Развлечения  ->  Непознанное  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Парадоксы и софизмы

У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости.

"Когда опыт кончается неудачей, начинается открытие" - так сказал известный немецкий изобретатель XIX века Р. Дизель, которому человечество обязано высокоэкономичными двигателями внутреннего сгорания. А он-то был, без сомнения, знатоком своего дела. И обязательно - педантом. Потому что только педант мог полтора десятка лет усовершенствовать свой двигатель, первый экземпляр которого сделал всего семь оборотов. Не семь оборотов в секунду, а семь оборотов за все время своей эксплуатации.

Зато теперь общее число оборотов всех дизельных двигателей на Земле приближается к числу атомов во вселенной. А число софизмов и парадоксов остается почти тем же самым, что и в древние времена. Наверное, потому, что трудолюбивых Дизелей в истории человечества было все-таки значительно больше, чем хитроумных Протагоров, скупых Эватлов и клевещущих Эпименидов. И это обнадеживает.

Паралогизм - непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышлении.

Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу .

Парадокс - явление, кажущееся невероятным и неожиданным .

Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") близок паралогизму и софизму. Но от первого он отличается тем, что выведен логически корректно, с соблюдением норм и правил логики. С софизмом же их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Таким образом, парадокс не ошибка, однако его появление нельзя объяснить и желанием сознательно исказить положение дел или незнанием какой-то детальной информации. Парадокс коренится глубже и свидетельствует об объективно сложившемся противоречивом состоянии дел, в котором никто не виноват

Парадокс принято также называть антиномией (греческого αντινομια, буквально — противоречие в законе, парадокс,— ситуация, когда в теории доказаны два взаимно исключающие друг друга суждения, причём каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами).

Парадокс – высказывание, истинность которого не очевидна, справедливое, но неожиданное утверждение.

Математический парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истинна, и как ложь.

Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как это суждение, так и его отрицание.

1. 2. Логические парадоксы

В этом разделе речь пойдет о парадоксах, которые затрагивают сферы логики и здравого смысла. Казалось бы, парадокс - и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер, а другой - Филипп Клосский - покончил жизнь самоубийством.

1. 2. 1. Парадокс лжеца

Классический, знакомый чуть ли не каждому человеку, простенький, древнегреческий пример логических парадоксов. Этот парадокс имеет множество вариаций

Вариант 1.

Что, истина или ложь, слетает с уст человека, который произносит "Я лгу" и больше ничего? С одной стороны, он говорит неправду, т. к. это утверждает. Но это означает, что он утверждает истину, а, следовательно, лжет.

Вариант 2 (вариант Эвбулида).

Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Он сам критянин, соответственно, лжец. Отсюда, критяне не лгуны, т. е. правдивы, следовательно, все критяне лжецы

Вариант 3. Парадокс из "Дон Кихота" Сервантеса

"Первым делом явился к нему [Санчо Панса] один приезжий, который в присутствии майордома и прочей челяди обратился к Санчо с такой просьбой:

- Я прошу у вас, сеньор, совета по очень важному и запутанному делу. По владениям одного вельможи протекает многоводная река; через нее переброшен мост, а около него стоит виселица и воздвигнуто здание, где заседают четверо судей. Эти судьи должны наблюдать за строгим выполнением закона, изданного владельцем поместья. Закон этот гласит: "Каждый, кто проходит по этому мосту, обязан под присягой указать, куда он идет и с какой целью. Если он скажет правду, его беспрепятственно пропускают дальше, если солжет, тогда его осуждают на смерть и вешают на стоящей рядом виселице". С тех пор как был издан этот суровый закон, много людей переходило через мост, и, как только выяснялось, что они говорили правду, судьи отпускали их на все четыре стороны. Но недавно какой-то прохожий показал под присягой, что он явился сюда для того, чтобы его повесили на этой виселице. Клятва эта смутила судей, они рассуждали так: "Если мы отпустим этого человека на свободу, то выйдет, что он поклялся ложно, а в таком случае, согласно закону, он должен быть казнен. Но если мы приговорим его к виселице, то тогда окажется, что он говорил правду, поклявшись, будто явился сюда для того, чтобы его повесили, - и, следовательно, согласно тому же закону он должен быть отпущен на свободу". Так вот я и спрашиваю вас, ваша милость сеньор губернатор, что делать судьям с этим человеком, потому что они и по сей час пребывают в смущении и нерешительности. "

