Концепция красной звезды как символа ордена масонов

Интерес к прошлому, обостренное восприятие истории и культуры своей страны стали характерными признаками современного общества. Для того чтобы понять сущность происходящего, надо заглянуть в далекое прошлое. Именно изучая его, мы сможем ответить на вопрос - почему именно пентаграмма является одним из многих символом человечества?

В предлагаемой работе предпринята попытка дать характеристику этому наиболее распространенному символу во всем мире, а именно пентаграмме.

Вопрос о значимости пентаграммы всегда актуален, так как он в центре внимания всего мира.

Нам часто кажется, что математика– это скучный набор формул и графиков. И мы не догадываются, что многое из того, что нас окружает: звездное небо, офицерский знак различия на погонах, звезды на флагах, звезда в памятнике вечного огня - все это связано с пентаграммой и ее тайну я попытаюсь отыскать в геометрическом построении этой загадочной фигуры.

Сколько же звезд в нашем мире, в нашей жизни, в нашем окружении? Думаю, что их никогда не пересчитать. Стоит лишь взглянуть на ночное небо, и мы в этом убедимся. А сколько их на земле. Это и звёзды на башнях Московского Кремля, на погонах офицеров в армиях различных стран. Одна и та же, различающаяся лишь цветом, звезда присутствует в символике Соединенных Штатов, Евросоюза, Советского Союза, Китая и многих других стран.

Звезда известна, узнаваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы.

Невольно возникает вопрос: а почему люди уделяли пентаграмме такое внимание? Почему у разных народов был символ именно звезды? Эту тайну я попытаюсь поискать в истории символа и геометрическом построении пентаграммы.

История возникновения символа.

Пентаграмма – очень древний символ, причем один из важнейших магических символов. Само это слово происходит от греческих слов «pente», что означает, пять, и «gramma» - буква. Пентаграмма – фигура с пятью вершинами, образованная двумя восходящими пересекающимися лучами, которые отходят от каждой стороны пентагона, таким образом, получается звезда. Пентагон - правильный выпуклый пятиугольник.

Символ пентаграммы известен большинству народов Земли. Первые известные изображения пентаграммы происходят из Шумера.

Вслед за ними её использовали вавилоняне, египтяне, персы, кельты, китайцы и североамериканские индейцы. Нарисованные на глине пятиконечные звезды, найденные в развалинах древнего города Урука, по мнению ученых, датируются примерно 3500г. до н. э.

Пентаграмма обычно выглядит как пятиконечная звезда, заключенная в круг. Первые упоминания о ней относятся к 3500г. до н. э. как о символе власти правителей Месопотамии.

У египтян пентаграмма называлась «Звезда Изиды» и считалась символическим обозначением лона Матери – Земли. Кельты называли пентаграмму – «След друида».

Пентаграмма шумеров Пентаграмма кельтов.

В Древней Греции символ пентаграммы именовался «пентальфа», то есть знак, состоящий из пяти букв alpha , в своем переплетении они образовывали пятиконечную звезду. Ее греки изображали на своих щитах. Для евреев, она ассоциировалось с их священным Пятикнижием, полученным Моисеем от Бога.

Изображения пентаграмм встречаются и на египетских статуях. Египтяне называли пентаграмму "звездой псоглавого Анубиса". Уже в древности пентаграмма трактовалась двояко. Пентаграмма была широко известна как "добрый" оберегающий знак защиты от всякого зла, но для посвященных это был и могущественный знак власти над земным миром.

В древнеегипетской письменности существовал иероглиф в форме пентаграммы. Его значение переводится как "обучать", "просвещать".

В Вавилоне пентаграмма одно время была символом царской власти, распространенной на четыре стороны света и небо. Помимо этого, вавилоняне, и независимо от них — кельты, использовали пентаграмму в качестве амулета от болезней, как для индивидуальной, так и для коллективной защиты. В этом случае одна на всех пентаграмма рисовалась на доме, обычно над дверью или над окном. Иногда ее также чертили на земле перед домом, направляя обязательно концом от двери.

Ранним христианам пентаграмма была напоминанием о пяти ранах Христа (от тернового венка на лбу, от гвоздей в руках и ногах), который он получил, страдая за человечество, также она символизировала Троицу и Двойную природу

Христа (Божественную и человеческую).

