Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Теорема Пифагора и ее актуальность

Наверное, было бы неправильно писать работу о теореме Пифагора, не зная биографии великого ученого. Поэтому мы сначала поближе познакомимся с деятельностью этого древнего математика.

Пифагор родился около 570 лет до нашей эры на богатом греческом острове Самос. Поэтому его часто называют Пифагором Самосским.

Древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма был строгим вегетарианцем. Скудные сведения о жизни и учении Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих Пифагора как полубога, совершенного мудреца, наследника всей античной и ближневосточной науки, чудотворца и мага. Пифагор покинул родной остров Самос в знак протеста против тирании Поликрата; возможно, что он действительно посетил в своих путешествиях Египет и Вавилон (позднейшие авторы предполагали, что Пифагор был посвящен в различные тайные доктрины восточных жрецов). В зрелом возрасте (по преданию, на 40 - м году жизни) он поселился в южно - италийском г. Кротоне. Пифагор основал новое религиозно – философское сообщество, которое было одновременно философско-научной школой, религиозно-магическим союзом «посвященных» (исторически находящимися между первобытными «мужскими союзами» и духовными «орденами» средневековья) и, наконец, политической организацией.

Пифагореизм представляет попытку свести все явления к числовым отношениям и рассматривать числа как непреходящую сущность вещей (как все числа составлены из чета и нечета, так и все вещи соединяют в себе противоположности, из которых основные - "предел" и "беспредельное"; в то же время каждая вещь рассматривалась как примирение противоположностей - "гармония"). Пифагорейцы признавали бессмертие душ и их постепенное очищение посредством переселения. Принимали шарообразность Земли и ее движение вокруг центрального огня, источника света и тепла. В обществе Пифагора считали великим и непобедимым богом, вот что говорил о нем один из его учеников:

« Мой учитель был сыном самого солнечного бога Аполлона, его бедро сделано из чистого золота, реки приветствовали Пифагора, выходя из берегов».

Пифагор очень много сделал для развития науки, но начал он свой путь совсем не как ученый, а как первый олимпийский чемпион по кулачному бою!

Пифагор обращал основное внимание не на самые стихии, а на их оформление, на их арифметически - геометрическую структуру, которую он соединял с акустикой и астрономией. В основе Пифагореизма лежит учение о числах самих по себе, или о богах как числах, которое развёртывается в учение о космосе как числе, о вещах как числах, о душах как числах и, наконец, об искусстве как числе (концепция числового «канона» в скульптуре, математизация музыки).

В Пифагореизме возникла весьма оригинальная арифметика, придававшая пластический и жизненный смысл каждому числу: единица трактовалась как абсолютная и неделимая единичность, двоица — как уход в неопределённую даль, троица — как первое оформление этой бесконечности, четверица — как первое телесное воплощение этой триадической формы и т. д. Так же Пифагор занимался музыкой. В музыкальной теории есть термин Пифагоров строй. По преданию Пифагор однажды шел мимо кузницы и, услышав разные звуки от ударов молотов разного веса, решил, что звук можно измерить числом, а именно величиной веса молота. Знаменитый монохорд Пифагора представлял собой струну, натянутую на доске. Звучание струны зависело от ее длины, которую можно выразить числом. Ранние пифагорейцы, по преданию, при помощи наблюдения над металлическими пластинками разных размеров или сосудов с разным наполнением водой установили числовые отношения, характерные для кварты (4/3), квинты (3/2) и октавы (2/1), которые объединялись с материальными стихиями или с правильными геометрическими телами. Тоны, полутоны и ещё меньшие части тона были осознаны у пифагорейцев с точностью, превышающей точность новоевропейской акустики.

Эта физически-арифметически-акустическая концепция распространялась на весь космос, мыслившийся состоящим из десяти небесных сфер, каждая из которых издавала свой характерный звук, состояла из определённой комбинации правильных геометрических тел и выявляла определённую материальную стихию. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел. "Числа правят миром"! – провозгласил он.