Санчо отпустил того человека, следуя наставлениям Хитроумного Идальго Дон Кихота Ламанчского о том, что в сомнительных делах нужно избирать путь милосердия.

Вариант 4. Два слова, спасшие жизнь.

Рассказывают, что во время франко-прусской войны произошел следующий случай.

Один офицер имел несчастье попасться в плен к пруссакам, и его по подозрению в шпионаже было решено под суд и судить по законам военного времени, которые, как известно, карают за шпионаж смертной казнью.

Когда подсудимому вынесли смертный приговор и несчастный, выслушав его, уже готов был, покорится своей участи, судьям пришло в голову оказать осужденному снисхождение, правда, несколько странного свойства.

- Вам, молодой человек, - сказали они офицеру, - предлагается в виде особой милости самому выбрать род казни: или смерть через повешенье, или расстрел. Для этого мы предлагаем вам произнести какую-нибудь фразу, заключающую в себе или явную ложь или явную правду. При этом заметьте, что за сказанную вами правду вы будете повешены, а за неправду вас расстреляют.

Все это было, конечно, очень жестоко, немилосердно, но странное дело!

По мере того как молодой человек слушал бесстрастную речь своих судей, его бледное умное лицо прояснилось все более и более, и, наконец, после некоторого размышления он медленно произнес: «Меня расстреляют»

1. 2. 2. Парадокс кучи

Вариант 1.

Имеется утверждение: разница между "кучей" и "не кучей" не в одном элементе. Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху. 50 орехов - куча, 49 - куча, 48 - тоже куча и т. д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу. Вот тут-то и парадокс - сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей.

Существует также и обратный парадокс:

Вариант 2.

Имеется утверждение: один элемент не составляет кучи. Если n элементов не составляют кучи, то и n + 1 элемент не составляет кучи. Отсюда, никакое количество элементов не есть куча.

Другой вариацией этого парадокса является парадокс лысого.

1. 2. 3. Парадокс пути

Вы никогда не дойдете туда, куда вам нужно! Правда, опыт тысяч поколений и миллиардов людей позволяет нам убедиться в обратном. Парадокс!

Вариант 1.

Пусть вам надобно дойти от этого компьютера до двери или противоположной стенки. Вы встаете и начинаете идти. За некоторое время вы пройдете расстояние, равное половине пути, потом половину от оставшегося, т. е. одну четверть целого, потом еще половину, т. е. одну восьмую, и так далее. Расстояние между вами и вашей целью будет каждый раз сокращаться вдвое, но вы ее никогда(!) не достигнете.

Вариант 2. Парадокс Зенона: Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как вы, конечно, знаете, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема его рассуждений. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющие его от места, откуда начала свое движение черепаха, то в этом месте Ахиллес ее уже не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место. Достигнув и этого нового места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, поэтому что она успеет пройти расстояние равное шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползущую черепаху.

В этом парадоксе есть еще одно затруднение - математическое:

Пусть начальное расстояние между нашими героями a, и скорость Ахилла больше скорости черепахи в k раз. Когда Ахилл пробежит расстояние a, черепаха проползет; когда он преодолеет и это расстояние, она отползет еще на. Допустим, что в какой-то момент Ахилл догонит черепаху. Запишем пройденные ими расстояния:

      SА = SЧ =

Количество отрезков, пройденных Ахиллом равно количеству отрезков, пройденных черепахой. С другой стороны, каждому отрезку, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахилла. Но Ахиллу нужно пройти еще и первоначальное расстояние a, т. е. на один отрезок больше. Получается, если мы обозначим количество пройденных черепахой отрезков через n, что n + 1 = n. Что нехорошо.