Первыми о пентаграмме, как о символе всего земного мира стали говорить пифагорейцы. Они учили, что мир состоит из пяти взаимосвязанных элементов (Огня, Воды, Воздуха, Земли и Эфира) и избрали пентаграмму тайным символом принадлежности к своему обществу. При этом также пентаграмма символизировала 5 лет молчания, которые должен был выдержать каждый ученик.

Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев на чужбине и, оставшись без средств, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином.

Пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Часто к пентаграмме относятся как к средству заклинания при магических ритуалах, о чем свидетельствует сцена заклинания в у Гете в «Фаусте» (1808):

Доктор Фауст нарисовал пентакль для того, чтобы дьявол Мефистофель не смог переступить порог его дома. Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он смог предстать перед Фаустом.

Мефистофель:

Нет, трудновато выйти мне теперь,

Тут кое-что мешает мне немного:

Волшебный знак у вашего порога.

Так пентаграмма этому виной?

Но как же, бес, пробрался ты за мной?

Каким путем впросак попался?

Мефистофель:

Изволили ее вы плохо начертить,

И промежуток в уголку остался,

Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить.

Фигура должна быть совершенно замкнутой и не обнаруживать никаких разрывов.

О том, что пентаграмма является символом интеллектуального всемогущества и власти, учили и гностики, рисовавшие ее на своих талисманах. Пентаграмма, называемая "печатью царя Соломона" была известна арабским магам. Маги средневековой Европы узнали о "печати царя Соломона" именно из арабских манускриптов. В арабской магии "печать Соломона" использовалась широко, но первоначально она, заключенная в круге, встречалась относительно редко.

В эпоху Возрождения была раскрыта еще одна тайна Пентаграммы. Если вписать в нее человеческую фигуру, связать с четырьмя элементами (Огнем, Водой, Воздухом, Землей) и пятым - Духом, который управляет ими всеми, то получится изображение Микрокосма - знака нашей Духовной Работы на материальном плане. Впервые открыто об этом написал в 1531 году знаменитый маг Корнелий Агриппа во второй книге своей "Оккультной Философии".

Пентаграмма магов Возрождения

Изображения человеческой фигуры в виде пентаграммы, как символа микрокосма, встречается в книге "История микро- и макрокосма" (1617 год) известного розенкрейцера Роберта Фладда.

Итак, пятиконечная звезда есть символ Микрокосмоса.

В равносторонней пентаграмме ясно выражены пропорции «золотого сечения», глубоко связанные с самой жизнью.

Пентаграмма – правильная геометрическая фигура, обладающая пятилучевой симметрией. Следует заметить, что пятилучевая симметрия в неживой природе, к примеру, кристаллах, отсутствуют. А вот вся живая материя построена по принципу пентасистемы.

То есть пентаграмма в своей форме одно из отличий живого от неживого.

Наиболее яркий пример пентасистемы – человек, вписанный в пентаграмму, если вспомнить рисунок Леонардо да Винчи.

Природные прообразы можно было бы поискать в пятилучевой симметрии некоторых иглокожих (например, морских звезд); конечно, рисование пентаграмм можно также расценивать как чисто игровое стремление к графическому мастерству.

Такие маги, как Агриппа Неттесгеймский, вписывали в рисунок звезды фигуру сознательного человека: четыре нижних луча (треугольники) - руки и ноги, распростертые так, как будто человек хочет объять весь мир, а верхний луч - голова. В этом случае пентаграмма становится знаком "адептов" и звездой магов, которые полагали, что, благодаря знанию законов мира, который большинству представляется четырехсторонним, они могут найти путь к счастливому бытию.

Пентаграмма Агриппы - основной амулет в церемониальной магии, защищающий человека от плохого воздействия сверхъестественных сил, нечистых духов и их намерений. Он обеспечивает магу всестороннею защиту и возвращение в любой момент в "Мир живых".

Связь пентаграммы с космосом доказывает один из рисунков, выполненный неизвестной силой на пшеничном поле. Он изображает две пятиконечные звезды – пентаграммы. Наружная звезда – «утренняя», символ восхождения. Внутренняя - падающая, обращенная лучом вниз, символ темного начала.

Рисунок, выполненный неизвестной силой на пшеничном поле.

Кроме того, пентаграмму отождествляли со "Звездой Волхвов", которая помогла восточным мудрецам найти младенца Иисуса.

