История развития степени и применение ее при решении

Из практики решения все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Равенство аО = 1 (для а≠0) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в. Последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в. ) в его труде «Алгоризм пропорций».

Вместо нашего знака 2 он писал , вместо он писал. Орем словесно формулирует правила действий со степенями, например (в современной записи):

Позже дробные, как и отрицательные, показатели встречаются в «Полной арифметике» (1544) немецкого математика М. Штифеля и у С. Стевина. Последний пишет о том, что корень степени n из числа а можно считать как степень а с дробным показателем

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно описал 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени·, а именно:

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого – при введении понятия умножения на дробь и т. п.

2. Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств

Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начиная с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений. Степенной функцией называют функцию вида

, где а - постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями а и вместо равенства запишем: где r -рациональное число. Для r=0 и r=1 по определению соответственно имеем: y=1, y=x.

Графиком первой из этих функций на ПЛОСКОСТИ является прямая, параллельная оси Ох, а второй - биссектриса l-го и 3-го координатных углов.

При r = 2 графиком функций является парабола у = х2. Декарт, который первое неизвестное обозначал через z, второе -через у, третье - через х, записывал уравнение параболы так: (z - абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени

Декарт с помощью подстановки

Получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:

, изображающее окружность, расположенную в одной плоскости(zx) с параболой. Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (x), разбивает уравнение на два уравнения и , каждое из которых представляет собой определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения.

Декарт, как и Ферма, часто пользовался параболой и возможности окружностью для построения корней уравнений, так как старался прибегать к вспомогательным кривым более низкого порядка. Ньютон же, наоборот, руководствовался в таких случаях не степенью уравнения вспомогательной кривой, а легкостью ее вычерчивания. При графическом решении, например, уравнений 4-й степени предпочитал не параболу, а эллипс.

Не только при r= 2, вообще при r = 2п (т. е. r = 2, 4, 6,. ) график степенной функции есть парабола . Функция монотонно возрастает на полусегментеи убывает на полуинтервале ]. В интервале (0; 1) парабола у = х2 лежит ниже биссектрисы у=x. Парабола y= х2 расположена

При r=3 соответствующее уравнение изображает так называемую кубическую параболу. Эту кривую французский математик, отец начертательной геометрии, Г. Монж (1746-1818) использовал для построения действительных корней кубических уравнений. График этой функции, как и вообще степенной функции с натуральным нечетным показателем (у = х2п+1), говорит о том ,что функция монотонно возрастает на интервале (), т. е. при всех значениях х: при положительных значениях х значения функции положительно, а при отрицательных-отрицательны: кубическая парабола, как у=х2 , касается оси Ох. Кубическая парабола применяется в технике, например на железнодорожных линиях, как вставка, смягчающая крутой поворот от прямолинейного к круговому участку пути. Ньютон обобщил понятие параболы, назвав параболическими кривыми все линии, изображаемые уравнением

Ныне термин параболические кривые применяют обычно для линий изображаемых уравнением

Где с - положительное вещественное число, т - положительное рациональное. При m<0 имеем так называемые гиперболические кривые

3. О приведении знаменателя или числителя дроби к рациональному виду.

Некотopыe способы, ныне применяемые для преобразования дроби так, чтобы ее знаменатель (числитель), представляющий собой квадратный радикал или сумму двух радикалов, был приведен рациональному виду, восходят к древности. В средние века эти способы были распространены на сумму трех и больше радикалов.

Вот один пример из «Суммы» Пачоли.

Задача: привести к рациональному виду знаменатель дроби:

Сципионе дель Ферро приводит к рациональному виду числитель одной дроби, пользуясь тождеством

4. О показательной функции

Расширение понятия степенной функции , где a – иррациональное и вообще любое действительное число, позволяет рассматривать показательную функцию вида

, Где a >0, x- любое действительное число.

Еще в 1679 г. Лейбниц в одном из своих писем к голландскому физику и математику Христиану Гюйгенсу рассматривал уравнения вида и т. п.

Примерно в то же время аналогичными уравнениями занимался Иоганн Бернулли. Ученик последнего, Л. Эйлер, посвятил «показательным и логарифмическим количествам» две главы «Введения в анализ» и другие труды. «Показательные количества, - писал Эйлер, - разнообразны, смотря по тому, будет ли переменным количеством один только показатель или, кроме того, еще и само возвышаемое количество; к первому роду относится , ко второму , даже и сам показатель, может быть показательным количеством, как в выражениях. Мы не будем останавливаться на дальнейшем подразделении этих количеств, так как природа их может быть понята достаточно ясно, если мы разберем только первый вид.

