Вероятность случайных событий

«Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботиться о себе»,- писал А. Дюма. Нечто не происходит без значительного или слабого вмешательства случайности, возникающей под воздействием непостоянных, побочных причинных связей, изменяющих ход явления при его повторении.

Встречаясь в жизни с различными событиями, мы часто даем оценку степени их достоверности. При этом произносим, например, такие слова:

« Это невероятно!»- говорим о невозможном событии, например о том, что вода в холодильнике закипела.

«Маловероятно, что сегодня будет дождь», - говорим, глядя на безоблачное небо летним утром.

«Наверняка это случится!», «Я уверен, что это произойдет!» - говорим, например, о предполагаемой двойке за контрольную работу, если изучаемая тема не была усвоена.

«Шансы равны», « Один к одному» или « Шансы пятьдесят на пятьдесят»- говорим, например, о возможности победы в соревнованиях двух одинаково подготовленных спортсменов или когда делаем ставку на орла или решку при подбрасывании монеты.

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. Такие задачи приходиться рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической системы управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

В нынешнее время комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому – химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т. п. В нашей работе мы хотим показать, что на каждом шагу можно встретить комбинаторные задачи и статистическую обработку данных. Поэтому данная тема является актуальной.

Объект исследования: область математики – статистика и комбинаторика.

Цель исследования: показать, что область статистики и комбинаторики широко применяются в различных сферах жизнедеятельности и повсюду на примере учащихся нашей школы.

Гипотеза: статистика и комбинаторика имеют широкий спектр практической направленности.

Задачи исследования:

- собрать, изучить и систематизировать материал о статистике и комбинаторике.

- рассмотреть как элементы статистики и комбинаторики используются при решении различных жизненных ситуаций;

- показать практическую значимость статистики и комбинаторики как области математики.

Методы исследования:

- теоретический метод – изучение научной литературы;

- практический метод – опрос учащихся, наблюдение.

Исторические сведения

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху.

Ещё первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьём зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были ещё очень далеки от теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек всё чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

Наиболее интересные для начинающих задачи теории вероятностей возникли в области азартных игр. Этому, по-видимому, способствовало наличие монеты или игральной кости.

Формированию основ теории вероятностей способствовали также выяснение длительности жизни, подсчёт населения, практика страхования.

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П. Лапласом (1719- 1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей».

Автор писал: «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей».

Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева и его учеников А. А. Маркова и А. М. Ляпунова.

Наследие русских математиков получило развитие в работах советских математиков Е. Е. Слуцкого, С. Н. Бернштейна и особенно академика А. Н. Колмогорова.

Созданная А. Н. Колмогоровым советская школа теории вероятностей завоевала всеобщее признание и сегодня занимает ведущие позиции в мировой науке.

Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки всемирно известный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц. В 1666 году Лейбниц опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k -сочетания из n элементов, выводит свойства сочетаний, строит таблицы сочетаний, после чего рассуждает о приложениях комбинаторики к логике, арифметике, к проблемам стихосложения и др.

В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории.

Еще в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами. Выбирать и расположить предметы в определенном порядке, отыскивать среди разных расположений наилучшее – вот задачи, решаемые в быту, на охоте или в сражениях. По мере усложнения производственных и общественных отношений задачи усложнялись. Комбинаторные задачи встречались, как игры в досуге. Наряду с состязаниями в беге, метании диска, кулачными боями появлялись игры, требовавшие умение мыслить, рассчитывать, составлять планы, опровергать планы противника. Со временем игры усложнились: появились нарды, карты, шашки и шахматы. В таких играх приходилось рассчитывать различные ситуации, комбинации сочетания фигур.

При тайных переписках дипломаты стали применять шифры, которые были основаны на различных перестановках букв, чисел, заменах букв с использованием ключевых слов и т. д.

Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Леонарду Эйлеру. Он рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов. В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т. д. Комбинаторные задачи физики, химии, биологии, экономики и других наук, которые не поддавались ранее решению из-за трудоемкости вычислений, стали успешно решаться на ЭВМ. В результате этого комбинаторные методы исследования все глубже проникают во многие разделы науки и техники.

Статистика

Статистика – это наука, изучающая количественные показатели развития общества и общественного производства.

Математическая статистика – это наука о математических методах систематизации и использования статистических данных.

Для изучения различных явлений проводятся статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения.

Для обобщения и систематизации данных, их по какому-либо признаку разбивают на группы, и результаты группировки сводят в таблицу.

Рассмотрим пример 1. В 2008 году был проведен школьный этап математической олимпиады. В ней участвовали 44 ученика нашей школы. Максимальное количество баллов, которое мог получить ученик -35баллов. При проверке работ, учителями отмечены следующие результаты:

Представим полученные данные в виде таблицы, в которой для каждого числа полученных баллов, записанного в первом столбце, укажем во втором столбце количество появлений этого числа в ряду, т. е. частоту

Такую таблицу называют таблицей частот. В примере сумма частот равна общему числу работ, т. е. 44.

