Математические основы красоты в искусстве

Могущество и красота математической мысли- в предельной четкости ее логики, изяществе ее конструкций, искусном построении абстракций. И вместе с тем математические высказывания – определения, теоремы, формулы - сопоставимы с поэзией по силе воздействия на воображение, по целенаправленной плотности языка.

Математика, достаточно серьезная наука, требующая доказательства и различных теорем. Наш мир, очень многообразен, в нем много прекрасного, он очень красив. Красота спасет мир! Но без математики не возможна в мире ни одна конструкция и не одно сооружение, практически все требует математических расчетов.

Мы, видим, что без этих двух терминов не возможно представить себе мир. Так может быть и между ними тоже есть много общего? Попробуем теперь увидеть это сочетание, рассмотреть математические законы красоты и увидеть как в окружающем мире все сложно и многообразно. Восприятие красоты предлагает знакомство с ее простейшими, первичными элементами.

Я изучаю математику в школе, эта наука мне очень близка, и изучение ее мне очень нравиться. И я решила заглянуть немного глубже, и увидеть математику не только в различных примерах, построениях и теоремах, но и в различных сферах жизни, и самое главное увидеть много общего между математикой и человеком.

Все люди, наверное как и я, любят чистоту и порядок в доме, когда в комнате сделано все со вкусом. Но почему же наша комната настолько красива? Может быть просто потому что, ты сделал в ней все как хотел, может быть просто нам она нравится, а может в ней есть симметрия и это делает ее настолько красивой? Подчиняясь каким-то определенным законам, интуицией мы создаем вокруг себя мир красоты. Красотой и законами математики выявляется гармония. Посредством гармонии ритма точных слов, образов и рифмы стихотворения обретают эмоциональность, звучность красоту. А ритм, гармония и даже стиль произведения подвластны математике.

Для кого-то, математика, это просто наука, для кого-то она является большим исследованием, у некоторых является опорой творчества, а кто-то в ней замечает не то, что мы привыкли видеть всегда, а проникает в ее глубину, понимает всю красоту математический форм. Именно проникнув настолько глубоко, я начала математику замечать везде, и решила заглянуть в самые «корни» этой науки. Проводя свое исследование, проникаешь очень глубоко, видишь удивительную красоту удивительной науки.

Природа

Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну их красоты. Нас удивляет и архитектура пчелиных сот, и расположение семян на шляпке подсолнечника, и винтообразное расположение листьев на стебле растения.

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все виды- от простейших до самых сложных.

Симметрия в строении животных- почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила, выражающиеся в ассиметричном положении той или другой части или того или другого органа. Наиболее резким примером ассиметричной конфигурации могут служить камбалы и особенно смещение их глаз.

Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы обладают характерным свойством : цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называют элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120º, для колокольчика -72ºдля нарцисса -60º.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным положением после поворота на угол φ ( фи) вокруг оси , дополнительного сдвигом вдоль той же оси. Если φ/ 360°-рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса(«устроение листа»)

Еще более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, именно в кристаллах.

При слове «кристалл» в воображении рисуется первый среди драгоценных камне- алмаз: « кристальная» чистота и прозрачность, чудесная, непередаваемая игра света, идеальная, правильная форма. Но теперь алмазы уже не только красивый предмет роскоши. Сегодня они служат для обработки наиболее твердых металлов и сплавов. Без них не мыслится современная металлообрабатывающая промышленность.

Оказывается кристаллы не только алмазы. Обычный сахар и поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов. Больше того, основная масса горных пород, образующих земную кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов. Кристаллы- это твердые тела, имеющие естественную форму многогранника.

Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образцов кристаллов одного и того же вещества. Что же касается формы граней, числа граней и ребер и величины кристалла, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.

Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготения и инерции. Золотая пропорция – символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлет легкого юного побега до зрелости и замедленный рост "по инерции" до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.

Одним из первых проявления золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 – 1630). И. Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, а если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе- с драгоценным камнем.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое «золотое сечение»- далеко не все. Расскажем об этом «драгоценном камне».