Одним из замечательных достижений Эйлера было установление связи между показательной и тригонометрической функциями.

Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и общественных явлений. Известно, например, что при распадении радиоактивного вещества его масса т уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз. Если обозначить через to (период полураспада) промежуток времени, необходимый для того, чтобы от первоначальной массы вещества осталась половина ее, то оставшаяся через t лет масса выразится так:

, т. е. радиоактивный' распад (изменение количества вещества в зависимости от времени) совершается по закону, выражаемому показательной функцией. Если, взять, к примеру, уран-238, то для него лет. Поскольку возраст Земли начисляется примерно в 5-7 млрд. лет, то можно утверждать, что в наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества.

Другим примером может служить размножение живых организмов - явление, при описании которого прибегают к показательной функции.

Степень с натуральным показателем.

Пусть а – произвольное действительное число, а n – натуральное число, больше или равно 2. Тогда n-я степень числа а есть произведение n чисел ,каждое из которых равно а:

Например,

Число а в выражении называется основанием, а n – показателем степени. Первой степенью действительного числа а называется само это число а. По аналогии с n–й степенью числа а первую степень этого числа следовало бы записывать как

, но поскольку это выражение равно а, то единицу в записи обычно опускают и пишут просто а.

Степени с натуральными показателями обладают рядом важных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

Теорема 1. Степень положительного числа с любым натуральным показателем положительна.

Степень отрицательного числа с четным показателем положительна, а с нечетным показателем отрицательна.

Действительно, если а>0, то как произведение n положительных чисел положительно. Если а <0, то как произведение четного числа отрицательных чисел положительно, а как произведение нечетного числа отрицательных чисел отрицательно.

Примеры:

(-3)(четное число отрицательных сомножителей);

(-2)(нечетное число отрицательных сомножителей).

Теорема 2. Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель и результаты перемножить, то есть

Доказательство. По определению степени

Используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, получаем:

Что и требовалась доказать

Мы получили правило возведения в степень для случая двух сомножителей. На самом же деле оно верно для любого числа сомножителей, например:

Формулу иногда полезнее читать справа налево:

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания этих степеней, а показатель оставить прежним.

Например,

Теорема 3. Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, то есть

Доказательство. По определению степени и правилу умножения дробей

Примеры:

Упражнения

1. Какие из данных чисел являются положительными и какие – отрицательными:

1. 3. 5. 7.

2. 4. 6. 8.

2. Упростите выражения a) в) б) г)

3. Степени каких чисел не изменяются при произвольном изменении показателя?

Умножение и деление степеней с одинаковым основанием.

Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основания оставить прежним, то есть

Доказательство. По определению степени

Например,

; (-3)*(-3)

Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

Например,

Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при m>n

Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где (a, это все равно, что доказать формулу

Если m>n, то число m-n будет натуральным; следовательно, по теореме 1.

Теорема 2. доказана.

Например,;

Следует обратить внимание на то, что формула

(a доказана нами лишь в предположении, что m>n. Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались

И мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению

Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основания степени прежним, то есть.

Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа.

Что и требовалось доказать.

Например,

Формулу иногда полезнее читать справа налево:

Упражнения:

Определить x из уравнений:

Упростить:

1) 3) 5)7)

2) 4) 6)8)

Сравнение степеней

Теорема 1. Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше то основание, которое больше. Другими словами, если a>b>0,

То при любом натуральным n

Пример. Какое число больше: ?

Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество

Так как 9>8, то. Следовательно,

Теорема 2. Если 0

Доказательство. Пусть m>n. Тогда m=n+k, где k- некоторое натуральное числа. Поэтому,

Если 0

Если 0>a>1, то. Следовательно,

Например,

Упражнения.

1. Данные выражения представьте в виде степеней с одинаковыми показателями, и сравнить их по величине:

1)3)1255)

2) 4)6)

2. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями и сравнить их по величине:

3. Что больше: или ?

Свойства степеней с целыми показателями

Свойства степеней с натуральными показателями:

Эти свойства оказываются справедливыми и для степеней с любыми целыми (положительными, отрицательными и нулевыми)показателями, если только числа a и b не равны нулю.

