От параллелограмма до золотого сечения

Параллелограмм – это красивое и звучное слово, напоминающее нам о единицах веса (килограмм), на самом деле никакого отношения не имеющего к ним. Проведём две пары параллельных прямых. Рассмотрим образовавшийся при этом четырёхугольник ABCD. Его стороны попарно параллельны: AB׀׀CD, BC׀׀AD. Такой четырёхугольник называется параллелограммом.

РОМБ – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

ПРЯМОУГОЛЬНИК – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

КВАДРАТ – это параллелограмм с равными сторонами и прямыми углами.

В прямоугольнике ABCD AB_AD и CD ı AD. Значит, AB‖CD. Но углы А и В тоже прямые, тоесть BCAB и

ADАВ. Значит, параллельны. Следовательно, прямоугольник является параллелограммом.

Квадрат – это очень интересный прямоугольник. Ему можно дать несколько определений. У квадрата есть ещё целый ряд интересных свойств. Так, например, необходимо забором данной длины огородить четырёхугольныё участок наибольшей площади, но следует выбрать этот участок в виде квадрата.

Лучше изучить параллельные и перпендикулярные прямые и параллелограммы нам помогут опыты с листом бумаги.

ПРЯМОУГОЛЬНИК. ОПЫТЫ С ЛИСТОМ БУМАГИ.

а) Отметим на листе две точки А и В, а затем сложим лист так, чтобы А и В совпали. Перегибанием листа бумаги получим пару параллельных и пару перпендикулярных прямых.

Свернём прямоугольник так, чтобы получился квадрат. Вырежем этот квадрат и исследуем его. Линия сгиба, проходящая через две противоположные вершины квадрата, называется диагональю квадрата.

Для определения свойств квадрата помочь может следующий план:

1. сравните диагонали по длине.

2. как диагонали расположены относительно друг друга.

3. как диагонали делятся точкой пересечения.

4. на какие фигуры делит квадрат каждая диагональ.

5. какого вида эти фигуры.

6. сравните их между собой.

7. Перегните квадрат пополам так, чтобы совпали две противоположные стороны. Через какую точку проходит линия сгиба, расположенная относительно сторон квадрата? На какие фигуры она делит квадрат.

б) Вырежем из бумаги прямоугольник со сторонами 10 и 16 сантиметров. Отрежьте от него квадрат со стороной 10 см. Останется прямоугольник со сторонами 6 см и 10 см, тоесть одна больше другой тоже примерно в 1,6 раза. Затем от этого прямоугольника отрежем квадрат со стороной 6 см. Останется прямоугольник, одна сторона которого тоже примерно в 1,6 раза больше другой.

Этот процесс можно продолжать и дальше. На прямоугольники, у которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6:1, обратили внимание очень давно.

И ещё одно замечательное свойство прямоугольника, стороны которого находятся в отношении ϕ. Если от такого прямоугольника отрезать квадрат, то останется прямоугольник, отношение которого вновь равно ϕ. Если от него снова отрезать квадрат, то вновь получится золотой прямоугольник. Можно проверить этот факт на почтовой открытке, поскольку эти открытки, как правило, имеют отношение сторон, равное золотому сечению. В Афинах находится храм Парфенон. Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, это одно их самых красивейших сооружений мира. Этот храм построен в эпоху рассвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник, то окажется что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза. Такой прямоугольник назвали «ЗОЛОТЫМ ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ». Говорят, что его стороны образуют «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ».

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ.

Математики дают точное определение золотому сечению:

Золотое сечение – это такое деление целого на две равные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая часть к большей части. Если отрезок разделён на две части так, что меньшая имеет длину X, а большая длину Y, то в случае золотого сечения, Y X.

Интересно, что: в правильной пятиконечной звезде, каждая из пяти линий, составляющих эта фигуру, делит другую в отношении золотого сечения. Пятиконечная звезда - пентаграмма очень красива, недаром её помещают вна свои флаги и гербы многие страны.

Её красота, оказывается, имеет математическую основу. Но сначала проведём маленький опыт. Попробуем а начать рисовать пейзаж и проведите на листе бумаги – будущей картине - линию горизонта. Думаем, что у вас получится результат, очень похожий на рисунок. Почему многие другие художники проведут линию горизонта именно так? А потому, что отношение высоты картины к расстоянию от верхнего края до линии горизонта равно расстоянию от верхнего края до горизонта к расстоянию от горизонта до нижнего края. Это отношение и есть отношение золотого сечения.

