Леонардо Пизанский и его время

Среди современников ему не было равных. И в последующие три столетия нельзя назвать ни одного ученого такого масштаба. Творчество Леонардо

Пизанского (1180-1240) оказало решающее влияние на развитие алгебры и теории чисел, в частности на исследования таких математиков, как Франсуа

Виет и Пьер Ферма.

Леонардо родился в большом итальянском торговом городе-республике Пизе. Его часто называют Фибоначчи, т. е сын Боначчи (Настоящая его фамилия, по-видимому, Биголло. По крайней мере так он поименован в акте о покупке земли, которую совершил по доверенности для своего родственника).

Отец Леонардо был нотариусом республики Пизы. Вскоре после рождения сына его послали со служебным поручением в Буджи (ныне Алжир), где он выполнял обязанности, близкие к консульским. Когда Леонардо исполнилось 12 лет, отец вызвал его к себе, чтобы познакомить с делами, в первую очередь с коммерческими расчетами. Все эти сведения сообщает сам Леонардо в предисловии к фундаментальному труду «Книга абака».

Леонардо путешествовал по Египту, Сирии, Греции, Сицилии и Провансу и везде старался познакомиться с различными способами счета и началами алгебры. Он убедился, что техника счета по десятичной позиционной системе намного превосходит все другие.

Вернувшись в Пизу, Леонардо серьезно занялся математикой. Он познакомился с «Началами» Евклида и, соединив эти знания с тем, что узнал от арабских ученых, составил в 1202 г. «Книгу абака» - настоящую энциклопедию математических знаний его эпохи. Здесь проявилась высокая одаренность автора: труд Леонардо – глубоко продуманное и во многом оригинальное произведение. В нем рассматриваются вопросы алгебры, геометрии и теории чисел.

Известность Фибоначчи была таковой, что император Фредерик II,  естествоиспытатель и ученый, разыскал его, организовав поездку в Пизу. Фредерик

II был Императором Священного Рима, Королем Сицилии и Иерусалима, потомком двух самых знатных семей в Европе и Сицилии и наиболее могущественным правителем своего времени. Его стремлением была абсолютная монархия, и он окружал себя со всей помпой Римского императора.

Встреча между Фибоначчи и Фредериком II произошла в 1225 году и была событием большой важности для города Пизы.

Фредрерик II культивировал математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи.

Некоторые проблемы, которые Император поставил перед знаменитым математиком, подробно изложены в Книге абака. Фибоначчи, очевидно, решил проблемы, поставленные Императором, и навсегда стал желанным гостем при Королевском дворе. Когда Фибоначчи перерабатывал Книгу абака в 1228 году, он посвятил исправленную редакцию Фредерику II.

Всего Леонардо Фибоначчи написал три значительных математических труда:

«Книга абака», написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

«Практики геометрии» ( 1220г. )

«Книга квадратов» (1225г. )

2. Десятичная система.

Существует общепринятое мнение, что десятичная система счисления имеет "пальцевое" происхождение. В древней науке число 10 всегда несло в себе особую смысловую нагрузку. Пифагорейцы называли его четверицей или тетрактидой. Говоря словами Эмпедокла в нем - "вечно текущей природы : корень источный". Четверица 10 = 1 + 2 + 3 + 4 считалась у пифагорейцев одной из высших ценностей и являлась "символом всей Вселенной", так как содержала в себе четыре "основных элемента": единицу или "монаду", обозначающую, по Пифагору, дух, из которого проистекает весь видимый мир;

двойку, или "диаду" (2 = 1 + 1), символизирующую материальный атом; тройку, или "триаду" (3 = 2 + 1), то есть символ живого мира; и наконец, четверку, или "тетраду", (4 = 3 + 1), соединявшую живой мир с монадой и поэтому символизировала целое, то есть "видимое и невидимое". А

поскольку тетрактида 10 = 1 + 2 + 3 + 4, то она выражала собой "Все". Таким образом, гипотеза о "гармоничном" происхождении числа 10 имеет не меньшее право на существование, как и "пальцевая".

В истинной числовой или зависимой от положения цифр системе, подлинное значение, представленное любым символом, помещенным в ряд с другими символами, зависит не только от его основного цифрового значения, но также и от его положения в этом ряду, т. е. 58 имеет отличное от 85 значение. Хотя тысячами лет ранее Вавилонцы и Майя из Центральной Америки независимо друг от друга изобрели числовую или зависимую от положения цифр систему счисления, но их методы были неудобными. По этой причине Вавилонская система, которая первая использовала 0

и положение цифр, не вошла ни в греческую, ни в римскую системы, чьи нумерации заключали в себе семь символов I, V, X, L, C, D и M с нецифровыми значениями присвоенными этим символам.

Сложение, вычитание, умножение и деление в системе, использующей эти нецифровые символы, является нелегкой задачей, когда используются большие числа. Парадоксально, но чтобы решить эту проблему римляне использовали очень древний вычислительный прибор, известный как счеты. Так как этот прибор основан на цифрах и содержит в себе нулевой принцип, он действовал в качестве необходимого дополнения к римской вычислительной системе.

