Особые приемы устного умножения чисел

Греки и римляне производили вычисления с помощью специальной счетной доски – абака. Доска абака была разделена на полоски. Каждая полоска назначалась для откладывания тех или иных разрядов чисел: в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску – сколько в нем десятков, в третью – сколько сотен, и так далее.

Так как у римлян камешек называли калькулюс (сравните с русским словом "галька"), то счет на абаке получил название калькуляция. И сейчас подсчет расходов называют калькуляцией, а человека, выполняющего этот подсчет – калькулятором. Но после того как два десятка лет тому назад были сделаны маленькие приборы, выполняющие за считанные секунды сложные расчеты, название "калькулятор" перешло к ним.

Один и тот же камешек на абаке мог означать и единицы, и десятки, и сотни, и тысячи – все дело лишь в том, на какой полоске он лежал. Чаще всего абаком пользовались для денежных расчетов. В Древней Греции бытовала шутка: "Придворный похож на камешек для абака: захочет счетчик, цена ему будет целый талант, а захочет – только хальк".

Наши счеты представляют собой также абак, в котором место полосок занимают проволоки для единиц, десятков и т. д. А у китайцев на каждой проволоке не по десять шариков, как в наших счетах, а по семь. Последние два шарика отделены от первых, и каждый из них обозначает пять. Когда при расчетах набирается пять шариков, вместо них откладывают один шарик второго отделения счетов. Такое устройство китайских счетов уменьшает необходимое число шариков.

Счет на абаке сменил более древний счет на пальцах. Древние египтяне полагали, что в загробном мире душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. А в одной из древнегреческих комедий герой говорит, что предпочитает вычислять причитающиеся с него налоги по-старинному, на пальцах. Вероятно, счет на абаке казался ему слишком трудным.

Приверженцы старого метода стали его совершенствовать. Они научились даже умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках. К числу вытянутых пальцев, умноженному на 10, добавлялось полученное произведение.

В дальнейшем пальцевой счет был усовершенствован, и с помощью пальцев научились показывать числа до 10 000. А китайские купцы торговались, взяв друг друга за руки и указывая цену нажатием на определенные суставы пальцев.

Альберт Эйнштейн сказал: «Мы в неоплатном долгу перед древними индийцами за то, что они научили нас считать. Без них мы не смогли бы сделать и мало-мальски значимого научного открытия». Веды заложили основы всех разделов современной математики—от арифметики до тригонометрии и интегрального исчисления. Даже использование нуля для обозначения порядков чисел, десятичная система счисления и начертание «арабских» цифр (1, 2, 3) заимствованы из Вед. Пользуясь изящными приемами устного счета, люди ведических времен с легкостью производили сложнейшие вычисления в уме. А знаменитая теорема Пифагора была доказана в ведических текстах пятью простыми способами задолго до громоздких построений Евклида.

Индусский способ письма был перенесен в Европу арабами. Он облегчил производство письменных вычислений. С XII в. , когда в Европу вторично пришла индусская или арабская система записи чисел, устными вычислениями стали пользоваться реже, а механика письменных вычислений стала развиваться и совершенствоваться. Однако и сегодня устные вычисления имеют большое значение.

ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ УСТНОГО УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ

2. 1. Общие приемы устного счета могут быть применены к любым числам. Они вытекают из десятичного состава числа и основаны на применении законов и свойств арифметических действий.

Cвойства сложения и вычитания Cвойства умножения и деления

1. a + b = b + a 1. a ( b = b ( a

2. (a + b) + ñ = a + (b + ñ) 2. (a ( b) ( ñ = a ( (b ( ñ)

3. (a + b) – ñ = (a – c) + b = a + (b – c) 3. (a ( b) : ñ = (a : c) ( b = a ( (b : c)

4. a – (b + c) = a – b – c 4. a : (b ( c) = a : b : c

5. (a + b) – (c + m) = (a – c) + (b – m)= 5. (a ( b) : (c ( m) = (a : c) ( (b : m) =

= (a – m) + (b – c) = (a : m) ( (b : c)

6. a – b = (a + c) – (b + c) 6. a : b = (a ( c) : (b ( c)

7. a – b = (a – c) – (b – c) 7. a : b = (a : c) : (b : c)

Свойства сложения и вычитания относительно умножения и деления

8. a ( (b + c) = ab + ac a ( (b – c) = ab – ac

10. (b + c) : a = b : a + c : a

11. (b – c) : a = b : a – c : a

Примеры использования:

1. 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 9 = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) = 30.

2. 628 – 436 = 628 – (400 + 30 + 6) = 628 – 400 – 30 – 6 = ((628 – 400 ) – 6 ) – 30 =

= (228 – 6 ) – 30 = 222 – 30 = 222 + 8 – 8 – 30 = 230 – 30 – 8 = 200 – 8 = 192.

3. 879 – 527 = (800 – 500) + (79 – 27) = 300 + 52 = 52.

4. 4 ( 8 ( 5 = ( 4 ( 5 ) ( 8 = 20 ( 8 = 160.

5. 113000 : 125 = (113 ( 1000) : 125 = 113 ( (1000 : 125) = 113 ( 8 = 100 ( 8 + 10 ( 8 + 3 ( 8 = 800 + 80 +24 = 904.

6. 526 – 475 = ( 526 – 400 ) – ( 475 – 400 ) = 126 – 75 = (126 – 25) – (75 – 25) = 101 – 50 = 51.

2. 2. Но кроме общих приемов устного счета, имеются особые приемы, которые применяются к некоторым числам и некоторым действиям.

