Симметрия, основные понятия

Слово симметрия происходит от греческого <>, что означает <<такая же мера>>, <<соразмерность>>. В широком смысле понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры. Кроме того, симметрия есть соразмерное расположение элементов, предмета, когда одна часть кажется зеркальным отражением другой.

С точки зрения математики симметрия - преобразование, совмещающее геометрический объект с самим собой при повторении.

С точки зрения искусства симметрия - есть определение гармонии и красоты.

Г. Вейль писал: <<Как бы широко или узко мы не понимали это слово, симметрия есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту, совершенство>>.

Симметрию живого тела подметили еще в древнем мире. Нам в наследство оставлены скульптуры и живопись потрясающей пропорции.

По мнению специалистов, у таких художников, как Л. да Винчи, А. Дюрер, М. Анджело, Х. Рембрандт, подготовка в области математики была выше, чем у многих современных им естествоиспытателей.

Простейшими видами симметрии являются зеркальная, центральная симметрия, симметрия вращения.

2. Зеркальная симметрия

Симметрия относительно плоскости - отображение точек пространства, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно плоскости (приложение 7. 3). Примером может служить наше отражение в зеркале.

Говорят, что фигура (или тело) зеркально симметрична, если существует плоскость, которая делит фигуру (или тело) на две симметричные части.

Важно отметить, что два симметричных друг другу тела, вообще говоря не могут быть вложены <<друг в друга>>; т. е. одно из этих тел не может занять места другого. так, перчатка с левой руки не годится для правой руки.

Симметричные предметы нельзя назвать равными в узком смысле слова. Их называют зеркально равными. Введем определение:

Зеркально равными телами (или фигурами) называются тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела.

Плоскость симметрии рассекает предмет на две соразмерные половины, что и выдает его симметричность, а, следовательно, присутствие красоты Примерами фигур - зеркальных отражений одна другой - могут служить правая и левая рука человека, правый и левый винты, части архитектурных форм, некоторые природные кристаллы и орнаменты. Также, примером может служить лицо человека.

Следует оговориться, что предметы в природе не строго симметричны, например, правая рука развита лучше, чем левая, левый шаг, обычно короче правого. По этой причине, идущие в лесу без ориентира и дороги блуждают по кругу.

Однако исключение из правил только вносит в жесткий распорядок что-то непокорное, придавая вещам разнообразие и живость.

Исторически сложилось, что именно зеркальная симметрия (её называют геральдической) использовалась разными народами для изготовления предметов быта.

<<Что может быть больше похоже на мою руку или моё ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И всё же руку, которую я вижу в зеркале <<нельзя поставить на место настоящей руки.>> (Иммануил Кант).

Все знают, что увидеть зазеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить объект перед зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности же это совсем не так. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у зазеркального двойника на левой.

Обратимся к более интересному примеру:

Если конус неподвижен, то его легко можно совместить со своим двойником.

Если же конус вращать относительно оси, проходящей через вершину, то направление вращения изменяется при отражении на противоположное. Теперь уже никакими перемещениями и поворотами нельзя совместить объект с зазеркальным двойником. Впрочем, можно обойтись и без вращения конуса. Достаточно изготовить из конуса винт. Винт-объект и винт-двойник имеют разные направления нарезки, чтобы ввинтить в дерево винт-объект, надо вращать его головку по часовой стрелке, а чтобы ввинтить винт-двойник, - против часовой стрелки.

Пара зеркально ассиметричных объектов, являющихся зеркальным изображением один другого, называются энантиоморфами.

Энантиоморфами могут быть отдельные объекты, но могут быть и половинки соответствующим образом разрезанного объекта. Чтобы различить энантиоморфы в данной паре, вводят обозначения <<левой>> и <<правой>>.

Двумерные энантиоморфы можно совместить друг с другом, выполнив поворот в трёхмерном пространстве, перевернуть плоскость обратной стороной.

Что же касается трёхмерных энантиоморфов, то для их совмещения потребовался бы поворот в фантастическом четырёхмерном пространстве. Поэтому для трёхмерных энантиоморфов справедливо утверждение :никакие перемещения и повороты не в состоянии обратить левый энантиоморф в правый, и наоборот. Как бы ни вертели левый ботинок, он никогда не подойдёт к правой ноге.

3. Центральная симметрия

Центральная симметрия - отображение точек плоскости или пространства, при котором каждая точка А переходит в точку А1, симметричную данной относительно фиксированной точки (центра).

