3 = 92/3 (рублей) – 1/3 всех денег.

32) 17 – 92/3 = 71/3 (рублей) – 2/3 денег второго.

33) 71/3 : 2/3 = 11 (рублей) – вся наличность второго человека.

34) 29 – 5 – 11 = 13 (рублей) – деньги третьего.

Ответ: у первого человека было 5 рублей, у второго – 11 рублей, у третьего – 13 рублей.

29. Три человека собрались покупать товару на 54 рубля. И говорит первый второму: «Дай мне из своих денег 1/4 часть, и я один заплачу за товар». А второй обращается к третьему: «Дай мне 1/3 часть своих денег, тогда и я один смогу заплатить за товар». Также и третий человек обратился к первому, но попросил 1/2 часть его денег.

Сколько у кого денег?

Решение:

Предположим, что у первого человека было 48 рублей:

1) 54 – 48 = 6 (рублей) – 1/4 часть денег второго.

2) 6 : 1/4 = 24 (рубля) – деньги второго.

3) 54 – 24 = 30 (рублей) – 1/3 денег третьего.

4) 30 : 1/3 = 90 (рублей) – все деньги третьего.

5) 54 – 90 = –36 (рублей) – 1/2 денег первого.

6) –36 : 1/2 = –72 (рубля) – деньги первого.

–72 < 48 – число не угадано

Предположим, что у первого человека было 44 рубля:

7) 54 – 44 = 10 (рублей) – 1/4 часть денег второго.

8) 10 : 1/4 = 40 (рублей) – деньги второго.

9) 54 – 40 = 14 (рублей) – 1/3 денег третьего.

10) 14 : 1/3 = 42 (рубля) – все деньги третьего.

11) 54 – 42 = 12 (рублей) – 1/2 денег первого.

12) 12 : 1/2 = 24 (рубля) – деньги первого.

24 < 44 – число не угадано

13) 48 – (–72) = 120 – ошибка при первом подборе.

14) 44 – 24 = 20 – ошибка при втором подборе.

15) 48 × 20 = 960 – первое произведение.

16) 44 × 120 = 5280 – второе произведение.

17) 5280 – 960 = 4320 – разница между произведениями.

18) 120 – 20 = 100 – разница между ошибками.

19) 4320 : 100 = 43,2 (рублей) – было у первого человека.

20) 54 - 43,2 = 10,8 (рублей) – 1/4 часть денег второго.

21) 10,8 : 1/4 = 43,2 (рублей) – было у второго.

22) 10,8 : 1/3 = 32,4 (рубля) – было у третьего.

Ответ: у первого человека было 43,2 рублей, у второго столько же. У третьего человека имелось 32,4 рубля.

30. Некто купил 64 рулона сукна. Из них 20 рулонов белого сукна, 13 рулонов черного, 5 красного, 19 зеленого, 7 лазоревого и уплатил за них 486 рублей. Цена же их была неравная: за черный рулон он платил на 4 рубля больше, чем за белый; за красный – на 3 рубля меньше, чем за черный; за зеленый – на 2 рубля меньше, чем за красный; а за лазоревый на один рубль больше, чем за зеленый.

Сколько денег он платил за каждый рулон?

Решение:

Предположим, что белый рулон стоил 10 рублей:

1) 10 × 20 = 200 (рублей) – стоимость всего белого сукна.

2) 10 + 4 = 14 (рублей) – цена рулона черного сукна.

3) 14 × 13 = 182 (рубля) – стоимость всего черного сукна.

4) 14 – 3 = 11 (рублей) – цена рулона красного сукна.

5) 11 × 5 = 55 (рублей) – стоимость всего красного сукна.

6) 11 – 2 = 9 (рублей) – цена рулона зеленого сукна.

7) 9 × 19 = 171 (рубль) – стоимость всего зеленого сукна.

8) 9 + 1 = 10 (рублей) – цена одного рулона лазоревого сукна.

9) 10 × 7 = 70 (рублей) – стоимость всего лазоревого сукна.

10) 200 + 182 + 55 + 171 + 70 = 678 (рублей) – должна стоить вся покупка.

678 > 486 – число не угадано

Предположим, что белый рулон стоил 8 рублей:

11) 10 – 8 = 2 (рубля) – разница между прошлой и нынешней ценой.

12) 20 + 13 + 5 + 19 + 7 = 64 (рулона) – всего в покупке.

13) 64 × 2 = 128 (рублей) – разница между стоимостями покупки при первом и втором подборе.

14) 678 – 128 = 550 (рублей) – стоимость всей покупки.

550 > 486 – число не угадано

15) 678 – 486 = 192 – ошибка при первом подборе.

16) 550 – 486 = 64 – ошибка при втором подборе.

17) 10 × 64 = 640 – первое произведение.

18) 8 × 192 = 1536 – второе произведение.

19) 1536 – 640 = 896 – разница между произведениями.

20) 192 – 64 = 128 – разница между ошибками.

21) 896 : 128 = 7 (рублей) – цена белого рулона.

22) 7 + 4 = 11 (рублей) – цена черного рулона.

23) 11 – 3 = 8 (рублей) – цена красного рулона.

24) 8 – 2 = 6 (рублей) – цена зеленого рулона.

25) 6 + 1 = 7 (рублей) – цена лазоревого рулона.

Ответ: цена рулона белого сукна равна 7 рублям, черного – 11 рублям, красного – 8 рублям. Рулон зеленого сукна стоит 6 рублей, лазоревого – 7 рублей.

31. Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это – правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

20 : 10 = 2 – поскольку украденная сумма и годовое жалованье слуги в два раза меньше, чем украденное и жалованье слуги за 2 года, украденной суммы не существует.

Ответ: у постояльца не было денег, значит в год слуга получал 10 рублей.

32. У приезжего молодца оценили «богатство»: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.

(«Вполтретья – в 21/2 раза. Подобные названия сохранились и в современном языке. На вопрос «Который час?» мы отвечаем «Половина двенадцатого», имея в виду 111/2 часов. )

Решение:

1) 3 алтына – 1 полушка = 3 × 3 копейки – 1 полушка = 9 копеек – 1 полушка = 9 × 4 полушки – 1 полушка = 36 полушек – 1 полушка = 35 полушек

2) 21/2 + 1 = 31/2 (цены жилета) – 35 полушек.

3) 35 : 31/2 = 10 (полушек) – цена жилета.

4) 10 × 21/2 = 25 (полушек) – цена фрака.

Ответ: жилет стоил 10 полушек, а фрак обходился в 25 полушек.

33. Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною 4 алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена.

(«Вполчетверта» - в 3,5 раза. )

Решение:

1) 4,5 : 2 = 2,25 (алтын) – общая стоимость.

2) 3,5 + 1 = 4,5 (цен чепца фигаро) – входят в общую стоимость.