Многих европейцев, в том числе россиян, отправлявшихся справлять Рождество в Вифлеем, неизменно удивляли форма и цвет звезды. Большинство представляло её шестиконечной звездой Давида: во-первых, праздник проходит в Израиле, во-вторых, Вифлеем – родина Давида. И всё же изначальный образ – символ звезды Волхов в древней христианской иконографии - это звезда красная, пятиконечная.

Эта звезда в Средневековье стала символом двух орденов, называвшихся вифлеемиты. Один из них, монашеский, был создан в1257 году в Кембридже - члены ордена носили на груди красную звезду как знак той звезды, что вела волхвов. Второй, военный, рыцарский орден был основан буллою папы Пия II, от18 января 1457 года и посвящен св. Марии. Рыцари вифлеемиты, как и тамплиеры, госпитальеры – защищали Европу от мусульман, заботились о безопасности паломников на дорогах Палестины.

Красный цвет звезды по-своему объясняют астрологи. В 747 году от основания Рима, около времени Рождества Христова, на небе было чрезвычайно редкое сочетание планет- Юпитер и Сатурн находились в созвездии Рыб. А в следующем году к этому сочетанию присоединился Марс, усиливающий эффект сочетания, проявляющийся в виде ярко сияющей звезды. Юпитер может давать красноватый оттенок, Марс усилит его. В качестве символа планеты Марс древние астрологи нередко использовали красную пятиконечную звезду.

Рис. Храм пастухов в окрестностях Вифлеема. Над входом в храм - пятиконечная звезда.

Концепция Красной звезды как символа ордена масонов.

Оказывается Вифлеемская Звезда христианской традиции внешне ничем не отличается от той, что мы видим на башнях Московского Кремля. Случайно ли это полное совпадение?

Вспомним вкратце историю появления красной пятиконечной звезды в советской символике. В 1918 1922гг. , усилиями И. В. Сталина, красная пятиконечная звезда была принята в качестве символического охранного знака Красной Армии и как государственная эмблема. Вначале Сталин настоял на введении пятиконечной звезды в 1922 году в герб Грузии, затем в герб ЗСФСР, а позднее, в 1936 году, в герб СССР.

Символ "рабоче-крестьянской" власти – пятиконечная звезда, – ярко раскрывающая сущность большевизма, появилась всюду: на станциях метрополитена, на школьных учебниках, на паровозах и железнодорожных вокзалах, на фасадах официальных учреждений и, конечно, на кремлевских башнях. Но сначала появилась звезда на головных уборах бойцов Красной армии.

Звезда здесь символизировала бога войны Марса и эта эмблема олицетворяла защиту мирного труда. Впрочем, в первые годы, из-за имевшихся среди большевиков антихристианских и сионистских элементов, звезду часто носили и изображали двумя концами к верху как на плакате Д. Моора «Все на оборону»

Первый советский орден красного знамени имел изображение звезды двумя лучами к верху.

Но это вызывало такое неприятие в обществе, что скоро от этого отказались и официально утвердили изображение звезды одним лучом кверху. Но новой стране требовалась и государственная символика и красная звезда оказалась достаточно подходящим и популярным символом. Поэтому скоро она переместилась со знамен несущей освобождение мировому пролетариату армии и на герб и знамена первой страны строящей социализм. В государственной символике красная звезда рядом с серпом и молотом стала означать единение трудящихся пяти континентов единым началом и целью. Красный цвет символизировал братство и кровь, пролитую за свободу трудящихся всего мира.

Сама постановка вопроса о возможной связи (мистической, символической) этих красных пентаграмм со звездой магов сегодня, наверное, многим покажется рискованной, хотя мы вправе заподозрить её – не более того. Ведь точный ответ на этот вопрос могли дать только сами большевики. Например, обучавшийся в духовной семинарии И. В. Сталин. Или регент храма Христа спасителя А. В. Александров, создавший легендарный ансамбль песни и пляски известный во всем мире как «Опера Красной Армии». Или архитектор сталинского метрополитена А. Н. Душкин, украсивший красными пентаграммами готические витражи станции «Новослободской» - узоры этих витражей взяты с древнейший риз православных священников.

Хотя эмблема Советского Союза все-таки граненая.

Эмблема советского периода восходит к «красной марсовой звезде» как знаку РККА.

Белая пятиконечная звезда традиционно соотносится с Полярной «северной» звездой. Служила поэтому эмблемой Альманаха «Северная звезда» и императорской яхты «Полярная звезда».