Между соответствующими друг другу парами точек всегда лежат равные отрезки.

Соответствующие друг другу углы двух половин тела, обладающего центральной симметрией также равны.

Однако, вообще говоря, одна половина тела с центральной симметрией не может занять место другой. Более того, одну из половин тела с центральной симметрией можно поворотом на 180[о] около любой оси, проходящей через центр симметрии поставить в зеркально симметричное положение с другой. Поэтому две половины тела с центральной симметрией зеркально равны друг другу.

Пример оригинального применения центральной симметрии в искусстве -

<<Лужа>> М. К. Эшера .

4. Симметрия вращения

Тело (или фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360оn (n - целое число) вокруг некоторой прямой АВ (ось симметрии) оно полностью совмещается со своим исходным положением.

При n=2 говорят об осевой симметрии

Осевая симметрия - отображение точек плоскости или пространства, при котором каждая точка А переходит в точку А1, симметричную ей относительно фиксированной прямой.

Примеров осевой симметрии много, рисунок бабочки, вазы, узор ковра и т. д.

Множества Жюлиа при с = 0,27334 + 0,00742i имеют вертикальную ось симметрии на плоскости. Кардиоида (повторяет контур сердца) имеет горизонтальную ось симметрии.

Еще один показательный пример <<шероховатости>> природной симметрии: для эксперимента взяли две фотографии одного и того же человеческого лица. Разрезали их по оси симметрии и вновь составили то же лицо, но одно только из левых половинок, другое только из правых. Оказалось, лица не похожи, будто были взяты фотографии разных людей.

5. Другие виды симметрии

Сочетание нескольких основных видов симметрии, позволяют получить другие виды симметрии.

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Винтовая симметрия - это поворот и перенос одновременно.

Все вышеперечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства: отрезок переходит в равный ему отрезок; угол переходит в равный ему угол; окружность переходит в равную ей окружность; любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т. д.

параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные. Вообще, предмет считается симметричным, когда с ним можно делать нечто, после чего он будет выглядеть точно таким, как прежде. Например, перенос в пространстве (трансляция), перемещение во времени, вращение, и т. п. считается симметрией.

6. Антропологические корни симметрии в природе

Интересны исследования антропологов, известно, что большинство растений и животных симметричны, в то время как многие неодушевленные предметы нет. Животные симметричны слева направо, а не сверху вниз. Это называет двусторонней симметрией. Животные эволюционировали таким образом из-за необходимости быть устойчивыми и способными к быстрому движению. Если бы животные были не симметричны, т. е. например, имели бы две ноги с одной стороны и одну с другой, им бы было очень сложно балансировать или быстро передвигаться. Что было бы помехой в адаптации к окружающей среде. Неустойчивый и медлительный представитель не может уйти от хищника и с трудом добывает себе пропитание.

Общие принципы строения организма человека заложены ещё миллиарды лет назад, когда сформировался генетический код, и возникла первая клетка. В наших генах содержится значительная часть генофонда древних рыб, первых хордовых и некоторых беспозвоночных животных. И одним из признаков, переданных нам, является двухсторонняя симметрия человеческого тела.

Симметрия - это также показатель молодости и здоровья. Мужчины, чьи тела более симметричны, более привлекательны для женщин, чем не симметричные мужчины. Симметричные цветы более привлекательны для пчел, так как у них больше нектара. Симметрия также очень часто является показателем физического здоровья, в то время как ее отсутствие может выделить потенциальное расстройство какой-либо функции или болезнь. Практический врач Александр Трифонов, изучая механизмы возникновения различных заболеваний, пришел к выводу, что причинами наших болезней являются не только и не столько вирусы и прочие вредные факторы среды, сколько генетически обусловленные нарушения конструкции человеческого тела. Симметричные животные живут дольше, чем не симметричные, что также говорит в пользу того, что симметрия это показатель здоровья. Это также и показатель лучшей способности к воспроизводству. Исследования показали, что женщины с большой симметричной грудью более плодовиты. Асимметрия лица это показатель старения.

7. Асимметрия

В современном понятии симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, пропорциональности, гармоничности и т. д.

Асимметрия же обычно определяется как отсутствие признаков симметрии, как беспорядок, несоразмерность, неоднородность и т. д. Очевидно, что по мере развития нашего познания к определению симметрии можно прибавлять все новые и новые признаки. Поэтому определения симметрии всегда неполны.

