Вероятность и cтатистика

Вероятностно-статистические закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятности.

Теория вероятностей — математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений, с ее помощью вычисляют вероятности наступления, определенных событий

Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты.

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс, в ответах, которых на запросы азартных игроков и переписке между собой были введены основные понятия этой теории — вероятность события и математическое ожидание.

Важнейший этап теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли. Им было дано доказательство частного случая закона больших чисел, так называемой теоремы Бернулли. С того времени теория вероятностей оформляется как математическая наука.

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова.

В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.

На наш взгляд, заслуживает внимания методика обучения учащихся теории вероятностей, которая основывается на понятии логико-методической модели “эксперимент”.

Эксперимент — это модель опыта с конечным множеством исходов. Как и в любой модели выделено главное: множество исходов и возможность наступления каждого из них. Некоторые эксперименты доступны детям младшего школьного возраста.

Известны многие прекрасные опыты введения теории вероятностей уже на ранних стадиях обучения. Мы поддерживаем идею А. Энгеля, пронизывать элементами теории вероятностей изучение дробей в младших классах, считая такое приближение к реальной действительности полезным. В подходе А. Энгеля удается добиться непрерывности изучения теории вероятностей. Мы полагаем, что школьник, занимавшийся ею в достаточно раннем возрасте, легче перенесет абстрактную, далекую от реальной действительности “математизацию” в старших классах. Точно также ему пойдет на пользу изучение теории вероятностей в старших классах, если уже в младших были введены некоторые элементы предмета на описательном уровне.

В ящике имеются 12 одинаковых шаров, отличающихся только цветом: 6 красных, 3 белых, 2 зеленых и 1 черный. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика наугад, чтобы среди вынутых шаров было не менее двух шаров одного цвета?

Решение. Будем рассуждать следующим образом: вынув один шар, вынимаем следующий. Он может оказаться того же цвета, что и первый. Но возможно, что второй шар иного цвета, третий шар отличается по цвету от двух первых и т. д. Наихудший вариант: 4 первых шара оказались разных цветов. Тогда пятый шар составит одноцветную пару с одним из ранее вынутых.

Ответ: 5 шаров.

Рассмотрим основные события понятия теории вероятности.

Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. Например: случайным событием является выпадение пятерки при бросании игрального кубика.

Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать игральный кубик, на гранях которого 1,2,3,4,5 и 6.

Есть и такие события, которые в данных условиях произойти не могут. Такие события называют невозможными. Например: невозможным событием является выпадение семерки при бросании кубика.

Если же событие при данных условиях произойдет обязательно, то его называют достоверным. Например: достоверным событием является выпадение числа, меньшего 7 при бросании кубика.

Случайные события при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. Причем одни случайные события более вероятные – ближе к достоверным, а другие менее вероятные – ближе к невозможным.

Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное с экспериментом. При этом подсчитать, как часто оно происходит. При этом рассматривают две величины:

• Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие.

• Относительная частота показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.

Относительная частота определяется делением абсолютной частоты на число экспериментов: n/N. Иногда относительную частоту изменяют в процентах.

Например: при бросании кубика пятерка выпала 8 раз из 40; абсолютная частота равна 8, а относительная частота равна 8:40=0,2=20%

Статистическое определение вероятности: за вероятность случайного события принимается его относительная частота, полученная в серии экспериментов:

• Для невозможного события N=0, относительная частота равна 0, вероятность события равна 0, это событие не произойдет.

• Для достоверного события n=N, относительная частота равна 1, событие обязательно произойдет.

• Для возможного или случайного события 0

Существуют и другие способы расчета вероятностей, и даже без проведения эксперимента.

Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из n возможных исходов, причем все исходы равновозможны или равновероятны, т. е. нет никаких оснований считать один исходит вероятнее другого. Например: при бросании кубика число возможных исходов n=6, может выпасть 1,2,3,4,5 или 6 очков.