3) 2,25 : 4,5 = 0,5 (алтын) – чепец фигаро.

4) 2,25 – 0,5 = 1,75 (алтын) – фуро.

Ответ: чепец фигаро стоит 0,5 алтын, фуро – 1,75 алтын.

34. Веселый человек пришел в трактир с некоторой суммой денег и занял у содержателя трактира столько денег, сколько у себя имел. Из этой суммы истратил один рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занял столько денег, сколько имел. В этом трактире также истратил 1 рубль. Потом пришел в третий и четвертый трактиры и повторил то же самое. Наконец, когда вышел из четвертого трактира, не имел ничего. Сколько денег имел первоначально веселый человек?

Решение:

1) 1 : 2 = 0,5 (рублей) – было у человека по прибытии в четвертый трактир.

2) 0,5 + 1 = 1,5 (рублей) – имелось у человека после того, как он занял у содержателя третьего трактира.

3) 1,5 : 2 = 0,75 (рублей) – было у человека по прибытии в третий трактир.

4) 0,75 + 1 = 1,75 (рублей) – имелось у человека после того, как он занял у содержателя второго трактира.

5) 1,75 : 2 = 0,875 (рублей) – было у человека по прибытии во второй трактир.

6) 0,875 + 1 = 1,875 (рублей) – имелось у человека после того, как он занял у содержателя первого трактира.

7) 1,875 : 2 = 0,9375 (рублей) – было у веселого человека изначально.

Ответ: перед тем, как идти в трактиры, веселый человек имел 0,9375 рублей.

35. Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.

Решение:

1) 1/10 – 1/14 = 1/35 (бочонка) – за день выпивает жена.

2) 1 : 1/35 = 35 (дней) – потратит жена на бочонок кваса.

Ответ: жена может выпить бочонок кваса за 35 дней.

36. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.

Решение:

1) 3 : 8 = 3/8 (раза) – разница между 3 и 8 часами.

2) 6 : 3/8 = 16 (косцов) – потребуется.

Ответ: чтобы выпить за 3 часа бочонок кваса, нужно 16 косцов.

37. Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидала зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков? (В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно зайцем и собакой. )

Решение:

40 × 6 = 240 (скачков собаки) – время, через которое собака догонит зайца.

Ответ: собака догонит зайца через 240 собачьих скачков.

38. Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака – за 5 минут 1300 саженей.

За какое время собака догонит зайца?

Решение:

1) 500 : 2 = 250 (саженей в минуту) – скорость зайца.

2) 1300 : 5 = 260 (саженей в минуту) – скорость собаки.

3) 260 – 250 = 10 (саженей в минуту) – разница между скоростями.

4) 150 : 10 = 15 (минут) – время, через которое собака догонит зайца.

Ответ: собака догонит зайца через 15 минут.

39. Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».

Как разделить орехи?

Решение:

1) 4 × 3 = 12 (раз) – разница между частями.

2) 12 + 1 = 13 (маленьких частей) – содержится в общем количестве орехов.

3) 130 : 13 = 10 (орехов) – маленькая часть.

4) 130 – 10 = 120 (орехов) – большая часть.

Ответ: меньшая часть составляет 10 орехов, большая – 120 орехов.

40. На мельнице имеется 3 жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах.

За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

Решение:

1) 60 + 54 + 48 = 162 (четверти зерна) – можно смолоть за сутки.

2) 81 : 162 = 0,5 (суток) – потребуется для того, чтобы смолоть 81 четверть зерна.

3) 60 × 0,5 = 30 (четвертей зерна) – нужно положить на первый жернов.

4) 54 × 0,5 = 27 (четвертей зерна) – нужно положить на второй жернов.

5) 48 × 0,5 = 24 (четверти зерна) – нужно положить на третий жернов.

Ответ: 81 четверть зерна можно смолоть за 0,5 суток, если на первый жернов положить 30 четвертей, на второй – 27 четвертей, на третий – 24 четверти.

41. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за 2 месяца, овца – за 3 месяца.

За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение:

1) 1 + 1/2 + 1/3 = 15/6 (воза сена) – съедят лошадь, коза и овца вместе за один месяц.

2) 1 : 15/6 = 6/11 (месяца) – срок, за который коза, овца и лошадь съедят воз сена.

Ответ: лошадь, коза и овца съедят воз сена за 6/11 месяца.

42. 4 плотника хотят строить дом. Первый плотник один может построить дом за год, второй плотник может построить дом за 2 года, третий плотник может построить дом за 3 года, а четвертый за 4 года. Однако строили дом 4 плотника вместе.

За какое время они выстроили дом?

Решение:

1) 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 21/12 (дома) – выстроят все 4 плотника за год.

2) 1 : 21/12 = 12/25 (года) – время, за которое все 4 плотника выстроят дом.

Ответ: 4 плотника выстроят дом за 12/25 года.

43. Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели они по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по 2 скворца, то одно дерево осталось незанятым.

Сколько было скворцов и сколько было деревьев?

Решение:

Пусть количество деревьев будет равно х. Так как в первом случае одному соловью не хватило дерева, то есть соловьев было на одного больше, чем деревьев, количество соловьев будет равно х + 1. Во втором случае одно дерево осталось свободным потому, что соловьи сели по двое на каждое дерево, значит количество соловьев равно также 2(х – 1).

Составим уравнение: х + 1 = 2(х – 1)

Решение: х + 1 = 2х – 2 х + 1 + 2 = 2х х + 3 = 2х

3 = 2х – х х = 3 (дерева)

Проверка:

3 + 1 = 2(3 – 1)

2) 3 + 1 = 4 (соловья)

Ответ: было 3 дерева и 4 соловья.

44. Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои 2 сливы, тогда будет у нас слив поровну», - на что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы, - тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя».

Сколько слив было у каждого?

Решение:

1) 2 × 2 = 4 (сливы) – разница между людьми.

2) 4 + 2 × 2 = 8 (слив) – будет у первого человека, если он отдаст 2 сливы второму.

3) 8 + 2 = 10 (слив) – у первого человека изначально.

4) 10 + 4 = 14 (слив) – у второго человека.

Ответ: с самого начала у первого человека было 10 слив, у второго – 14.

45. Некто купил вещь, заплатив за нее 157 рублей 50 копеек, причем платил одинаковым числом рублевых монет и полтинников.

Сколько было полтинников? (Полтинник – монета в 50 копеек. )

Решение:

1) 157 рублей 50 копеек = 157,5 рублей

2) 1 : 0,5 = 2 (раза) – разница между рублем и полтинником.

3) 1 + 2 = 3 (суммы) – денег, которые отданы полтинниками, содержится в общей сумме денег.

4) 157,5 : 3 = 52,5 (рублей) – выдано полтинниками.

5) 52,5 : 0,5 = 105 (полтинников) – отдал некто.

