Снежинка Мандельброта

Представьте себе Средневековый немецкий городок. Зимний день 1611 года, кружит и падает мягкий снег. Из дома выходит немолодой мужчина. Он идет своей дорогой, но вдруг останавливается и всматривается в снег, разглядывая маленькие частички — снежинки, ледяные кристаллики. Он, как ребенок, радуется снегу, но глаза его серьезны, взгляд пытлив и внимателен. Ведь он же — ученый, знающий об этом мире так много, но не знающий ответа на простой вопрос: почему все снежинки имеют одну очень странную особенность — они все шестиугольной формы.

Этот ученый — знаменитый Иоганн Кеплер, астроном, открывший законы движения планет. И к простому «снежному» вопросу он подходит как настоящий ученый — посвящает ему научный труд «О шестиугольных снежинках».

«Поскольку снежинки имеют форму шестиугольной звезды, то на то должна быть определенная причина. Ибо если это случайность, то почему не бывает пятиугольных или семиугольных снежинок, почему всегда падают шестиугольные, если только они от соударений не утрачивают форму, не слипаются во множестве, а падают редко и порознь?

В поисках «действующего начала» Кеплер исследует и сравнивает формы пчелиных сот и зерен граната, срезы стеблей растений и формы цветков. Казалось бы, эти объекты исследования не имеют отношения к зимнему снегу, но ученый видит гармонию окружающего мира во взаимосвязи всех его элементов. Более того, он обнаруживает связь этих форм с «божественной пропорцией» (пропорцией «Золотого сечения») и с числами Фибоначчи.

Хотя Кеплер не нашел «действующего начала», его труд называют первой научной работой в кристаллографии, где он показал, что кристаллы подчиняются законам геометрии.

Историк кристаллографии И. И. Шафрановский говорил: «Изобилие глубочайших идей, широта подхода при рассмотрении причин образования снежинок, замечательные геометрические обобщения, смелость и остроумие высказанных гипотез поражают и сейчас».

Снежинка Мандельброта

Эта красивая фигура, по форме напоминающая снежинку, получила название «Снежинка Мандельброта» по имени математика Бенуа Мандельброта и относится к фракталам.

Понятие «фрактал» ввел Бенуа Мандельброт. В 1967 году Мандельброт опубликовал статью под названием «How Long is the Coastline of Britain?» («Какова длина побережья Великобритании?»)

Исследования Мандельброта повлекли за собой пересмотр всей науки 20 столетия. Фрактальные модели заняли свои места в математике и физике, биологии и геологии, общественной жизни и искусстве.

Снежинка Коха

Снежинка, которую вы видите на рисунке, образована одной из самых известных фрактальных кривых и носит имя шведского математика Нильса Фабиана Хельге фон Коха.

Можно построить «Снежинку Коха» вручную, по следующей схеме:

Начинаем построение с равностороннего треугольника, длину стороны которого примем за единицу.

В средней трети каждой из сторон строим по равностороннему треугольнику с длиной сторон, равной 1/3, и стираем основание.

Повторяем шаг 2 несколько раз, пока хватает терпения, ловкости и аккуратности — длина стороны треугольника на каждом шаге быстро убывает.

В итоге мы получаем кривую, напоминающую по форме снежинку.

УИЛСОН А. БЕНТЛИ.

«Под микроскопом я обнаружил, что снежинки — это чудесное воплощение красоты; и мне показалось стыдным, что эту красоту не увидят и не оценят другие. Каждый кристалл был образцом великолепного узора, и ни один узор не повторялся дважды. Когда снежинка таяла, узор пропадал навсегда. Так, как будто навсегда уходила красота, не оставив после себя никакого следа».

Так писал Уилсон А. Бентли (1865-1931), удивительный фермер-самоучка из штата Вермонт (США), получивший прозвище «Снежинка» (Snowflake Man). В 1885 году, когда ему было 20 лет, после многочисленных неудачных попыток Уилсон сделал, наконец, первую фотографию так поразившей его снежинки, приладив к микроскопу большую складную фотокамеру.

С этого момента Уилсон Бентли не выпускал фотокамеру из рук. Сорок шесть лет, день за днем, Бентли собирал уникальную коллекцию фотографий снежинок. К концу жизни Бентли коллекция насчитывала более 5000 экземпляров. Что удивительно, ни одна форма снежинки не повторяется. Есть снежинки похожие, но абсолютно идентичных - нет!

До сих пор коллекцией Бентли пользуются ученые, художники и дизайнеры. В родном городе Бентли Джерико (Jericho) работает созданный заботливыми руками музей. Здесь хранятся оригинальные работы Уилсона Бентли, а также архив, который включает более 60 статей, в которых фотограф размышляет о форме и свойствах снежинок, рассказывает о своем опыте их фотографирования, что является и сейчас непростой задачей.

