Значимость задач практического характера в понимании курса математики

Действительно, математика проникает во все сферы человеческой деятельности. Трудно назвать хотя бы один раздел науки или какую-либо профессиональную область, где не присутствовала бы математика или её методы. Образы математических объектов окружают нас и в повседневной жизни. Умение применять полученные теоретические знания на практике может служить критерием оценки уровня культурного человека.

Основная задача прикладной направленности школьного курса математики – это задача формирования такого уровня математической культуры школьника, который характеризуется осознанным пониманием происхождения математических объектов, представлением о возможности применения математики к решению задач, возникающих в разнообразных областях знаний, о её приложениях к различным сферам деятельности человека.

Нам бы хотелось обратить внимание всех на то, что многие школьники испытывают затруднения при переносе полученных на уроке математики знаний.

Поэтому в своей работе хотим отметить важность прикладных задач для понимания самого предмета.

Школьники должны решать прикладные задачи с физическим, математическим, экономическим содержанием. С одной стороны законы математики обязательны для всех наук. Круг ее приложений настолько широк, что все равно не удается рассмотреть их в достаточной полноте. С другой стороны математика черпает идеи для своего дальнейшего развития именно из приложений. Если вообще отказаться от задач с реальным предметным содержанием, то ученые не смогут решать ничего, кроме теоретических упражнений.

Одной из главных и приоритетных тенденций современного образования является создание так называемых межпредметных связей при изучении отдельных циклов школьных предметов.

Последние годы отмечена тенденция все более широкого проникновения математики в различные области наук, казалось бы, далеких от математики (биология, химия, экономика, социология, медицина). Расширились прикладные возможности и в индустриальной, информационной сферах. Необходимо отразить эти возможности в образовательном процессе, так как необходимо готовиться к использованию математических знаний в качестве инструмента познания. Приходиться сталкиваться с проблемой решения задач соответствующего содержания. Полного представления о применении математических знаний в наших учебниках не достаточно, поэтому нам интересно рассмотреть задачи из разных областей науки.

Хотим обратить внимание на то, что математика вступает в самые тесные межпредметные связи лишь с физикой.

II Межпредметные связи с дисциплинами

• Физика

Физик не может не знать математический язык, потому что на этом языке написана книга природы, которую суждено ему читать. Физик не может рассуждать иначе, как только математически, потому, что он претендует на точность.

Математика не существует сама по себе и сама для себя, а она призвана быть центральным звеном всех естественных наук. Рассмотрим межпредметные связи математики с другими предметами.

Дано: СИ Решение:

а = 550 мм 0,55 м в = 420 мм 0,42 м h = 250 мм 0,25

= 700  

Найти:  

m, Р, = ?  

V = а  * в * h; m= V *; m =  а *  в *  h * ; m = 0,55 * 0,42 * 0,25 * 700 = 40,425 (кг);

Р = m * g;

Р= 40,425 * 10 =  404,25 (Н); р=; S= а * в; р = ; р = = 1750 (Па)

Ответ: 40,425 кг; 404,25 Н; 1750 Па.

• Химия

Уже более двухсот лет прошло с тех пор, как химия перестала быть описательной наукой. После того, как гениальный М. В. Ломоносов, ввел в химическую практику весы, знание математики стало необходимо для каждого химика. Еще в 1741 году М. В. Ломоносов писал: “Если математики из сопоставления нескольких линий выводят очень многие истины, то и для химиков я не вижу никакой иной причины, вследствие которой они не могли бы вывести больше закономерностей из такого обилия имеющихся опытов, кроме незнания математики”.

Задача Имеются два слитка, состоящих из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите сколько килограммов олова в получившемся новом сплаве?

Вид данных 1 сплав 2 сплав Новый сплав

Общая масса 150 250 150+250=400

Цинк 150*0,01х=1,5х 250*0,01=2,5х 400*0,3=120

Медь 250*0,26=65

Олово 150*0,4=60 250-75-65=110

1,5х+2,5х=120,

4х=120, х=30.

2,5*30=75 кг, значит, олова во втором сплаве 250-75-65=110, а в новом 60+110=170.