Ответ: было 105 полтинников.

46. Каким количеством способов можно разменять 25 копеек монетами по 2 и 3 копейки?

Решение:

1) НОК (2; 3) = 2 × 3 = 6

2) 25 = 6 × 4 + 1

Каждые 6 копеек можно разменять 2 способами: 2 монеты по 3 копейки или 3 монеты по 2 копейки. Так как остается 1 копейка, одна из шестерок копеек будет разменяна вместе с ней.

3) 6 + 1 копейка = 2 копейки × 2 + 3 копейки. Других вариантов размена нет.

Так как одна из шестерок уже разменяна, то остальные можно разменять 4 способами: ни одну из них не менять по 2 копейки; разменять одну шестерку копеек 3 монетами и т. д.

Ответ: 25 копеек можно разменять монетами по 2 и 3 копейки 4 способами.

47. Как разменять 59 копеек 15 монетами по 3 и 5 копеек?

Решение:

1) 5 × 15 = 75 (копеек) – общая сумма, если взять 15 монет достоинством в 5 копеек.

2) 75 – 59 = 16 (копеек) – разница между настоящей и предполагаемой суммой.

3) 5 – 3 = 2 (копейки) – разница между достоинством монет.

4) 16 : 2 = 8 (монет) – трехкопеечных.

5) 15 – 8 = 7 (монет) – пятикопеечных.

Ответ: чтобы разменять 59 копеек 15 монетами по 3 и 5 копеек, первых монет нужно взять 8, вторых – 7.

48. Разделить 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.

Решение:

1) 50 × ((8 – 1) + (8 – 2) + (8 – 3) + (8 – 4) + (8 – 5) + (8 – 6) + (8 – 7)) = 50 × (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 50 × 28 = 1400 (копеек) – сумма разниц между самой маленькой частью и всеми остальными.

2) 1400 копеек = 1400 : 100 рублей = 14 рублей

3) 46 – 14 = 32 (рубля) – 8 самых маленьких частей.

4) 32 : 8 = 4 (рубля) – наименьшая часть.

Каждая из последующих частей увеличивается на 50 копеек.

Ответ: меньшая часть составляет 4 рубля.

49. Как составить сумму в 99 копеек из 22 монет по 2, 3 и 5 копеек?

Решение:

Пусть количество монет по 2 копейки будет х, по 3 – у, по 5 – а. Количество монет будет равно 22, а общая сумма составит 99 копеек.

Составим систему уравнений:

2х + 3у + 5а = 99 х + у + а = 22

Решение: х + 2у + 4а = 77 х + у + а = 22 у + 3а = 55 х + у + а = 22 у + 3а = 55 х + 55 – 3а + а = 22 у + 3а = 55 х – 2а = –33 у + 3а = 55 х = –33 + 2а у = 55 – 3а х = –33 + 2а а – любое, у = 55 – 3а, х = –33 + 2а

Проверка:

2(–33 + 2а) + 3(55 – 3а) + 5а = –66 + 4а + 165 – 9а + 5а = –66 + 165 = 99

–33 + 2а + 55 – 3а + а = –33 + 55 = 22

2) 99 : 5 = 19 (ост. 4) – максимальное количество монет по 5 копеек.

а у = 55 – 3а у х = –33 + 2а х Причина, по которой решение не подходит

1 случай 1 55 – 3 × 1 52 –33 + 2 × 1 –31 отрицательное значение х

2 случай 2 55 – 3 × 2 49 –33 + 2 × 2 –29 отрицательное значение х

3 случай 3 55 – 3 × 3 46 –33 + 2 × 3 –27 отрицательное значение х

4 случай 4 55 – 3 × 4 43 –33 + 2 × 4 –25 отрицательное значение х

5 случай 5 55 – 3 × 5 40 –33 + 2 × 5 –23 отрицательное значение х

6 случай 6 55 – 3 × 6 37 –33 + 2 × 6 –21 отрицательное значение х

7 случай 7 55 – 3 × 7 34 –33 + 2 × 7 –19 отрицательное значение х

8 случай 8 55 – 3 × 8 31 –33 + 2 × 8 –17 отрицательное значение х

9 случай 9 55 – 3 × 9 28 –33 + 2 × 9 –15 отрицательное значение х

10 случай 10 55 – 3 × 10 25 –33 + 2 × 10 –13 отрицательное значение х

11 случай 11 55 – 3 × 11 22 –33 + 2 × 11 –11 отрицательное значение х

12 случай 12 55 – 3 × 12 19 –33 + 2 × 12 –9 отрицательное значение х

13 случай 13 55 – 3 × 13 16 –33 + 2 × 13 –7 отрицательное значение х

14 случай 14 55 – 3 × 14 13 –33 + 2 × 14 –5 отрицательное значение х

15 случай 15 55 – 3 × 15 10 –33 + 2 × 15 –3 отрицательное значение х

16 случай 16 55 – 3 × 16 7 –33 + 2 × 16 –1 отрицательное значение х

17 случай 17 55 – 3 × 17 4 –33 + 2 × 17 1 подходит

18 случай 18 55 – 3 × 18 1 –33 + 2 × 18 3 подходит

19 случай 19 55 – 3 × 19 -2 –33 + 2 × 19 5 отрицательное значение у

Ответ: существует 2 способа решения этой задачи: первый – взять 17 пятирублевых монет, 4 трехрублевых и 1 двухрублевую; второй – 18 пятирублевых монет, 1 трехрублевую и 3 двухрублевых.

50. Некто имеет 6 сыновей, один другого старше 4 годами, а самый старший сын втрое старше младшего.

Каков возраст сыновей?

Решение:

1) 6 – 1 = 5 (сыновей) – старше самого младшего.

2) 4 × 5 = 20 (лет) – разница между старшим и младшим сыном.

3) 3 – 1 = 2 (возраста самого младшего сына) – 20 лет.

4) 20 : 2 = 10 (лет) – младший сын.

5) 10 + 4 = 14 (лет) – предпоследний сын.

6) 14 + 4 = 18 (лет) – четвертый по старшинству сын.

7) 18 + 4 = 22 (года) – третий сын.

8) 22 + 4 = 26 (лет) – второй сын.

9) 26 + 4 = 30 (лет) – старший сын.

Ответ: самому старшему сыну 30 лет, второму – 26, третьему – 22, четвертому - 18, пятому – 14, младшему – 10 лет.

51. Дочь спрашивала отца о числе своих лет; ей ответствовано: «Теперь твои лета составляют 2/5 моих лет, а за 4 года перед сим лета твои равнялись 1/3 настоящих моих лет». Спрашиваются лета каждого.

Решение:

1) 2/5 – 1/3 = 1\15 (настоящих лет отца) – составляют 4 года.

2) 4 : 1/15 = 60 (лет) – настоящий возраст отца.

