А. Ф. Мёбиус и его поразительное открытие

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем <<Резиновая геометрия>>. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Например, сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Топология - одна из наук, результаты исследования которой применяются в математике, технике, экономике.

Лист Мёбиуса - определение

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? <<Может!>>. И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса - бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, т. е. пройдя вдоль всей его <<средней линии>> с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку - но флажок будет теперь <<поднят>> в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из <<внешности>> во <<внутренность>>.

Лист Мёбиуса назван так в честь немецкого математика А. Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858г.

А. Ф. Мёбиус и его поразительное открытие

Август Фердинанд Мёбис (1790-1868) - немецкий геометр, ученик <<короля математиков>>. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже - профессором Лейципгского университета (Мёбиусу было всего тогда 26 лет). Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много размышлял о математике.

Одним из <<неожиданным>> математическим открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой <<лист>> Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!"

Эта история произошла в 1865 году.

Мёбиус сделал поразительное открытие - получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны). Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

2. 4 Применение листа Мёбиуса.

Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Благодаря ленте Мёбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон" не меняя их местами.

Имеются воплощения простого листа Мёбиуса в строительстве. Построенный в Лондоне велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения его ресурса.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Чудесные свойства ленты породили многочисленные фантастические рассказы. В рассказе А. Дейча "Лента Мебиуса" описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор

Макс Билл.

Гигантская скульптура <<Древо жизни>> сочетает в себе мотивы древесной коры, человеческого сердца и <<Листа Мёбиуса>>, символизирующие творческий союз искусства и науки.

Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса. Например, в Казахстане строится огромная библиотека

Аттракцион <<Американские горки>>, являющийся подобием <<необыкновенного листа>>, многих людей приводили в восторг. небольшие скульптуры с изображением листа Мёбиуса являются украшением парков и скверов.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Международный символ переработки

Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цир - ке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из специального покрытия. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую.

Ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках. Например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Мотив Ленты Мёбиуса встречается в названиях общественных заведений, логотипах.

компьютерный салон

необычный вид ленты Мёбиуса приглянулся и ювелирам. Часто украшения напоминают математический объект.

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

Практическая часть

Изготовление листа Мёбиуса.

Берём бумажную ленту АВВ[!]А[!]. Прикладываем её концы АВ и А[!]В[!] друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой В[!], а точка В с точкой А[!]. (склеим концы ленты, предварительно повернув один из них на 180 градусов). Получим перекрученное кольцо. Лист Мёбиуса готов!

Проведение опытов с листом Мёбиуса.

Для проведения опытов я изготовила бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см.

Чтобы понять, в чём особенность листа Мёбиуса, я проводила опыты с обычным бумажным кольцом и с перекрученным (листом Мёбиуса).

обычное кольцо перекрученное кольцо (лист Мёбиуса)

Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.

Обычное кольцо

Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.

Вторая остаётся чистой.

Лист Мёбиуса

Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса является непрерывной.

На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся <<переползать>> через край ленты. Разрывов нет - непрерывность полная.

Закрасим полностью только одну сторону колец.

Обычное кольцо

Одна сторона закрашена, другая нет.

Лист Мёбиуса

Закрашенной оказалась весь лист целиком.

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса односторонняя.

Лист оказался закрашенным полностью! А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. <<Внешняя>> и <<внутренняя>> стороны как бы по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Закрасим непрерывной линией только один край колец

Обычное кольцо

Один край кольца закрашен, второй край нет.

Лист Мёбиуса

Линия края получилась, непрерывно закрашена на всём кольце.

Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край!

На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идёт в любую сторону некто У

Обычное кольцо

Х и У никогда не встретятся, не пересекая края

Лист Мёбиуса

Х и У встретятся, не пересекая края в любом случае.

Вывод: Поверхность листа непрерывная и односторонняя.

Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям

Обычное кольцо

Получилось два кольца, точнее две половинки от исходного кольца. Каждое кольцо будет уже, но длина будет такой же, как длина первоначального кольца.

Лист Мёбиуса

Получилось одно большое перекрученное кольцо в виде восьмёрки.

Исследуем полученные поверхности:

На полученных в 5 опыте кольцах поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку ( повторим опыт 1)

Обычное кольцо

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца.

Результат опыта 1 повторился.

Лист Мёбиуса

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца.

Результат опыта 1 не повторился.

Получилась не лента Мёбиуса!