Надо отдать должное тихому подвигу Уилсона Бентли - он привлек внимание людей к проблеме, которая ежегодно сыпется нам на головы, но именно в связи со своей привычностью, большинству была абсолютно незаметна. При упоминании о красоте снежинок появилась возможность дать стандартный ответ - а ведь ни одна из них не похожа на другую! Наиболее продвинутые сообщают при этом, что за год на Землю выпадает 10 в 24 степени снежинок.

Конечно, кое-кто знает, что до Бентли проблемами формы снежинок занимались и другие люди, но делали они это в такой скучной и сложной форме, что это способно вызвать оторопь. Еще в 17 веке этим занимался некий Джонатан Кеплер. Он определил, что все снежинки шестиугольны, но, несмотря на многочисленные усилия так и не смог понять, почему.

"Такие разные снежинки"

На фотографиях мы видим настоящие снежинки. Все они отличаются по форме, но при этом все они (почти все без исключений) шестиугольные.

Следующее исследование помогает понять, почему у них именно шесть лучей.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СНЕЖИНКИ.

Миллионы и миллиарды крошечных снежинок ежегодно падают с неба – и среди них нет двух одинаковых. Воздух содержит миллиарды мельчайших частиц, поднятых ветром, таких, как морская соль, пыль, копать. Снежинки вырастают на них из водяного пара, который тоже содержится в воздухе. Попробуем «вырастить» математическую снежинку.

Начав с единственного квадратика, можно построить сложную «снежинку».

Начнем с одного квадратика.

Затем закрасим четыре квадратика, которые касаются первого одной стороной.

На следующем шаге снова имеются только четыре квадратика, касающихся других одной стороной.

На четвёртом шаге ты можешь закрасить 12 квадратиков, которые касаются других только одной стороной.

Вот как она выглядит после 15 шагов. Эта снежинка получается четырёхугольной.

Начнем с единственного треугольника.

Или шестиугольника.

С шестиугольниками будет больше вариантов, потому что больше выбора: где прикладывать новые фигуры.

Мы получаем рисунки, напоминающие нам природную снежинку.

Сходство между математическими снежинками, построенными из треугольников, и снежинками настоящими, видимо, связано с молекулярной структурой ледяных кристаллов. Вода, а значит и лёд, состоит из атомов водорода и кислорода. Молекула льда содержит два атома водорода и один атом кислорода: НО. Когда эти молекулы выстраиваются в трёхмерном пространстве, тройные связи порождают шестиугольный узор.

Декоративные снежинки.

Рассмотрим ажурную бумажную салфетку или «снежинку». Такие снежинки - это не только новогоднее украшение. Это ещё и китайские фонарики, кружева салфетки, шаблоны для росписи. Они могут быть квадратными, пятиугольными, шестиугольными и круглыми, а точнее – восьмиугольными. Строго говоря, природные снежинки бывают только шестиугольными или любыми другими с количеством лучей кратных трём. Все другие формы «снежинок» - чисто декоративные.

Красота снежинок заключается в их симметричности. Симметрия выступает как основа гармонии в молекулах, кристаллах, живой природе и произведениях искусства. Симметрия является одним из важных факторов красоты. Пожалуй, самым ярким примером красоты форм осевой симметрии являются снежинки. Заготовим квадрат, пентагон, гексагон и круг как заготовки наших будущих снежинок.

квадрат пентагон гексагон круг или октагон

У снежинок несколько линий сгиба, и все они являются осями симметрии. Рабочее поле снежинки имеет две оси: короткую и длинную.

короткая ось длинная ось

Составляя рисунок снежинки, мы можем построить его или на длинной оси, или только на короткой, или на обеих осях вместе. От этого будет зависеть разнообразие и непохожесть получаемых снежинок.

Вдохновленная, виртуальным вырезанием снежинок, я решили повторить успех на бумаге. Оказалось, это не так-то и просто. Снежинки получались замечательные, но четырех- и восьмиугольные, а они, как известно, должны быть симметричными и шестиугольными.

Потратив немало бумаги, я все-таки пришла к правильному решению.

Декоративные снежинки.

Заключение.

Изучив найденную литературу, поработав в Интернете, я узнала много нового и интересного о таком вроде бы привычном явлении как «Снежинка».

Темой интересовалось много разных учёных. Их привлекала и красота (художники и фотографы), и структура (химики и физики), и гармония (математики) снежинки.

Я построила математическую снежинку. Сначала снежинка получилась четырёхугольная, затем пяти угольная. В конце концов, я получила шестиугольную снежинку. В ходе работы над этой темой я нашла сходство между природными и математическими снежинками.

Сходство между математическими снежинками, построенными из треугольников, и снежинками настоящими связано с молекулярной структурой ледяных кристаллов. Молекула льда содержит два атома водорода и один атом кислорода: НО. Когда эти молекулы выстраиваются в трёхмерном пространстве, тройные связи порождают шестиугольный узор.

Я нашла много примеров применения формы снежинки в повседневной жизни. Это и новогодние украшения, и ажурные салфетки. Все эти вещи очень красивы. Их красота заключается в их симметричности.

Эта работа мне понравилась. Её можно ещё продолжить, подробнее изучив симметрию.