Пифагор стал думать о свойствах четных и нечетных чисел. Но во времена Пифагора на человека, сказавшего, что неизвестное число можно обозначить буквой, посмотрели бы с удивлением. И Пифагор начал изображать числа точками. Мы изображаем четные числа в виде 2n, а нечетные – 2n+1. Чтобы доказать, что произведение двух нечетных чисел нечетно, он строил из точек прямоугольник. Потом Пифагор стал усложнять свои фигуры из точек. Вместо прямоугольника он стал строить треугольник. Такие числа получили имя треугольных (1,3,6,10,15,21). Затем он стал строить квадраты (1,4,9,16). Такие числа получили название квадратных. Пифагор из точек стал складывать пирамиды, кубы, изучать пирамидальные, кубические и иные числа.

Пифагор прожил в Египте 22 года и, овладев всеми науками египтян, переехал в Вавилон, где в течение 12 лет знакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Он побывал в чужеземных странах, учился у знаменитых ученых и восторгался чудесами Востока. Когда Пифагор вернулся на остров Самос, там правил Поликрат. Его тирания была настолько сильна, что свободный человек не мог переносить произвол и деспотизм. Пифагор переехал в Кротон, город южной Италии, где организовал школу или пифагорейский союз, который ставил перед собой не только научные, но и религиозно - этические и политические цели. Деятельность союза была тайной. Доступ в него был открыт не для всех. Своими открытиями нельзя было делиться с теми, кто в союз не входил. Пифагор учил молча разговаривать своих учеников, т. е. понимать и слушать тишину, природу, шум ветра. Ученикам пять лет предписывалось молчание, а тем, кто выдерживал это, следующие пять лет он позволял разговаривать с собой через ширму. И только через десять лет, познав многое, ученики могли видеть своего учителя.

В школе Пифагора основными заповедями были:

1. Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.

2. Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать.

3. Не пренебрегай здоровьем своего тела.

4. Приучайся жить просто и без роскоши.

5. Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.

Полагая, что числа правят миром, Пифагор пытался с помощью чисел установить связь между такими понятиями, как справедливость, совершенство, дружба.

Справедливость символизировало число 4. Четные числа Пифагор считал женскими, а нечетные - мужскими. Бракосочетание он обозначал числом 5, 3+2=5 (четное + нечетное). Первыми четырьмя числами - 1,2,3,4 он обозначал четыре стихии, из которых, по воззрениям древнегреческих мудрецов, состоял весь мир:

1 - огонь,

2 - земля,

3 - вода,

4 - воздух.

1+2+3+4=10. Число 10 вбирает в себя весь мир. Он очень чтил число 7, приписывая ему важную роль в небесных делах. 12 - знак счастья, 666 - «число зверя», 36 – магическое число.

У пифагорейцев существовала клятва числом 36. Пифагорейцы нашли первое в истории доказательство несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Доказали, изумились и испугались. Оказывается, нет ни целых, ни рациональных чисел, квадрат которых равнялся бы, например, 2. Значит, существуют какие-то другие числа?! Это так противоречило их учению, в основе которого лежали лишь рациональные числа, что они решили (поклялись своим магическим числом 36!) засекретить своё открытие. Согласно преданию, ученик Пифагора Гиппас Месапонтский, раскрывший эту тайну, был «наказан» богами и погиб во время кораблекрушения.

36=(2+4+6+8)+(1+3+5+7).

Число 1 - матерь всех чисел, число 1 есть точка.

Число 2 выражало линию.

Число 3 - треугольник, треугольник задает плоскость.

Число 4 - пирамида, трехмерный образ (пространство).

Пифагорейцы нашли дружественные, или совершенные, числа. Совершенные числа – это такие, которые равны сумме своих делителей (исключая само число).

6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14.

Они умели производить арифметические операции с рациональными числами (вида m/n), где m и n - натуральные числа.

Однако судьба самого Пифагора и его союза имела печальный конец, потому что идеология, лежавшая в основе деятельности союза, неуклонно влекла его к гибели. Союз состоял главным образом из представителей аристократии, в чьих руках было сосредоточено управление городом Кротоном, а это оказывало большое влияние на политику. Между тем в Афинах и в большинстве греческих колоний вводилось демократическое управление, привлекавшее все большее число сторонников. Демократические течения стали преобладающими и в Кротоне. Пифагор со своими сторонниками вынужден был бежать оттуда. Но это уже не спасло его. Будучи в городе Мерапонте, говорят, он, восьмидесятилетний старец, погиб в стычке со своими противниками. Не помог богатый опыт ведения кулачного боя и звание первого олимпийского чемпиона по этому виду спорта, завоеванное им в молодости.

ГЛАВА 2. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Пифагору повезло больше, чем другим учёным древности. О нём сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и фантастических. С его именем связано многое и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Это теорема Пифагора, которая гласит: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Мы же формулируем её теперь короче: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Она была известна ещё до него. Её знали в Китае, Вавилоне, Египте. Вернее не её, а частные случаи.

Однако одни полагают, что Пифагор дал первым её полноценное доказательство, другие отказывают ему и в этой заслуге. Зато не найти, пожалуй, никакой другой теоремы, заслужившей столько всевозможных сравнений. Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему Пифагора называли «мостом ослов», вероятно, потому что многие ученики с большим трудом постигали премудрость доказательства теоремы, а некоторые из них, отчаявшись, даже бросали учёбу. Таким сложным и непонятным казалось им доказательство теоремы Пифагора, предложенное Евклидом в своей книге под названием «Начала».

У математиков арабского Востока эта теорема получила название «теоремы невесты». Дело в том, что в некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчёлкой, бабочкой, что по-гречески называлась нимфой. Но словом этим греки называли ещё некоторых богинь, а также вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого языка арабский переводчик, который не был математиком, не обратив внимания на чертёж, перевел слово «нимфа» как «невеста», а не «бабочка». Так появилось ласковое название знаменитой теоремы – «теорема невесты», которое просуществовало несколько веков.

Пифагором сначала был доказан лишь частный случай теоремы: им рассматривался равнобедренный прямоугольный треугольник. Чертеж, который используют для доказательства этого случая, в шутку называют «пифагоровы штаны» и добавляют: во все стороны равны. Доказательство очевидно.

Знакомясь с разными способами доказательства теоремы Пифагора, отмечается следующая закономерность: одни из них основаны на свойстве равносоставленных фигур, т. е. на разбиении квадратов, при котором квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из частей, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах, другие – на дополнении до равных фигур; третьи - на свойстве равновеликих фигур (имеющие равные площади). В этой работе рассмотрены лишь несколько способов доказательства знаменитой теоремы, однако их существует гораздо больше.

Один американский математик, наш современник, около 20 лет собирал различные способы доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «коллекция» содержит около 300 различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема актуальна и интересна людям до сих пор.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник со сторонами (2a+b) и (2b+a) Его площадь равна с одной стороны (2a+b)(2b+a)=4ab+2b²+2a²+ab=5ab+2b²+2a², а с другой стороны его площадь будет равна c²+a²+b²+10·SΔABC=a²+b²+c²+5ab.

Из равенства 5ab+2b²+2a²= a²+b²+c²+5ab получаем a²+b²=c², что и требовалось доказать.

2. 1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

Я рассмотрела доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

Изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади. т. е. c2 = a2 + +b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

2. 2. Доказательства методом достроения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

Изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

2. 3. Алгебраический метод доказательства.

Доказательство Бхаскари.

Доказательство сопровождал рисунок, который был подписан лишь одним словом: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.

Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.

треугольник ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CMAB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того, что DABC подобен DACM следует b2 = cb1; (1) из того, что DABC подобен DBCM следует a2 = ca1. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2.

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

Доказательство Мёльманна .

Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна 1/2ab с другой, 1/2pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности.

Имеем: r=1/2(a+b+c) откуда следует, что c2=a2+b2.

>

Доказательство Гарфилда .

Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Существует много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – действительно много, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Думаю, что самостоятельное «открытие» доказательств теоремы Пифагора будет полезно и современным школьникам.