Вывод: при подобном разрезании Лист Мёбиуса утратил свойство непрерывности.

Разрежем кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца

Обычное кольцо

Получилось два кольца: одно поуже, другое шире.

Лист Мёбиуса

Два перекрученные сцепленные между собой кольца: диаметр первого в два раза больше диаметра второго, ширина первого кольца в два раза меньше.

Исследуем полученные поверхности:

На полученных в 6 опыте кольцах поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку ( повторим опыт 1)

Обычное кольцо

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца.

Результат опыта 1 повторился.

Лист Мёбиуса

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (Не лист Мёбиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон (Лист Мёбиуса)

Возьмём кольца- результаты 5 опыта. Разрежем пополам вдоль.

Обычное кольцо

Получаются отдельные кольца. Их ширина становится всё уже и уже.

Лист Мёбиуса

Получилось два кольца, переплетённые между собой в виде восьмёрки.

Выводы по разрезанию: Лист Мёбиуса имеет интересное свойство - связность.

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска. Разрез ножом разделит яблоко на две части. Говорят, квадрат- односвязн.

Если разрезать лист Мёбиуса вдоль (опыт 1), он превратится не в два отдельных кольца, а в одну ленту. Лист Мёбиуса - двусвязн.

Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны примерно равны, не сминая бумаги!

Обычное кольцо

Получится <<Труба>> Лист Мёбиуса

Свернуть концы квадрата, предварительно повернув один из них на 180 градусов, не сминая бумаги, не возможно.

Склеим ленту из квадрата, складывая бумагу

Обычное кольцо

Получится <<Труба>> Лист Мёбиуса

Получится лист Мёбиуса

Проведём многоразовые перекручивания, разрезания.

Обычное кольцо

Получится множество колец

Лист Мёбиуса

Получится новогоднее украшение

3. 3 Общие результаты опытов - свойства листа Мёбиуса

:: Лист Мёбиуса имеет одну сторону (поверхность). Это подтверждают результаты 1,2,4 опытов.

:: Лист Мёбиуса имеет один край. Результат 3 опыта.

:: Очевидный лист Мёбиуса можно получить из прямоугольника, где длина значительно больше ширины, т. е. из полосы, ленты.

:: Если пустить по поверхности листа Мёбиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго, т. е. поверхность непрерывна. Это подтверждают 1 и 4 опыты.

:: Листу Мёбиуса присуще свойство - связность.

:: Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски.

:: Лист Мёбиуса можно многократно перекручивать при склеивании, при этом получается узор.

:: Один край и одна сторона листа Мёбиуса не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния.

4. Выводы

1. Лист Мёбиуса можно получить простым способом.

2. Лист Мёбиуса действительно необыкновенный. В этом я убедилась, проводя анализ результатов опыты с обычным кольцом и перекрученным листом.

3. Свойства листа многообразны. они получены мной в результате эксперимента и были сравнимы со свойствами, описанными в математической литературе.

5. Заключение

Выполняя работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, я узнала о жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: <<Всё гениальное рядом>>. Открытие положило начало новому направлению в математике. Мною была изучена большая разнообразная информация. Она анализировалась и перерабатывалась.

Я получила удовольствие, когда выполняла опыты. Результаты были очевидны, поскольку эксперименты проводились с обычным кольцом и листом Мёбиуса. Так я узнала об удивительных свойствах листа Мёбиуса. Для меня это были маленькие открытия. Предположение, что лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами, подтвердилась.

Используя источники сети Интернет, я обратила внимание на широкое применение Листа Мёбиуса. Он так нужен в практической жизни!

Поэтому этому математическому объекту и поставили памятники в Москве, Вашингтоне, в республике Беларусь и Литве.

В ходе работы я создала альбом, в который включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса. Собранным материалом я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало и расширило их математический кругозор.

6. Перспектива исследования

С листом Мёбиуса можно провести ещё много опытов и убедиться в открытых свойствах. Количество опытов зависит от собственного интереса и терпения.

К тому же, в ходе эксперимента я узнала лишь некоторые свойства листа Мёбиуса. Не изученными остались свойства ориентированности, <<хроматического номера>>.

Кроме того, свойства мало получить и увидеть в результате эксперимента, они требуют математического обоснования, доказательства.

Эти моменты я рассмотрю, когда перейду учиться в старшие классы и буду изучать теоремы геометрии.