В течение веков счетоводы и купцы зависели от помощи счет.

Фибоначчи, после выражения основного принципа счет в «Книге абака», начал использовать свою новую систему во время своих путешествий.

Посредством его усилий новая система с ее простым способом вычисления, в конце концов, была передана Европе. Постепенно старое использование римских цифр было заменено арабской цифровой системой. Введение новой системы в Европу было первым важным достижением в области математики с момента падения Рима более 7 веков назад. Фибоначчи не только сохранил математику в Средневековье, но и заложил основу длительной эволюции в области высшей математики и связанных областях физики, астрономии и машиностроения. Хотя мир позже почти потерял Фибоначчи из вида, он, несомненно, был человеком своего времени.

3. Последовательности Фибоначчи.

3-1. Свойства.

Фибоначчи разработал ряд суммирования, который выглядит как

1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-

Математический ряд асимптотически (т. е. приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к постоянному отношению.

Однако это отношение иррационально; оно имеет бесконечную, непредсказуемую последовательность десятичных значений, выстраивающихся после него.

Оно никогда не может быть выражено точно. Если каждое число, являющееся частью ряда, разделить на предшествующее значение (например, 13 на 8 или

21 на 13), результат действия выразится в отношении, которое колеблется вокруг иррационального числа 1,61803398875. , чуть больше или чуть меньше соседних отношений ряда. В качестве отношения чисел Фибоначчи используют число 1,618:

Ф=1. 618

Это отношение стало обрастать разными особыми именами еще даже до того, как другой средневековый математик Лука Пачиоли (1445—1514) назвал его

"божественной пропорцией". Среди его современных названий — "золотое сечение" и " золотая середина". Немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571 —

1630) назвал отношение Фибоначчи одним из сокровищ геометрии. В алгебре оно, как правило, обозначается греческой буквой Ф.

Но интерес ученых привлекает не только Ф. Если мы разделим любое число ряда суммирования Фибоначчи на число, следующее за ним в этом ряду

(например, 8 на 13 или 13 на 21), мы найдем, что ряд асимптотически приближается к отношению Ф' что является просто обратным значением Ф.

Это очень необычное и замечательное явление полезно, когда дело доходит до разработки инструментов торговли. Поскольку первоначальное отношение

Ф иррационально, обратное значение Ф' к отношению Ф также обязательно иррациональное число. Это означает, что мы снова должны принимать во внимание небольшую погрешность при использовании для вычислений приближенного сокращенного значения 0, 6 18.

Мы открыли для себя ряд простых чисел, введенных в науку Фибоначчи. Сначала рассмотрим, какое отношение имеет ряд суммирования Фибоначчи для окружающей нас природы.

Мы учитываем уменьшенность колебаний частных вокруг значения 1,618 в ряду Фибоначчи с помощью более высоких или низких чисел в волновом принципе

Эллиота, названном Ральфом Нельсоном Эллиотом правилом чередования. Люди подсознательно ищут божественную пропорцию. Это лишь постоянная и бесконечная борьба за создание более высокого уровня жизни.

3-2. Применение последовательности Фибоначчи.

Задача из «Книги абака»:

Сколько пар кроликов, помещенных в загон, может быть произведено за один год из одной пары кроликов, если каждая пара производит еще одну пару каждый месяц, начиная со второго?

Решение:

Каждой паре, включая первую, необходим месяц для достижения зрелости, но, начав воспроизводство, они производят на свет новую пару каждый месяц.

Количество пар остается тем же в начале каждого из двух первых месяцев, то есть, последовательность — 1, 1.  Эта первая пара удваивает свое количество во втором месяце, так что в начале третьего месяца уже две пары. Из них старшая пара производит третью пару, так что в начале четвертого месяца последовательность увеличивается до 1, 1, 2, 3.  Из этих трех две старшие пары, но не младшая, воспроизводятся так, что последовательность увеличивается до 1, 1, 2, 3, 5, 8 и так далее.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk , то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т.

д. , причем образование этих чисел регулируется общим законом:

Fn=Fn-1+Fn-2

при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

4. Геометрия Фибоначчи.

4-1. Золотое сечение.

Любой отрезок может быть разделен таким образом, что соотношение между его меньшей и большей частями будет равно отношению между большей частью и всем отрезком. Это отношение всегда равно 0. 618.

Золотое сечение повсеместно попадается в природе. Действительно, человеческое тело является воплощением Золотых сечений во всем от внешних размеров до устройства лица .

Значит: Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

В XVI веке Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем. Делая заметки о Золотом или «Божественном сечении», Кеплер сказал, что оно, фактически, характеризует все в мироздании и в частности символизирует сотворение мира Богом «по подобию». Человек делится в поясе на соотношение Фибоначчи. Среднее значение приблизительно равно 0. 618. Это соотношение остается справедливым отдельно для мужчин и отдельно женщин, прекрасный знак создания «по подобию».