3) 60 × 2/5 = 24 (года) – лета дочери.

Ответ: сейчас возраст отца составляет 60 лет, дочери – 24 года.

52. Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет вместе 63 года.

Сколько лет каждому?

Решение:

Из условия задачи следует, что 63 – это увеличенный в четыре раза возраст второго тогда, когда первому было столько лет, сколько второму теперь и разница между первым и вторым. То есть разницей должно являться такое число, при вычитании которого из 63, должно получиться число, кратное 4.

Предположим, что первый человек старше (судя по условию задачи второй младше) собеседника на 3 года.

1) 63 – 3 = 60 (лет) – удвоенный настоящий возраст старшего.

2) 60 : 2 = 30 (лет) – сейчас первому.

3) 30 : 2 = 15 (лет) – было второму тогда, когда первому было столько лет, сколько младшему теперь.

4) 15 + 3 = 18 (лет) – второму теперь.

5) 30 – 18 = 12 (лет) – разница между возрастом первого и второго. С уже принятой разницей в 3 года этот ответ не сходится, то есть она взята неверно.

6) 3 + 4 = 7 (лет) – вторая предположительная разница между первым и вторым.

7) 63 – 7 = 56 (лет) – удвоенный настоящий возраст старшего.

8) 56 : 2 = 28 (лет) – сейчас первому.

9) 28 : 2 = 14 (лет) – было второму тогда, когда первому было столько лет, сколько младшему теперь.

10) 14 + 7 = 21 (лет) – второму теперь.

11) 28 – 21 = 7 (лет) – разница между возрастом первого и второго. С уже принятой разницей в 7 лет этот ответ сходится, то есть она взята верно.

Ответ: сейчас первому человеку 28 лет, второму – 21 год.

53. Отец имеет 7 сыновей. Сумма возрастов первого и четвертого сына равна 9 годам, первого и шестого – 8 годам, второго и пятого – 8 годам, второго и третьего – 9 годам, третьего и шестого – 6 годам, четвертого и седьмого – 4 годам, а седьмого и пятого – также 4 годам.

Сколько лет каждому сыну?

Решение:

I II III IV V VI VII

I + IV = 9 I

I + VI = 8 II

II + V = 8 III – ? на 1 > чем ; на 2 > чем

II + III = 9 IV – ? на 1 > чем

III + VI = 6 V – ? на 1 > чем

IV + VII = 4 VI – ?

VII + V = 4 VII

1) (6 – 2) : 2 = 2 (года) – шестой сын.

2) 6 – 2 = 4 (года) – третий сын.

3) 9 – 4 = 5 (лет) – второй сын.

4) 8 – 5 = 3 (года) – пятый сын.

5) 4 – 3 = 1 (год) – седьмой сын.

6) 8 – 2 = 6 (лет) – первый сын.

7) 9 – 6 = 3 (года) – четвертый сын.

Ответ: первому сыну 6 лет, второму – 5, третьему – 4, четвертому – 3, пятому – 3, шестому – 2, седьмому – 1.

54. На вопрос «Который час?» был дан ответ: «Половина времени, прошедшего после полуночи, равна 3\4 времени, оставшегося до полудня».

Сколько было времени?

Решение:

1) 3/4 : 1/2 = 11/2 (раза) – разница между прошедшим и оставшимся временем.

2) 11/2 + 1 = 21/2 (частей) – содержится в 12 часах (время от полуночи до полудня). Каждая часть – время, которое осталось до полудня.

3) 12 : 21/2 = 44/5 (часа) – время, оставшееся до полудня.

4) 12 – 44/5 = 71/5 (часа) – текущее время.

5) 71/5 часа = 7 часов 60 × 1/5 минут = 7 часов 12 минут

Ответ: сейчас 7 часов 12 минут.

55. 2 стрелки насажены на одну ось и в некоторый момент времени совмещены. Одна из стрелок описывает круг за 12 часов, а другая за 16 часов.

Через какое время стрелки совместятся опять?

НОК (12; 16) = 3 × 4 × 4 = 48 (часов) – время, через которое совместятся стрелки.

Ответ: стрелки снова будут совмещены через 48 часов.

56. Некто продает 2 коней с седлами, из коих цена одного седла 120 рублей, а другого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешевым седлом, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешевым седлом.

Какова цена каждого коня?

Решение:

Пусть первый конь будет стоить х, второй конь – у. Цена дорогого седла будет составлять 120 рублей, дешевого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом будет в 3 раза дороже, чем второй конь с плохим седлом, а второй конь с дорогим седлом будет стоить в 2 раза меньше, чем первый конь с плохим седлом.

Составим систему уравнений:

(х + 120) : 3 = у + 25

(х + 25) : 2 = у + 120

Решение: х : 3 + 120 : 3 = у + 25

(х + 25) : 2 = у + 120 х : 3 + 40 = у + 25

(х + 25) : 2 = у + 120 х : 3 + 40 = у + 25 х : 2 + 25 : 2 = у + 120 х : 3 + 40 = у + 25 х : 2 + 12,5 = у + 120

1/3х + 40 = у + 25 х : 2 + 12,5 = у + 120

1/3х + 40 = у + 25

1/2х + 12,5 = у + 120

1/3х + 40 – 25 = у

1/2х + 12,5 = у + 120

1/3х + 15 = у

1/2х + 12,5 = у + 120 у = 1/3х + 15

1/2х + 12,5 = у + 120

1/2х + 12,5 = 1/3х + 15 + 120

1/2х + 12,5 = 1/3х + 135

1/2х + 12,5 – 135 = 1/3х

1/2х – 122,5 = 1/3х

122,5 = 1/2х – 1/3х

122,5 = 1/6х х = 122,5 : 1/6 х = 735 (рублей) – цена первого коня.

Проверка:

1/2 × 735 + 12,5 = 1/3 × 735 + 15 + 120

380 = 380

(735 + 120) : 3 = у + 25

855 : 3 = у + 25

285 = у + 25 у = 285 – 25 у = 260 (рублей) – цена второго коня.

Проверка:

(735 + 120) : 3 = 260 + 25

285 = 285

Ответ: первый конь стоит 735 рублей, второй – 260 рублей.

57. Некто имеет 3 коней да богатое седло за 55 рублей. Оседланный первый конь стоит столько, сколько стоят вместе неоседланный первый и второй кони. Оседланный же второй конь стоит столько, сколько стоят вместе неоседланные первый и третий кони, а оседланный третий конь стоит столько же, сколько стоят вместе неоседланный первый и второй кони.

Найти цену каждого коня.

Решение:

Пусть цена седла 55 рублей, первого коня – х, второго – у, третьего – а.