Пусть ровно m из этих n исходов приводят к наступлению некоторого события А. Будем называть такие исходы благоприятными. Например: пусть благоприятным исходом будет выпадение четного числа(2,4 или 6) при бросании кубика, т. е. m=3

Классическое определение вероятности: вероятностью случайного события А называется дробь m/n, где n - число всех возможных исходов эксперимента, а m – число исходов, благоприятных для событий А:

Так, вероятность выпадения четного числа при бросании игрального кубика равна 3/6=1/2.

Классическое определение вероятности можно использовать только в случае с равновозможными исходами!

Равновозможными называют события, если есть повод полагать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Например:

• При бросании монеты выпадение «герба» и выпадение надписи являются равновозможными события. Ведь монета правильной цилиндрической формы изготовлена из однородного материала, а присутствие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты. При бросании монеты число возможных исходов n=2, выпадает или орел (герб), или решка (цифра), их вероятность 1/2;

• При бросании кубика число возможных исходов n=6, может выпасть 1,2,3,4,5 или 6 очков, вероятность выпадения каждой цифры равна 1/6.

Равновозможность исходов случайного эксперимента позволяет вычислить вероятность любого связанного с ним события без обращения к относительной частоте. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве.

Виды случайных событий.

Случайным называется событие, если при реализации установленной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. При этом событие будет рассматриваться как результат испытания. Например, человек стреляет по мишени, которая разделена на четыре части. Тогда выстрел – это испытание, а попадание в конкретную область мишени есть событие.

Если появление одного из событий исключает появление других событий в одном и том же испытании, то событии называются несовместными.

Если в результате испытания появится хотя бы одно из событий образуют полную группу. Следовательно, если события, которые образуют полную группу, попарно несовместны, то при испытании появится одно и только одно из этих событий.

I. 1. Как поймать случай?

Возьмите 7 одинаковых шариков от настольного тенниса. На каждом напишите номер — 1, 2, , 7. Три из них (1, 2, 3) пометьте чернилами — это будут “черные шары”, а остальные — “белые”. Теперь возьмите мешочек или ящичек — это будет ваша “урна” — и положите в нее шары.

Начинаем опыты.

Шарики надо перемешать и вытащить один. Запишите, какого он цвета, и положите шарик обратно. Это первый опыт. Так можно делать много раз подряд. За полчаса можно провести более ста опытов.

Мы хотим предсказать, сколько раз из 100 будет вынут черный шар. Какова его доля во всех опытах? Естественно, каждый раз результат зависит от случая — может попасться черный шар, а может и белый. Но при большом числе опытов примерную долю черных шаров можно предсказать!

Каждый раз вы вынимали из урны либо первый шар, либо второй, , либо седьмой — всего семь возможных исходов каждого опыта. Шары тщательно перемешаны, на ощупь различить их нельзя, у всех одинаковые шансы быть вынутыми. Математики говорят: все семь исходов равновозможны.

Теперь понятно, что каждый шар может появиться в 1/7 части всех опытов, и чем больше, раз вы вынимаете шары, тем ближе к 1/7 доля любого из семи исходов. Конечно, теоретически можно допустить, что все сто раз вы вынимаете, например, первый шар. Но это совершенно исключительный случай, но мы говорим сейчас о средних результатах.

Что же можно сказать о черном цвете? Он может в каждом опыте появиться одним из трех способов, в трех исходах из семи (ведь у нас три черных шара). Эти исходы называются благоприятными для появления черного шара. Итак, всех опытов — 7, благоприятных исходов — 3, следовательно, в среднем в 3/7 всех опытов вынут черный шар. И чем больше опытов, тем ближе его доля к 3/7. Это и есть вероятность появления черного шара.

Заключение

Мы попытались показать, насколько многообразен и интересен мир задач и упражнений, как важно, начиная с начальной школы, развивать логику ребенка, его мыслительные способности, вводя даже такое сложное понятие как теория вероятностей.

Некоторые виды задач, приемлемые для начальной школы, рассматривались нами более подробно, более тщательно раскрывалась методика работы с ними. Многие задачи недоступны детям младшего школьного возраста, хотя отдельные элементы их в пропедевтическом плане можно предлагать на уроках математики и занятиях по интересам.