То же можно сказать и о существующих определениях асимметрии. Очевидно, что в определениях понятий, сформулированных по принципу перечисления свойств объектов, ими отражаемых, отсутствует связь между перечисленными свойствами объектов. Такие свойства симметрии, как, например, однородность и соразмерность, друг из друга не следуют.

<<В симметрии, - пишет А. В. Шубников, - отражается та сторона явлений, которая соответствует покою, а в дисимметрии (по нашей терминологии в асимметрии) та их сторона, которая отвечает движению>> Симметрию можно рассматривать как частный случай асимметрии, как ее момент. Поэтому ни о каком равноправии симметрии и асимметрии и речи быть не может. Взаимоотношение симметрии и асимметрии явно асимметрично.

К общим определениям понятий симметрии и асимметрии можно подойти исходя из следующих положений:

Во-первых, нужно признать, что эти понятия относятся ко всем известным нам атрибутам материи, что они отражают взаимные связи между ними.

Во-вторых, эти понятия основываются на диалектике соотношения тождества и различия, существующей как между атрибутами материи, так и между их состояниями и признаками.

В-третьих, нужно иметь в виду, что единство симметрии и асимметрии представляет собой одну из форм проявления закона единства и взаимоисключения противоположности.

Правильность этих отправных положений может быть доказана как выводом их из многочисленных частных определений симметрии и асимметрии, так и правильностью их следствий, т. е. необходимостью и всеобщностью определений симметрии и асимметрии.

Мир существует благодаря единству симметрии и асимметрии. Симметрия и асимметрия есть одна из форм проявления общего закона диалектики - единства и борьбы противоположностей. Чем больше мы постигаем симметрию природы, тем шире проявляется асимметрия.

Асимметрия широко используется в некоторых восточных культурах, например в японской. Такая подчёркнуто асимметричная структура свойственна, в частности, канону дзенского сада камней. Аналогичный принцип относится у японцев и к построению изображения на картине, которое должно быть сдвинуто к краю и занимать сравнительно небольшую площадь, уравновешиваясь более значительным свободным полем, символизирующим беспредельность мира.

В <<Фаусте>> Гете противопоставляет в образах Прекрасной Елены и одноглазой, однозубой старухи Форкиды красоту симметрии и уродство асимметрии. В <<Сказке о царе Салтане>> Пушкин рисует величавую Царевну-Лебедь со звездой во лбу (красота - симметрия) и окривевших злодеек - ткачиху с поварихой (уродство - асимметрия).

В <<Войне и мире>> Льва Толстого мы читаем: <<Это был огромный, в два обхвата дуб, с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюже, несимметрично растопыренными корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися берёзами>>.

Если симметрия порождает чувство покоя и скованности, то асимметрия вызывает ощущение движения, свободы.

8. Симметрия и асимметрия в архитектуре Оренбурга

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счёт хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге <<Архитектура XX века>> он писал: <<Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимность. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Он делает умозрительные построения, основываясь на порядок, который продиктован ему потребностями его психики, это творческий процесс. Творчество есть акт упорядочения>>.

Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре.

Мы проследили, как развивалась архитектура города Оренбурга за 260 лет его существования.

Классические здания XIX - начала XX века в основном выдержаны в рамках зеркальной симметрии.

Исключения составляют церкви. Часто причудливая композиция состоит из нескольких храмов, каждый из которых обладает различными видами симметрии. Маковки соборов обладают центральной симметрией. Каждое из строений тоже симметрично, но плоскость симметрии расположена по-разному. Соединенные вместе, симметричные архитектурные детали соборов <<кружатся>> в своём асимметричном <<танце>>, создавая впечатление радости и праздника.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор .

В архитектуре с 70 годов XX века однообразие проспектов пытались украсить с помощью асимметричного расположения симметричных блочных зданий .

Радует глаз современное строительство. Сочетание самых различных стилей,: расположенные рядом симметричные , асимметричные здания , здания с зеркальной симметрией расположенной по диагонали , центральная симметрия украшают город, делают его неповторимым. Вызывают гордость за любимый Оренбург.

Заключение

В своей работе мы выяснили, что такое симметрия. Рассмотрели как действует механизм прекрасного, какие математические законы руководят им Проанализировали как симметрия влияет на нашу жизнь и здоровье?

Попробовали ответить на вопрос: если симметрия - основа гармонии, почему нас так завораживает асимметрия?

Проследили, как отразилась симметрия и асимметрия в архитектуре города Оренбурга с XIX до наших дней.

Мы пришли к выводу, что сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство её внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

А вместе они являются основой прекрасного.