Составим систему уравнений: х + 55 = у + а у + 55 = х + а а + 55 = х + у

Возьмем только первые 2 уравнения: х + 55 = у + а у + 55 = х + а х + у + 55 + 55 = у + х + а + а х + у + 110 = у + х + а + а

110 = + а + а

110 = 2а а = 110 : 2 а = 55 (рублей) – цена третьего коня.

Возьмем только первое уравнение: х + 55 = у + 55 х = у

Возьмем только третье уравнение:

55 + 55 = у + у

110 = 2у у = 110 : 2 у (х) = 55 (рублей) – цена первого или второго коня.

Проверка:

55 + 55 = 55 + 55

110 = 110

Ответ: цена каждого коня равна 55 рублям.

58. К табунщику пришли 3 казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, - сказал табунщик, - первому продам я полтабуна и ещё половину лошади, второму – половину оставшихся лошадей и ещё поллошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась.

Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

Решение:

1) 5 + 0,5 = 5,5 (лошадей) – половина оставшихся после второй покупки лошадей.

2) 5,5 + 0,5 = 6 (лошадей) – продано третьему казаку.

3) 5,5 × 2 = 11 (лошадей) – остаток после второй продажи.

4) 11 + 0,5 = 11,5 (лошадей) – половина оставшихся после первой покупки лошадей.

5) 11,5 + 0,5 = 12 (лошадей) – продано второму казаку.

6) 11,5 × 2 = 23 (лошади) – остаток после первой продажи.

7) 23 + 0,5 = 23,5 (лошадей) – половина всего стада.

8) 23,5 + 0,5 = 24 (лошади) – продано первому казаку.

Ответ: первый казак купил 24 лошади, второй – 12 лошадей, третий – 6 лошадей.

59. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег да еще 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще 1 рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось.

Сколько денег было у крестьянина первоначально?

Решение:

1) 1 × 2 = 2 (рубля) – остаток денег у крестьянина после покупки у второго купца.

2) 2 + 2 = 4 (рубля) – половина оставшихся денег после покупки у первого купца.

3) 4 × 2 = 8 (рублей) – деньги, оставшиеся после покупки у первого купца.

4) 8 + 1 = 9 (рублей) – половина изначальных денег крестьянина.

5) 9 × 2 = 18 (рублей) – было у крестьянина вначале.

Ответ: сначала у крестьянина было 18 рублей.

60. Двое, Андрей и Федор, обмениваются деньгами. Сначала Андрей отдал часть своих денег Федору, потом Федор Андрею, затем опять Андрей Федору и, наконец, Федор отдал Андрею деньги в последний раз, и после этой передачи у каждого стало по 160 рублей. Количество передаваемых денег всякий раз было равно количеству денег у получающего их.

Сколько денег было у Андрея и Федора первоначально.

Решение:

1) 160 : 2 = 80 (рублей) – было у Андрея перед четвертой передачей денег.

2) 160 + 80 = 240 (рублей) – было у Федора перед четвертой передачей денег.

3) 240 : 2 = 120 (рублей) – было у Федора перед третьей передачей.

4) 120 + 80 = 200 (рублей) – было у Андрея перед третьей передачей.

5) 200 : 2 = 100 (рублей) – было у Андрея перед второй передачей.

6) 120 + 100 = 220 (рублей) – было у Федора перед второй передачей.

7) 220 : 2 = 110 (рублей) – было у Федора сначала.

8) 100 + 110 = 210 (рублей) – было у Андрея сначала.

Ответ: изначально Андрей имел 210 рублей, Федор – 110.

61. Хозяин имеет 3 бочки А, В, С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С – пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 её содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 её содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и ещё добавить 4 ведра кваса.

Сколько ведер вмещает каждая бочка кваса?

Решение:

1) 1 – 2/5 = 3/5 (бочки А) – бочка В.

2) 1 – 5/9 = 4/9 (бочки А) – бочка С.

Пусть количество ведер в бочке А будет а, в бочке В – 3/5а, в бочке С – 4/9а.

Количество ведер, которое нужно дополнить к бочке А, чтобы получить бочки В и С – 4 штуки.

Составим уравнение:

3/5а + 4/9а = а + 4

Решение:

12/45а = а + 4

4 = 12/45а – а

2/45а = 4 а = 4 : 2/45 а = 90 (ведер) – бочка А.

Проверка:

3/5 × 90 + 4/9 × 90 = 90 + 4

94 = 94

4) 90 × 3/5 = 54 (ведра) – бочка В.

5) 90 × 4/9 = 40 (ведер) – бочка С.

Ответ: в бочку А вмещается 90 ведер, в бочку В – 54 ведра, в бочку С – 40 ведер.

62. Хозяин имеет 4 бочки А, В, С, D, причем бочки С и D одинаковой вместимости.

Пусть бочки А и В наполнены квасом; если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 её содержимого; если же содержимым бочки В наполнить бочку D, то в бочке В останется 1/9 её содержимого.

Пусть бочки С и D наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и D и добавить ещё 9 ведер кваса.

Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение:

1) 1 – 1/5 = 4/5 (бочки А) – бочка С.

2) 1 : 4/5 = 11/4 (бочки С) – бочка А.

3) 1 – 1/9 = 8/9 (бочки В) – бочка D.

4) 1 : 8/9= 11/8 (бочки С) – бочка В.

Пусть бочка С (D) будет х, следовательно, 2 таких бочки и 9 ведер (бочки А и В) будут 2х + 9. Бочка А будет составлять 11/4х , бочка В – 11/8 х.

Составим уравнение:

11/4х + 11/8 х = 2х + 9

Решение:

23/8х = 2х + 9

9 = 23/8х = 2х

9 = 3/8х х = 9 : 3/8 х = 24 (ведра) – бочка С (D).

Проверка:

11/4 × 24 + 11/8 × 24 = 2 × 24 + 9

57 = 57

6) 24 × 11/4 = 30 (ведер) – бочка А.

7) 24 × 11/8 = 27 (ведер) – бочка В.

Ответ: бочка А вмещает в себя 30 ведер кваса, бочка В – 27 ведер, бочка С (D) – 24 ведра.

63. Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают один литр, а затем в ведро вливают один литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают один литр смеси, затем в ведро опять вливают один литр сока. Опять перемешивают, отливают один литр смеси и вливают один литр сока.

Сколько в ведре после этого останется воды?

Решение:

1) 1 : 5 = 1/5 (ведра) – сок.

2) 1 × 1/5 = 1/5 (литра) – отлитый сок.

3) 1 – 1/5 = 4/5 (литра) – оставшийся сок.

4) 1 + 4/5 = 14/5 (литра) – сок в ведре после второго переливания.

5) 14/5 : 5 = 9/25 (литра) – сок, который взяли из ведра во время второго переливания.

6) 14/5 – 9/25 = 111/25 (литра) – сок, который остался в ведре, когда воду из него взяли в третий раз.

