Связь математических законов и законов физики

Зададим на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат – ось х и ось у – С точкой пересечения О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей, и равными единичными отрезками. Этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу, ее еще называют декартовой системой координат (по имени французского математика и философа Декарта, введшего в математику понятие системы координат. Точка О является началом системы координат, ось х (или ось Ох) – осью абсцисс, ось у (или Оу) – осью ординат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называется координатной плоскостью. Пусть А – произвольная точка, тогда проекция точки на ось х называется абсциссой точки, а проекция точки на ось у называется ординатой точки. Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке А плоскости приводится в соответствие пара чисел (х;у) – пара координат А, и в то же время произвольную пару чисел (х;у) можно рассматривать как пару координат некоторой точки А плоскости. Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, переменив местами эти числа, мы получим другую пару, определяющую другую точку плоскости. Поэтому пару координат (х;у) точки А называют упорядоченной парой чисел.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат хОу, то

1. каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки);

2. разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

3. каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой точке плоскости.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.

Зависимость одной переменой от другой называется функциональными зависимостями. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где х – независимая переменная или аргумент, а переменная у – зависимая переменная или абсцисса функции. При этом используют запись. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значения функции. Если и , то функция называется числовой. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл. Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Способы задания функции

• Функция может быть задана аналитически в виде формулы , где переменная х – элемент множества значений аргумента, а переменная у – соответствующее значение функции. Например, формула у=х2 определяет некоторую функцию, где каждому значению переменной х, взятому из области определения функции, соответствует единственное значение переменной у=х2.

• Функция f полностью определяется заданием множества пар (х; f(x)) , где х принимает все значения из области определения, а f(x) – соответствующее значение функции.

• Функция может быть задана графически. Графиком функции называется изображение на координатной плоскости множества пар {(x;y) y=f(x), где }/

Заметим, что не всякое множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функции. Например, на кривой значению х=х0 соответствуют три значения у (у1, у2, у3), и, следовательно, такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Линией второго порядка называется множество точек, координаты которых в некоторой системе декартовых координат удовлетворяют уравнению: , причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.

К кривым второго порядка относятся:

1. окружность

2. эллипс

3. гипербола

4. парабола

Окружность.

Определение: окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных на одинаковое расстояние (радиус) от данной точки (центра).

Длина радиуса определяет размер окружности, положение центра окружности определяет положение на плоскости самой окружности. Таким образом, окружность определена по размеру и по положению её на плоскости относительно данной системы координат, если известны: длинна радиуса r и координаты центра данной окружности O1(a;b). По определению следует O1M = r , зная, что расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат, выражая расстояние O1M , получаем уравнение:

Освободив уравнение от радикала, получаем:

В частности, когда центр окружности совпадает с началом координат ( a=0 и b=0), то уравнение принимает вид:

Окружность – линия второго порядка

Степень уравнения линии, когда оно приведено к целому и рациональному виду относительно координат х, у, называется порядком линии. Прямая есть линия первого порядка, так как она выражается уравнением первой степени. Окружность есть линия второго порядка. Действительно, раскрыв скобки в уравнении окружности и расположив члены по убыванию измерения их относительно текущих координат х, у, получим:

Может оказаться, что параметры a, b, r (все или некоторые) – дробные числа, тогда, умножая на их наименьшее кратное А, получим:

Полагая –2аА=D, –2bA=E и A(a2+b2–r2)=F, получим уравнение окружности в общем виде:

Это уравнение второй степени относительно координат х, у, и, значит, окружность – линия второго порядка.

Общий вид уравнения второй степени с двумя переменными имеет следующий вид:

Уравнение второй степени относительно координат х, у, в которых коэффициенты при квадратах х и у равны и нет члена с произведением ху, изображает окружность. Это условие необходимое и достаточное.

Эллипс.

Определение: эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

F и F1 – фокусы эллипса.

М – какая-нибудь точка эллипса.

MF1 и MF – фокальные радиус-векторы точки М.

FF1 фокусное расстояние.

MF1+ MF=2а

FF1= 2с

Из треугольника FF1М видно, что MF1+ MF> FF1, тогда

2а>2с, или, а>с, (с>0);

В плоскости хОу фокусы имеют координаты (-с;0) и (с;0). Поскольку положение точки М может меняться относительно осей координат, тогда текущие координаты (х;у).

, т. к. MF1+ MF=2а => , выражение возведем в квадрат и раскроем скобки:

Приведем подобные:

Разделим на 4а и возведем в квадрат:

a2 => a>c => =b2;

– разделим на a2b2

– каноническое уравнение эллипса, определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

Так как с

Заметим, что c2 = a2— b2; поэтому

; отсюда

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и ε=0.

Гипербола.

Определение: гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) постоянная.

F и F1 – фокусы гиперболы.

М – какая-нибудь точка эллипса.

MF1 и MF – фокальные радиус-векторы точки М.

FF1 фокусное расстояние.

MF1 –MF=2а

F1F= 2с

Из треугольника FF1М видно, что MF1 –MF< F1F => 2а<2с => a

В плоскости хОу фокусы имеют координаты (-с;0) и (с;0). Поскольку положение точки М может меняться относительно осей координат, тогда текущие координаты (х;у).

По определению гиперболы MF1 –MF=2а, тогда

Возведем обе части в квадрат, и произведя упрощения, получим

Разделим на 4а

Возведем обе части в квадрат и упростим

Так как с>a, то можно положить с2-а2=b2 тогда получаем разделим на a2b2

- каноническое уравнение гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ε, получим:

Так как для гиперболы с>a, то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заметив, что c2 = a2+ b2, находим:

; отсюда

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а отношение в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ε2—1, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней гиперболы a=b и ε=√2.