2. 2. 1. Прием умножения на 5, 50 и 500.

Пусть нам необходимо умножить 24 на 5. Можно умножить 24 не на 5, а на 10. От увеличения одного из сомножителей в 2 раза, произведение увеличивается в 2 раза, следовательно, для получения искомого результата необходимо полученное произведение уменьшить в два раза. Таким образом: 24*5=24*10:2=240:2=120

Но иногда, если множитель четный, выгоднее провести эти действия в другой последовательности. 24:2*10=12*10=120

Итак, чтобы устно умножить число на 5, надо его в уме разделить пополам, и приписать в конце ноль.

Умножение чисел на 50 и 500 ничем принципиально не отличается от умножения на 5, только количество нулей, приписываемое к частному, различное.

2. 2. 2. Прием умножения на 25, 250,2500

Умножение любого числа на 25

Умножаем число на 100 и делим на 4. Например: 175*25=175*100/4=4375

2. 2. 3. Прием умножения на 125

Нужно запомнить что 125 – восьмая часть тысячи или, что то же самое, 125 заключается в тысяче 8 раз.

72*125=72:8*1000=9000

128:*125=128:8*1000=16*1000=16000

2. 2. 4. Прием умножения на 15

Необходимо вычислить 34*15. Рассуждаем так: множитель 15 состоит из одного десятка и 5 единиц, а 5 это половина 10. Значит, надо 34 умножить на 10 и прибавить еще половину этого произведения:

34*15=34*10+=340+170=510

Особенно эффективен этот прием умножения на 15 четных чисел, где действия можно выполнять так:

24*15=*30=12*30=360

Однако его можно использовать и для умножения нечетных чисел:

67*15==670+335=1005

2. 2. 5. Приём умножения на 9 и 99

Рассмотрим прием умножения чисел на 9 и 99.

а) Множители 9 и 99 на единицу меньше чем 10 и 100 соответственно. Поэтому умножение числа на 9 можно выполнить так:

25*9=25*10-25*1=250-25=225

Итак, чтобы умножить число на 9, нужно умножить его на 10 и из полученного произведения вычесть данное число.

б) Умножение на 99 ничем не отличается от умножения на 9:

35*99=3500-35=3465

999*12=12*999=12*1000-12=11988

2. 2. 6. Прием умножения на 11

Умножение на 11 аналогично умножению на 9, только будем не вычитать, а прибавлять первоначальный множитель после умножения его на 10:

97*11=970+97=1067 а) Умножение двузначного числа на 11 производится еще проще. Пусть надо 54 умножить на 11. Достаточно раздвинуть числа 5 и 4, и между ними написать их сумму: 54*11=5(9)4. Такой прием умножения двузначного числа на 11 вытекает из письменного умножения:

54или72

594792и т. д.

Рассмотрение этого примера умножения показывает, что при письменном умножении на 11 промежуточные произведения подписываются одно под другим на основании правила умножения чисел, отступая влево на один знак, вследствие чего при умножении двузначного числа на 11 по краям произведения оказываются цифры множимого, а между ними их сумма. В том случае, когда эта сумма равна 10 или больше 10, набегает одна лишняя сотня, а поэтому цифру слева надо увеличить на единицу. В общем виде:

(10a+b)*11=110a+11b=100a+10a+10b+b=100a+10(a+b)+b.

Использовать прием умножения на 11 можно при умножении чисел на 22, 33,44 и т. д.

13*33=(13*3)*11=39*11=429,

24*22=(24*2)11=48*11=528,

9*55=(9*5)11=45*11=495 б) умножение трехзначного числа на 11 вытекает из письменного приема умножения числа на 11:

758*11=8338

Итак, чтобы умножить трехзначное число на 11, нужно написать число единиц множимого, т. е. , 8, затем к 8 прибавить стоящую перед ним слева цифру 5 (5+8=13), 3 пишем, а 1 держим в уме. Далее, 1 в уме прибавляем к 5 и складываем со следующей стоящей слева цифрой, т. е. 7 (6+7=13), 3 пишем, а 1 добавляем к 7, получаем 8.

Можно этот прием умножения распространить на 4-5значные числа и числа с большим количеством знаков. Например, 137542*11=1512962.

в) Умножение двухзначного числа на 111 также полезно запомнить:

45*111=4995

Видно, что по краям 4 и 5, а между ними – повторяется дважды их сумма.

Это следует из общего вида: (10a+b)*111=1110a+111b=1000a+100a+10a+100b+10b+b=1000a+100(a+b)+10(a+b)+b.

2. 2. 7. Прием возведения в квадрат двузначных чисел

Рассмотрим прием устного возведения в квадрат некоторых чисел.

а) Наиболее простой способ возведения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся цифрой 5. Его легко вывести.

(10a+5) – это общий вид числа, оканчивающегося на пять. Возведем это число в квадрат. (10a+5)2=100a2+100а+25=100a(a+1)+25. Значит, если надо возвести в квадрат 75, следует 7 умножить на 8 и к этому произведению дописать 25.

б) Существует общее правило возведения в квадрат двузначных чисел:

(10a+b) – общий вид любого двузначного числа. Найдем его квадрат:

(10a+b)2=10a*10a+2*10a*b+b2=10a(10a+2b)+b2=((10a+b)+b)*10a+b2. В скобках стоит сумма данного числа с его единицами. Эту сумму необходимо умножить на десятки данного числа и прибавить к ним квадрат единиц данного числа.