7) 111/25 + 1 = 211/25 (литра) – окончательное количество сока.

8) 5 – 211/25 = 214/25 (литра) – вода, оставшаяся в ведре.

Ответ: в ведре осталось 214/15 литров воды.

64. В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставить три 1, три 2 и три 3 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце любая из цифр 1, 2, 3 встречалась только раз. Сколько существует различных расстановок цифр?

Решение:

В клетку №1 можно поставить любую из 3 цифр.

В клетку №2 можно поставить любую из 2 оставшихся цифр.

№1 №2 №3

№4 №5 №6

№7 №8 №9

В клетку №3 можно поставить только ту цифру, которая не использовалась в строке.

В клетку №4 можно поставить любую из 2 цифр, неиспользованных в клетке №1.

В клетку №7 можно поставить только ту цифру, которая не применялась в клетках №1 и №4.

После того, как цифры в клетках №1, №2, №3, №4 и №7 расставлены, для клеток №5, №6, №8, №9 остается только

1 2 3

2 3 1

3 1 2 одно сочетание цифр.

3 × 2 × 1 × 2 × 1 ×1 = 12 (вариантов)

Ответ: существует 12 вариантов расстановки цифр. Вот один из них:

65. Собрались вместе 16 офицеров 4 полков. Из каждого полка прибыло по 4 офицера разных званий (полковник, майор, капитан, лейтенант). В зале стоит 16 кресел, расположенных в виде квадрата размером 4 × 4. Как рассадить этих офицеров, чтобы в любом ряду, параллельно стороне квадрата, был офицер каждого звания и представитель каждого полка?

1 полк, майор 2 полк, капитан 3 полк, лейтенант 4 полк, полковник

2 полк, полковник 1 полк, лейтенант 4 полк, капитан 3 полк, майор

3 полк, капитан 4 полк, майор 1 полк, полковник 2 полк, лейтенант

4 полк, лейтенант 3 полк, полковник 2 полк, майор 1 полк, капитан

66. 3 рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки и хотят переправиться на другой берег. Есть лодка, которая может вместить только 2 человек. Могут ли переправиться рыцари и их оруженосцы на другой берег при условии, что оказавшись отдельно от своего рыцаря, ни один оруженосец не находился бы при этом в обществе других рыцарей?

Решение:

номер 1 берег переправа 2 берег переправы

1. 1 р. , 2 р. , 3 р. , 1 о. , 2 о. –

1 о. , 2 о. , 3 о. ,

2. 1 р. , 2 р. , 3 р. , 1 о. 1 о. , 2 о.

3. 1 р. , 2 р. , 3 р. , 1 р. , 1 о. 2 о.

1 о. , 3 о.

4. 2 р. , 3 р. , 1 р. 1 р. ,

3 о. , 1 о. , 2 о.

5. 1 р. , 2 р. , 3 р. , 1 р. , 2 р. 1 о. , 2 о.

6. 3 р. , 2 р. , 2 о. 1 р. , 2 р. ,

3 о. 1 о. , 2 о.

7. 2 р. , 3 р. , 2 р. , 3 р. 1 р. ,

2 о. , 3 о. 1 о.

8. 1 о. 1 р. , 2 р. , 3 р. ,

2 о. , 3 о. 1 о.

9. 1 о. , 2 о. 1 р. , 2 р. , 3 р. ,

1 о. , 2 о. , 3 о.

10. 2 о. 1 р. , 2 р. , 3 р. ,

3 о. 1 о. , 2 о.

11. 2 о. , 3 о. 1 р. , 2 р. , 3 р. ,

2 о. , 3 о. 1 о.

12. – 1 р. , 2 р. , 3 р. ,

1 о. , 2 о. , 3 о.

67. Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом. Двое должны разделить квас поровну. Но у них есть только 2 пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Решение:

1 вариант:

номера 8-ведерный бочонок 5-ведерный бочонок 3-ведерный бочонок переливаний

1. 8 л 0 л 0 л

2. 5,5 л 2,5 л 0 л

3. 4 л 2,5 л 1,5 л

4. 4 л 4 л 0 л

2 вариант:

номера 8-ведерный бочонок 5-ведерный бочонок 3-ведерный бочонок переливаний

1. 8 л 0 л 0 л

2. 3 л 5 л 0 л

3. 3 л 2 л 3 л

4. 6 л 2 л 0 л

5. 6 л 0 л 2 л

6. 1 л 5 л 2 л

7. 1 л 4 л 3 л

8. 4 л 4 л 0 л

3 вариант:

номера 8-ведерный бочонок 5-ведерный бочонок 3-ведерный бочонок переливаний

1. 8 л 0 л 0 л

2. 5 л 0 л 3 л

3. 5 л 3 л 0 л

4. 2 л 3 л 3 л

5. 2 л 5л 1 л

6. 7 л 0 л 1 л

7. 7 л 1 л 0 л

8. 4 л 1 л 3 л

9. 4 л 4 л 0 л

68. 3 человека должны разделить между собой 21 бочонок, среди которых 7 бочонков полных медом, 7 полных медом наполовину и 7 пустых. Могут ли они разделить бочонки и мед так, чтобы каждый из них имел одинаковое количество меда и одинаковое количество бочонков? (Предполагается, что все бочонки одинаковые и переливать мед из одного бочонка в другой не разрешается. )

Решение:

1) 1 × 7 + 0,5 × 7 + 0 × 7 = 10,5 (бочонков меда) – во всех бочонках.

2) 10,5 : 3 = 3,5 (бочонков меда) – приходится на одного человека.

3) 3,5 = 1 × 3 + 0,5 × 1 + 0 × 3

4) 3,5 = 1 × 1 + 0,5 × 5 + 0 × 1

Ответ: I человек – 3 полных бочонка, 1 полупустой, 3 пустых; II человек – 3 полных, 1 полупустой, 3 пустых; III человек – 1 полный, 5 полупустых, 1 пустой.

69. Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке. По вечерам золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером золотошвея насчитала в комнатах

2 3 2

2 3 2 на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек. Как размещались девушки по комнатам в двух последних случаях?

Решение:

1 ночь: 2 ночь:

1 5 1

1 5 1

3 1 3

3 1 3

70. Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков, которые везли 2 купца. Купцы были в нерешительности: им было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить и выбрасывать каждый девятый тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.

Как были расставлены тюки?

Решение:

На этом рисунке зачеркнут каждый девятый тюк. Таким образом, очередность тюков для нечестного купца получается такой: 4 его, 5 другого купца, 2 е. , 1 д. к. , 3 е. , 1 д. к. , 1 е. , 2 д. к. , 2 е. , 3 д. к. , 1 е. , 2 д. к. , 2 е. , 1 д. к.

