Что такое логика и откуда она произошла

Подавляющее большинство людей размышляют и рассуждают, не обращаясь за помощью к особой науке, называемой логикой.

Интуитивно законы мышления известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно.

Люди постоянно стремятся расширить свои знания и обогатить свою память, однако, как сказал Гераклид: «Само по себе многознание – это не мудрость. Мудрость предполагает знание оснований и причин».

Софизмы и парадоксы не самый важный раздел логики. В некоторых учебниках (например, в учебнике Ю. В. Ивлева «Логика», автор им даже не выделил отдельной темы) о них упоминается вскользь. Однако мы решили все-таки поближе познакомиться с софизмами и парадоксами.

Мы обратились к теме софизмов и парадоксов по нескольким причинам.

Во-первых, считается, что именно софисты заставили задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

Во-вторых, разбор софизмов и парадоксов сам по себе развивает навыки правильного мышления.

В-третьих, это просто увлекательно.

Парадоксы же, привлекли нас еще и тем, что вызвали не один кризис в обосновании математики (первый кризис в V веке до н. э. и последний в первой половине XX века).

Итак, цель нашей работы доказать, что софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показать практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время.

Исходя из данной цели, мы ставим следующие задачи:

1. Рассмотреть математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.

2. Попробовать отыскать грань между софизмом и парадоксом.

3. Попытаться классифицировать основные известные парадоксы.

4. Показать применение парадоксов в современной практике.

1. Софизм – интеллектуальное мошенничество?

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».

Приведем примеры некоторых математических софизмов:

1. Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или.

(Ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

2. Любое число равно его половине.

Возьмем два равных числа a и b, a=b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведения по b2. Получим: a2-b2= ab- b2, или (a+b)(a-b) =b (a-b).

Отсюда a+b=b или а+а=а, так как a=b. Значит, 2а=а, или а=а/2.

(Ошибка: делить на a-b нельзя, так как a-b=0).

3. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра. См. чертеж.

Рассмотрим треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; Угол ВDC также прямой.

Следовательно ВD АС и ВЕ АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

(Ошибка при построении чертежа: в действительности полуокружности пересекаются со стороной Ас в одной точке, т. е. ВЕ совпадает с ВD).

Таких софизмов множество. С первого взгляда их ценность невелика.

Софизмы обычно трактуются вскользь и с очевидным осуждением. В обычном и распространенном понимании софизм - это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и завуалированный, так, что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель софизма – выдать ложь за истину.

Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина.

Софизмы связывают с недостаточной самокритичностью ума и неспособностью сделать надлежащие выводы. Нередко софизм представляет собой просто защитную реакцию незнания или невежества, нежелающего признать свое бессилие и уступить знанию.

В юриспруденции софизм традиционно считается помехой в споре. Использование софизмов уводит рассуждение в сторону: вместо выбранной темы приходится говорить о правилах и принципах логики. Вот пример древнего софизма: « Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего - есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего».

Стандартное истолкование софизма: Софизм - это мнимая проблема.

Красивым примером «мнимой мудрости» является софизм «Электра» :

В одной из трагедий Еврипида есть сцена, в которой Электра и Орест, брат и сестра встречаются после долгой разлуки. Знает ли Электра своего брата? Да она знает Ореста. Но вот он стоит перед ней непохожий на того, которого она видела в последний раз, и она не знает, что этот человек – Орест. Значит, она знает, то, что она не знает?

Аристотель пытался разрешать подобные софизмы, ссылаясь на двусмысленность глагола «знать». Но ограничиваться только ссылкой на двусмысленность глагола не стоит.

Важней другой вопрос: могут ли считаться истинными знания о предмете, если их не удается поставить в соответствие с самим предметом?

Знание никогда не бывает полным, никогда не приобретает окончательных окостенелых очертаний. Введение новых, значимых элементов, нередко заставляет перестроить всю систему знания.

Здесь фиксируется живое противоречие между наличием знания о предмете и опознанием этого предмета. О том, насколько важным является такое противоречие, говорит вся история теоретической науки и, в особенности, развитие современной высокоабстрактной науки.

Поэтому, роль софизмов не однозначна.

Первое неоспоримое достоинство софизмов – они заставили древних анализировать язык.

Действительно, многие софизмы только выглядят как, лишенная смысла и цели, игра с языком. Игра, строящаяся на многозначности языковых выражений, их неполноте, зависимости значений от контекста, недоказанности и т. д.

Для примера возьмем еще один, ставший знаменитым еще в древности, софизм «рогатый»:

Что ты не терял – то имеешь. Рога ты не терял; значит у тебя рога.

Этот софизм кажется особенно наивным и несерьезным. Понятно, что он не убедит даже простака. Но он оттачивает красноречие. Он заставляет искать аргументы для его опровержения. Учитывая, что софизм появился на заре цивилизации – это уже немало.

Все софические игры и шутки, увертливость в споре, склонность отстаивать самое нелепое положение, с одинаковой легкостью говорить «за» и «против» любого тезиса - все это только поверхность, за которой скрывается глубокое и серьезное содержание. Оно не осознавалось ни самими софистами, ни их противниками, включая Платона и Аристотеля, но оно очевидно сейчас.

Итак, что появилось, благодаря софистам?

1. Абстрагирующая деятельность, объектом которой стал язык. В словесных упражнениях, какими были софистические рассуждения, неосознанно отрабатывалось первые, еще не ловкие приемы логического анализа языка и мышления. А превращение языка в серьезный предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым шагом в направлении создания науки логика.

2. Софизмы содействовали строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

И. П. Павлов писал: «правильно понятая ошибка – это путь к открытию».

Действительно, уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики.

Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Одна из формулировок этой теоремы такова: «Через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной».

Это утверждение на протяжении более чем двух тысячелетий пытались доказать, т. е. вывести из остальных аксиом многие выдающиеся математики.

Поясним, что аксиомой называется исходное положение, принимаемое без доказательств.

Все попытки доказать V постулат Евклида не увенчались успехом.

Однако, многочисленные «доказательства» этого постулата принесли немало пользы.

1. Была систематизирована геометрия.

2. «Доказательства» подготовили почву для одного из величайших открытий математики «неевклидовой геометрии».

Понятно, что, отыскивая ошибку в «доказательстве» утверждения, что половина равна целому, мы не обязательно откроем новое направление в математике, но задуматься над законами логики и языка ведь тоже полезно? Значит, софизмы все-таки внесли свой вклад в развитие математики.

Посмотрим, а может ли привести к новому направлению в математике парадокс? И чем парадокс отличается от софизма?

2. Парадоксы.

О, сколько нам открытий чудных

Готовит просвещенья дух.

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг.

А. С. Пушкин.

Парадокс в широком смысле – это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями.

Парадокс в современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.

Грань между софизмом и парадоксом не является сколько-нибудь определенной.

В случае многих конкретных рассуждений невозможно решить на основе стандартных определений софизма и парадокса, к какому из этих двух классов следует отнести суждение.

В разных источниках, мы встречали термин «апории» (греч. «затруднение») по отношению и к софизмам и к парадоксам.

Даже в отношении таких знаменитых «апорий», как «Покрытый», «Протагор и Еватл» не решено, относить их к софизмам или парадоксам.

Однако это лишь подогрело наш интерес к проблеме софизмов и парадоксов.

Попытка систематизировать и классифицировать парадоксы по некоторому основанию весомых результатов не принесла даже у великих математиков, поэтому, мы, естественно, не стремимся побить все рекорды и классифицировать парадоксы. Мы попытаемся распределить их в контексте заинтересовавших нас проблем.

2. 1 Бесконечный спуск на примере «парадокса Лжеца».

Парадокс Лжеца иногда называют «королем парадоксов»

Открыт он был в Древней Греции, но актуальность не потерял и в наши дни.

В древнегреческом варианте этот парадокс звучал так:

- Сказанное Платоном – ложно, - говорит Сократ.

- То, что сказал Сократ – истина, - говорит Платон.

Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь?

В простейшем варианте данного парадокса человек произносит всего одну фразу:

«Я лгу».

Действительно, истинно или ложно высказывание: «Я лгу»? Рассуждения по данному высказыванию идут по кругу. По другому, эти рассуждения называют «бесконечный спуск».

Парадокс лжеца произвел громадное впечатление на греков. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда абсолютно прост: лжет ли тот, кто говорит о том, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет». И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой вопроса открывается неясная и неизмеримая пустота.

По легенде, что Филлит Кросский покончил с собой, отчаявшись разрешить данный парадокс. А Диодор Кронос уже в глубокой старости отказался от пищи до тех пор, пока не найдет решения, да так и умер.

В средние века этот парадокс отнесли к «неразрешимым предложениям» и сделали его предметом систематического анализа.

Потом его забыли. И только в XX веке развитие логики достигло того уровня, когда проблемы, стоящие за данным парадоксом стало возможно формулировать уже в строгих терминах.

По исследованию данного парадокса написаны тома.

В наше время парадокс «лжец» обычно считается характерным примером тех трудностей, к которым ведет смешение двух языков: предметного языка и, на котором говорится о лежащей вне языка действительности, о метаязыка, на котором говорят о самом предметном языке.

Интересные парадоксы, относящиеся к семантике, были открыты К. Греллингом и Л. Нельсоном. Формулируются они обычно так: «Некоторые слова, означающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют».

Например, прилагательное «русский» само является русским, прилагательное «многосложное» само – многосложно и. т. д.

Вообще, ученые считают, что логические антиномии должны рассматриваться не как проблемы, ожидающие немедленного решения, а как неисчерпаемый сырой материал для постоянного размышления.

Интересен курьезный эпизод из школьной программы 40-х годов, приведенный в «Практической логике» А. А. Ивиным:

В учебнике логики для 8-го класса данный парадокс давался школьником в качестве разминки. И считалось, что большинство детей справляется с ним очень успешно.

Иногда к типу «бесконечного спуска» относят парадокс «Что было первым - курица или яйцо». Но за этим вопросом нет ни какой-либо глубины, ни «бесконечного спуска». Данный вопрос – многозначен. И на каждый из отдельных вопросов ответить можно.

Например, с точки зрения эволюции, первые птицы произошли от птеродактилей, так что можно переформулировать вопрос: что было первым птеродактиль или его яйцо. И дальше изучать проблемы эволюции.

Если же говорить о конкретной курице, то она тем более не могла появиться из того конкретного яйца, которое снесла. Значит, вопрос разрешился сам собой.

Вообще, парадокс интересен только в случае полной неразрешимости ситуации. Такие парадоксы еще называются антимониями.

Казалось бы как может не разрешиться ситуация создавшаяся в процессе банального спора. Однако

2. 2 Парадоксы о соглашениях и системах правил

В основу первого известного парадокса из этой серии легло небольшое происшествие, случившееся в V веке до н. э. У знаменитого софиста Протагора был ученик по имени Еватл. , обучавшийся праву. По заключенному между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение, если он выиграет свой первый судебный процесс. Если же он первый процесс проиграет, он вообще не обязан платить. Однако, закончив обучение, Еватл, вообще, не стал участвовать в процессах. Это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, этот судебный процесс стал для Еватла первым. Свое требование Протагор обосновал так:

- Каким бы не было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора, если проиграет – в силу решения суда.

Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:

- Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.

Озадаченный таким оборотом дела, Протагор посвятил этому спору с Еватлом особое сочинение «Тяжба о плате».

К сожалению, это сочинение не дошло до наших дней, но сам парадокс заинтересовал не одного математика.

Немецкий математик Г. Лейбниц, сам юрист, в своей докторской диссертации «Исследование о запутанных казусах в праве» попытался доказать, что запутанные случаи должны находить правильное решение на основе здравого смысла.

По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременностью предъявления иска, но оставить за ним право получения денег позже, после выигранного Еватлом процесса.

Но позже и в решении Лейбница математики нашли ошибку. Они показали, что в сущности, Лейбниц предлагает изменить задним числом формулировку договора и оговорить, что первым с участием Еватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате не будет суд по иску Протагора.

Пытались разрешить данный парадокс и другие юристы и математики. Некоторые ссылались на принцип, что каждый труд должен оплачиваться, но их противники, тут же в качестве контрпримера приводили рабовладельческое общество, где труд рабов не оплачивался.

В общем, данный парадокс является неразрешимым. Такие ситуации довольно часты. Перефразировкой парадокса о Протагоре и Еватле является парадокс о миссионере и людоеде:

Людоеды разрешили миссионеру выбрать, в каком виде его съесть. Он должен был привести какое-либо высказывание, если это высказывание истинно, его сварят, ложно – изжарят. (Миссионер должен сказать «Вы зажарите меня»).

Правда, у миссионера менее завидная доля, чем у Еватла. Если людоеды решат сдержать свое слово, то миссионер останется жив. Интересно, в племени людоедов любят рассуждать о морали и праве?

2. 3 Парадокс как форма постановки проблемы

Не всегда парадокс выступает в такой наглядной форме, как парадокс Лжеца или парадокс Протагора. Иногда парадокс оказывается своеобразной формой постановки проблемы, относительно которой сложно даже решить, в чем именно эта проблема состоит. Размышления над такими проблемами обычно не приводит к существенным результатам, но оно, несомненно, полезно для тренировки мысли.

В качестве примера хочется привести парадоксы древнекитайского философа Хуэй Ши

Вот некоторые из его рассуждений:

«То, что не обладает толщиной, не может быть накоплено. И все же громада может простираться на тысячу ли. - Небо и земля одинаково низки; горы и болота одинаково ровны, - Солнце, только что достигшее зенита, уже находится в закате; вещь только что родившаяся, уже умирает. - Южная сторона света не имеет предела и в то же время имеет предел. – Только сегодня отправившись в Юэ, туда я давно уже прибыл».

Трудно рассуждать над этими высказываниями, но ведь подсознательно чувствуешь, древний философ прав.

Подобные проблемы ставил и древнегреческий философ Горгий

В своем сочинении «О несуществующем или О природе».

Рассуждения о несуществовании природы начинается с утверждения, что ничего не существует. Затем в рассуждении делается шаг назад и предполагается, что что-то все-таки существует. Из этого делается вывод, что существование непостижимо для человека, потом, доказывается что существующее все-таки постижимо. Окончательно выводится, что постижимое невыразимо и необъяснимо для другого.

Достаточно сложно для понимания, но поразмыслить полезно.

Более ясная формулировка у парадоксов Евбулида «куча», «лысый» или «медиум зерна» Зенона. И проблемы более ярко выражены.

Попробуем провести параллели между рассуждениями Хуэй Ши и апориями Евбулида.

Итак, солнце, достигшее зенита, уже находится в закате.

Если убрать один камень, куча останется кучей. И еще один камень

Один камень ни на что не влияет. Так в какой же момент куча перестает быть кучей? И создает ли один камень кучу?

В обоих рассуждениях явно видна попытка древних наглядно представить противоречивость всякого изменения. Показать, как постепенное чисто количественное изменение какого-то объекта достигает своего предела и перерастает в качественное изменение. Так вода, постепенно нагреваясь от 0 до 180 градусов, переходит в другое качественное состояние. Итак, мы убедились, что парадоксы представляют собой, как правило, неразрешимые проблемы.

Но поставить такие проблемы, которые пошатнули незыблемые устои математики! Оказывается, некоторые из парадоксов поставили настолько неразрешимые проблемы перед учеными своего времени, что привели даже к кризису математики.

2. 4. Парадоксы бесконечности

Мы уже говорили об апориях Зенона Эллейского. Одна из самых эффектных его апорий, та, в которой быстроногий Ахиллес и медлительная черепаха соревнуются в беге .

Храбрейший и быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если она находится впереди него даже на малом расстоянии, утверждает Зенон. Его доказательство сводится к следующему: пусть Ахиллес бежит в n раз быстрее черепахи и пусть их разделяет расстояние d. Когда Ахиллес пройдет это расстояние, одновременно с ним начавшая свое движение черепаха отойдет на d/n; когда же Ахиллес пройдет и это расстояние, движущаяся черепаха будет находиться впереди него на d/n2 и т. д. между Ахиллесом и черепахой всегда будет оставаться определенное расстояние .

Затруднение Зенона состоит даже не в том, что сумма бесконечного числа слагаемых оказывается конечной. Можно ли вообще составлять арифметические выражения, содержащие бесконечное число действий. И можно ли говорить о моменте, который наступит уже после всех моментов с номерами один, два , миллион? Сказать, что Ахиллес догонит черепаху в «момент номер бесконечность». А как нумеровать следующие моменты?

Сегодня разработана теория бесконечных рядов, обосновано суммирование бесконечного числа непрерывно меняющихся слагаемых (интегрирование). И всякий раз математики вынуждены прибегать к громоздким рассуждениям, чтобы описать все это точно, без логических противоречий.

Еще одна знаменитая апория Зенона «Дихотомия» (греч. деление пополам). В этом парадоксе Зенон утверждает, что движение невозможно, ибо до того, как движущееся тело пройдет расстояние от точки А до точки В, оно должно пройти 1/2 этого расстояния (отрезка), а до этого1/4, 1/8, 1/16его, последовательность таких отрезков бесконечна, значит точка В никогда не будет достигнута. Тот же самый тупик, сумма бесконечного множества слагаемых конечна. Открытия, связанные с допущениями дискретной структура пространства, привели к первому кризису в обосновании математики.

А к чему привели открытия связанные с дискретной структурой времени?

Но сначала о парадоксе «Стрела» .

Зенон доказывает, что движение летящей стрелы невозможно ввиду того, что в каждый неделимый момент времени она покоится, а промежуток времени является суммой бесконечного числа неделимых моментов. Затруднение состоит в том, что если время складывается из неделимых «моментов», в каждом из которых тело покоится (иначе «неделимое» подразделялось бы на части, соответствующие различным положениям тела), то в итоге не можем получить движения.

К такому же выводу приводит и апория «Стадий».

Что такое «момент времени» с точки зрения формальной математики стало ясно только в XIX веке, когда усилиями Вейерштрасса, Дедекинда, Коши и других ученых была построена логически непротиворечивая теория действительных чисел.

Но самое интересное, что в конце того же XIX века апория Зенона о стреле была удивительным образом отражены в технике: братья Люмьер создали кинематограф (приложение 4).

2. 5 Парадоксы, связанные с теорией множеств

Но на этом парадоксы, потрясшие математику, не закончились. Самым знаменитым из открытых уже в XX веке парадоксов, является парадокс Рассела.

Этот парадокс, по мнению Д. Гилберта, вызвал в математике «эффект полной катастрофы»

Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения этого парадокса.

Явным оказался необходимым отход от привычных способов мышления. Но из какого места, и в каком направлении? Насколько радикальным должен стать этот отказ?

С дальнейшим исследованием данной антимонии убеждение в необходимости принципиально нового подхода росло. И. Бар-Хиллел, и А. Френкель писали: «Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этих целей.

Итак, в чем же заключается этот парадокс? Начнем с определения множества.

Множество есть объединение в единое целое определенных вполне различимых элементов.

Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является ли оно своим собственным элементом или нет.

Множество, не содержащее себя в качестве элемента, назовем обычным (например, множество, объединяющее всех людей – обычное).

Множества являющиеся собственными элементами будут необычными (например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество, а, значит, содержит себя в качестве элемента).

Очевидно, что каждое множество является либо обычным, либо необычным. Поскольку множество всех обычных множеств есть множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное.

Если оно обычное, то не может содержать себя в качестве элемента, если необычное, то содержит себя в качестве элемента, но элементы данного множества – обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычном.

Но почему оно не может существовать, ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих строго определенному условию, причем само условие не кажется каким – то исключительным или не ясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможным и невозможным множествами? Вывод о несуществовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить новые парадоксы.

Многие математики вообще предлагали отказаться от теории множеств. Однако, поскольку антимония Рассела не затрагивала непосредственно рассуждения и выводы в анализе и геометрии, в которые теория множеств внесла ряд интереснейших результатов, большинство математиков согласились с заявлением Д. Гилберта: никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор». Предпринятые же с начала XX в. различные попытки преодоления антимонии Рассела привели к различным точкам зрения на существо понятий множества, число и других понятий, лежащих в основах математики.

Примером псевдопарадокса по аналогии парадокса Рассела является парадокс каталога:

Можно ли создать каталог, в который входили бы только те каталоги, которые не содержат ссылку на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Нетрудно доказать, что такой каталог создать нельзя. Следовательно, данная задача не парадокс.

Заключение

Приступив писать заключение, мы вспомнили о парадоксе описания чистого листа. Это описание бесконечно, как песенка «У попа была собака, он ее любил».

Так же бесконечно хочется писать о парадоксе. И видимо, знание о парадоксе будет постоянно меняться, и никто никогда не скажет: «Я знаю о парадоксе все».

И от этого наша тема становится еще более притягательной. Мы рассмотрели наиболее интересные софизмы и парадоксы, еще больше их не рассмотрели.

Начав с «детских» софизмов «2х2=5», мы перешли в мир, в котором терялись и теряются великие математические умы всех столетий. В разные эпохи ученые искали выходы из парадоксов, предложенных великими математиками. Со стороны величайших математиков и философов апории подвергались разнообразной критике. Благодаря парадоксам Зенона, Демокрит из Абдеры впервые высказал идею о том, что отношение малых отрезков пути к соответствующим малым промежуткам времени остается конечным и определяет скорость движения. Как далека тогда еще было математика от дифференциального исчисления, но идея-то уже витала в воздухе. А Диоген пошел для опровержения другим путем, вернее он просто пошел, обратился непосредственно к опыту, встал и ни слова не говоря, стал ходить возле своей бочки, в которой он проводил ночь. Вот как описывает этот случай А. С. Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не смог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый

А вот здесь, по легенде, Пушкин ошибается, Диогена в этом случае побили, за подмену тезиса в споре.

И мы не будем больше уходить от темы и вернемся к поставленной перед собой цели.

В своей работе мы доказали, что софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показали практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время.

Мы рассмотрели математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.

Выяснили, что грань между софизмом и парадоксом очень тонка, многие парадоксы в разных источниках называют софизмами, а софизмы парадоксами. Однако можно считать софизм мнимой проблемой. Парадокс это пара утверждений, которые в равной степени приемлемы, но которые в тоже время противоречат друг другу, т. е. не могут быть приняты вместе. То есть его-то мнимой проблемой назвать нельзя. Исключения составляют псевдопарадоксы, они чаще всего разрешимы.

Классифицировать основные известные парадоксы трудно, даже невозможно, однако это не делает их менее привлекательными.

Мы показать, что древнейшие парадоксы нашли свое если не решение, то отражение в современной науке. И вообще, парадоксальность - характерная черта современного научного познания мира.