Моделирование текстовых задач

Работа с моделью позволяет яснее увидеть зависимости между данными и искомыми величинами и оценивать задачу в целом, продемонстрировать разные варианты решения и, сравнив их, обобщить теоретические знания.

Учебные действия по решению задачи:

- преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;

- моделирование выделенного отношения в предметной, графической, или буквенной форме;

- преобразование модели для изучения свойств отношения;

- построение системы частных задач, решаемым общим способом.

В широком смысле слова моделирование – это замена действий с реальными предметами действиями с их образами, моделями, макетами, муляжами, а также чертежами, схемами и т. п.

Л. М. Фридман объяснил смысл моделирования следующим образом: используемый в науке метод моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому; построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.

Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т.  д. , изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Классификация математических моделей

Классификация в любой области знаний чрезвычайно важна. Она позволяет обобщить накопленный опыт, упорядочить понятия предметной области. Не является исключением в этом смысле и математическое моделирование. В таблице показаны виды математических моделей по различным признакам классификации.

Признаки классификации Виды математических моделей

1. Характер отображаемых свойств объекта Структурные

Функциональные

2. Способ представления свойств объекта Аналитические

Алгоритмические

Имитационные

3. Способ получения модели Теоретические

Эмпирические

4. Особенности поведения объекта Детерминированные

Вероятностно статистические

Приведенная классификация математических моделей может быть применена по отношению к любым объектам. Мы рассмотрим особенности различных видов моделей применительно к математическим объектам – задачам.

Структурные математические модели предназначены для отображения структурных свойств объектов-задач. Например, в нашем случае скорость время расстояние

Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, предлагаемых в задаче, как жизненных ситуаций.

Аналитические математические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних.

представляет собой конструкцию, которую можно проанализировать и решить математическими средствами.

Аналитические модели являются эффективным инструментом для решения задач оптимизации процессов, протекающих в технологических системах, а также оптимизации и вычисления характеристик самих технологических систем.

Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

Имитационные математические модели – это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект). Например, это модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме

Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов и обработки их результатов методами математической статистики.

Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем, то есть дают определенные однозначные предсказания. Примеры таких моделей: формулы физических и химических законов.

Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т. е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий. Другими словами, они основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер. Примеры таких моделей: описание ожидаемых длин очередей в системах массового обслуживания

Требования, предъявляемые к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются следующие основные требования:

1. Универсальности.

2. Точности.

3. Адекватности.

4. Экономичности.

Построение математических моделей в различных сферах деятельности человека началось не так давно, но с появлением ЭВМ приобрело широкий спектр применения (химия, экономика и другое). Математическое моделирование тесно связано с компьютерным экспериментом, который незаменим в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы. » Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

В этом и состоит новизна и практическая значимость математического моделирования при решении текстовых задач.

Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели – самая трудная стадия моделирования.  На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс. В нашем случае рассматривается задача как некая жизненная ситуация. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. То есть что дано, что надо найти или условие задачи. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, заносятся в таблицу, то есть строится математическая модель.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель.  На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время. Другими словами, задача переводится на математический язык.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели.  На этом этапе выясняется, согласуются ли данные задачи со следствиями из модели в пределах определенной точности. Иначе говоря, делается вывод.

5) Модификация модели.  На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Практическая часть

Данная работа посвящена изучению возможности применения известной модели скорость-время-растояние к текстовым задачам, в которых речь не идет о движении тел, т. е. не имеющих внешнего сходства с задачами абсолютно сходных по внутренним.

Например:

Цена-количество-стоимость

Длина-ширина-площадь

Производительность-время-объем работы

Нами проведен информационный анализ и составлен тезаурус по данной теме

Мы составили достаточное количество задач, имеющих внешние различие, но сходных по внутренней модели их решения. Тем самым, пытались решить поставленную нами задачу по приобретению навыка разработки таких задач

Затем отобрали 4 задачи (выбор, количество произволен), которые апробировали в 5-6 классах (всего 132 человека. ) Результаты были занесены в таблицу №1

Вторая задача, поставленная нами, была успешно решена.

Труднее, оказалось, подобрать критерии для измерения степеней универсальности, точности, адекватности, экономичности предложенной нами модели, то есть решить третью из поставленных задач.

Тем не менее, мы смогли определить, что:

1. Универсальность нашей модели действительно характеризуется полнотой отражения в ней свойств описанных в жизненной ситуации – текстовой задаче

2. Точность нашей математической модели мы оценили степенью совпадения выходных параметров реального объекта и значения тех же параметров, рассчитанных с помощью модели

3. Адекватность исследуемой модели, это способность отражать заданные условия задачи в соответствии с полученными результатами

4. Экономичность нашей модели очевидна, так как уменьшаются затраты на реализацию вычислений, если учащиеся замечают внутреннее сходство моделей

Мы заметили, что степень универсальности, точности, адекватности, с одной стороны, и степень экономичности математической модели с другой стороны, достаточно противоречива, поэтому компромиссные решения определяются решаемой задачей

Решая задачи, поставленные в нашей работе, мы заметили, что для данной модели возможны дополнительные требования к математическим моделям: а) вычислимость («хорошие» данные, чтобы получался «хороший» ответ), б) алгоритмизированность возможность разработки соответствующего (алгоритма, программы, реализующих нашу модель, в) модульность (соответствие конструкции, структуры нашей модели, применяемое к одной теме, задаче, другим темам, задачам («цена-количество-стоимость», «длина-ширина-площадь», «длина-ширина-высота-объем»), г) наглядность, удобное восприятие модели – особенно важно для нас – учащихся начального и среднего звена

Заключение

Нами рассмотрена модель Скорость-Время-Расстояние. На ее основе разработаны разнообразные по содержанию задачи, которые решаются аналогичным способом.

Апробировано применение данной модели в 5-6 классах нашей школы.

Мы сравнили результаты решения задач в классах, где было предложено использование моделей, и в классах, где модель отсутствовала, и пришли к заключению: использование моделей значительно упрощает решение текстовых задач, экономично по времени.

Степень универсальности нашей модели подтверждается большим количеством задач, которые решаются подобным образом.

Точность нашей математической модели мы оценили степенью совпадения выходных параметров реальных объектов и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

В следующем году мы планируем продолжить изучение темы «Моделирование текстовых задач» на примере других моделей.