Чудеса четырёхмерного пространства

Интерес к необычным событиям, которые происходят в фантастических рассказах, заставляет найти объяснение происходящего. Наши поиски привели к теме о многомерном пространстве.

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине 18 века в работах Г. Грассмана, А. Кэли, Б. Римана, В. Клиффорда, Л. Шлефли и других математиков. В начале 20 века в физике стали использовать четырёхмерную пространственно-временную систему координат.

Потом идею четырёхмерного пространства у учёных заимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвёртого измерения. Герои их произведений, используя свойства четырёхмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвёртое измерение. Звенья цепи легко можно рассоединить, а узел на верёвке развязать, не прикасаясь к её концам. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента! Мистики поместили души усопших в четвёртое измерение.

Но для обычного человека идея четырёхмерного пространства осталась непонятной и таинственной, а многие вообще считают его плодом воображения учёных и фантастов, не имеющего никакого отношения к реальности.

Знакомясь с литературой по интересующей теме, удалось выявить современное состояние проблемы. Было обнаружено, что вопрос обоснования решения вышеупомянутых задач мало освещён в специальной и популярной литературе и в интернете.

Цель нашего исследования – обоснование возможности объяснения этих чудес средствами математики. Введение понятия о многомерных пространствах даёт возможность решать многие вопросы при помощи геометрических аналогий.

Для продвижения к цели поставим следующие задачи:

- познакомиться с историей возникновения учения о многомерных пространствах,

- изучить некоторые свойства четырёхмерного пространства,

- найти следы четырёхмерных фигур в трёхмерном пространстве,

- составить математическую модель решения фантастических задач и найти их решение.

В предложенной работе объектом исследования является гиперпространство, а предметом исследования – математическая модель фантастических задач.

В начале нашего исследования была выдвинута рабочая гипотеза: способы решения фантастических задач следует искать с помощью математики, так как ещё Г. Галилей сказал: «Математика- это язык, на котором написана книга природы».

Для достижения поставленной цели использованы следующие методы исследования: анализ, наблюдение, сравнение, обобщение, прогнозирование, знаковое моделирование.

В ходе исследования была создана непубликуемая ранее математическая модель фантастических задач. Полученная модель позволяет объяснить простому обывателю способ их решения.

Предложенная исследовательская работа имеет следующую структуру: во введении отражены актуальность темы, предложена историческая справка по данному вопросу, также сформулированы цели и задачи, указаны методы исследования, в основной части раскрываются вопросы, в которых разрешаются поставленные задачи. Выводы по исследованию представлены в заключении. Работу завершают библиографический список и приложение.

2. 1 Историческая справка

Мысль о многомерном пространстве выражал немецкий философ И. Кант (1746г. ), а о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты времени писал французский учёный Ж. Д’Аламбер (1764г. ). Построение же евклидовой многомерной геометрии было осуществлено английским учёным А. Кэли (1843 г. ), немецким учёным Г. Грассманом (1844 г. ) и швейцарским учёным Л. Шлефли (1852 г. ). В начале 20 века с появлением теории относительности А. Эйнштейна и идей Г. Минковского в физике стали использовать четырёхмерную пространственно-временную систему координат.

2. 2 Проблема восприятия

Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырёхмерные фигуры человек не может, так как он трёхмерное существо. Человек воспринимает трёхмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двухмерна. Для восприятия четырёхмерных фигур необходима трёхмерная сетчатка, но у человека её нет.

Так как в литературе нет систематического и наглядного описания четырёхмерных фигур, а имеются только их названия с указанием некоторых свойств, мы предлагаем начать изучение четырёхмерных фигур с самой простой – четырёхмерного куба, который называется гиперкубом.

2. 3 Гиперкуб

2. 3. 1 Определение гиперкуба

Гиперкубом называется правильный политоп, ячейкой которого является куб. Эта фигура также известна под названием тессеракт (tesseract).

Политоп – это четырёхмерная фигура, граница которой состоит из многогранников. Аналогом ячейки политопа является грань многогранника. Гиперкуб является аналогом трёхмерного куба.

Чтобы иметь представление о гиперкубе, нужно познать его свойства. Человек воспринимает некоторый объект, представляя его в виде некоторой модели. Воспользуемся данным методом, и представление о гиперкубе изложим в виде различных моделей.

2. 3. 2 Аналитическая модель

Если рассматривать одномерное пространство (прямую линию) как упорядоченное множество точек M(x), где x – координата произвольной точки прямой, то единичный отрезок можно задать двумя точками: A(0) и B(1).

Плоскость (двумерное пространство) уже можно рассматривать как упорядоченное множество точек M(x; y). Единичный квадрат будет полностью определён его четырьмя вершинами: A(0;0), B(1;0), C(1;1), D(0;1). Координаты вершин квадрата получены добавлением к координатам отрезка нуля, а потом единицы.

Трехмерное пространство – упорядоченное множество точек M(x; y; z). Для задания трёхмерного куба необходимо восемь точек:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Координаты куба получены из координат квадрата добавлением нуля, а потом единицы.

Четырёхмерное пространство есть упорядоченное множество точек M(x; y; z; t). Для задания куба нужно найти координаты 16 его вершин:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Координаты гиперкуба получены из координат трёхмерного куба добавлением четвёртой координаты, равной нулю, а потом единице.

Используя формулы аналитической геометрии для четырёхмерного евклидового пространства, можно получить свойства гиперкуба. В качестве примера можно рассмотреть вычисление длины главной диагонали гиперкуба.