Дано: Решение:

Ar(Cu)=64 Mr(CuSO4)=Ar(Cu)+Ar(S)+4 *Ar(O)

Ar(S)=32 Mr(CuSO4)=64+32+4*16=160

Ar(O)=16 w(Cu)=(64*1)\160=40% w(S)=(32*1)\160=20% w(O)=(16*4)\160=40%

Ar(S)=32 Mr(SCi4)=Ar(S)+4 *Ar(Ci)

Ar(Ci)=35,5 Mr(SCi4)=32+4 *35,5=174 w(S)=(32*1)\174=18% w(Ci)=(35,5*4)\174=82%

Ar(S)=32 Mr(FeSO3)=Ar(Fe)+Ar(S)+3*Ar(O)

Ar(Fe)=56 Mr(FeSO3)=56+32+3*16=156

Ar(O)=16 w(Fe)=(56*1)\156=35% w(S)=(16*3)\156=24% w(O)=100%-(35%”+24%)=41%=>CuSo4>SCi4>SO3

Ответ: в веществе FeSO3 большее содержание S=24%

• География

Первая довольно удачная для своего времени попытка измерения земли была сделана во II веке до н. э. александрийским ученым Эратосфеном, который вам больше известен, как автор способа нахождения простых чисел (Решето Эратосфена). Решением задач картографии успешно занимались математики: “Ламберт”, Мольвейде, Гаусс, Бельтрами и др. Однако это не помогло географии стать наукой, такой же точной, как астрономия. Только середина XX века стала переломной эпохой в развитии географии.

Из дисциплины преимущественно собирающей и классифицирующей факты, она постепенно превращается в науку о пространственных взаимосвязях явлений на земле, познающую закономерности этих взаимосвязей.

Самое глубокое озеро в России – Байкал.

Оно имеет глубину 1940 м, а самое глубокое ущелье Хеллс-Каньон (штат Айдахо, США) – 2400 м. На сколько глубже ущелье в США?

• Астрономия

Математика, физика и астрономия – родные сестры, весьма почтенного возраста, но не стареющие, а молодеющие, живущие в дружбе и союзе. Плодом этого союза явились наши “Востоки”, “Восходы”, “Союзы”, бороздящие безбрежное пространство, получившее с легкой руки Пифагора название космос”.

Вес космонавта на Земле 90 кг. Перед стартом корабля он полулежит в кресле, площадь опоры которого 0,5 кв. м. Как космонавт будет давить на кресло во время подъема корабля, если перегрузка равна 8 g?

Исходя из среднего размера головы кометы, равного 1000 км. и ее массы, равной 10 000 0000 кг, оцените среднюю плотность ее вещества. (Используйте формулу объема шара).

• Биология

Биологи давно прибегают к математике.

Ценность математики для биологии состоит в применении ее как аппарата исследований, и в возможности абстрактно подойти к решению сложнейших проблем и обнаружить связи между принципиально различными явлениями и процессами (см. слайд).

• Русский язык и литература

Многие слышали о машинном переводе, о стихах, сочиненных машинами, о расшифровке математиками языка, исчезнувшего народа майя, о достижениях новой науки – математического языкознания. Можно сказать о другом – о фактах счастливого соединения художественного и математического талантов наблюдаемого у некоторых людей

Из рассказа Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли надо» (разбор задач на максимум).

Крестьянин Пахом мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желаемую сумму, предстал перед требованием старшины: “Сколько за день земли обойдёшь, вся твоя будет за 1000 руб. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои денежки”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырёхугольник периметром 40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом?. Должен быть квадрат, а = 10 км.

• Военное дело

Наган на дне океана.

Для этой задачи взята также необычная обстановка — дно океана. Глубочайшее место океана, какое удалось промерить, находится близ Антильских островов: 11000 м.

Вообразите, что на этой глубине очутился наган и что заряд его не промок. Курок спущен, порох воспламенился. Вылетит ли пуля?

Вот сведения о нагане, необходимые для решения задачи: длина ствола 22 см; скорость пули при выходе из дула — 270 м/с; калибр (диаметр канала) — 7 мм; вес пули — 7 г. Итак, выстрелит ли пуля из нагана на дне океана?