Проанализируем результаты проверки работ учащихся. Найдем среднее арифметическое:

Значит, в среднем учащиеся получили по 16,6 баллов.

Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, широко используются различные способы их изображения. Одним из хорошо известных способов является построение столбчатой диаграммы. Мы проиллюстрируем динамику изменения данных по параллелям, вычислив сначала среднее арифметическое. .

В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным. При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается определенная ее часть, т. е. составляется выборочная совокупность, которая подвергается исследованию.

Например, девятиклассникам нашей школы было предложено ответить на вопрос, что бы они предпочли: сдавать экзамен или ЕГЭ по алгебре? Мы получили следующие результаты .

Таким образом, статистика необходима для подведения итогов.

Комбинаторика

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Рассмотрим пример комбинаторной задачи – путь ученика от дома до школы. От дома до пункта А ведут 4 дороги, из пункта А до школы ведут 2 дороги. Сколькими способами ученик может выбрать маршрут?.

Путь от дома до пункта А ученик может выбрать четырьмя способами. Далее в каждом случае он может идти двумя способами. Значит, имеются 4×2 способа, т. е. 8.

В комбинаторике рассматриваются – перестановки, размещения, сочетания.

Перестановки.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Обозначают Рn.

Рассмотрим пример 2. Во второй части ЕГЭ 9 класса 5 заданий. Сколькими способами можно расположить эти задания?

Решение. Обозначим их буквами А, В, С, Д, Е. Если первым взять задание А, то возможны такие расположения заданий Их 24 способа. Аналогично надо рассмотреть случаи, если первым взять задания В, С, Д и Е. Тогда всего 24∙5=120 способов.

Для того, чтобы найти число перестановок из пяти элементов, можно не выписывая, рассуждать так. На первое место взять любой из пяти заданий. Для каждого выбора первого есть четыре возможности выбора второго из оставшихся четырех. Для каждого второго есть три возможности выбора третьего из оставшихся трех, и т. д. , значит, число перестановок из пяти элементов равно 5×4×3×2×1=120. Для произведения первых n натуральных чисел используют специальное обозначение: n!. Следовательно, Р5=5!= 5×4×3×2×1=120. Значит, существует 120 способов расположения заданий.

Пример 3. В заданиях ЕГЭ 9 класса 21 задание, из них 5 заданий на тему «Функция». Сколькими способами можно расположить все задания, чтобы задания на тему «Функция» стояли рядом?

Решение. Сначала будем рассматривать задания на тему «Функция» как одно задание. Тогда надо расположить не 21 задание, а 17. Это можно сделать Р17 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р5 перестановок заданий на тему «Функция». Значит, число способов расположения заданий равно Р17×Р5=17!×5!

Размещение.

Размещением из n элементов по k называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Обозначают Аkn.

Пример 4. Экзамен по геометрии сдают 5 девятиклассников. В кабинет для подготовки должны войти 4 ученика. Как по-разному разместить первую четверку?

Решение. Обозначим учащихся буквами А,В,С,Д,Е. Если мы первого пригласим ученика А, второго – В, третьего – С, четвертого – Д, то получим один из вариантов: А, В,С,Д. Выбирая по-разному первого, второго, третьего и четвертого ученика, будем получать различные упорядоченные четверки, например,

АВСД, АВСЕ, АВДЕ, АВДС, АВЕД, АВЕС,

АСВЕ, АСЕВ, АСВД, АСЕД, АСДЕ, АСДВ,

АДЕВ, АДЕС, АДВС, АДВЕ, АДСЕ, АДСВ,

АЕВС, АЕСВ, АЕСД, АЕВД, АЕДС, АЕДВ.

Их 24. Если мы первого пригласим ученика В, потом первого С, и т. д. , то получим

24×5=120.

Число размещений из пяти элементов по четыре можно найти, не выписывая самих размещений. Будем рассуждать так. Первый элемент можно выбрать пятью способами, т. к. им может быть любой из пяти элементов. Для каждого выбранного первого элемента можно четырьмя способами выбрать из четырех оставшихся второй элемент. Третий элемент можно выбрать тремя способами из трех оставшихся, и т. д. В результате получаем, что А=5×4×3×2=120.

Пример 5. Из 8 предметов элективных курсов учащимся 9 класса было предложено выбрать любые 3. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение. Первый элемент можно выбрать восемью способами, второй – семью из оставшихся семи, третий – шестью способами из оставшихся шести элементов. Значит, А=8×7×6=336 способов выбора курсов.

Сочетание.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов. Обозначают С.

Пример 6. В 9 Б классе 22 ученика. Сколько существует вариантов пар, чтобы рассадить их за партами?

Решение. Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним учеником. Значит, речь идет о сочетаниях из 22 элементов по 2. Имеем: С=.

Значит, существует 231 пар.

Пример 7. В 9 Б классе 11 девочек и 11 мальчиков. Сколько существует пар, чтобы рассадить парами: мальчик и девочка?

Решение. Выбрать 1 девочку из 11 можно С способами, а выбрать 1 мальчика из 11 можно С способами. Значит, выбор пар можно С×С= способами.

Вероятность случайных событий

Теория вероятности – это раздел математики, которая изучает закономерности случайных событий. Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.

Пример 8. В классе 22 ученика. На каждом уроке геометрии учитель опрашивает 5 учеников. Какова вероятность того, что меня не спросят?

Решение. Общее число равновозможных исходов 22. Пусть М – событие, заключающееся в том, что ученика не спросят. Число благоприятных для события М исходов равно 22-5, т. е. 17. Значит, Р(М)==0,77.

Пример 9. Из учащихся 9 Б класса, в котором 11 девочек и 11 мальчиков, по жребию выбирают четырех дежурных в столовой. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 девочка и 3 мальчика?

Решение. Число исходов при выборе четырех дежурных равно С. Все эти исходы равновозможные. Пусть М – событие, при котором выбраны 1 девочка и 3 мальчика. Выбрать 1 девочку из 11 можно С способами, а выбрать 3 мальчиков из 11 можно С способами. Значит, число исходов, благоприятных для события М, равно С×С. Получим, Р(М)====0,248.

Мы рассмотрели малую часть задач, решение которых без знания элементов комбинаторики и теории вероятности просто немыслимо.

Применение элементов теории вероятности в различных сферах деятельности

Сегодня методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надёжности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при контроле качества продукции и для других целей. Методы теории вероятностей всё шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Мы решили сами проанализировать, как на разных этапах жизни применяются комбинаторика и теория вероятности.

Детский сад. В рабочей тетради «Математика» Л. Г. Петерсон 5-6 лет встретилось задание:

Расставь цветки в вазочки разными способами:

Средняя и основная школа. Изучаются элементы статистики и теории вероятности по учебному пособию под редакцией С. А. Теляковского.

В нашем городе теория вероятности изучается в индустриальном техникуме, педагогическом колледже, в нефтяном университете.

Статистика и комбинаторика применяются в педагогике, как было показано ранее.

Перечислим примеры применения в других отраслях.

1) В случайные моменты времени поступают по телефону заказы на железнодорожные билеты, вызовы на АТС и станцию скорой помощи. Надо организовать ритмичную работу – без частых простоев и перенапряжений.

2) На рисунке показана схема параллельного соединения двух пар выключателей. Каждый выключатель оказывается случайно включенным(+) или выключенным(-). При некотором произвольно взятом состоянии выключателей ток либо проходит от точки А к точке В, либо не проходит. Какова вероятность, что ток проходит?

3) В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появление одного туза среди розданных карт?

4) В книжном магазине стоят 4 барабанчика с билетами книжной лотереи. В каждом осталось по 4 билета. Никто не знает, сколько из них с выигрышем. Но для задачи будем полагать известным точно, что в каждом барабанчике находится один билет с выигрышем и три – «пустых». Некто решил вынуть из каждого барабанчика по билету. Какова вероятность, что в образовавшемся у него комплекте из четырех билетов хотя бы один с выигрышем?

5) Сколько автомашин можно обеспечить 6-значными номерами?

6) Каждая девочка нашего класса попадает в мишень один раз из четырех. Какова вероятность, что четыре девочки из нашего класса, стреляя одновременно, поразят мишень?

7) Для несения почетного караула из 10 человек могут быть приглашены офицеры пехотных войск, авиации, погранвойск, артиллерии, офицеры морского флота и ракетных войск. Сколькими способами можно избрать состав почетного караула?

8) На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова ТАЛАНТ – по одной букве на каждой карточке. Карточки брошены в мешок и тщательно перемешаны. Затем их вынимают наудачу и располагают на столе одну за другой в порядке появления. Какова вероятность снова получить слово ТАЛАНТ или какое-либо другое осмысленное слово?

9) Нереально полагать, что у волейбольной команды А в каждой игре одинаковые шансы победить и проиграть, но если все-таки принять эту гипотезу, то с какой вероятностью в 100 встречах она может выиграть 50 раз?

10) За некоторый промежуток времени бактерия может погибнуть с вероятностью , выжить с вероятностью , разделиться на две с вероятностью. В следующий промежуток времени с каждой бактерией происходит то же самое. Сколько бактерий, и с какими вероятностями будут существовать к концу второго промежутка времени?

11) Всхожесть данной партии семян некоторого растения составляет 90%. найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут три?

Это неполный перечень задач на применение комбинаторики в профессиях людей.

Заключение

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

Комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому – химику, биологу, конструктору, диспетчеру. Знания комбинаторики и вероятности нужны и диспетчеру школьного расписания, и врачам, и поставщикам, работникам торговли и многим другим.

Рассмотрев использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности, мы показали практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом, мы подтвердили гипотезу: комбинаторика имеет широкий спектр практической направленности.

Думаю, что цели я добилась, так как после написания работы расширила и углубила свои знания по математике.