Есть старинный способ для того, чтобы запомнить эту очередность: нужно просто запомнить 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас. Под каждой буквой А нужно поставить цифру 1, Е – 2, И – 3, О – 4, У – 5.

Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас

4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 2 1

Цифра 4 означает количество тюков нечестного купца, вторая – другого купца, далее цифры чередуются так же.

71. Предложите кому-нибудь задумать четное число, затем это число утроить, полученное произведение разделить на 2 и частное опять утроить. После объявления результата предложенных арифметических действий вы называете задуманное число.

Как это сделать?

Решение:

Предположим, что задуманное четное число – это х, а получившееся в результате вычислений число – это у.

Если записать вычисления, которые нужно сделать, то получится:

3х : 2 × 3 = у

Если пройти это выражение с конца, то получится: у/3 × 2 : 3 = х

Это выражение можно сократить: у/3 × 2 : 3 = 2/3у : 3 = 2/9у

Ответ: чтобы отгадать задуманное число, нужно результат умножить на 2/9.

72. Предложите кому-нибудь задумать нечетное число. Затем попросите это число утроить и к полученному произведению прибавить число 3; этот результат предложите разделить на 2 и частное опять утроить. После объявления результата предложенных арифметических действий вы называете задуманное число.

Как это сделать?

Решение:

Предположим, что задуманное нечетное число – это х, а получившееся в результате вычислений число – это у.

Если записать вычисления, которые нужно сделать, то получится:

3х + 3 : 2 × 3 = у

Если пройти это выражение с конца, то получится: у/3 × 2 – 3 : 3 = х

Это выражение можно сократить: у/3 × 2 – 3 : 3 = 2/3у – 3 : 3 = 2/9у – 1

Ответ: чтобы найти задуманное число, нужно объявленный результат умножить на 2/9 и отнять 1.

73. Предложите кому-нибудь задумать некоторое число и утроить его. Затем спросите, является ли полученное произведение числом четным или нечетным. Если произведение окажется числом четным, то предложите это произведение разделить на 2; если же это произведение окажется числом нечетным, то, прежде чем делить его на 2, к этому произведению предложите добавить 3, а уже потом разделить на 2. Частное, полученное от деления на 2, предложите утроить. После объявления результата указанных арифметических действий вы можете назвать задуманное число.

Как это сделать?

Решение:

Предположим, что задуманное число – это х, а получившееся в результате вычислений число – это у.

Если первое произведение оказалось числом четным, то это значит, что были проделаны следующие вычисления:

3х : 2 × 3 = у

Если пройти это выражение с конца, то получится: у/3 × 2 : 3 = х

Это выражение можно сократить: у/3 × 2 : 3 = 2/3у : 3 = 2/9у

Если же первое произведение было нечетным, то были произведены такие вычисления:

(3х + 3) : 2 × 3 = у

Если пройти это выражение с конца, то получится:

(у : 3 × 2 – 3) : 3 = х

Это выражение можно сократить:

(у : 3 × 2 – 3) : 3 = (у/3 × 2 – 3) : 3 = (2/3у – 3) : 3 = 2/3у : 3 – 3 : 3 =

2/3у : 3 – 1 = 2/9у – 1

Ответ: если первое произведение оказалось четным, то следует полученный результат умножить на 2/9. Если же оно оказалось нечетным, то нужно полученное число также умножить на 2/9 и отнять 1.

74. Предложите кому-нибудь задумать два числа, из которых одно превышает другое на единицу и каждое из которых не более девяти. Затем попросите перемножить два этих числа, из произведении вычесть меньшее из чисел, и результат опять умножить на меньшее из задуманных чисел.

По объявленной последней цифре полученного результата вы можете назвать задуманные числа.

Как их найти?

Предположим, что эти числа 1 и 2. Значит, будут проделаны следующие вычисления:

(1 × 2 – 1) × 1 = 1

Выражение (1 × 2 – 1) × 1 можно сократить:

(1 × 2 – 1) × 1 = (1 × 1) × 1 = 13

То есть полученный результат будет кубом меньшего числа. Составим таблицу всех возможных в этой ситуации чисел и полученных результатов:

числа меньшее вычисления последняя число цифра

1, 2 1 (1 × 2 – 1) × 1 = 1 13 = 1 × 1 × 1 = 1 1

2, 3 2 (2 × 3 – 2) × 2 = 8 23 = 2 × 2 × 2 = 8 8

3, 4 3 (3 × 4 – 3) × 3 = 27 33 = 3 × 3 × 3 = 27 7

4, 5 4 (4 × 5 – 4) × 4 = 64 43 = 4 × 4 × 4 = 64 4

5, 6 5 (5 × 6 – 5) × 5 = 125 53 = 5 × 5 × 5 = 125 5

6, 7 6 (6 × 7 – 6) × 6 = 316 63 = 6 × 6 × 6 = 316 6

7, 8 7 (7 × 8 – 7) × 7 = 343 73 = 7 × 7 × 7 = 343 3

8, 9 8 (8 × 9 – 8) × 8 = 512 83 = 8 × 8 × 8 = 512 2

0, 1 0 (0 × 1 – 0) × 0 = 0 03 = 0 × 0 × 0 = 0 0

Ответ: нужно запомнить последнюю цифру результата, принадлежащего каждой паре чисел.

75. Записав число, сумма цифр которого делится на 9, и, отвернувшись, предложите кому-нибудь это число умножить на любое натуральное число. В полученном произведении предложите зачеркнуть любую из цифр, кроме нуля, а оставшиеся цифры переставить в произвольном порядке. После объявления результатов указанных действий вы можете указать, какая цифра была зачеркнута.

Как найти зачеркнутую цифру?

Решение:

Если число, сумма цифр которого делится на 9, умножить на любое число, сумма цифр также будет делиться на 9, даже если переставить их в произвольном порядке. То есть, убранная цифра – это та цифра, которую нужно добавить к сумме оставшихся цифр, чтобы она делилась на 9. Значит, найти эту цифру можно, если отнять от ближайшего большего числа, кратного 9, получившуюся сумму цифр.

Предположим, что загадали число 6354, потом убрали цифру 4, перемешали оставшиеся цифры, и получили число 365.

1) 3 + 6 + 5 = 14

2) 14 : 9 = 1 (ост. 5)

3) 18 > 14

4) 18 – 14 = 4

Ответ: найти эту цифру можно, если отнять от ближайшей большей цифры, кратной 9, получившуюся сумму цифр

76. Предложите кому-либо написать некоторое число. Приписав к нему спереди или сзади некоторую цифру так, чтобы сумма цифр вновь полученного числа делилась на 9, вы, отвернувшись, предлагаете умножить вновь полученное число на любое натуральное число, зачеркнуть в полученном произведении любую из цифр, отличную от 0, и найти сумму оставшихся цифр.

После объявления результата предложенных действий, вы можете угадать, какая цифра была зачеркнута.