472=(47+7)*40+72=2160+49=2209 в) Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 25

Число, оканчивающееся на 25, можно представить в виде (100а+25). Возведем его в квадрат (100а+25)2=10000а2+5000а+625=10000(а2+а/2)+625 г) Возведение в квадрат двузначных чисел, начинающихся на 5

(50+b)2=2500+100b+b2=100(b+25)+b2.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, начинающееся на 5, необходимо сложить его единицы с числом 25 и приписать квадрат его единиц.

2. 2. 8. Общий прием извлечения квадратного корня а)Для устного извлечения квадратного корня нужно знать квадраты чисел от 1 до 25. Устное извлечение квадратного корня основывается на сравнении подкоренного числа с квадратом числа, оканчивающегося цифрой 0 или 5, и на приемах возведения чисел в квадрат.

Видим 56<59<64, следовательно, 75<√5929 < 80, число, квадрат которого оканчивается цифрой 9, может оканчиваться только цифрами 3 или 7.

Так как √ 5929 > 75, следовательно, √ 5929 = 77 б)Извлечение квадратного корня из чисел до 15625

Если число меньше 5625, то корень из этого числа < 75, достаточно из данного числа выделить квадрат числа, определяемый по двум последним числам подкоренного числа, и к оставшемуся числу сотен прибавить 25.

Примеры: √ 1444 = 13+25 = 38, выделили 144 и к 13 прибавили 25.

√ 4356 = 41+25 = 66, на 56 оканчивается точный квадрат 256, остается 41 количество сотен и прибавляем 25.

Если подкоренное число больше 5625 и меньше 15625, то из данного числа выделяем квадрат некоторого числа, меньшего 25, и к оставшемуся числу сотен прибавляем квадратный корень из выделенного числа, если подкоренное число меньше 100*100, или из оставшегося числа сотен вычитаем квадратный корень из выделенного числа, если подкоренное число больше 100*100.

Примеры:

√ 8649 = 86+7 = 93, выделили 49 = 7*7 и прибавили 7 к 86.

√ 11664 = 116-8 = 108, 64 = 8*8,

√ 5929 = 54+23 = 77, 529 = 23*23,

√ 13924 = 136-18 = 118, 324 = 18*18.

2. 2. 9 Использование формул сокращенного умножения для устного счета.

Известные из алгебры формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разности, произведение суммы двух чисел на их разность в ряде случаев могут быть полезны для устных вычислений.

722=(70+2)2 =4900+280+4=5184

592=(60-1)2=3600-120+1=3841

47*53=(50-3)(50+3)=2500-9=2491

Из этих примеров видно, что особенно эффективна формула разности квадратов. Правда, она применима в случаях умножения чисел, отличающихся от какого- либо целого числа десятков (сотен) на одно и тоже число в ту или другую сторону.

В рассматриваемом примере 47 на 3 меньше 50, а 53 на 3 больше 50. Эту формулу можно использовать в обратном порядке для нахождения разности квадратов двух чисел: 11282-11272=(1128+1127)*(1128-1127)=2255*1=2255

2. 2. 10. Индусский способ умножения чисел

Возьмем два двухзначных числа, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц обоих сомножителей равно 10. Например, числа 72 и 78. В общем виде эти числа можно записать так: (10a+b) и (10a+c), где b+c=10.

Перемножим эти числа:

(10a+b)(10a+c)=100a2+10ab+10ac+bc=100a2+10a(b+c)+bc=100a2+10a*10+bc=

=100a(a+1)+bc

Отсюда ясно виден приём умножения двузначных чисел: надо умножить число десятков множителя на число, большее на единицу. Это будут сотни ответа. После этого приписать произведение, полученное от умножения единиц обоих множителей: 100(7*8)+2*8=5616

ОСОБЫЕ ПРИЕМЫ УСТНОГО ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ.

3. 1 Прием деления на 5,50,25,125

Из рассмотренных выше приемов устного умножения на 5,50,25,125 и т. д. вытекают приемы устного деления на эти же числа.

а) Пусть нам необходимо разделить число 5740 на 5. Можно разделить по разрядам. Но проще можно выполнить деление следующим образом:

5740:5=5740:10*2=574*2=1148

Деление числа на 50 аналогично, только делить необходимо не на 10, а на 100:

37400:50=37400:100*2=374*2=748 б) Умножение (деление) на 5, 50, 500.

Если число четное, то в уме делим (умножаем) на 2, а потом умножаем (делим) на 10(0,00).

Если число нечетное, то сначала умножаем (делим) на 10(0,00), а потом делим (умножаем) на 2. (5-половина 10) в) Деление чисел на 25 и 250 сводится к делению их на 100 или 1000, а затем умножению на 4.

5400:25=5400:100*4=54*4=216

4725:25=4725:100*4=47,25*4=(47+0,25)*4=188+1=189

52200/250=52200/1000*4=52,2*4=208,8 г) Пусть надо разделить 56000 на 125. Это деление выполняется так:

56000:125=56000:1000*8=56*8=448

Можно рассуждать и по-другому: в тысяче 125 заключается 8 раз, а в 56 тысячах 125 будет заключаться 8*56 или 56*8=448 раз.

3. 2 Признаки делимости

В ряде случаев требуется ответить на вопрос, делится ли одно число на другое, не производя самого деления. Пусть дано число N= bn10n-1 + bn-110n-2 + + b3102 + b210 + b1. Требуется определить условие делимости данного числа на какое-нибудь другое число.