Решение

Задача сводится к решению вопроса: какое давление на пулю больше — пороховых газов изнутри или воды океана снаружи? Последнее рассчитать несложно: каждые 10 м водяного столба давят с силой одной атмосферы, т. е. 1 кг на 1 кв. см. Следовательно, 11000 м водяного столба окажут давление в 1100 атмосфер, или больше тонны на 1 кв. см.

где V- скорость пули у дульного обреза; а- искомое ускорение; S- длина пути, пройденного пулей под непосредственным давлением газов.

Теперь определим давление пороховых газов. Прежде всего вычислим силу, движущую пулю. Для этого найдем среднее ускорение движения пули в стволе (принимая это движение за равномерно-ускоренное). V = 2aS.

Подставим V=270м=27000см в секунду, S= 22см, тогда

27000*27000=2а*22 a= 16500000 см/с=165 км/с

Огромная величина ускорения не должна нас удивлять, потому что пуля проходит путь по каналу нагана в ничтожный промежуток времени, который тоже поучительно вычислить. Расчет выполняем по формуле V=at:

27000=16500000t, t= 1/600 секунд.

Мы видим, что за 600-ю долю секунды скорость пули должна возрасти от нуля до 270 метров.

В килограмме миллион миллиграмм, значит на пулю действует сила в 115 кг. Чтобы вычислить давление надо знать, по какой площади эта сила распределяется. Площадь рана поперечному сечению канала револьвера:

¼*3,14*0,7*0,7=0,38 кв. см.

Значит на 1 кв. см. приходится давление в 115:0,38= 300кг

Итак, пуля в момент выстрела выталкивается давлением в 300 атмосфер против давления океанских вод, превышающая 1000 атмосфер. Ясно, что пуля не двинется с места. Порох вспыхнет, но не вытолкнет пулю. Пуля нагана бессильна “пробить” воду.

В качестве примера рассмотрим отдачу ружья.

• Отдача огнестрельного оружия

Пороховые газы отбрасывают ружье в обратную сторону, порождая всем известную “отдачу”. С какой скоростью движется отдающее ружьё? Вспомним закон равенства действия и противодействия. По этому закону давление пороховых газов на ружьё должно быть равно давлению пороховых газов на пулю. При этом обе силы действуют одинаковое время.

Так как f t для пули и для ружья одинаково, должны быть одинаковы и количества движения. Если m- масса пули, V- её скорость, М- масса ружья, w- скорость ружья, то согласно закону мы имеем: mV=Mw, отсюда следует: w/V=m/М

Подставим в эту пропорцию числовые значения. Масса пули военной винтовки-00,96 килограмм, скорость пули при вылете- 800 м/с; масса винтовки- 4,5 килограмм.

w/800=0,0096/4,5

Следовательно, скорость ружья w= 1,7 м/с.

Ответ: w= 1,7 м/с.

• В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно штрафное очко, за каждый последующий - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

III. Заключение

• Значимость математических моделей для применения в практической деятельности весьма огромна, это видно при решении прикладных задач. Задачи существуют, но их нет в учебниках математики. Недостаточность задач практического содержания в учебниках по математике позволяет учителю и учащимся самостоятельно подбирать материал в соответствии с профилем обучения, что поможет преодолеть затруднения в переносе математических знаний, полученных на уроках.

Для нашей будущей профессии интересны задачи, связанные с военным делом.

• Математика не существует сама по себе и сама для себя, а она призвана быть центральным звеном всех естественных наук. Нашлось много таких узловых моментов, которые объединяют математику со всем спектром естественных наук, изучаемых в рамках общеобразовательной школы. Связь математики и других школьных предметов видна при решении определённо поставленных задач практического характера. Тем самым в максимальной степени исполняется один из основных принципов – СВЯЗЬ НАУКИ С РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНЬЮ.

• Использование прикладных задач математики только тогда вызывает интерес, если эти задачи удовлетворяют требованию: решение задач имеет важное практическое значение. Изучение математических моделей реальных процессов в природе и обществе поможет преодолеть затруднения в переносе математических знаний, полученных на уроках.