"Замечательные точки" в геометрии

Самым удивительным свойством «замечательных точек треугольника» является то, что некоторые из них связаны друг с другом определёнными соотношениями.

Например: точка пересечения медиан М и точка пересечения высот Н, и центр описанной окружности О, лежат на одной прямой, причем точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ:ОН = 1:2. ) Теорема была доказана в 1765 году Леонардо Эйлером, отсюда она и получила своё название «Теорема Эйлера». В этом же году Эйлер обнаружил, что середины сторон тpеyгольника и основание его высот лежат на одной окружности. Впоследствии было обнаружено, что на той же окружности лежат ещё три точки - середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Это и есть «окружность 9 точек».

Существуют ещё другие «замечательные точки треугольника». Это «точка Торричелли», «точка Лемуана», «точка Жергонна», «точка Нагеля».

1. Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности

Эта точка всегда лежит внутри треугольника и является центром вписанной в треугольник окружности. Точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника. Точка О - точка пересечения биссектрис AA1; BB1; CC1 треугольника ABC, О - центр вписанной в треугольник ABC окружности.

Можно рассмотреть еще три свойства центра О вписанной окружности треугольника АВС.

3 1' Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность треугольника

ABC в точке М, то МА = MB = МО.

Доказательство

<1=<2 по условию (биссектриса

<5 =<3 (биссектриса

< 6 = < 2 они вписанные и лежат на одной дуге;

<4 = < 3 + < 1 по свойству внешнего угла треугольника отсюда следует, что <6 = <1, <5=<1, <4 = сумме двух <1 => <4= <5+ <6, значит треугольник ОАМ равнобедренный

=> AM=OM. Аналогично ВМ = МО.

2' Если АВ - основание равнобедренного треугольника

ABC, то окружность касающаяся сторон < АСВ в точках А и В, проходит через точку О1 (центр вписанной окружности треугольника).

Доказательство .

Пусть О - середина (меньшей) дуги АВ рассматриваемой окружности. По св-ву угла между касательной и хордой

(Угол между хордой и касательной измеряется половиной содержащемся в этом угле дуги окружности. ).

<САО1 = <О1ВА = <О1АВ, т. е. точка О1 лежит на биссектрисе <А. (вписанный <О1ВА измеряется половиной дуги на которую опирается)

Аналогично можно показать, что точка О1 лежит и на биссектрисе <В, т. е. О1 = О.

3' Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ, пересекает стороны ВС и СА в точках А1 и В1, то А1В1 = A1B + АВ1.

Доказательство.

<ОАВ =<В1АО (биссектриса угла А) => АВ1 = В1О.

Аналогично

А1В =А1О => А1В1 = А1О + ОВ1 = А1В +АВ1.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров центр - описанной окружности

Серединным перпендикуляром называется перпендикуляр, проведённый к середине стороны треугольника. Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности.

Эта точка может лежать как внутри треугольника

, так и вне его и на его сторонах.

LO, МО, КО - серединные перпендикуляры,

О – точка их пересечения => точка О – центр описанной окружности. .

1' Пусть А1, В1, С1, - середины сторон ВС, СА, АВ.

треугольника АВС. Доказать, что окружности треугольника АВС, описанные около треугольника АВ1С1, треугольника A1BC1, и треугольника А1В1С пересекаются в одной точке, причём эта точка – центр описанной окружности треугольника ABC.

Доказательство .

<ОВ1А и

А1ВС1 и треугольника A1B1C доказательство аналогично.

3. Точка пересечения высот треугольника - ортоцентр.

Точку пересечения высот ещё называют ортоцентром. Точка пересечения высот может лежать как внутри треугольника, так и вне его и на его сторонах, h1; h2; h3 - высоты треугольника ABC => точка О - точка пересечения высот.

4. Точка пересечения медиан центроид.

Точка пересечения медиан всегда лежит внутри треугольника. Эта точка обладает замечательным свойством, она делит каждую медиану на отрезки, отношение длин которых равно 2/1, если считать отрезки от вершин треугольника. Эту точку также называют центром масс треугольника или центроидом.

АК; ВN; СL - медианы треугольника ABC.

ВО/ОN = СО/ОL = АО/ОK= ½

1' Если точку пересечения медиан треугольника соединить с вершинами, то треугольник разобьется на три треугольника равной площади. В самом деле, достаточно доказать, что если Р - любая точка медианы АК в треугольнике

ABC, то площади треугольников КВР и КСР равны (S= 1/2ah). Ведь медианы AК и РК в треугольнике ABC и треугольнике

РВС разрезают их на треугольники равной площади.

Теорема Эйлера

Самым удивительным свойством «замечательных точек треугольника» является то, что некоторые из них связаны друг с другом определёнными соотношениями.

Например: точка пересечения медиан М и точка пересечения высот Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ / МН =1/2. Эта теорема была доказана в 1765 году Леонардом Эйлером, отсюда она и получила своё название – «Теорема Эйлера».

Докажем эту теорему.