Разделим степени числа десять 10; 102; 103; 10n-1 на данное число B.

Соответствующие частные и остатки обозначим через q1; q2; qn-1; r1; r2 rn-1

Тогда 10 = Bq1 + r1

102 = Bq2 + r2

103 = Bq3 + r3

10n-1 = Bqn-1 + rn-1

Следовательно

N=bn(Bqn-1 + rn-1 ) + +b3(Bq2 + r2) + b2(Bq1 + r1) + b1 или

N=bnBqn-1 + +b2Bq1 + bnrn-1 + +b2r1 + b1

Обозначим:

(bnqn-1 + b2q1) * B = C bnrn-1 + +b2r1 + b1 = R

Тогда N = C + R (R = N – C).

Но C кратно B. Отсюда следует, что если N делится на B, то и R разделится на B. Если же число R не делится на B, то и данное число N не разделится на B. Итак, для того чтобы целое число разделилось бы на данное число, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений цифр числа на остатки, полученные от деления соответствующих степеней 10 на данное число, делилась на это число.

3. 2. 1. Признак делимости на 2.

В данном случае B=2. Соответствующие остатки будут: r1 = 0, r2 =0, , rn-1 = 0.

Следовательно, R1 = b1, т. е. , чтобы число разделилось на 2, необходимо, чтобы последняя цифра делилась на 2.

3. 2. 2. Признак делимости на 3.

В данном случае B=3. Остатки от деления степеней 10 на 3 будут r1 = 1, r2 =1, , rn-1 = 1

Следовательно,

R=a1 + a2 + + an, т. е. чтобы число разделилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифра числа делилась на 3.

3. 2. 3. Признак делимости на 4.

В данном случае остатки от деления степеней 10 на 4 будут: r1 = 2, r2 =0, rn-1 = 0.

Следовательно, R= b1 + 2b2, т. е. чтобы число делилось на 4, необходимо и достаточно чтобы сумма цифр единиц и удвоенного числа десятков делилась на 4. Преобразуем число R. Прибавим к R число 8b2. Получим:

R1 = R + 8b2 = b1 + 2b2 + 8b2 = 10b2 + b1 =.

Если R делится на 4, то и R1 разделится на 4. Обратное утверждение также справедливо. Но R1 есть число, изображенное двумя последними цифрами числа R. Следовательно, чтобы число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы число, изображенное двумя последними цифрами данного число, делилось на 4.

3. 2. 4. Признак делимости на 5.

В данном случае B=5. Остатки от деления степеней 10 на 5 будут равны 0,т. е.

r1 = 0, r2 =0, rn-1 = 0

Следовательно, R=b1. Таким образом, чтобы число делилось на 5 необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра делилась на 5, т. е. была бы 0 или 5.

3. 2. 5. Признак делимости на 9.

В данном случае B=9. Представим степени числа 10 в несколько ином виде:

10=10 – 1 + 1 = 9 + 1

102= 100 – 1 + 1 = 99 + 1

103 = 1000 – 1 + 1 = 999 +1

10n-1= – 1 + 1 = + 1

Следовательно, остатки от деления степеней 10 на 9 будут: r1 = 1, r2 =1, rn-1 = 1.

Тогда R= a1 + a2 + a3 + +an, т. е. чтобы данное число разделилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилось на 9.

3. 2. 6. Общий признак делимости на 7, 11, 13.

Любое число N можно представить в виде:

N=A*1000 + R, где R – число, выраженное тремя последними цифрами, а A - число, выраженное всеми остальными цифрами данного числа. Заметим, что число 1001 делится и на 7, и на 11, и на 13. Преобразуем выражение для числа N:

N=A*1001-A+R=A*1001 – (A-R).

Поэтому, если разность A-R делится на 7, или на 11, или на 13, то и N разделится на 7, 11, или 13.

Таким образом, если разность, полученная от вычитания числа, выраженного тремя последними цифрами данного числа, из числа, выраженного всеми остальными цифрами (или наоборот), равна 0 или делится на 7, или на 11, или на 13, то и данное число разделится на 7, или на 11, или на 13.

3. 2. 7. Признак делимости на 11.

Целое число можно представить в виде суммы десятков и единиц:

N=10a + b или N = 10a + b +a – a = 11a – (a – b).

Отсюда видно, что для делимости N на 11 необходимо и достаточно, чтобы разность (а–b) делилось на 11, т. е. чтобы разность между числом десятков данного числа и числом его единиц разделилась на 11.

3. 2. 8. Признак делимости на 19.

Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом его единиц делится на 19.

Доказательство. Всякое число N можно представить в виде N=10a+b.

Надо показать, что число N кратно 19 тогда и только, тогда когда N* = b+2a кратно 19. Для этого умножим N* на 10 и из этого произведения вычтем N:

10N* – N= 10(a + 2b) – (10a + b) = 19b.

Отсюда видно, что если N* кратно 19, то и N=10N* – 19b делится без остатка на 19. Верно и обратное утверждение: если N делится без остатка на 19, то 10N* = N + 19b кратно 19, а тогда, очевидно, и N* делится без остатка на 19.

ГАЛЕРЕЯ ДИКОВИННЫХ ЧИСЕЛ

4. 1. Число 365

Многим известна картина Н. П. Богданова - Бельского "Устный счет", на которой изображен доктор математических наук С. А. Рачинский со своими учениками. На доске записан пример для устного счета:

(102 +112 +122 +132 +142) / 365.

Число 365 замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.