Если честно, то я не согласна с математическим затруднением, а точнее с той его частью, что "каждому отрезку, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахилла". Последний отрезок пути, пройденный черепахой, окажется самым коротким из всех. Сие ввиду того, что каждый отрезок, пройденный черепахой, короче пройденного ею раньше. Аналогично с Ахиллом. Если последний отрезок пути Ахилла меньше или равен оному черепахи, то либо уже черепаха догоняла его, либо они имели равную скорость соответственно, что невозможно. Следовательно, ему нельзя будет сопоставить равный отрезок, и n = n. Поэтому предлагаю считать математическое затруднение неверным.

1. 3. Парадоксы математические

Здесь мы поговорим о парадоксах в разделе математики. И вот, действительно, самое парадоксальное - это то, что в математике вообще есть парадоксы.

1. 3. 1. Парадокс несоизмеримости величин

Это явление имело место в древности, когда людям были знакомы только рациональные числа.

Две однородные величины, например, длины, площади или объемы, есть соизмеримы, если имеется их общая мера, т. е. если существует такая однородная с ними величина, которая укладывается в них целое число раз (общий делитель). Полагалось, что все вышеперечисленные величины соизмеримы.

Но вдруг оказалось, что диагональ квадрата и его сторона не имеют такой общей меры, и их частное нельзя было выразить с помощью известных чисел. Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин может быть измерена и количественно точно определена, а их отношение - нет. К примеру, если возьмем сторону квадрата и начнем ее откладывать на диагонали, то обнаружим, что она укладывается только один раз и остается остаток.

В результате это отношение было выражено как корень квадратный из 2. Позднее нашли и другие несоизмеримые величины, такие как отношение длины окружности к диаметру и площади круга к площади квадрата, построенному на радиусе (оба равняются числу).

Т. к. не находилось физического истолкования этих чисел, кое находилось для рациональных (самое банальное - две коровы, высота сооружения - тридцать три целых и половина камня), то греки придумали иррациональные, т. е. "бессмысленные", числа засунуть в геометрию, обозначать ими длины определенных отрезков, а не числа.

1. 3. 2. Парадокс бесконечно малых величин

Математический кризис в этой области существовал в период XVII - XVIII веков.

Бесконечно малые - это переменные величины, стремящиеся к нулю, или, если быть точнее, к пределу, равному нулю. Проблема состояла в их туманном понимании - то они рассматриваются как числа равные нулю, то, как ему неравные. Причем, при таком подходе, люди рассматривали их как постоянные величины. Тогда из этого и из названия таких величин следует, что бесконечное является чем-то завершенным.

Кризис перестал быть таковым после создания теории пределов в начале XIX века французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789 - 1857). С того момента бесконечно малые величины рассматриваются как постоянно изменяющиеся, а не постоянные, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. Постоянно изменяющиеся числа!

1. Парадокс Рассела. Парадокс связан с теорией множеств.

В письме от 16 июня 1902 года Готтлобу Фреге, Бертран Артур Уильям Рассел (1872 - 1970) сообщил о том, что обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента), указывая на противоречивость исходных позиций Фреге. Парадокс имеет несколько вариаций.

Вариант 1. Каталог всех нормальных каталогов.

Каталоги подразделяются на два вида: 1) нормальные, которые в числе перечисленных в них каталогов не упоминают себя, и 2) ненормальные, которые входят в число перечисляемых ими каталогов.

Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных каталогов и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога его упомянуть? Если он его не упомянет, то составленный им каталог будет нормальным. Но такой каталог должен быть упомянут, а тогда это уже ненормальный каталог, и из списка должен быть вычеркнут. Библиотекарь не может ни упомянуть, ни не упомянуть свой каталог.