Геометрически «золотое сечение» отрезка АВ можно построить следующим образом: Сначала к отрезку АВ восстановим перпендикуляр ВС, длина которого равна половине АВ. Затем проведем АС_ гипотенузу треугольника ABC. Далее изобразим две окружности: одну с центром в точке С и радиусом ВС. а вторую с центром в точке А и радиусом AN, где N- точка пересечения первой окружности с АС. Точка М, в которой вторая окружность пересекает АВ и делит его в отношении Ф т. е. АМ:МВ=Ф

В самом деле, заметим, что по теореме Пифагора (АЕ + ED)² = АВ² + BD² а по построению АЕ = АС, ,Из этих равенств следует, что АС² + АС·АВ = АВ²

Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. Рассмотренная задача очень древняя, она присутствует в «Началах» Евклида, который решил ее геометрически.

На отрезке АВ построен квадрат ABDC. Требуется найти точку Y, делящую АВ в среднем отношении. Соединим точку Е - середину АС - с точкой В. На продолжении стороны СА квадрата отложим отрезок EJ = BE. На отрезке AJ построим квадрат AJHY. Продолжение стороны HY до пересечения с CD в точке К делит квадрат ABCD на два прямоугольника AYKC и YBDK. Существует чисто геометрическое доказательство, что прямоугольник YBDK равновелик квадрату AJHY.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой пятиконечная звезда. Пятиконечная звезда (пентаграмма) всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Пифагорейцы именно её выбрали символом своего союза Она считалась амулетом здоровья. Трудно поверить, но AD:AC=AC:CD=AB:BC=AD: AE=AE:EC

Пользуясь симметрией звезды, этот ряд равенств можно долго продолжать. Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.

Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма - первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов - пентаграмма - стала известна раньше, чем «золотая» пропорция. Золотое сечение – это такое деление целого на две неравные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей. АВ : ВС = СВ : СА = Ф = 1,618034.

Определить точку, делящую отрезок по принципу «золотого сечения», нетрудно с помощью циркуля и линейки.

Существует также сечению. Например:

1) «золотой» прямоугольник-прямоугольник, у которого отношение фигуры , подверженные золотому ширины к высоте равно Ф.

2) «золотой» треугольник - треугольник, у которого длины биссектрис при основании равны длине самого основания.

3) «золотой» кубоид - это прямоугольный параллелепипед с ребрами длиной Ф, и ф. Площадь его поверхности равна 4Ф, а диагональ - 2, радиус описанной вокруг него сферы равен 1.

а её S = 4Ф.

4) Пятиконечная звезда - пентаграмма. Это удивительная фигура, в которой пропорции просто идеальны.

AD : АС = АС : CD = АВ : ВС = AD : АЕ = АЕ : ЕС

Числа, образующие последовательность 0,1,1,2,3,5,8,13 и т. д. называются «числами Фибоначчи»,а сама последовательность–последовательностью Фибоначчи.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Сам человек очень красив и гармоничен, и он тоже подвластен золотому сечению. « Золотая пропорция» отражает красоту тела человека в период физиологической зрелости, наступление которого для каждого организма индивидуальна и зависит от климатических, наследственных и других факторов.

В возрасте с 7 до 17 лет происходит перестройка деятельности всех органов и систем, заканчивается развитие речи, происходит становление характера, а также нравственное формирование личности, формируется опорно-двигательная система.

Пропорция различных частей нашего тела составляет число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенным. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы.

Человек бесподобен и красив, и именно пропорция делает, его тело и внешний совершенным.

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1. 618.

• Кроме того есть и еще несколько основных золотых пропорций нашего тела: расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1. 618

• расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1. 618

• расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1. 618

• расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1. 618

• расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1. 618

• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множества примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существует только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних и верхних зубов, разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально. Но в человеческом лице существует и иные воплощения правила золотого сечения.

Выводы по таблице: «Золотая пропорция» отражает красоту зубов. Физиологическая зрелость человека у каждого разная, наступление которой зависит для каждого организма от климатических, наследственных и других факторов. Перестройка всех органов происходит до 17 лет. Строение организма, в частности зубов после этого возраста, остается практически неизменным, перестает формироваться. До этого возраста происходит «бурное» развитие, мы это можем увидеть в сравнении маленького мальчика и пятнадцатилетнего юноши.

Исследуя данную таблицу, я сделала вывод, что пропорция золотого сечения зубов человека формируется в период физиологического созревания.

Пропорция рук и лица человека

Лицо человека

• Высота лица / ширина лица,

• Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

• Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

• Ширина рта / ширина носа,

• Ширина носа / расстояние между ноздрями,

• Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека.