ГЛАВА 3. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных сферах деятельности и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель - моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н. э. египтяне, которые пользовались этим отношением для определения прямых углов при построении зданий. Всякую тройку натуральных чисел, удовлетворяющих соотношению a2+b2= c2, называют пифагоровыми числами. Еще во времена Пифагора были известны формулы для нахождения пифагоровых чисел: a=2n+1, b=2n(n+1) и c=2n2+2n+1, где n – любое натуральное число. В частности, при n= 1 по этим формулам находим: a= 3, b=4 и c=5. Треугольник с такими сторонами называется египетским. Таким треугольником пользовались при построении на местности прямых углов для восстановления границ земельных участков, размываемых разливами Нила. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали ее концы и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым. В те времена считали, что стороны каждого прямоугольного треугольника можно выразить пифагоровыми числами. Однако уже учениками Пифагора было показано, что это не так. Действительно, при a=b=1 гипотенуза c не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Этот факт послужил толчком к открытию иррациональных чисел, являющихся основой современной математики. Процесс формирования понятия иррационального числа длится около 2500 лет.

Упоминается теорема Пифагора и в произведениях наших русских писателей. Так, у Льва Николаевича Толстого есть занимательная задача.

Смысл этой задачи таков: одному человеку – некоему Пахому башкирцы предложили приобрести землю, но на определенных условиях. Пахом должен был заплатить 1000 рублей, затем оббежать за день какое - то количество земли и обязательно вернуться назад, к тому месту, от которого начал бег до рассвета. Если же Пахом не возвратиться, то его деньги останутся у башкирцев. Если же вернется, то ему отдам всю землю, которую он оббежал. Как же поступил Пахом? Сначала он пробежал 10 верст, затем повернул так, что угол этот равен был 90 градусам и пробежал еще несколько верст. Снова повернув на 90 градусов, Пахом пробежал еще 2 версты. И, наконец, повернув еще раз, пробежал 17 верст и достиг того места, от которого бежал. Сможем ли мы узнать площадь той фигуры, которую обежал Пахом?

Начертим маршрут Пахома:

AB – это часть пути Пахома, равная 10 верстам, BC – эта неизвестный отрезок пути, CD – 2 версты, DA – 17 верст. Проведем из точки D перпендикуляр к прямой AB. Тогда у нас получится прямоугольный треугольник AED, но мы знаем, чему равны его катет и гипотенуза, значит, по теореме Пифагора мы можем найти ED. Так как в прямоугольном треугольнике AED AE равно 8, а AD – 17, то по теореме Пифагора катет ED равен √172 – 82= √(17 – 8)(17 +8)= √9 × 25= 15. Получим площадь фигуры, которую оббежал Пахом. Она равна площади трапеции ABCD, состоящей из прямоугольника EBCD и прямоугольного треугольника AED: 2 × 15 + 0. 5 × 8 × 15= 90 кв. верстам. Мы решили задачу Л. Н. Толстого.

Площадь, занимаемая озером круглой формы или центр и диаметр окружности?

Теорема Пифагора позволяет найти у любой окружности, центр которой не известен, ее диаметр, а значит, и длину окружности, и площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Для этого надо в окружность поместить любой прямоугольный треугольник так, чтобы вершина прямого угла C лежала бы на окружности, а катеты пересекались с окружностью в точках A и B.

Тогда мы можем измерить длины этих катетов AC и CB, следовательно, гипотенуза AB и будет диаметром в этой окружности, так как в любой окружности, прямой угол, вписанный в нее, опирается на диаметр, значит, c2=AB2= AC2 + CB2, следовательно, c=√AC2 + CB2.

Длина окружности равна 2(R=(c=(√AC2 + CB2, Sкруга=(r2=( × (c/2)2=( × (AC2 + CB2):4.

Так, можно найти площадь, занимаемую озером круглой формы или объем воды в этом озере.

Задача на горизонтальной плоскости.

С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

Итак, у нас есть гипотенуза AC равная 2000 км.