Рассмотрим треугольник A1B1C1 с вершинами в серединах сторон треугольника ABC. Пусть Н1 и Н их ортоцентры. Точка Н1 совпадает с центром О описанной окружности треугольника ABC.

Доказательство

Треугольник C1H1M подобен треугольнику СНМ, по двум углам

(< C1MН1 = <СМН (как вертикальные),

< H1C1M = < МСН (как накрест лежащие при II C1О и C2C и сек. C1C, так как два перпендикуляра к прямой параллельны).

По свойству точки пересечения медиан получаем С1М / МС =1/2, коэффициент подобия треугольников A1B1C1 и ABC равен 2 , значит

С1Н1 / СН = 1 / 2 и ОМ/ОН=1/2

Окружность девяти точек.

В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности.

Дано: треугольник АВС; описанный треугольник А1В1С1

ВВ1 – Медиана треугольника АВС,

В2 - основание высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

Доказать: что точки А1 В1 С1 А2 В2 С2 лежат на одной окружности

Доказательство.

Точки В и В2 симметричны относительно прямой А1С1 (А1С1- средняя линия треугольника АВС) => МВ=МВ2. Треугольник А1В2С1 = треугольнику А1ВС1 т. к треугольники BMA1=B2MA1 (А1М-общая,ВМ=МВ2, <А1МВ2 = <А1МВ=90. ) и треугольники BMC1=MB2C1 (С1М-общая, ВМ=В2М, <С1МВ2=<ВМС1 =900). Из равенства треугольников получаем что < В и < В2 равны.

ВВ1 - медиана к АС, а так как А1С1 параллельна АС то ВВ1 будет делить в точке пересечения А1С1 пополам. NC1 =NА1, NB= NB1, < BNC1 = < B1NA1 (вертикальные), < С1NB1 = < BNA1 (вертикальные), значит треугольник BNC1= треугольнику B1NA1 и треугольник C1B1N= треугольнику BNA1. Из этих равенств треугольников следует, что треугольник А1ВС1 = треугольнику А1В1С1 = треугольнику А1В2С1 => < А1В2С1 = < А1В1С1, а если углы равны и опираются на одну дугу то они вписанные, и значит, точка В2 лежит на описанной окружности треугольника А1В1С1. Для остальных оснований высот доказательство аналогично.

Впоследствии было обнаружено, что на той же окружности лежат ещё три точки - середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.

Дано: (. ) Аз и (. ) Сз - середины отрезков АН и СН, (. ) С2 - основание высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ

Доказать: Что точки А3, В3, С3 лежат на одной окружности.

Доказательство

Докажем сначала, что A1С1A3C3 - прямоугольник. Это легко следует из того, что A1C3 и A3С1 - средние линии треугольников ВСН и АВН у которых общее основание ВН лежащее на высоте ВВ2 (ВВ2 перпендикулярна АС и перпендикулярна A1С1, т. к. A1С1 параллельна АС (средняя линия треугольника)) =>С1А3 перпендикулярна А1С1 и A1C3 перпендикулярна А1С1, значит углы A1С1A3 и C3A1С1 прямые. A1С1 и A3C3 - средние линии треугольника ABC и треугольника АСН и параллельны их общему основанию АС. Поэтому углы A1С3A3 и C3A3С1 прямые – это значит, что четырёхугольник является прямоугольником => точки A1 и A3 лежат на окружности с диаметром С1C3, (прямоугольник С1А1С3А3 вписанный, т. к. вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность). А так как < C1C2C3 = 90°, то четырёхугольник С1С2С3А3, тоже вписанный в эту окружность (если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 , то этот четырёхугольник вписанный), то на этой окружности лежит и точка С2. И так точки Аз и Сз лежат на окружности, проходящей через точки А1, С1 и С2. Эта окружность совпадает с окружностью, рассмотренной Эйлером (если треугольник ABC не равнобедренный). Для точки В3 доказательство аналогично.

Это и есть окружность девяти точек.

Центр окружности девяти точек лежит на середине отрезка соединяющего центр описанной окружности с точкой пересечения высот треугольника.

Дано: С1Р=РС3

Доказать: НР=РО

Доказательство .

Рассмотрим треугольники РОС1 и РНС3, они равны по стороне и 2-м прилежащим углам: РС1=С3Р - диагонали в прямоугольнике в точке пересечения делятся пополам, углы С1РО и НРС3 равны- вертикальные, углы РС1О и НС3Р тоже равны как накрест лежащие при параллельных С1О и С2С3 и секущей С1С3, Прямые СС2 и С1О - перпендикуляры проведённые к АВ.

Отсюда следует, что ОР =РН.

Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности.

Дано: Треугольник АВС, ОР =РН, АА3= А3Н

Доказать: А3 Р=1/2 РО

Доказательство

Рассмотрим треугольник АОН, проведём линии из точки Р в точку А3. Линия А3Р является средней линией треугольника АОН, т. к. НА3 = А3А, НР=РО => 2А3Р=АО => радиус R=2r.