Следует также отметить, что пятиконечная звезда давно применялась в русской армии. Так, с января 1827 г. офицерам российской императорской армии было положено носить на эполетах кованные, из металла, пятиконечные звездочки вершиной вверх

Здесь можно добавить ещё много чего интересного, но это не входит в задачи нашего проекта.

Пентаграмма как геометрическая фигура.

Пентаграмму как геометрическую фигуру первым стал изучать Пифагор. Он считал ее символом совершенства и сделал тайным знаком своей философско-математической школы, с помощью которого пифагорейцы отличали своих от чужих.

Есть у пентаграммы одно любопытное свойство. Она — простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии.

Пентаграмму можно начертить 10 различными способами. Рассмотрим один из них.

Как, например, нарисовать пятиконечную звезду с помощью циркуля и линейки? Очень просто, если еще есть и транспортир. Рисуем окружность, потом на ней откладываем дуги в 72 , 144 , 216 , и 288° от некоторой точки. Полученные пять точек, и будут вершинами звезды. Ну, а если нет транспортира? Можно попытаться это сделать на «глазок». Выберите раствор циркуля, соответствующий, как вам кажется, дуге в 720°. Отложите эту дугу на окружности последовательно пять раз. В пятый раз ножка циркуля либо не дойдет до начальной точки, либо проскочит ее. В первом случае следует увеличить раствор циркуля, а во втором - чуть уменьшить его и снова проделать ту же операцию нахождения вершин звезды.

Если не вышло во второй раз, можно попробовать в третий раз, в четвертый, пока не получится желаемый результат.

Древние греки были весьма искусны в построениях с помощью циркуля и линейки, причем линейка должна была быть без делений, с ее помощью разрешалось проводить прямые через заданные точки. Они предложили следующий не приближенный, а точный способ построения пятиконечной звезды.

Нарисуем окружность, затем проведем ее диаметр ВС и проведем из точки О – центра окружности, радиус ОА, перпендикулярный диаметру ВС. Следующим шагом было нахождение точки D - середины отрезка ОВ, что вы можете сделать сами, как и построить с помощью циркуля и линейки перпендикуляр к данной прямой в данной точке. Теперь проведем еще две окружности, которые принципиально закончат построение. Сначала проведем окружность с центром в точке D и радиусом DA. Отметим точку Е, в которой она пересекает диаметр ВС, а затем проведем окружность с центром в точке А, радиусом АЕ. Отметим точки М1 и М2, в которых она пересекает первоначальную окружность. Точки А, М1 И М2 будут вершинами пятиконечной звезды, остальные две вершины вы без труда построите сами.

Некоторые окультисты считают, что способы построения звезды не равноценны. Они делят пентаграммы на созидающие (нарисованные в направлении по часовой стрелки) и разрушающие (против часовой стрелки). Кроме того, пентаграммы классифицируются по стихиям. При этом стихия пентаграммы определяется по концу, к которому приходит первый отрезок (а не по концу, с которого начинается рисование).

Особый смысл имеют пентаграммы, нарисованные начиная с конца Духа. Это пентаграмма созидания Огня и пентаграмма разрушения Земли. Рассмотрим последовательность стихий в каждом случае:

1) Созидание Огня: Дух –Огонь –Воздух –Вода –Земля -Дух. Эта последовательность стихий символизирует возникновение Космоса из Хаоса.

2) Разрушение Земли: Дух –Земля –Вода –Воздух –Огонь -Дух. Эта последовательность стихий символизирует гибель нашего мира.

Традиционно форма, сориентированная вверх одним острием, называется "беломагической", обратная - "черномагической". Беломагический способ рисования требует начинать с левого зубца, затем вести линию направо, оттуда налево, вниз и т. д. , пока движением справа вниз фигура не будет закончена в исходном пункте. В "черномагический" вариант часто вставлялась голова козла, в другой - фигура человека.

Первое упоминание пентаграммы в качестве символа зла относится к печально знаменитому Тамплиерскому процессу. В документах допросов она упоминается рыцарями как символ, висевший на шее идола по имени Бафомет.

Пентаграмма Бафомета.

Перевернутая звезда с лучами разных цветов является символом крупнейшей международной фратерналистской организации - ордена Восточной Звезды.

Этот орден объединяет около миллиона масонов в ранге не ниже мастера и известен своей благотворительной деятельностью.

Пентаграмма глазами математика.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Построим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из ее центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные = 72°.

Стороны углов пересекут окружность в точках А, В, С, D, Е. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник . А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму

Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций. Но, прежде чем перейти к ним, напомним два свойства правильных n-угольников.