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

4-2. История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э. ). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел, что в рельефе из храма фараонa Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В помпейском циркуле также заложены пропорции золотого деления .

Cекреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Kнига была восторженным гимном золотой пропорции. Cреди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

Cправедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.

Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Kогда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Cледующая его книга имела название "Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве".

4-3. Золотой прямоугольник.

Стороны Золотого прямоугольника находятся в пропорции 1. 618 к 1.  Чтобы построить Золотой прямоугольник, надо начать с квадрата со сторонами в 2 единицы и провести линию от середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны.

Треугольник EDB — прямоугольный. Пифагор, около 550 г.  до н. э. , доказал, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. В этом случае, следовательно, X^2 = 2^2 + 1^2, или X^2 = 5.  Длина гипотенузы ЕВ тогда равна корню квадратному из 5.  Следующий шаг в построении Золотого прямоугольника заключается в продолжении линии CD до точки G так, чтобы EG равнялась корню квадратному из 5, или 2. 236 единиц длины. После завершения построения, стороны прямоугольника будут соотноситься как Золотая пропорция, поэтому и прямоугольник AFGC, и BFGD являются Золотыми прямоугольниками.

Так как стороны прямоугольников находятся в соотношении Золотой пропорции, то и сами прямоугольники, по определению, являются Золотыми прямоугольниками.

Произведения в искусстве значительно улучшены с использованием знания Золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т. е. во всех важных периодах цивилизации .

Леонардо да Винчи придавал огромное значение Золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: «Если предмет не имеет правильного облика, он не работает». Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал Золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность.

В то время как пропорция Ф использовалась сознательно и продумана художниками и архитекторами по своим собственным причинам, она действительно оказывает влияние на обозревателей таких форм. Экспериментаторы определили, что люди находят соотношение 0. 618 эстетически приятным. Например, людей просили выбрать один прямоугольник из группы прямоугольников различных типов, и средний выбор в основном был близок к форме Золотого прямоугольника. Когда просили пересечь одну полоску другой так, как им больше нравится, люди в основном применяли одну полоску для деления другой в соотношении фи.  Окна, рамы картин, здания, книги и кладбищенские кресты часто приблизительно соответствуют Золотому прямоугольнику.

Так же, как и Золотое сечение, ценность Золотого прямоугольника едва ли ограничивается красотой, но также служит деятельности. Среди многочисленных примеров, наиболее ярким является тот, что двойная спираль ДНК сама создает Золотое сечение в стандартных интервалах ее изгибов

В то время как Золотое сечение и Золотой прямоугольник представляют статические формы естественной и сотворенной человеком красоты и деятельности, представление эстетически привлекательного динамизма, организованного движения роста и развития может быть выполнено только самой прекрасной формой во Вселенной  — Золотой спиралью.

4-4. Золотая спираль.

Золотой прямоугольник можно использовать для построения Золотой спирали. Любой Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и меньший Золотой прямоугольник. Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности. Эти получающиеся прямоугольники, которые мы нарисовали и которые, как оказалось, скручиваются внутрь, промаркированы A, B, C, D, E, F и G.

Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и точно обозначают теоретический центр скручивающихся квадратов. Приблизительно из центральной точки мы можем начертить спираль, соединяя точки пересечения каждого скручивающегося квадрата в порядке возрастания размера. Так как квадраты скручиваются внутрь и наружу, их точки соединения выписывают Золотую спираль. Для построения Золотой спирали может применяться такой же процесс, но с использованием скручивающихся треугольников.

В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1. 618. Диаметр и радиус в свою очередь соотносятся с диаметром и радиусом, отстоящих на угол в 90 градусов, с коэффициентом 1. 618.

Золотая спираль, которая является разновидностью логарифмической спирали, не имеет границ и является постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно или в направлении внутрь, или наружу. Центральная часть логарифмической спирали, рассмотренная через микроскоп, имела бы тот же облик, что и самая широкая видимая ее часть на удалении многих световых лет. Как указывал Давид Бергамини в «Математике», хвост кометы раскручивается от солнца в форме логарифмической спирали. Паук Epeira прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали. Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Сосновые шишки, морские коньки, раковины улиток, раковины моллюсков, волны океана, папоротники, рога животных и расположение семян подсолнуха и маргаритки — все они образуют логарифмические спирали

Облака циклона и галактики открытого космоса скручиваются в логарифмические спирали . Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остается тем же самым: коэффициент 1. 618, возможно, первостепенный закон, управляющий активными природными явлениями. Таким образом, Золотая спираль развертывается перед нами в символической форме, как один из величественных замыслов природы, образ жизни в бесконечном расширении и сжатии, статический закон, управляющий динамическим процессом, подкрепленный и изнутри, и снаружи пропорцией 1. 618, Золотым сечением.

Как указано в документах 1240 года, восхищенные граждане Пизы говорили, что он был «рассудительный и эрудированный человек», а не так давно

Жозеф Гиз, главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие ученые во все времена «будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира».