Возникновение и развитие алгебры

Приступая к работе, мы хотели узнать, откуда появилось слово «алгебра». Что является отличительной особенностью алгебры от других разделов математики? Кто и когда придумал первое уравнение? Кто ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных величин?

I Кто и когда придумал первое уравнение?

Ответить на вопрос о том, кто, где и когда решил первое уравнение, невозможно. Задачи, сводящиеся к простейшим уравнениям, люди ре- шали на основе здравого смысла с того времени, как они стали людь- ми. А учебные задачи, которые мы сегодня решаем при помощи урав- нений, были хорошо известны ещё в Древнем Вавилоне и Древнем

Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции.

Решим несколько таких старинных задач!

Старинные задачи, решаемые с помощью уравнений

1. Древнеегипетская задача. Количество и его четвёртая часть дают вместе 15. Найти количество. Пусть х – количество.

х+х/4=15 х=12

Ответ:12

2. Древнеиндийская задача.

Есть кадамба цветок.

На один лепесток пчёлок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчёл посади,

Лишь одна не нашла себе место нигде,

Всё летала то взад, то вперёд

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме, Сколько пчёлок всего здесь собралось?

Пусть собралось х пчёлок.

х/5+х/3+3(х/3-х/5)+1=х х=15

Ответ: всего собралось 15 пчёлок.

3. Старинная русская задача.

Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как я хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил:

«Если ко мне придёт учеников ещё столько же, сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть, и твой сын, тогда будет у меня уче- ников 100». Сколько было у учителя учеников?

Пусть у учителя было х учеников.

х+х+0,5х+0,25х+1=100; х=36. Ответ: у учителя было 36 учеников.

4. Число десятков двузначного числа составляет две трети числа единиц, а число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, больше первоначального на 18. Найти число.

Пусть х - число единиц, 2/3х - число десятков.

10*2/3х+х+18=10х+2/3х

2/3х=4 х=6

Ответ: 46

5. Задача из папируса Ахмеса, хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду 2000-1700 г. г. до н. э. : «Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10». Решение этой задачи также сводится к решению линейного уравнения: х+2/3х-1/3(х+2/3х)=10, откуда х=9.

II. Вклад Диофанта в развитие алгебры.

Теперь заметим, что во всех приведённых задачах решение выполнялось по одинаковой программе.

Во-первых, во всех случаях неизвестное обозначается какой-то буквой и условие задачи записывается в виде уравнения.

Интересно, кто и когда сделал это впервые?

Во-вторых, для упрощения уравнения при его решении мы переносим его члены из одной стороны в другую. Кто и когда придумал этот интересный прием?

В-третьих, во всех случаях в результате преобразований ура- внение записывалось в виде ax=b, после чего оставалось разделить правую часть на коэффициент при неизвестном.

Уравнения такого вида называют линейными. Линейные уравнения с одним неизвестным умели решать еще в Древнем Вавилоне и в Египте более чем 4 тысячи лет назад.

Итак, нам надо бы ответить на два первых вопроса.

Ещё древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но так как у них не было знаков равенства и знаков действия (вроде наших плюса и минуса), то записывать уравнения они, конечно, не умели.

Первый по-настоящему серьёзный шаг в этом направлении сделал замечательный александрийский (по названию большого культурного, торгового и научного центра древнего мира - города Александрии; этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье

Египта) учёный Диофант, использовавший в своём творчестве достижения египтян, вавилонян и греков.

Жил Диофант, по-видимому, в III в. н. э. , остальные известные факты его биографии исчерпываются стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:

Путник! Здесь прах погребён Диофанта,

И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни.

Часть шестую его представляло счастливое детство.

Двенадцатая часть протекла ещё жизни –

Пухом покрылся тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провёл Диофант.

Прошло пятилетье.

Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,

Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

Скажи, скольких лет жизни достигнув,

Смерть воспринял Диофант?

Пусть Диофант прожил х лет.

Тогда, используя факты из стихотворения, получим уравнение: х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4 = х;

14х + 7х + 12х + 420 + 42х + 336 = 84х;

9х = 756;

Х = 84.

Ответ: Диофант прожил 84 года.

В его труде «Арифметика» есть уравнения первой степени с одним неизвестным. Попробуем решить еще одно уравнение из книги Диофанта.

Найдите три числа так, чтобы наибольшее превосходило среднее на одну треть наименьшего, среднее было больше наименьшего на одну треть наибольшего, наименьшее на 10 больше одной трети среднего.

Пусть наименьшее число (х+10), тогда среднее число - 3х.

1/3 наибольшего числа равна 3х-(х+10)=2х-10, т. е. наибольшее число (6х-30). Наибольшее превосходит среднее на 1/3 наименьшего, значит

6х-30-3х=1/3(х+10); х=12,5; х+10=22,5

3х=37,5;

6х-30=45.

Ответ: большее число - 45; среднее - 37,5; меньшее - 22,5.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки ещё не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой - она обозначалась s (сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать первую степень неизвестного, так же как мы обычно обозначаем её буквой х.

Придумав это, Диофант, по-видимому, уже быстрее стал двигаться дальше. Ну а если и числа, и неизвестные записаны специальными символами, то нелепо будет записывать словами указание о действиях над ними!

Придумал Диофант и два основных приёма решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов.

В средневековой Европе мысли Диофанта получили большое распространение и развитие. В 17-18 вв. буквами для обозначения неизвестных (переменных) стали пользоваться уже все математики. Приёмы решения уравнений попали в Европу особым путём.

III. Мухаммед бен Муса аль-Хорезми и его книга «Китаб аль-джебр валь-мукабала».

В 7-8в. н. э. арабы завоевали огромные пространства и создали на них государство, охватывавшее территорию, на которой ныне расположены многие государства Северной Африки (включая Египет) и Азии (Иран,

Сирия, Ирак, часть республик Закавказья и Средней Азии, часть Афганистана). В 762 году столицей этого государства – халифата стал город Багдад, нынешняя столица Ирака.

Народы, завоёванные арабами, по культурному уровню и знаниям были значительно выше завоевателей. Особенно это относилось к сирийцам, успевшим к тому времени перевести на свой язык труды великих учёных Древней Греции – Аристотеля и Платона, Гиппократа и Галена, Евклида и Архимеда и многих других. Правители халифата хорошо понимали, что у древних стоит и нужно учиться.

В Багдаде был создан «Дом мудрости», куда по воле халифа собрали образованных людей со всех сторон халифата. Эти мудрецы не только пе- реводили труды своих великих предшественников, но и творили сами.

Одним из них был Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (787-ок. 850).

Аль-Хорезми - не фамилия, это своеобразное прозвище, обозначающее, что Мухаммед, сын Мусы, происходит из Хорезма. Хорезм, крупный оазис в низовьях Амударьи был заселён людьми в глубочайшей древности, там ещё в 1 тыс. до н. э. существовала высокая культура. В 8 в. арабы завое- вали Хорезм и уничтожили эту древнюю культуру.

Об аль-Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астро- номии и географии. И самое главное – он написал сочинение, которое по- арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мукабала». Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово

«аль-джебр», входящее в название книги, постепенно стало названием науки - алгебра. Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

На русский язык название трактата знаменитого хорезмийца пере- водится так: « Книга о восстановлении и противопоставлении». О каком восстановлении и противопоставлении идёт речь?

Пусть нам дано, например, уравнение:

5х-9=12-2х.

Перенесём -9 вправо с противоположным знаком и -2х влево, тоже с противоположным знаком:

5х+2х=12+9.

Минусов больше нет! Теперь осталось привести подобные слагаемые:

7х=21 и выполнить деление: х=3.

Число 9 было слева от знака равенства, мы его не стали писать с этой стороны, а восстановили (аль-джебр) справа. Выражение -2х было справа от знака равенства, мы его уничтожили там, но восстановили (аль-джебр) слева. Потом сложили 5х и 2х, сопоставив их рядом (валь-мукабала), а потом поступили точно так же с 12 и 9, сделав и им валь-мукабала.

В « Китаб аль-джебр валь-мукабала» нет двух очень важных для решения уравнения вещей. Во-первых, аль-Хорезми, наверное, не был знаком с «Арифметикой » Диофанта и поэтому не использовал изобретённых им отрицательных чисел. Во-вторых, он совсем не использовал никаких букв и символов, кроме обозначения цифрами чисел. Алгебра совсем без букв, всё на словах, всё в уме. Такая алгебра - её позднее называли « риторической» ( от греческого слова «риторео» - произношу речь) - требовала большого мастерства и была очень трудной. Совсем трудно стало тогда, когда люди научились решать уравнения не только первой степени и не только с одним неизвестным.

IV. Развитие алгебры в Западной Европе.

В Западной Европе изучение алгебры началось в 13 веке. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (около 1170 – после 1228). Его «Книга абака» (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно.

Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходилось излагать в словесной форме. В конце 16 века французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных постоянных. Символика Виета была усовершенствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале 17 века французский философ и математик Рене Декарт, который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.

Постепенно расширялся запас чисел, с которыми можно было производить действия. При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу. Наконец, Декарту удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопросы решения уравнений в самом общем виде, применять уравнения к решению геометрических задач.

Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений.

В наши дни алгебра – одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических областях науки, так и во многих практических вопросах.

Заключение.

Мы думаем, что наша работа является мини-пособием для изучения развития и зарождения алгебры. Возможно, не всё подробно, но мы затронули вопросы, касающиеся введения буквенной символики, решения линейных уравнений вида ах=в, превращение алгебры в самостоятельную отрасль науки.

А также мы показали, какую роль сыграли учёные древности ( Вавилона, Египта, Китая, Индии) и учёные Западной Европы (13–17 век) для развития алгебры.

Практическое применение нашей работы состоит в том, что можно использовать собранный нами материал в преподавании алгебры.