По теореме Пифагора:

BC=2x, км AB=(2·0,75) км=1,5х => по т. Пифагора AC²=AB²+BC²

Составим уравнение:

4x2+(0,75x×2)2=20002,

6,25x2=20002,

2,5x=2000, x=800.

0,75x=0,75×800=600.

Ответ: скорость одного самолета равна 800 км/ч, 600 км/ч.

Теорема Пифагора на вертикальной плоскости.

При добыче угля из шахты подается на-гора уголь с породой. Вагонетка вывозит породу, высыпая ее на террикон. Надо определить высоту террикона, если от точки A до точки B 150м, а от точки A до точки C – 120м. По теореме Пифагора BC2= AB2 – AC2

BC= √1502 – 1202= √(150 – 120)(150 + 120)= √30 × 270= 90(м).

Ответ: высота террикона – 90 м.

У древних индусов был обычай задачи предлагать в стихах:

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока.

CD – глубина озера, обозначим ее x. Тогда по теореме Пифагора имеем:

BD2 – x2= BC2, то есть

(x + 0,5)2 – x2= 22, x2 + x + 0,25 – x2= 4, x= 3,75. Ответ: глубина озера равна 3,75 фута.

На охоте с двух отвесных скал два охотника заметили козла и разом в него выстрелили, причем стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью. Кому достанется козел, если известно, что высота одной скалы 40м, второй 20м, а расстояние между скалами 100м?

Проблемная ситуация возникает при построении математической модели практической задачи. Проанализировав задание, мы обнаруживаем, что его решить нельзя, так как нам не достает данных. Если бы зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была известной, то можно было бы в каждом треугольнике выразить гипотенузу через катеты и приравнять полученные выражения. Эта задача невыполнима.

Сможете ли вы построить прямой угол в темноте?

Это сделать несложно, если воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки диной в 3, 4 и 5 каких - либо произвольно выбранных равных отрезков.

  Велика роль теоремы Пифагора и в архитектурной деятельности.

В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его весьма прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны 1)ширине окна b для наружных дуг и 2) половине ширины, т. е. b/2 - для внутренних. Остаётся ещё полная окружность, касающаяся четырёх дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то её диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. Тогда становится ясным и положение её центров.

Современные задачи.

12 апреля 1961 года Ю. А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли?

(Радиус Земли ≈6400 км).

От пристани одновременно отплыли два корабля: один на юг, со скоростью 16 морских миль в час, а другой на запад, со скоростью 12 морских миль в час.

Какое расстояние будет между кораблями через 2,5 часа?

(1 морская миля = 1,85 км).

Алгебра и геометрия, как известно науки неразделимые. Без алгебраических расчетов не возможно решение многих задач по геометрии. А сейчас мы рассмотрим, как с помощью координатной плоскости можно узнать расстояние между точками, если известны координаты этих точек.

Пусть даны: точка A(x1; y1), точка B(x2; y2), проведем через точки A и B прямые параллельные осям координат, следовательно, треугольник AMB – прямоугольный, а отрезок AB в нем – гипотенуза. По теореме Пифагора AB2=AM2 + MB2, следовательно, AB2=(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2, тогда отрезок AB равен √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2.

Я рассмотрела лишь малую часть задач, для решения которых применяется теорема Пифагора. Можно сказать, что теорема Пифагора применяется при решении задач и в геодезии, и в архитектуре, и в астрономии, и в строительстве, и в физике, технике, и даже в быту.

Если теорема Пифагора такая важная, значительная и если она лежит в основе большинства геометрических вычислений, используется во многих отраслях науки и техники, то ее можно справедливо назвать фундаментальной теоремой геометрии землян.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Я исследовала историю возникновения теоремы Пифагора, познакомила вас с краткими тезисами нашей работы. Всё, что мы исследовали, науке давно известно, но для меня постижение этих истин стало открытием. Результаты этого исследования могут пригодиться в качестве элективного курса по геометрии в 8, 9 или 10 классе.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)