Другая особенность числа 365 не связана с календарем:

365 = 10*10+ 11*11 + 12*12, т. е. 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10:

102+112+122 = 100+121+144 = 365.

Но и это еще не все, этому же числу равна сумма квадратов двух следующих чисел 132+142 = 169+196 = 365.

4. 2. Число Шехерезады

Число 1 001- прославленное число Шехерезады. Вероятно, никто и не подозревал, что и в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода «чудо», которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками.

Чем же замечательно число 1 001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых «простых» чисел. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1 001 = 7*11*13, - здесь нет еще ничего волшебного.

Замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды. Например:

873*1 001 = 873 873,

207*1 001 = 207 207, и т. д.

4. 3. Число 10 101

После сказанного о числе 1 001 уже не будет неожиданностью увидеть в нашей галерее число 10 101. Оно, как и число 1 001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных чисел, а двузначных. Каждое двузначное число, умноженное на 10 101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например,

73*10 101 = 737 373,

21*10 101 = 212 121.

Я. И. Перельман предлагает выучить расширенную таблицу умножения, при помощи которой можно значительно ускорить процесс вычисления:

1k1 (mod 10) 1k=1 всегда заканчивается цифрой 1

24k6 (mod 10) 24k = (24 )k = 16 k всегда заканчивается цифрой 6

24k+12 (mod 10) 24k+1 =24k *2= (24 )k *2= 16 k *2 всегда заканчивается цифрой 2

24k+24 (mod 10) 24k+2 =24k *4= (24 )k *4= 16 k *4 всегда заканчивается цифрой 4

24k+38 (mod 10) 24k+3 =24k *8= (24 )k *8= 16 k *8 всегда заканчивается цифрой 8

34k1 (mod 10) 34k =(34 )k =(81) k всегда заканчивается цифрой 1

34k+13 (mod 10) 34k+1 =34k *3=(34 )k *3=(81) k *3 всегда заканчивается цифрой 3

34k+29 (mod 10) 34k+2 =34k *9=(34 )k *9=(81) k *9 всегда заканчивается цифрой 9

34k+37 (mod 10) 34k+3 =34k *27 =34k *27=(34 )k *27=(81) k *27 всегда заканчивается цифрой 7

42k6 (mod 10) 42k = (42)k =16 k

42k+14 (mod 10) 42k+1 =( 42 )k+1 =( 16 )k *4 всегда заканчивается цифрой 4

5k5 (mod 10) 5k всегда заканчивается цифрой 5

6k 6 (mod 10) 6k всегда заканчивается цифрой 6

74k1 (mod 10) 74k =((492)к всегда заканчивается цифрой 1

74k+1 7 (mod 10) 74k+1 = 74k *7=((492)к *7 всегда заканчивается цифрой 7

74k+2 9 (mod 10) 74k+2 =74k *49=((492)к *49 всегда заканчивается цифрой 9

74k+33 (mod 10) 74k+3 =74k *49*7=((492)к *49*7 всегда заканчивается цифрой 3

84k6 (mod 10) 84k = (84 )k =(642)к всегда заканчивается цифрой 6

84k+18 (mod 10) 84k+1 =84k *8= (84 )k *8=(642)к *8 всегда заканчивается цифрой 8

84k+24 (mod 10) 84k+2 =84k *64= (84 )k *64=(642)к *64 всегда заканчивается цифрой 4

84k+32 (mod 10) 84k+3 =84k *64*8= (84 )k *64*8=(642)к *64*8 всегда заканчивается цифрой 2

92k 1 (mod 10) 92k = (92 )k =81 k всегда заканчивается цифрой 1

92k+19 (mod 10) 92k+1 =92k *9= (92 )k *9=81 k *9 всегда заканчивается цифрой 9

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ТЕСТИРОВАНИЯ

6. 1. Олимпиадные задачи

Камни лежат в трёх кучках: в одной - 51 камень, в другой - 49 камней, а в третьей - 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Решение

Заметим, что если в некоторый момент количество камней в каждой кучке делится на нечётное число a, то и во всех получаемых разрешёнными действиями кучках количество камней будет делиться на a. После первого хода можно получить три варианта размещения камней: кучки из 100 камней и 5 камней (общий делитель 5), из 56 камней и 49 камней (общий делитель 7), из 51 камня и 54 камней (общий делитель 3).

Ответ: нет, нельзя.

По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.

Решение

Выберем любую из получившихся частей. Рассмотрим сумму a1+a2+. +an, где ai - количество сторон i-й грани.

Каждое ребро многогранника, по которому ломаная не проходит, посчитано в этой сумме дважды и поэтому чётность суммы не зависит от числа таких рёбер. Каждое ребро, через которое проходит ломаная, входит в сумму ровно один раз. Таких рёбер 2003, поэтому вся сумма нечётна.

Если бы количество граней с нечётным числом сторон было чётно, то рассмотренная сумма также была бы чётна. Значит, это количество нечётно.

Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

Решение

Данное число не делится на 4, поскольку число, составленное из двух его последних цифр — 34 — не делится на 4. А, значит, указанное в условии число не делится и на 24.

Делимостью на 3 воспользоваться не удастся, т. к. данное число делится на 3.

Кассир меняет любые две монеты на любые три по вашему выбору, а любые три — на любые две. Сможете ли вы обменять у него 100 монет достоинством 1 рубль на 100 монет достоинством 1 форинт, отдав ему при обмене ровно 2001 монету?

Решение

Если Петя меняет две монеты на три, то количество купюр у него увеличивается на одну. Пусть он произвёл N таких обменов. Отдал кассиру 2N купюр. Чтобы сохранить общее число монет, Петя вынужден совершить столько же обменов трёх купюр на две. При этом он отдаст кассиру ещё 3N монет. Всего он отдаст, таким образом, 2N + 3N = 5N монет. Но 2001 не делится на 5.

Ответ: нет, не может.

Обозначим через S(x) сумму цифр натурального числа x. Решить уравнения: а) x + S(x) + S(S(x)) = 1993; б)* x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 1993.

Решение а) Согласно признаку делимости на 3, числа x и S(x) дают одинаковые остатки от деления на 3. Такой же остаток будет и у числа S(S(x)). Значит, сумма x + S(x) + S(S(x)) делится на 3 (так как это сумма трех чисел с одинаковыми остатками от деления на 3). Однако, 1993 на 3 не делится, поэтому решений нет.

б) Ясно, что x < 1993. Нетрудно видеть, что среди чисел, меньших 1993, наибольшую сумму цифр 27 имеют числа 1989 и 999. Значит, S(x)27. Далее, S(S(x))S(19) = 10. Наконец, S(S(S(x)))9. Из уравнения следует, что x = 1993 - S(x) - S(S(x)) - S(S(S(x)))

1993 - 27 - 10 - 9 = 1947.

Аналогично пункту а, все числа x, S(x), S(S(x)), S(S(S(x))) дают одинаковые остатки при делении на 9, а 1993 дает остаток 4, поэтому число x должно давать остаток 1 (см. комментарий). Среди чисел от 1947 до 1993 остаток 1 при делении на 9 дают 1954, 1963, 1972, 1981, 1990. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходит только 1963.

Мы использовали такое утверждение: если сумма четырех чисел с одинаковым остатком от деления на 9 дает при делении на 9 остаток 4, то каждое из этих чисел дает остаток 1. Это можно строго доказать либо перебором, либо так: обозначим искомый остаток через x. Тогда 4x дает остаток 4 при делении на 9. То есть 4(x - 1) = 4x - 4 делится на 9, и, значит, x - 1 делится на 9. То есть x = 1.

6. 2. Примеры из тестов

Формулы сокращенного умножения

Значение выражения 999999 равно:

1) 99998000001 2) 98989898981 3) 99999900001 4) 999998000001

Решение

999999=999999-1+1=(999999+1)(999999-1)+1= 1000000*999998+1= =999998000001

Ответ 1) 99998000001

Вычислить 128-126*127*128*128*129*130+2

Решение

Обозначим a=128, тогда

126*127*128*128*129*130 = (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a(a-1)(a-4)=

=a(a-5a+4)=a-5a+4a=128- 5*128+4*128=128-5*2+2

Значит, 128-126*127*128*128*129*130+2=128- (128-5*2+2)+2=

=128- 128+5*2-2+2=5*2

Ответ 5*2

Значение выражения 19871987•198919891989 - 19891989•198719871987 равно: а) 1234567890, б) 0, в) 19910, г) 9876543210

Решение.

19871987•198919891989 - 19891989•198719871987 = 1987•1989(10001•100010001 - 10001•100010001) = 0

Ответ: б) 0

Признаки делимости

Во всех числах вида , делящихся на 36, произведение цифр XY равно : 1) 16 или 4, 2) 18 или 6, 3) 36 или 2, 4) 30 или 8

Решение

36=9*4.

Рассмотрим признаки делимости на 4 и 9.

а) Признак делимости на 4:

=> y=2 или y=6 б) Признак делимости на 9:

6+4+x+5+y=(15+x+y), следовательно

1) y=2: (17+x) => x=1 => xy=2

2) y=6: (21+x) => x=6 => xy=36

Ответ: 3) 2 или 36

Наибольшая цифра Х во всех пятизначных числах ,делящихся на 36, равна: а) 4, б) 6, в) 7, г) 8

Решение

36=9*4.

Рассмотрим признаки делимости на 4 и 9.

а) Признак делимости на 4:

=> y=2 или y=6 б) Признак делимости на 9:

7+2+x+5+y=(14+x+y), следовательно,

1) y=2: (16+x) => x=2

2) y=6: (20+x) => x=7

Т. к. 7>2, х=7

Ответ: в) 7

Число А= (выписываются подряд все двузначные числа от 19 до 8Х) делится на 396, если Х равно : а) 8, б) 6, в) 0, г) таких нет.

Решение. 396 = 4•9•11. Значит, нужно выбрать Х, чтобы число А делилось на 4, 9 и 11. Число делится на 4, если Х = 8, Х = 4 или Х = 0. Таким образом, б) не является решением. Сумма цифр числа А равна 558 + Х. Это число делится на 9, если Х = 0. Следовательно, а) тоже не подходит. Сумма цифр числа А, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, и равна 279. Следовательно, разность этих сумм равна 0, значит, число делится на 11. Значит, условию задачи удовлетворяет в).

Ответ: в) 0

При любом натуральном n на 3 не делится число: а) n(2n – 1)(2n + 1), б) n(2n2 + 1), в) n2 +3n, г) n3 + 11n

Ответ: в) n2 +3n

Арифметика остатков

Последняя цифра числа 137100 равна а) 1, б) 9, в) 3, г) 4

Решение. Имеем: 1377 (mod 10), 137100 7100(mod 10 ) = 725•4 1 (mod 10).

Ответ: а) 1.

Найдите последнюю цифру каждого из следующих чисел: 77, 7777, 2100, 31999, 19100, 19991999.

Решение.

77 = 7 4•1+3 3 (mod 10),

7777777 = 7 4•19+1 7 (mod 10),

2100 = 2 4•25 6 (mod 10),

31999 = 3 4•499+3 7 (mod 10),

19100 91001 (mod 10).

19991999919999 (mod 10).

Остаток от деления на 4 числа 11•13•15•17•19 равен а)1, б)3, в)2, г) 0

Решение.

11•13•15•17•19 3•1•3•1•3 (mod 4)3 (mod 4).

Ответ. б) 3

Известно, что натуральное число а при делении на 5 дает остаток 2, а при делении на 3 – остаток 1. Остаток от деления числа а на 15 равен а)5, б)6, в)7, г)10

Решение. Для числа а справедливы записи: а= 5к +2, а = 3р +1. Умножим первое равенство на 3, а второе на 5. Получим 3а=15к +6, 5а = 15р +5. В этих равенствах есть 15. Первое равенство умножим на 2, второе на -1 и сложим обе части равенств. Получим: а = 2*15к + 12 + 5р -5 = 15(2к – р) +7. Отсюда следует, что остаток равен 7.

Ответ: в) 7

Остаток от деления числа 351724*937544 + 474515*345823 на 3 равен а) 0, б) 1, в) 2, г) -1

Решение.

3517241(mod 3), 9375442(mod 3), 4745152(mod 3), 3458231(mod 3)

Значит, (1*2 +2*1=4) 1(mod 3). Следовательно, остаток равен 1.

Ответ. б) 1.

Четные числа a и b , не кратные 6, при делении на 6 дают разные остатки. Остаток от деления суммы a + b при делении на 6 равен: а) 0, б) 2, в) 4, г) 5

Решение.

Т. к. четное число при делении 6 может давать только два остатка : 2 и 4 , то пусть числа равны выражениям a = 6x + 2, b = 6 y + 4. тогда a+ b=6x + 2+6 y + 4=6x + 6 y + 6 = 6 (x + y + 1), т. е. сумма нацело делится на 6. Остаток 0.

Ответ: а) 0

Четное число при делении на 3 дает остаток 1. Остаток от деления этого числа на 6 равен: а) 0, б) 2, в) 4, г) 1

Решение.

Т. к. четное число при делении на 3 дает остаток 1, то его можно записать в виде: 2n = 3x + 1. Тогда 4n = 6 x + 2. Если удвоенное число при делении на 6 дает остаток 2, значит, само число при делении на 6 даст остаток 4.

Ответ: в) 4

Нечетные числа a и b дают разные остатки при делении на 4. Остаток от деления а2 - b2 на 8 равен: а) 6, б) 4, в) 2, г) 0

Решение.

Т. к. нечетные числа a и b при делении на 4 дают разные остатки, то эти числа можно записать в виде a = 4х +1, b = 4у +3. Значит, а2 - b2 = (4х +1) 2 - (4у +3). 2 =

(4х +1- 4у -3) (4х +1+ 4у +3) = (4х - 4у -2) (4х + 4у +4) = 4(4х - 4у -2) (х + у +1). Это выражение делится нацело на 4. Остаток 0.

Ответ: г) 0

Числа 2146, 1991, 1805 дают равные остатки при делении на натуральное число n, n>1.

Тогда сумма цифр числа n равна: а) 4, б) 8, в) 11, г) 7

Решение.

Пусть 2146 = xn + a,

1991 = yn + a,

1805 = zn + a.

Следовательно, 2146 – 1991 = 155, 155 = (x – y ) n, 155 = 5•31, значит, n = 31 или n = 5.

1991 – 1805 = 186, 186 = (y – z ) n, 186 = 2•3•31, значит, n = 31.

Сумма цифр этого числа 3 + 1 = 4

Ответ: а) 4

Все числа вида , n>2, оканчиваются цифрой: а) 1, б) 3, в) 7, г) 9

Решение.

оканчивается цифрой 1.

Ответ: а) 1

Остаток от деления числа 1989•1990•1991 + 19923 на 7 равен: а) 0, б) 1, в) 5, г) 6

Решение.

19891 (mod 7),

19901 (mod 7),

19911 (mod 7),

19921 (mod 7).

Значит, (1989•1990•1991 + 19923) (1•2•3 + 4•16) (mod 7) (6 +64) (mod 7) 0 (mod 7).

Следовательно, остаток равен 0.

Ответ: а) 0

Остаток от деления числа 9100 на 8 равен: а) 1, б) 3, в) 5, г) 7

Решение.

91 (mod 8), значит, 9100 1100 (mod 8) 1 (mod 8). Значит, остаток равен 1.

Ответ: а) 1

Количество всех натуральных делителей числа 101999, которые не являются делителями числа 101998, равно: а) 2, б) 1999, в) 2999, г) 3999.

Решение.

101999= 21999•51999

Делители: 21999•5, 21999•52, , 21999•51998. Этих делителей 1998.

51999•2, 51999•22, , 51999•21998. Этих делителей 1998.

21999•51999

Всего делителей: 1998•2 +1 = 3999.

Ответ: г) 3999

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ И ВЫВОДЫ

7. 1. Самостоятельно составленные задания для тестов

Формулы сокращенного умножения

Значение выражения 20072007•200820082008 - 20082008•200720072007 равно: а) 1234567890, б) 0, в) 19910, г) 9876543210

Решение.