Парабола.

Определение: параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

F – фокус параболы.

KL – данная прямая (директриса).

M – точка параболы.

MN – перпендикуляр из точки М на прямую KL.

Пусть Ох проходит через фокус параболы, перпендикулярна к директрисе, точка О начало координат и середина АF.

АF=р, причем р >0/

Тогда имеем координаты точек

Так как MF=MN, то

, раскроем скобки

Исключив х2 и и перенеся –рх, получим каноническое уравнение параболы

, р – параметр параболы.

Физические явления.

Задача о движении тела в поле земного тяготения возникает при изучении движения баллистических ракет и искусственных спутников Земли, а также при рассмотрении проблем космических полетов.

Рассмотрим движущееся тело как материальную точку массой m, а Землю будем считать неподвижной. Пусть в начальный момент времени эта точка находиться у поверхности Земли в положении M0 и имеет начальную скорость V0, направленную под углом a к горизонтальной плоскости. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то на точку при ее движении будет действовать только сила тяготения F, направленная к центру Земли, модуль которой равен:

Где r=MO – расстояние от точки до центра Земли; R=OM0 – значение r для точки вылета; g – ускорение силы земного тяготения в точке M0.

Так как сила – центральная, то траектория точки будет плоской кривой. Поэтому для изучения движения можно воспользоваться полярными координатами r=MO и φ. Составим дифференциальное уравнение движения точки М.

- первое уравнение;

- второе уравнение; его получаем из теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

После ряда преобразований и решения уравнений получим:

Равенства определяют угол β, т. е. положение оси симметрии траектории по отношению к точке вылета М0. Из формулы эксцентриситета траектории видно какой будет траектория точки:

1. эллипс, если ε<1 и v0<;

2. парабола, если ε=0 и v0=;

3. гипербола, если ε>1 v0>.

Скорость V2 = называется параболической или второй космической скоростью. Если считать R=R0=6378км и g=g0=9,82м/с2, то получим V2=11,2 км/с. Таким образом при начальной скорости v0 ≥11,2 км/с тело, брошенное с поверхности Земли под любым углом α к горизонтальной плоскости, будет двигаться по параболе или гиперболе (при α=90° – по прямой), будет неограниченно удаляться от Земли. Достижение скоростей такого порядка необходимо для межпланетных сообщений. При скорости, меньшей второй космической, тело упадет обратно на Землю или станет искусственным спутником Земли. Чтобы тело, брошенное с земной поверхности, превратилось в спутник Земли необходимо выполнение двух условий:

α=0, >v0 ≥.

Эксцентриситет орбиты спутника при α=0 и β=π, будет.

Скорость V1 =, при которой e=0 и спутник движется по круговой орбите радиуса R, называется круговой или первой космической. Первая космическая скорость км/с.

Скорость, необходимая для освобождения межпланетного корабля от совместных притяжений Земли и Солнца, будет больше и равна около 16,7 км/с; эту скорость называют третьей космической скоростью.

Задача 1.

Для спутников, движущихся вокруг Земли по эллиптическим орбитам, выразите длину большой оси эллипса через полную энергию спутника Е.

Решение:

Рассмотрим эллиптическую орбиту спутника. Пусть в одном из фокусов эллипса находиться Земля, тогда точка А (афелий) соответствует максимальному удалению спутника от Земли, а точа П (перигелий) является точкой минимального удаления.

ПF1=r1; F1A=r2; 2a= r1+r2

Полная энергия спутника равна:

, где m – масса спутника, v1 – его скорость, МЗ – масса Земли;

По второму закону Кеплера:

L=mVr – момент импульса точки, тогда сократив на m, получим соотношение:

, выразим v1 через L, получим квадратное уравнение относительно r1:

Уравнение имеет два решения, которые соответствуют двум точкам А и П:

Отсюда находим большую полуось эллиптической орбиты спутника:

При фиксированном значении полной энергии спутник может двигаться по большому семейству эллиптических орбит, но все эти орбиты будут иметь одну и ту же большую ось. А если мы знаем величину большой оси эллипса орбиты спутника, то мы однозначно сможем вычислить полную энергию спутника. Естественно, что полученная связь имеет место не только для спутников орбит Земли, но и для орбит планет Солнечной системы, для спутников других планет – главное, чтобы это были спутники, т. е. тела масса которых много меньше массы тела, вокруг которого они вращаются.

Задача 2.

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте h=760 км над поверхностью Земли. Его хотят перевести н6а эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли H=40000 км и минимальным расстоянием от поверхности h=760 км. На сколько для этого необходимо изменить скорость спутника?

Решение:

Минимальное расстояние от поверхности Земли до эллиптической орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, т. е. обе орбиты имеют одну общую точку, в которой и произошло изменение скорости.

Пусть R – радиус Земли, V0 – первоначальная скорость, V1 новая скорость, M – масса Земли, m – масса спутника. Первоначально спутник имеет:

; => по второму закону Ньютона отсюда найдем

По закону сохранения энергии и законам Кеплера:

; – на высоте h;

; - на высоте H;

По второму закону Кеплера площади, заметаемые радиус-вектором за равные промежутки времени, равны.

=> из равенств законов сохранения энергии и второго закона Кеплера

Подставив численные значения, получим изменение скорости:

Изучен теоретический материал, на основе полученных данных выяснила зависимость траектории движения тел от скорости с физической точки зрения и от эксцентриситета с математической точки зрения:

1. эллипс, если ε<1 и v0<;

2. парабола, если ε=0 и v0=;

3. гипербола, если ε>1 v0>.

Создано приложение, с наглядными моделями движения тел. В ходе исследования данного материала достигнуты поставленные цели работы, решены задачи, подтверждена гипотеза.