Пропорции золотого сечения часто использовались художниками не только при проведении линии горизонта, но и в соотношениях между другими элементами картины. Леонардо да Винчи находил это соотношение в пропорциях человеческого тела.

Древнегреческий скульптор Фидий использовал золотое сечение при оформлении Парфенона. Так чему же равно золотое сечение? Вернёмся к рисунку. Если высоту картины принять равной 1. А расстояние верхнего края до горизонта через х: но из условия золотого сечения получим 1:х = х:(1-х). Преобразовав это уравнение, получим х2-х-1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен (√5+1)/2. Это число обычно обозначается греческой буквой τ – тау. Часто его обозначают и другой греческой буквой φ – фи, в честь Фидия.

Обратимся теперь к пятиконечной звезде, в ней, как говорится «где ни копни - везде золото». Точка Д делит отрезок СА в отношении φ, она же делит и отрезок АЕ, как и длины отрезков АВ и АД, также находятся в золотом отношении.

С Теория отношений и пропорций была создана древними греками. Ещё Фалес Милетский, находясь в Египте, вычислял высоты пирамид, измерял их тень и, сравнивая с тенью стержня, взятого за единицу длины, то есть пользовался пропорцией. В 4 веке трудами греков была создана теория пропорций для соизмеримых и несоизмеримых величин. Евдокс, врач, астроном, механик и математик, сумел, применяя пропорции, преодолеть трудности, появившиеся после открытия пифагорейцами несоизмеримых чисел. Он вышел из – затруднения, определив отношение несоизмеримых величин. При помощи неравенств с целыми числами. Он рассматривал и пропорциональность золотого сечения. Евклид, опираясь на труды предшественников и главным образом на работы Евдокса, в «Началах» изложил теорию отношения и пропорций, а так же решения задачи о золотом сечении. Он применил золотое сечение при построении правильных пяти- и десятиугольников и при построении правильных двенадцати- и двадцати угольников. После Евклида исследованием золотого сечения занимались Папп и другие.

В 15-16 веках снова получился большой интерес к золотому сечению в связи с тем, что оно довольно часто использовалось в искусстве и архитектуре. Термин золотое сечение ввёл Леонардо да Винчи. Л. Пачом посвятил этой пропорциональности книгу «Божественная пропорция».

Дан отрезок АВ (для удобства рассуждений будем считать, что его длина равна единице). Найти на нём такую точку Х, чтобы

ВХ АВ. В риторической форме: разделить данный отрезок на две части, чтобы меньшая относилась к большей, как большая ко всему отрезку. О том, что эта задача действительно древняя, свидетельствует тот факт, что, она рассмотрена ещё Евклидом в «Началах» и сформулировано чисто геометрически:

«Данный отрезок рассечь так, чтобы прямоугольник, заключённый между целым и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке».

Существует много решений задачи. Одно из самых простых и наглядных предложил математик Клавдий Птолемей, имя которого хорошо известно именно он разработал то учение о строении Солнечной системы, которым пользовались астрономы и мореплаватели до Николая Коперника.

Итак, решаем задачу, следуя, в основном Птолемею. Пусть надо построить золотое сечение отрезка АВ. С центром в точке В радиусом АВ проводим полуокружность АЕС. Разделим радиус ВС пополам, получим точку Д. Проведём дугу окружности с центром в точке Д радиусом ДЕ до пересечения с АВ. Точка пересечения х является искомая. Обозначим ВХ=Х, тогда АХ=1-х (так как АВ приняли за 1) и по условию задачи (1-х):х=х:1

А С ввввввв

Отсюда: Х2=1-х или х2=х-1=0. В

-1+- √1+4-1 +- √5-1-√2 -1+√5 х=2 2 ;Х1= 2 , Х2= 2.

Из двухзначного корня возьмём:

-1+√5-1+√5

Х2= 22, так как другое значение оказалось отрицательным. √5

Если АВ=1, ВД= 0,5 , то по теореме, Пифагора, ДЕ= 2. Значит, и

√5 √5-1+√5

ДХ= 2, и, действительно, ВХ= 2 0,5 2. Теперь остаётся

√5-1 выразить число 2 в виде десятичной дроби – ведь без этого нельзя говорить о практическом решении задачи.