Первое. Величина угла правильного n - угольника вычисляется по формуле. При n=5 имеем.

Второе. Диагонали правильного n - угольника делят его углы на равные части. Например, в 5-угольнике ABCDE на рис. 1, б 1 = 2 = 3 = 108°: 3 = 36° (как вписанные, опирающиеся на равные дуги).

Теперь посмотрим на пентаграмму

Все углы в пентаграмме кратны 36.

Треугольник ABC равен треугольнику ADQ. Треугольник ABQ равнобедренный. На этом свойстве основано построение Символа Девяти Преломлений.

Но самое главное свойство пентаграммы в том, что она является геометрическим выражением отношения золотого сечения, т. е. числа Ф = sin 72º / sin 36º = 1,61803. Эту особенность символа пентаграммы впервые обнаружил Леонардо да Винчи. Но еще задолго до него отмечалось, что пропорции пентаграммы исключительно приятны для человеческого глаза.

Но сначала выясним, что означает закон золотого сечения.

Расстояние делится на две части так, что оба отрезка являются разными по длине и находятся в определенном соотношении: меньшая часть соотносится с большей всегда так, как большая со всем расстоянием.

Математически это означает:

Расстояние С делится на два отрезка - маленький отрезок А и больший отрезок В.

А относится к В как В к С (А: В=В:С).

Это соотношение можно и продолжить. То есть большой отрезок В соотносится со всем расстоянием С так же, как и расстояние С с новым расстоянием, которое вычисляется из В+С и называется D, итак В : С = С : D (В+С).

В конкретных числах это:

2 : 3 = 3 : 5 (2+3)

3 : 5 = 5 : 8 (3+5)

5 : 8 = 8 : 13(5+8)

8 : 13 = 13 : 21 (8+13) и т. д.

Если мы произведем действия в уравнении 3 : 5 = 5 : 8 и получим:

3 : 5 = 0,60

5 : 8 = 0,62

Оба отношения оказываются равными приблизительно 0,6. Уравнение верно, т. к. здесь не требуется никаких точных математических расчетов. Если хотят доказать, что большее расстояние, так называемое "мажор" в 1,6 раз больше меньшего (или "минора"), или что все расстояние в 1,6 раза больше, чем больший отрезок, мы должны снова провести деление. Если попытаемся проделать это с соотношением 8:5, то получим 1,6.

Такое отношение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой Ф. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н. э.

В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «божественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присутствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии

Обратимся теперь к пятиконечной звезде, в ней, как говорится, «где ни копни - везде золото».

Теперь рассмотрим пентаграмму. Соединим в ней точки К и F. Выше уже отмечалось, что пятиугольник KLFPM — правильный, т. е. КLF = 108°. Тогда 1 = 2 = 36°. Но угол Е тоже равен 36°. Из того, что A = E следует, что ЕС KF, а тогда BEP ~BKF и

EB : KB = PB : FB. (1)

Обозначим ЕВ = а и KB = х, перепишем пропорцию (1) иначе: а : х = х : (а-х), или х2 + ах - а2 = 0. Таким образом, мы получили уравнение, решением которого является положительный корень, который можно представить в виде

Значит, КВ : ЕВ = Ф.

Таким образом, доказано, что стороны пентаграммы, пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины которых образуют золотую пропорцию.

Отношение расстояний между противоположными и соседними концами пентаграммы:

Точка пересечения диагоналей также делит их в отношении золотого сечения:

(по свойству золотого сечения).

Отношение площадей треугольников ABC и ACD:

Неудивительно, что Пифагор считал пентаграмму самой совершенной из геометрических фигур.

Итак, красота внешней формы пентаграммы связана с необычайным пропорциональным строением. Здесь есть среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое.

Рассмотрим треугольник АВС. Он равнобедренный, так как хорды АВ и АС стягивают равные дуги. Далее, (А=36°,(В=(С=72° как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги в 72° (=360°: 5) и в 144° (= 72°-2) соответственно. Но < BCD равен 36 град. как опирающийся на дугу FB в 72°, и, следовательно, CD является биссектрисой в ( АВС и отсекает от него

( BCD ∞ (АВС. Из подобия этих треугольников имеем AB:BC= ВC:DB. Учитывая, что BC=CD=AD (так как в ( АDС (А=(С и, следовательно, СD=АD), приходим к пропорции т. е. данный отрезок АВ так относится к его большей части АD, как большая часть относится к меньшей АВ. Иначе говоря, точка D делит отрезок АВ в золотой пропорции.