Пусть требуется найти расстояние между точками A(0; 0; 0; 0) и R(1; 1; 1; 1). Для этого нужно воспользоваться формулой расстояния в четырёхмерном евклидовом пространстве.

В двухмерном пространстве (на плоскости) расстояние между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) вычисляется по формуле.

Соответствующая формула расстояния между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) в трёхмерном пространстве примет вид.

И в одномерном пространстве (на прямой) между точками A(x1) и B(x2) можно записать соответствующую формулу расстояния:.

Аналогично расстояние между точками A(x1, y1, z1,t1) и B(x2, y2, z2, t2) в четырёхмерном пространстве будет выражаться по формуле:

Для предложенного примера находим ==2.

Таким образом, аналитически гиперкуб существует, и его свойства можно описать не хуже, чем свойства трёхмерного куба.

Но всё-таки аналитическая модель гиперкуба очень абстрактна, поэтому рассмотрим другую модель – динамическую.

2. 3. 3 Динамическая модель

Точка (нульмерная фигура), двигаясь в одном направлении, порождает отрезок (одномерную фигуру). <Приложение. А теперь самое интересное

Куб, двигаясь перпендикулярно трехмерному пространству, в котором он находился первоначально, порождает гиперкуб (четырёхмерную фигуру).

Граница гиперкуба трёхмерна, конечна и замкнута. Она состоит из трёхмерного куба в начальном положении, трёхмерного куба в конечном положении и шести кубов, образованных при движении квадратов исходного куба в направлении четвёртого измерения. Вся граница гиперкуба состоит из 8 трёхмерных кубов (ячеек).

При движении в первоначальном положении куб имел 8 вершин и в конечном положении также 8 вершин. Следовательно, гиперкуб имеет в общей сложности 16 вершин.

Из каждой вершины исходят по четыре взаимно перпендикулярных ребра. Всего рёбер у гиперкуба – 32. В первоначальном положении у него было 12 рёбер, в конечном положении – 12 рёбер, и 8 рёбер образовали вершины куба при движении в четвёртом измерении.

Таким образом, граница гиперкуба состоит из 8 кубов, которые состоят из 24 квадратов. А именно, 6 квадратов в исходном положении, 6 – в конечном, и 12 квадратов, образованных при движении 12 рёбер в направлении четвертого измерения.

2. 4 Математическая модель фантастических задач

Для решения фантастических задач составим математическую модель на примере извлечения желтка из яйца. Решение остальных задач аналогично.

2. 4. 1 Задача об извлечении точки из квадрата

Задача об извлечении точки из квадрата и возвращение её в исходную плоскость без пересечения сторон квадрата в двумерной плоскости не разрешима. Введём прямоугольную систему координат Оxyz, расположим оси параллельно сторонам квадрата.

Выполним несколько последовательных параллельных переносов произвольной точки квадрата. Первый - на вектор произвольной длины, отличной от нуля, параллельный оси Оz, второй – на вектор длиной большей длины стороны квадрата, параллельный оси Оy. Затем на вектор, противоположный первому. В результате точка вернулась в исходную плоскость, но во внешнюю область квадрата. Для решения задачи пришлось увеличить размерность пространства на 1.

2. 4. 2 Задача об извлечении желтка из яйца

Задача неразрешима в трёхмерном пространстве. Для решения задачи увеличим размерность пространства на 1, получим четырёхмерное пространство. Введём систему координат Оxyzt. Центр желтка яйца поместим в начало координат. Если считать, что желток имеет форму шара, то координаты его точек удовлетворяют неравенству , где Центр желтка имеет координаты (0,0,0,0).

Сначала выполним параллельный перенос на вектор. В результате центр желтка уже находится вне исходного трёхмерного пространства. Затем в новом трёхмерном пространстве выполним следующий параллельный перенос на вектор, который переместил рассматриваемую точку в точку с координатами , если единичный отрезок выбран так, что <1, где - радиус сферы, содержащей яйцо. Последний параллельный перенос перемещает центр желтка в точку с координатами.

После последовательного выполнения этих параллельных переносов рассматриваемая точка перешла в точку, которая оказалась за пределами яйца и находится в исходном трёхмерном пространстве.

Выполнение данного преобразования со всеми остальными точками желтка позволяет переместить его за пределы яйца, не нарушая целостности скорлупы. 3. Заключение

В ходе данного исследования была изучена история вопроса о многомерном пространстве, в частности о четырёхмерном. Изучены свойства гиперкуба, получены аналитическая, динамическая модели гиперкуба. Подсчитано количество вершин, рёбер, граней, объёмных граней (ячеек) гиперкуба. Найдены длины диагоналей. Изученные свойства четырёхмерного пространства позволили достичь поставленной цели - представить математическую модель фантастической задачи и решить её.

Таким образом, рабочая гипотеза подтвердилась, и математика позволила объяснить возможность решения задачи об извлечении желтка из яйца, не нарушая целостности скорлупы.

Как говорилось выше, в популярной и специальной литературе отсутствуют решения фантастических задач, а предложенная нами математическая модель демонстрирует способ их решения.

Наука призвана объяснять всё то, что происходит в окружающем мире. Большой интерес обычного человека к фантастике вызывает у него много неразрешимых на первый взгляд вопросов. Это побудило нас найти ответы на некоторые из них.

Одним из возможных направлений нашего дальнейшего исследования можно считать изучение применения проекций многомерных фигур на пространства меньшей размерности в смежных дисциплинах (например, в физике и информатике).

Полученные результаты исследования многомерного пространства можно использовать на факультативных занятиях по математике.