Вариант 2. Парадокс парикмахера

В некой деревне, в которой живет один-единственный парикмахер, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Может ли парикмахер брить самого себя?

Вариант 3. Парадокс «генерал и брадобрей».

Этот парадокс состоит в следующем: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал издал приказ о выделении одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат-брадобрей?

Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех солдат, которые себя не бреют; если же он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не бреющие себя, он должен бриться только у одного специального солдата-брадобрея, т. е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя.

Вариант 4. Парадокс "мэр города"

Каждый мэр города живет или в своем городе, или вне него. Был выделен один специальный город, где бы жили мэры, не живущие в своих городах. Где должен жить мэр этого специального города?

Возможным разрешением этого парадокса может служить упразднение поста мэра в этом городе, т. к. там будут жить только одни мэры (!). Но с другой стороны, если мэр не пожелает жить в своем городе, то он все равно должен жить в нем т. к. этот город предназначен для тех мэров, которые не живут в своих городах (!!!), значит, парадокс исчерпан (???!!).

1. 3. 3. Парадокс Кантора (1899)

Согласно одной из теорем немецкого математика Георга Кантора (1845 - 1918), развившего теорию множеств, не существует самого мощного множества. Сие ввиду того, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще более мощное. С другой стороны, интуитивно очевидно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно включает в себя все возможные множества.

Другими словами, пусть множество всех множеств M содержит в себе множество всех своих подмножеств (ведь оно же множество всех множеств). Если первое имеет мощность m, то мощность второго 2m, что больше m. Следовательно, множество M не содержит множество всех своих подмножеств, а, значит, не может быть множеством всех множеств.

Пусть нам дано некоторое множество людей, живущих в одном и том же доме, причем каждый жилец живет в отдельной квартире. Значит, роль множества выполняет дом, а элементами множества являются жильцы, живущие в отдельных квартирах этого дома. Построим теперь множество всех подмножеств данного множества. Подмножествами, очевидно, будут различные дома, в которых будут жить соответствующие подмножества жильцов первоначального дома. Но так как каждый элемент исходного множества является в то же время и элементом целого ряда подмножеств, то каждый житель первоначального дома должен жить одновременно и в целом ряде домов — подмножеств. Это означает, что один и тот же житель будет иметь квартиры в целом ряде домов. Какими будут эти дома?

Так как одним из подмножеств является пустое множество, то должен существовать пустой дом, в котором никто не живет. Это может быть, например, здание клуба или театра, или Церковь. Одноэлементным подмножествам будут соответствовать одноквартирные дома, двухэлементным — двухквартирные и т. д.

Допустим, что построение домов-подмножеств закончено. Что же получилось? Совокупность домов, возникшая в результате нашего построения, домом не является. Построен город, состоящий из домов. Если сначала мы имели дело с множествами жильцов и называли эти множества домами, то теперь возникло множество нового вида — множество домов и это новое множество мы, естественно, называем по-другому: это город. Можно теперь идти дальше и рассматривать множество всех подмножеств этого города. То, что мы получим, не будет городом, это будет нечто более общее. Мы можем, например, назвать эту совокупность городов "страной". Приведенный пример показывает, что при восхождении к абстракциям более высокого уровня, мы неизбежно переходим и на более высокий иерархический уровень. Игнорирование этого обстоятельства может привести к возникновению противоречий и парадоксов.

2. Софизмы

2. 1. Что же такое софизм?

Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное, называется

Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)

Софизм происходит также от греческого слова ("софизм" означает "измышление", "хитрость"). Их строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам Их [ошибки] допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками.

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка), доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована, умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого караются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

2. 2. Алгебраические софизмы.

2. 2. 1. Равенство неравных величин.

1. Единица равна нулю.

Возьмем уравнение.

Разделив обе его части на x - a, получим

(х - а) : (х - а) = 0 : (х - а)

Откуда сразу же получаем требуемое равенство 1 = 0.

2. Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество a2 - a2 = a2 - a2,

Вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a).

Разделив обе части на a - a, получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

3. 4 = 5.

Пусть a = 4, b = 5, c =. Тогда:

      a = 2c - b   и

      2c - a = b

Умножим первое на второе, получим

      a2 - 2ac = b2 - 2bc

      a2 - 2ac + c2 = b2 - 2bc + c2

      (a - c)2 = (b - c)2

      a - c = b - c

Откуда a = b, или 4 = 5.

4. Все числа равны нулю.

Возьмем произвольное положительное число a и рассмотрим сумму x бесконечного числа слагаемых, равных a, т. е.

x = a + a + a + a +.

Очевидно, что мы можем представить эту сумму как x= a + (a + a + a +), в которой сумма, стоящая в скобках, также равна x как сумма бесконечного числа слагаемых, равных a. Так что можем записать, что x = a + x, откуда заключаем, что a = 0.

5. Софизм Перрона: единица наибольшее натуральное число.

Нижеследующий софизм приписывается Перрону.

Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим натуральным числом является единица.

Пусть число k 1 является набольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, что k * k = k2 k * 1 = k

Последнее равенство показывает, что принятое нами в качестве наибольшего натурального числа число k не является таковым, так как ясно, что число, равное k2, больше этого числа k 1 не может быть наибольшим целым. Остается принять, что наибольшим натуральным числом является 1, так как только в этом случае мы не приходим к противоречию.

2. 2. Геометрические софизмы

2. 3. 1. Парадоксы с площадью

1. 64=65

Доску размером 8x8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5x13 (рис. 1). Откуда появилась лишняя клетка?

Этот «парадокс» кажется неразрешимым. Действительно, трудно представить, что «извне» возникла «лишняя» часть доски! Но на картинке можно изобразить что угодно и как угодно. Те, кто пробовал воспроизвести эту конструкцию, например из бумаги, замечали, что четыре разрезанные части соединяются не в плотную: между ними образуется щель. При этом, с какой бы тщательностью не производился надрез, щель не исчезает!

На самом деле эта щель и есть «лишняя клетка»: при соединении деталей посередине прямоугольника образуется щель, представляющая собой параллелограмм, площадь которого равна площади «лишней клетки».

2. Числа Фибоначчи или 169 = 168.

Оказывается, что длины сторон четырех частей, составляющих фигуры (рис. 1 и 2), являются членами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел, начинающегося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начиная с третьего, есть сумма двух предшествующих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.

Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу.

Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.

Если, например, взять квадрат в 13х13 единиц, то три его стороны следует разделить на отрезки длиной в 5 и 8 единиц, а затем разрезать, как показано на рис. 2. Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам. Стороны прямоугольника, образованного частями квадратов, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.

Если взять квадрат со стороной 5, то тоже произойдет потеря одной квадратной единицы.

Можно сформулировать и общее правило: приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из «первой» подпоследовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (3, 8,. ) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали просвет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из «второй» подпоследовательности (2, 5, 13,. ), мы получим вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади.

Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметными становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике 3х1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется.

3. Вариант с прямоугольником или 104 = 105.

Существует много способов, которыми прямоугольник можно разрезать на небольшое число частей, а затем сложить их в виде другого прямоугольника большей или меньшей площади. На рис. 3 изображен парадокс, также основанный на ряде Фибоначчи. Подобно только что рассмотренному случаю с квадратом, выбор какого-нибудь числа Фибоначчи из «второй» подпоследовательности в качестве ширины первого прямоугольника (в рассматриваемом случае 13) приводит к увеличению площади второго прямоугольника на одну квадратную единицу.

Если же за ширину первого прямоугольника принять какое-нибудь число Фибоначчи из «дополнительной» подпоследовательности, то во втором прямоугольнике площадь уменьшится на одну единицу. Потери и приросты площади объясняются небольшими перекрываниями или просветами вдоль диагонального разреза второго прямоугольника. Другой вариант такого прямоугольника, показанный на рис. 4, при построении второго прямоугольника приводит к увеличению площади на две квадратные единицы.