Итак, равнобедренный треугольник, у которого углы при основании(72°) вдвое больше угла при вершине(36°), обладает уникальным свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. За свое замечательное свойство этот треугольник был прозван средневековыми математиками возвышенным.

Именно золотое свойство возвышенного треугольника и использовал Евклид для его построения, а значит, и для построения правильного пятиугольника. В самом деле, если данный отрезок АВ точкой D разделить в золотой пропорции, а затем циркулем из точки В сделать засечку радиусом АD, а из точки А - радиусом АВ, то точка пересечения С и будет вершиной возвышенного треугольника АВС. Далее остается описать окружность около АВС и провести биссектрисы углов В и С до пересечения с окружностью. Окружность разделена на пять равных частей, и, значит, правильный пятиугольник готов.

Остается показать, как во времена Евклида делили отрезок в золотой пропорции. Мы знаем, что величина x, делящая отрезок a в золотом сечении, удовлетворяет уравнению x²+ax-a²=0, положительный корень, которого можно представить в виде

Греки это решение находили геометрически. В самом деле, подкоренное выражение, согласно теореме Пифагора, можно рассматривать как гипотенузу треугольника с катетами а и а/2 (или как диагональ двойного квадрата со стороной а/2, мы и найдем искомую величинy x. Остается только (опять-таки с помощью циркуля) перенести отрезок x на отрезок а (рис. 2). Золотое сечение отрезка а построено. Способ построения золотого сечения с помощью двойного квадрата был известен и древним египтянам.

Вернемся к пентаграмме. Принимая сторону исходного правильного пятиугольника за единицу AF=AD=1, полагая DB=x и, следовательно, AB=1+x и , приходим к уравнению

; ( x2+x-1=0, которое имеет единственный положительный корень:

Так как ( = и ( ² = то 1 – φ = φ2 и мы окончательно находим

AD = DC = CB = AF = = 1;

X = DB = AF = EF = = φ;

ED = EG = GH = = 1 – φ = φ2.

Повторяя наши рассуждения для ∆DGH, в котором DG = φ, легко видеть, что стороны внутренней звезды будут равны φ3, а стороны ее внутреннего правильного пятиугольника – φ4 и т. д.

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем φ = 0,618<1, или ряд золотого сечения:

1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, , причем стороны правильных пятиугольников образует ряд четных степеней:

1, φ2, φ4, , а стороны звезд – ряд нечетных степеней:

1, φ, φ3, φ5,

Наконец, если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой y находится со стороной исходного пятиугольника AF=1 в золотой пропорции, т. е.

( ( у= = Φ = 1,618>1.

Итак, данную пентаграмму можно неограниченно продолжать как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения. При этом стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образуют ряд золотого сечения общего вида

, Φ-3, Φ-2, Φ-1, Φ0, Φ, Φ2, Φ3, , или

, φ3, φ2, φ, 1, Φ, Φ2, Φ3,

Из множества геометрических прогрессий данный ряд отличается замечательным свойством, называемым аддитивным свойством: сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда: an – 2 + an – 1 = an, или Φn – 2 = Φn – 1 = Φn

В самом деле, поскольку 1 – φ = φ2, то

1 + Φ = 1 + Φ2 и, значит, an – 2 + an – 1 = Φn – 2 + Φn – 1 = (1 + Φ) = Φn – 2 · Φ2 = Φn = an.

Аддитивное свойство ряда золотого сечения прекрасно видно на пентаграмме (рис. 1): AD = AE + ED(1 = φ + φ2), DG = DK + KG

(φ = φ2 + φ3), DK = DL + LK (φ2 = φ3 + φ4) и т. д.

Именно благодаря аддитивному свойству ряд золотого сечения играет важную роль в архитектуре, в том числе и в архитектуре Древней Греции. Архитектурное произведение(как, впрочем, и любое произведение искусства) смотрится как единое целое, гармонично, когда все его части находятся в непрерывной пропорциональной зависимости (это знаменитый принцип гармонии, сформулированный еще Гераклитом: «Из всего – единое и из единого – все»):

Но вместе с тем эти части должны образовывать целое, т. е.

Одновременно выполнение этих двух условий может обеспечить только ряд золотого сечения.