20072007•200820082008 - 20082008•200720072007 = =2007•2008• (10001•100010001 - 10001•100010001) = 0

Ответ: б) 0

Признаки делимости

Во всех числах вида , делящихся на 36, произведение цифр XY равно

1) 16 или 4, 2) 18 или 6, 3) 36 или 2, 4) 30 или 8

Решение.

36=9*4. Рассмотрим признаки делимости на 4 и 9.

а) Признак делимости на 4:

=> y=2 или y=6 б) Признак делимости на 9:

9+1+x+5+y=(15+x+y), следовательно,

1) y=2: (17+x) => x=1 => xy=2

2) y=6: (21+x) => x=6 => xy=36

Ответ: 3) 2 или 36

Наибольшая цифра Х во всех пятизначных числах ,делящихся на 36, равна: а) 4, б) 6, в) 7, г) 8

Решение.

36=9*4. Рассмотрим признаки делимости на 4 и 9.

а) Признак делимости на 4:

=> y=2 или y=6 б) Признак делимости на 9:

4+5+x+5+y=(14+x+y), следовательно,

1) y=2: (16+x) => x=2

2) y=6: (20+x) => x=7

Т. к. 7>2, х=7

Ответ: в) 7

Арифметика остатков

Последняя цифра числа 2008100 равна а) 6, б) 9, в) 3, г) 4

Решение. 20088 (mod 10), 2008100 8100(mod 10 ) = 825•4 6 (mod 10).

Ответ: а) 6.

Остаток от деления на 7 числа 11•13•15•17•19 равен а)1, б) 3, в)2, г) 0

Решение.

11•13•15•17•19 4•6•1•3•5 (mod 7)24•15(mod 7) 3•1 (mod 7) 3(mod 7)

Ответ. б) 3

Остаток от деления числа 351725*937544 + 474515*345823 на 3 равен а) 0, б) 1, в) 2, г) -1

Решение.

3517252(mod 3), 9375431(mod 3), 4745141(mod 3), 3458242(mod 3)

Значит, (1*2 +2*1=4) 1(mod 3). Следовательно, остаток равен 1.

Ответ. б) 1.

Четные числа a и b , не кратные 6, при делении на 6 дают разные остатки. Остаток от деления разности a - b при делении на 6 равен: а) 0, б) 2, в) 4, г) 5

Решение.

Т. к. четное число при делении 6 может давать только два остатка : 2 и 4 , то пусть числа равны выражениям: a = 6x + 2, b = 6 y + 4. Тогда a- b=6x + 2- 6 y - 4=6x + 6 y - 2 , т. е. остаток равен 4.

Ответ: в) 4

Цифра, которой заканчивается число 20082008 , равна: а) 2, б) 8, в) 4, г) 6

Ответ. г) 6

Какой остаток от деления на 8 имеет произведение чисел 2009*2011*2013*2015? а) 1, б) 8, в) 4, г) 6

Решение.

20091 (mod 8),

20113 (mod 8),

20135 (mod 8),

20157 (mod 8),

Значит, (2009•2011•2013 •2015)(1•3•5•7) (mod 8) (105) (mod 8) 1 (mod 8).

Следовательно, остаток равен 1.

Ответ: а) 1

Числа 2146, 1991, 1805 дают равные остатки при делении на натуральное число n, n>1.

Тогда сумма цифр числа n равна: а) 16, б) 8, в) 11, г) 7

Решение.

Пусть 2476 = xn + a,

1991 = yn + a,

1797 = zn + a.

Следовательно, 2476 – 1991 = 485, 485 = (x – y ) n, 485 = 5•97, значит, n = 97 или n = 5.

1991 – 1797 = 194, 194 = (y – z ) n, 186 = 2•97, значит, n = 97.

Сумма цифр этого числа 9 + 7 = 16

Ответ: а) 16

Остаток от деления числа 2006•2007•2008 + 20083 на 7 равен: а) 0, б) 1, в) 5, г) 6

Решение.

20064 (mod 7),

20075 (mod 7),

20086 (mod 7),

Значит, (2006•2007•2008 + 20083) (4•5•6 + 63) (mod 7) (120 +216) (mod 7) 0 (mod 7).

Следовательно, остаток равен 0.

Ответ: а) 0

Остаток от деления числа 7100 на 6 равен: а) 1, б) 3, в) 5, г) 7

Решение.

71 (mod 6), значит, 7100 1100 (mod 6) 1 (mod 6). Значит, остаток равен 1.

Ответ: а) 1

Количество всех натуральных делителей числа 102008, которые не являются делителями числа 102007, равно: а) 2, б) 2008, в) 2999, г) 4015.

Решение.

102008= 22008•52008

Делители: 22008•5, 22008 • 52, , 22008 •52007. Этих делителей 2007

52008• 2, 52008 • 22, , 52008 • 22007. Этих делителей 2007.

22008•52008

Всего делителей: 2007•2 +1 = 4015.

Ответ: г) 4015

7. 2. Выводы

1. С целью расширения и углубления понятий числа рекомендуем запомнить разложение на множители чисел 1001 (число Шехерезады), 10101 и т. д.

2. Применять законы арифметических действий для эффективного выполнения заданий с числами-великанами, изучать и находить новые закономерности.

3. Активно применять в примерах признаки делимости, теоремы об остатках и другие секреты устных вычислений для облегчения процессов вычислений. Это поможет сократить время на решение заданий на уроках, в примерах на ЦТ и олимпиадах.

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

"Устный счёт!" Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Цифры сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Потому что считаем в уме!

Валентин Берестов