Если заштрихованную часть площади второго прямоугольника поместить над незаштрихованной частью, два диагональных разреза сольются в одну большую диагональ. Переставляя теперь части A и B (как на рис. 3),. мы получим второй прямоугольник большей площади.

2. 3. 2. Исследование величины «щели» в геометрическом софизме.

2. 2. 3. 3. Софизм, названный "парадоксом" равных отрезков, или полуокружность длиннее прямой

1. Рассмотрим треугольник ABC. Проведем прямую MN параллельно AB так, как показано на рисунке. Теперь для любой точки L стороны AB проведем прямую CL, которая пересечет MN в точке K. Таким образом установим однозначное соответствие между отрезками AB и MN, т. е. они оба содержат одинаковое количество точек. Значит, имеют одинаковую длину.

2. Аналогичным способом для любой точки K полуокружности MN установим однозначное соответствие с точками прямой a. Но у нас останутся две точки, а именно M и N, для которых это соответствие не установим. Следовательно, в полуокружности на две точки больше, а значит, полуокружность длиннее прямой.

2. 3. 4. Софизм равенства катета гипотенузе, или все треугольники равностронние.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно.

Т. к. DO одновременно и высота и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC. Т. к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF. Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т. е. AE = FC. Отсюда, т. к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC. Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим, что BC = CA.

Из этого следует, что все треугольники на свете - равносторонние. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то катеты равны гипотенузе.

3. Логические софизмы

1. Софизм учебы.

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

Перевод.

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

2. Софизм Кратила

Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

3. Софизм Эватла

Эватл брал уроки софистики у философа Протагора на условии, что внесет плату за обучение тогда, когда, после окончания школы, выиграет свой первый процесс. Школу он окончил, время шло, но он и не думал браться за ведение процессов и, вместе с тем, считал себя свободным от уплаты за учебу. Тогда Протагор, разозлившись, пригрозил судом, заявив, что в любом случае Эватл ему заплатит: если судьи приговорят к оплате, то в силу решения суда, если не присудят, то по их договору. Однако, Эватл возразил, что не станет платить в любом случае: если присудят к уплате, то процесс будет проигран, и согласно их условию, платить не будет. А если не присудят, то уже из-за судейского вердикта.

4. Задачи на парадоксы и софизмы

1. Дилемма крокодила.

Крокодил украл ребенка; он обещал отцу вернуть ребенка, если отец угадает – вернет ему крокодил ребенка или нет. Что должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернет ему ребенка?

2. Гостиница.

В небольшую гостиницу, в которой было 12 свободных номеров, прибили 13 постояльцев, каждый из которых хотел получить отдельный номер. Однако хозяин не смутился и обещал удовлетворить всех гостей. Для этого он попросил тринадцатого гостя временно посидеть в первом номере, - в итоге в первом номере оказалось два человека, затем он поселил третьего гостя во второй номер, четвертого – в третий, и так дошел до одиннадцатого номера, куда был поселен двенадцатый гость. После этого хозяин вернулся в первую комнату и проводил тринадцатого гостя в двенадцатую комнату – все постояльцы оказались поселены по одному. Как же это получилось?

Мое рассуждение: Нарисуем двенадцать прямоугольников, каждый из которых обозначает один номер, заселим в них людей, как написано в парадоксе. В условие сказано, что все гости расселились, но на самом деле второй гость оказался не заселенным.

Заключение

Исследуя логические парадоксы, мы узнаем многое из мира логики. Даже небольшое представление о парадоксах и софизмах значительно расширяет кругозор. Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному. Жаль, что в курсе математики (в школе) не изучаются основы логики. Логическое мышление — ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается на всем

Как было показано, многие «крайне неразрешимые парадоксы» имеют довольно-таки простое решение. Нужно только увидеть корень противоречия.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)