Итак, пентаграмма обладает массой интереснейших математических свойств:

1. Лучи пентаграммы делят друг друга в золотой пропорции:

2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пентаграммы и сторона образованного пентаграммой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции:

3. Лучи пентаграммы, выходящие из одной точки, образуют возвышенный треугольник.

4. Последовательность сторон правильных пятиугольников и вписанных в них пентаграмм образует ряд золотого сечения:

1, φ, φ2, φ3, φ4, , которой является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем φ < 1 и обладает аддитивным свойством:

φn = φn + 1 + φn + 2 (n = 0, 1, 2, ).

5. Отрезки пентаграммы AB = Φ, AD = 1, AE = φ и ED = φ2 связаны между собой всеми видами средних , а именно:

– среднее арифметическое;

– среднее геометрическое;

- среднее геометрическое;

– среднее гармоническое.

В общем случае для четырёх последовательных членов ряда φn, φn + 1, φn + 2, φn + 3 нетрудно доказать соотношение

Мы видим, что пентаграмма буквально соткана из золотой пропорции и всех видов средних.

Пентаграмма считалась в школе Пифагора символом дружбы, она считалась у них талисманом, помогающим им во всевозможных добрых начинаниях.

Можно только догадываться, в какой священной восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре! К математике присоединялась и числовая мистика: число 5=2+3 было для пифагорейцев числом любви как сумма первого женского (2) и первого мужского (3) чисел. Теперь становится понятным, почему именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.

Столь необычно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического содержания является основой и красоты ее внешней формы. Пентаграмма пропорциональна и, значит, красива. Не случайно и сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

Цветы яблони Цветы шиповник

Стихи о пентаграмме

Многие поэты посвятили пентаграмме свои стихи. Например, некий Владимир К. разместил в Интернете следующее стихотворение:

Нарисую пентаграмму

На полу кусочком мела.

В этом мистики - ни грамма,

Просто, видно, наболело.

По углам расставлю свечи,

Каждой дав свое названье.

Первую, как ДОМ отмечу,

А вторую - ОЖИДАНЬЕ.

Белым перышком украшу

Ту, что назову НАДЕЖДОЙ,

Ну а черное подальше

С глаз припрячу под одеждой.

Основательно и строго

Занимает пост ИЗБРАННИК,

Чтобы злу закрыть дорогу

В мой уютный многогранник.

Угол пятый закрываю, -

Открываю двери в лето,

И от СОЛНЦА зажигаю

Свечи в Пентаграмме Света

← ( ( ( ( ( ( ( ( (

Красная звездочка лагерных сборов,

Алый закат над Москвой,

Вечер, почти что забытый, в котором

Был я такой молодой!

Жизнь офицерская, отдых вечерний,

В парочках весь гарнизон.

Пахнет петуньями после учений

Возле казармы газон.

О, лейтенантское первое званье,

Так окрылявшее нас!

Счастье, которому нету названья,

Лишь ощущенье сейчас.

(Ф. И. Чуев. )

( ( ( ( ( ( ( ( (

Летчики

Четыре человека выпивали,

Забыв про жен, забыв про все дела.

Они не выпивали, а летали,

И комната кабиною была.

И командир, над столиком сломившись,

Эмалевую «Звездочку» - в вино!

А после он отдаст ее сынишке –

Ведь летчики не носят орденов.

У летчиков все звания равны.

На летном поле мало козыряют.

А в воздухе погоны не нужны-

У летчиков и маршалы летают!

А я люблю их, добрых и отчаянных,

Когда они гуляют, как никто,

Не потому, что много получают,

А потому, что завтра: - От винтов!

И, если разобьется слово «нужно»,

Друзья исполнят непосильный труд:

Те «Звездочки» на бархатных подушках

По улицам застывшим пронесут.

Но не венков заплаканную зелень,

А вижу я, как, спрыгнув с корабля,

Они идут, отталкивая землю, -

Поэтому и вертится земля!

(Ф. И. Чуев. )

← ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

Я рассмотрела историю возникновения пентаграммы, математические свойства символа. Пятиконечной звезде около 300 лет. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций и, прежде всего, золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты ее математического строения буквально завораживает. О красоте этого символа написано много книг, статей, поэты посвящают ему стихи, окультисты буквально ему поклоняются.

Я лишь хочу подчеркнуть, что мир полон интереснейших тайн, среди них есть еще и те, что до сих пор не познаны.