Как это сделать?

Решение:

Если число, сумма цифр которого делится на 9, умножить на любое число, сумма цифр также будет делиться на 9. То есть, убранная цифра – это та цифра, которую нужно добавить к сумме оставшихся цифр, чтобы она делилась на 9. Значит, найти эту цифру можно, если отнять от ближайшего большего числа, кратного 9, сумму цифр получившегося результата.

Предположим, что сначала загадали число 6758:

1) 6 + 7 + 5 + 8 = 26 – сумма цифр.

2) 27 > 26

3) 27 – 26 = 1 – добавленная цифра.

4) 6758 → 67581 – новое число.

5) 67581 × 3 = 202743 – получившееся число.

6) 202743 → 20274 – результат.

Теперь находим исходное число:

1) 2 + 0 + 2 + 7 + 4 = 15 – сумма цифр результата.

2) 15 : 9 = 1 (ост. 6)

3) 18 > 15

4) 18 – 15 = 3 – убранная цифра.

Ответ: найти эту цифру можно, если отнять от ближайшего большего числа, кратного 9, сумму цифр получившегося результата.

77. Отвернувшись, попросите кого-либо написать любое многозначное число, не все цифры которого одинаковы. Затем попросите в этом числе произвольным образом переставить цифры так, чтобы получилось число, отличное от уже написанного, и также его записать. Меньшее из двух таким образом написанных чисел попросите вычесть из большего. В полученной разности попросите зачеркнуть любую цифру, отличную от нуля, найти сумму оставшихся цифр и объявить её. После этого вы можете назвать зачеркнутую цифру.

Как найти зачеркнутую цифру?

Решение:

Сумма цифр разности чисел, состоящих из одного набора цифр, поставленных в другом порядке, всегда кратна 9. То есть, чтобы найти цифру, зачеркнутую в разности этих чисел, нужно отнять от ближайшего большего числа, кратного 9, сумму цифр получившегося результата.

Предположим, что было задумано число 5856487563.

1) 5856487563 → 5488635675

2) 5856487563 – 5488635675 = 367851888

3) 367851888 → 36781888 (убрана 5)

4) 3 + 6 + 7 + 8 + 1 + 8 + 8 + 8 = 49

Теперь находим убранную цифру:

1) 49 : 9 = 5 (ост. 4)

2) 54 > 49

3) 54 – 49 = 5 – убранная цифра.

Ответ: нужно отнять от ближайшего большего числа, кратного 9, сумму цифр получившегося результата.

78. Предложите кому-нибудь задумать некоторое многозначное число, найти сумму цифр этого числа и отнять ее от задуманного числа. В полученной разности предложите зачеркнуть любую из цифр, отличную от нуля, и сообщить вам сумму остальных цифр (либо сообщить цифры этого числа). По объявленному результату вы можете назвать зачеркнутую цифру.

Как назвать зачеркнутую цифру?

Решение:

Разность между числом и его суммой цифр всегда кратна 9. То есть, чтобы найти цифру, зачеркнутую в разности, нужно отнять от ближайшего большего числа, кратного 9, сумму цифр получившегося результата.

Предположим, что было задумано число 498964364.

1) 4 + 9 + 8 + 9 + 6 + 4 + 3 + 6 + 4 = 53 – сумма цифр.

2) 498964364 – 53 = 498964311 – разность.

3) 498964311 → 49864311 (убрана цифра 9)

4) 4 + 9 + 8 + 6 + 4 + 3 + 1 + 1 = 36 – сумма цифр получившегося числа.

Теперь находим зачеркнутую цифру:

5) 36 : 9 = 4 – сумма цифр получившегося числа делится на 9, значит убрали 9.

Ответ: чтобы найти цифру, зачеркнутую в разности, нужно отнять от ближайшего большего числа, кратного 9, сумму цифр получившегося результата.

79. Пригласите двоих из присутствующих и объявите, что вы сейчас узнаете разницу в их возрасте. Пусть младший из них число своих лет вычтет из 99, а затем старший к этой разности прибавит число своих лет и вам объявит результат. После этого вы можете сказать, на сколько лет один человек старше другого.

Как это узнать? (В задаче предполагается, что возрасты каждого из присутствующих меньше 100 лет).

Решение:

Пусть возраст старшего будет х, а младшего – у. Были проделаны следующие вычисления: х + (99 – у) = х + 99 – у = х – у + 99 – это значит, что в результате этих вычислений получилось число, большее разницы в годах старшего и младшего на 99. То есть, чтобы найти разницу в возрасте нужно из полученного результата вычесть 99.

Ответ: чтобы найти разницу в возрасте нужно из полученного результата вычесть 99.

80. Предложите кому-нибудь утроить число, являющееся его днем рождения. Затем предложите разделить полученное произведение на 9, частное умножить на 3, а остаток разделить на 3. попросив, чтобы было объявлено это произведение и это частное, вы можете сказать, какого числа был день рождения этого человека.

Как найти день рождения?

Предположим, что день рождения 20-го числа. Были проделаны следующие вычисления:

1) 20 × 3 = 60

2) 60 : 9 = 6 (ост. 6)

3) 6 × 3 = 18

4) 6 : 3 = 2

Полученные числа – 18 и 2. Теперь находим сам день рождения. Для этого нам нужно сложить оба полученных числа:

5) 18 + 2 = 20 – день рождения.

Ответ: нужно сложить полученные числа.

81. Предложите кому-нибудь умножить число его лет на 2 и к произведению прибавить 4, затем полученную сумму умножить на 5, к этому произведению прибавить 12 и полученную сумму умножить на 10. После объявления результата предложенных арифметических действий вы можете объявить число лет.

Как это сделать?

Решение:

Предположим, что число лет равно х, а получившийся результат - у. Были проделаны следующие вычисления:

((2х + 4) × 5 + 12) × 10 = у

Теперь проделаем те же самые действия в обратном порядке:

((у : 10 – 12) : 5 – 4) : 2 = х

Это выражение можно сократить:

((у : 10 – 12) : 5 – 4) : 2 = ((у/10 – 12) : 5 – 4) : 2 = (у/10 : 5 – 12 : 5 – 4) : 2 = (у/50 – 2,4 – 4) : 2 = (у/50 – 6,4) : 2 = у/50 : 2 – 6,4 : 2 = у/100 – 3,2

Ответ: количество лет можно найти, если разделить получившийся результат на 100 и отнять 3,2.

Заключение

В процессе работы были найдены редкие методы решения старинных задач, некоторые уже изученные, например система уравнений, я научилась применять к старинным задачам. Был составлен словарик, в котором указаны различные старинные единицы измерений. Решенные задачи можно использовать для внеклассной работы по математике. Они будут интересны не только нам – семиклассникам, но и всем, интересующимся математикой.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)