Достаточно лишь приблизить сейчас ладонь приблизить вашу ладонь к себе и внимательно просмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со своей длиной пальца и дает число золотого сечения ( за исключением большого пальца). Кроме того. Соотношение между пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Красивым и превосходным человека делают пропорции, «золотое сечение», и его мы можем увидеть сравнивая многое другое: рога и бивни животных, развивающихся в форме спирали, снежинки, многое другое, даже молекулы ДНК можно рассмотреть по принципу золотого сечения.

Математические основы красоты в искусстве

Каждое настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики.

Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляли интерес к музыке. В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление математическая теория музыки. Об этом напоминает математическая терминология. Возьмем для примера так называемую «гармоническую пропорцию». Говорят, что три числа образуют гармоническую пропорцию, если обратные им числа удовлетворяют непрерывной арифметической пропорции. Оказывается, длины трех струн.

Дающих ноты до, ми, соль, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов -мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн образует непрерывную арифметическую пропорцию. Именно длины струн относятся, как числа:

1 : 4/5 : 2/3, а числа колебаний , как

1 : 5/4 : 3/2 или как,

4 : 5 : 6 причем 6-5=5-4 т. е. получается непрерывная арифметическая пропорция.

Таким образом, приятные для слуха созвучия пифагорейцев явилась вообще первой теорией музыки у греков. И хотя уже Пифагор видел в музыке могучее средство нравственного воспитания, однако только позже, в трудах величайшего греческого музыкального теоретика Аристоксена Тарентского ( ок. 350 г. до н. э. ), музыка переносится из области математики и физики в область эстетики. Это перенесение, впрочем, не означало отрыв музыки от математики. И становление музыки как искусства в древности, и вся ее последующая история теснейшим образом связаны с математикой и физикой.

Живопись

Наряду с математической теорией музыки существует математическая теория живописи. Это теория перспективы. Представляющая, по словам Леонардо да Винчи , « тончайшее исследование и изобретение, основное на изучении математики, которое силою линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико». До нас дошло сочинение по перспективе Элиодора Ларисского, жившего, приблизительно, за 400 лет до н. э. Эту работу можно считать одним из самых ранних сочинений подобного рода. Далее Евклид в "Оптике" приводит 12 аксиом и 61 теорему, определяющие законы, по которым человек видит форму и размеры предметов. Птолемей (II в. ) написал сочинение о перспективе, посвященное причинам видимости предметов по форме и цвету. Труды Евклида и Птолемея дали большой материал по наблюдательной перспективе. Развернушееся в эпоху Возрождения строительство инженерных сооружений возродило и расширило применявшиеся в античном мире приемы проекционных изображений. Архитекторы, скульпторы и живописцы встали перед необходимостью создания учения о живописной перспективе на геометрической основе. Такая теория геометрической перспективы возникла в первой половине XV века.

Многочисленные примеры построения перспективных изображений имеются в работах гениального итальянского художника и выдающегося ученого Леонардо да Винчи (1452 – 1519). Он впервые говорит о сокращении масштаба разных отрезков, удаляющихся в глубь картины, дает правило построения изображений на цилиндрических сводах и кладет начало панорамной перспективе, объясняет причину стереоскопического видения, указывает правила распределения теней, характер отражения и изменения окраски предметов. Ему принадлежат слова: "Перспектива есть руль живописи". Именно Леонардо да Винчи был одним из первых художников, кто не только теоретически развил учение о перспективе, но и практически показал ее значимость в своих гениальных художественных творениях.

Одной из самых известных фресок Леонардо да Винчи является "Тайная вечеря". Она посвящается сюжету из Евангелия, в котором рассказывается, как преследуемый Христос тайно встречается за ужином-вечерей со своими ближайшими учениками. Тут он говорит им: "Сегодня один из вас предаст меня". Ученики поражены. Мы видим целую палитру чувств: негодование, сомнение, грустное смирение, тревогу, готовность к мщению и мужественную стойкость.

Пространство картины организовано строго симметрично. Симметрично расположены фигуры за столом: 3 + 3 + 1 + 3 + 3. Вот молодой человек – третий слева – привстает и, к учителю, как бы спрашивает: "Не я ли, Господи?" Он не уверен в своих силах и боится, что запятнает себя столь ужасным поступком. А тот, кто действительно виновен, расположен симметрично фигуре вопрошающего относительно Христа. Он, сидящий третьим слева, далеко откинулся назад, левой рукой машинально защищаясь от обвинения, а правой прижал к себе мешочек с тридцатью сребрениками, которыми ему уже заплачено за предательство. Главная точка картины находится в самом центре картины, прямо над головой Христа. В этом легко убедиться, если мысленно продолжить ортогонали потолка (то есть прямые, которые мыслятся перпендикулярными плоскости картины) – все они пересекутся в одной точке. К ней же сходятся линии, проходящие по верхним краям ковров, развешенных в комнате. Горизонт проходит через главную точку параллельно столу и краю скатерти. Фигура Христа, видимая над столом, вписывается в равнобедренный треугольник, тем самым зрителю внушает ощущение полного покоя, которым проникнут единственный из собравшихся.