Разложим 2 в цепную дробь, действуя, точно также как мы делали, извлекая корень квадратный из двух и трёх. Сначала заменили, что √5-1 √5-1 1

21, значит 2 = 0+ a. Отсюда

22•(√5+1) √5+1 √5-111 a= √5-1 =5-1 = 2 = 1+ 2 = 1+ a = 1+ 1

√5-1 1+a.

Значит, окончательно:2 = 0+ 1

За исключением первого нуля полученная нами цепная дробь состоит из одних единиц! Составим для этой дроби такую же таблицу, как для разложения квадратного корня из двух.

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 Разложение2 в цепную дробь.

Особенности этой таблицы в том, что, так как умножить надо на единицу, то фактически для получения следующего числителя достаточно сложить два предыдущих. То же самое получается и со знаменателем. Более того, в знаменателе повторяются те же числа, что и в числителе, только с «опозданием» на один шаг. Можно сказать, что те и другие образуются из такой последовательности чисел: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 каждое число в этом ряду получается как сумма двух чисел, ему предшествующих. Сами же числа есть числитель и знаменатель подходящих дробей, дают приближение к корню уравнения х2+х-1=0.

Посмотрим на эти дроби с особой стороны. Их геометрический смысл понятен – это отношение определяемой пропорции –

АХ:ВХ=ВХ:АВ.

ПРИМЕНЕНИЕ ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ.

Эта пропорция имеет довольно интересное применение в искусстве, в частности в живописи и архитектуре. Считая, например, что рост человека принять за АВ, то точка х, у правильно сложенного человека совпадает с талией. Проверьте, получается ли у вас это совпадение. Только не расстраивайтесь, если окажется, что вы не соответствуете средневековому эталону красоты, наверное, не в этом счастье.

Считается так же, что если необходимо разбить на две части цветочный газон (например, одну полсу засеять травой, а другую цветами), то не следует делать эти полосы равными по ширине, красивее будет, если взять их в отношении 5:8 или 8:13, тоесть воспользоваться рассматриваемой пропорцией. Иногда в этом отношении размечают снизу вверх стены помещения, желая покрасить одну часть стены одним цветом, а вторую другим. Конечно, не только золотым сечением определяют пропорции, доставляющие удовлетворение человеческому взору, то всё же оно довольно распространённо.

Очень любопытно и такое примечание гармоничного движения отрезка. Пусть ВК – сторона правильно вписанного в круг десятиугольника, ВА и КА радиусы этого круга. Легко сообразить, что <ВАК= 360,<АВК=<ВКА=720. Если провести биссектрису угла АВК, то окажется, что ΔХВК ∞ ΔКАВ по двум углам. Но если так, то ВА:ВХ=КХ:ВХ. Но так как КХ=КВ=ВХ, то ВХ:АХ=АХ:АВ, то есть радиус разделился на две части так, что меньшая относится к большей, как большая ко всему радиусу.

Из этого следует, что для построения правильного вписанного в круг десятиугольника необходимо разделить радиус круга по правилу золотого сечения. Как это сделать при помощи циркуля и линейки, надо действовать так, как советовал Птолемей.

Золотое сечение может пригодиться при практическом делении окружности на 5 частей. Например, вам необходимо на школьном дворе разбить клумбу в виде пятиконечной звезды, Постройте сначала круг – это сделать не трудно с помощью колышка, верёвки и лопаты. Разделите теперь длину радиуса на 21 часть и постройте хорды, длина каждой из которых составляет 13 таких частей. Окружность разобьётся на 10 равных частей. Всё остальное понятно. Можно сделать менее точнее, но вполне удовлетворительное построение, разделить радиус не на 21, а на 13 или даже на 8 частей. Конечно, можно сказать, что проще воспользоваться приближённым делением окружности на 5 частей, чем столь тонким точным методом. Да, но ведь вовсе не обязательно «привязать» себя к какому–нибудь методу решения задачи – важнее знать многие способы и уметь выбрать из них тот, который удобнее всего в конкретном случае

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определённых соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях. Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры – храм Парфенон в Афинах имеет отношение высоты здания к его длине равное 0,618.

В современной архитектуре золотое сечение трудно найти, так как архитекторы не преследуют цели красоты и гармонии, важно, чтобы здание возвели быстро из готовых конструкций, затратив как можно больше средств.