Архитектура

Велика роль пропорций в архитектуре. Вслед за Пачоли теоретики искусства Возрождения возводят пропорции в основной принцип эстетики. «Божественные пропорции» придают сооружению гармонию, благодаря которой, по словам Альберти, «тихим и вольным течением взор, точно скользя по карнизам, по простенкам и по всей наружной и внутренней сторонами здания, будет умножать наслаждение новым наслаждением от сходства и несходства». Пропорции в архитектуре- это как бы ее внутренняя красота. Она невидима непосредственно, но всегда ощутима, подобно красоте духовной.

Не менее важна роль геометрии в архитектуре. Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса-немой трактат по геометрии. А греческая архитектура- внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по- прежнему остается «грамматикой архитектора». Только сегодня, с появлением новых строительных материалов(бетон металл, стекло, пластик) и новой технологии строительства, архитектор может опираться на более широкий круг геометрических законов. Это расширяет творческие возможности архитектора и порождает новые конструкции. Новые архитектурные формы, новую эстетику.

Математика и литература

Математика в своей сущности достаточно таинственна и романтична. В жизни нет ничего такого, чего бы не было в романах. Рассказах и стихах, а математика- слишком заметная тема жизни, чтобы не стать темой литературы. Студент или школьник, которому приходится видеть математику только в учебнике и задачнике, неожиданно встречая математическое место у Пушкина или Толстого, воспримет его с особым интересом уже потому, что здесь не требуется ни заучивать, ни решать, а всего лишь понять и почувствовать красоту мысли и слова великого художника. И скорее всего, читатель, покоренный этой красотой, взглянет на математику глазами автора и проникнется его отношением к ней. Рассмотрение практического приема отыскания приближенного значения диаметра материального шара по длине (С) нитки, обтягивающей шар по его большому кругу: 2R= С/ ñ, оживит цитата из стихотворения Сергея Михалкова «Если»:

. Где же солнце?

Что случилось?

Целый день течет вода.

На дворе такая сырость,

Что не выйдешь никуда.

Если взять все эти капли

И соединить в одну,

А потом у этой капли

Ниткой смерить толщину,-

Будет каплища такая,

Что не снилось никому.

И не приснится никогда

В таком количестве вода.

Эмоциональный настрой к восприятию абстрактно-геометрического понятия линия образуется при чтении стихотворения Евгения Винокурова «Ода линии»(отрывок):

Я более скажу: и нет

На свете ничего важней,

Чем линия,- любой предмет

Предметом делается с ней

Беру перо: вмиг создана

Корова росчерком одним.

Я славлю лини! Она

Живое делает живым

Мы можем увидеть красоту в многочисленных примерах, это, конечно не литературное творчество, это очень интересно получать из большого примера, совсем простое и короткое решение:

19√х²-12х+36 _ 11√х²-2х+1 _ √28х-4х²-48 х-6 х-1 √7х-12-х²

19х-6 _ 11х-1 _ 2 √-х²+7х-12 х-6 х-1 √7х-12-х²

ОДЗ: -х²+7х-12 >0 ОДЗ 3<х<4 х²-7х+12<0 3 4 х=6, х=1 ОДЗ:

-19-11+2=-28

Таким образом, человеческие представления о красивом формируются под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения. В различных своих творениях, казалось бы, очень далеких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И человек в своих творениях: живописи, скульптуре, архитектуре, музыке применяет эти же принципы. Основополагающими принципами красоты являются пропорции (в частности "золотая пропорция") и симметрия. Пропорция различных частей нашего тела составляет число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенным.

Математика красива и многообразна. О красоте ее форм можно говорить постоянно, и сколько бы мы о ней не говорили, нам не хватит слов. Математика, поражает своими новыми формами из века в век, из поколения в поколение. Проходят года, поколение меняется, меняется мир, но наука-математика и красота ее форм живет и по сей день, и будет жить вечно!