Докажем, например, что при a

Где, m и n - любые целые числа.

Поскольку для натуральных чисел m и n формула уже доказана, то нам остается рассмотреть 3 случая:

1) числа m и n отрицательны;

2) одно из чисел m и n положительно, а другое отрицательно;

3) хотя бы одно из чисел m и n равно нулю.

Случай 1. Пусть m и n – отрицательные числа. Тогда по определению степени с отрицательным показателем

Так как m и n отрицательны, то - m и –n положительны.

Поэтому

Значит,. Используя определения степени с отрицательным показателем запишем:

Следовательно,

Случай 2. Один из показателей m и n положителен, а другой – отрицателен. Пусть, например, m>0, а n<0. По определению степени с отрицательным показателем

Число -n положительно; значит

Поэтому,

Случай 3. Хотя бы один из показателей m и n равен нулю. Пусть, например, m=0. Тогда по определению нулевой степени

Значит, формула верна и в этом случае.

Таким образом, при a формула верна для любых чисел m и n.

Аналогично могут быть доказаны и остальные четыре свойства с целыми показателями.

Примеры.

Еще два свойства с целыми показателями:

1. Если a>b>0 и n отрицательно, то, то есть из двух степеней с положительными основаниями и одинаковыми отрицательными показателями больше та, основание которой меньше.

Например,

2. Если 0

Если а>1, то из двух степеней и больше та, показатель которой больше. Под m и n здесь подразумеваются любые целые числа, а не только натуральные.

Например,

Упражнения

Вычислить:

1. а); ; ; б); ;

2. При каком показателе n степень не зависит от основания a?

Извлечения корня из степени. Возведении корня в степень. Извлечение корня из корня.

Пусть а – произвольное положительное число, а m и n- натуральные числа, причем m делится без остатка на n. Тогда

Например,

Другими словами, верна следующая теорема.

Теорема 1. Чтобы извлечь корень из степени положительного числа, показатель которой делится нацело на показатель корня, достаточно показатель подкоренного выражения разделить на показатель корня, оставив основание степени прежним.

Доказательство. На основании правила возведения степени в степень имеем:

Но это и означает, что.

Теорема 2. Чтобы корень из положительного числа возвести в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное число, оставив показатель корня без изменения, то есть при a>0.

Действительно

Если n – нечетное число, то формула верна и для a<0.

Примеры:

Теорема 3. Величина корня из положительного числа не изменится, если показатели корня и подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число или разделить на их общий множитель.

Другими словами:

1) если a>0 и m, n, k – натуральные числа, то

2) если a>0 и k- общий делитель чисел m и n, то

Доказать формулу - это значит, что

По правилу возведения корня в степень

Показатель mkn степени делится нацело на показатель nk корня.

Следовательно, по теореме 1. Поэтому.

Это и означает, что.

Формула легко вытекает из.

Примеры:

Теорема 4. Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели этих корней, не изменяя подкоренного числа, то есть

Доказательство. По теореме 2

Величина корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного числа разделить на их общий множитель; поэтому Итак,.

Но по определению корня это и означает, что.

Например,

Упражнения

Упростить выражения:

1)4) 7)

2) 5) 8)

3) 6)9)

Общие свойства степенных функций.

Степенными функциями называются функции вида у =, где а и r - заданные действительные числа. Согласно этому определению показатель степени r может быть как рациональным, так и иррациональным. Но поскольку мы еще не знаем, что такое степень с иррациональным показателем, то пока ограничимся лишь случаем, когда число r рационально. Кроме того, мы будем считать, что а = 1. После того как функция у = будет изучена, исследование функции у= не представит особых затруднений.

Поскольку степеньс рациональным показателем r определена, вообще говоря, лишь для положительных значений Х, то и функцию у = мы будем рассматривать только для положительных значений аргумента х.

Степенные функции обладают следующим основными свойствами.

Свойство 1. При положительных значениях аргументах степенная функция у= принимает только положительные значения.

Действительно, если r =0, то =1>0. Если, где m и n - натуральные числа, то. Но x>0; значит, также больше нуля, потому и >0. Если , где m и n – натуральные числа, то.

Но следовательно, и

На рисунках 102-104 вы видите графики степенных функций у= при различных значениях r. Каждая из приведенных кривых расположена выше оси x. это и служит графическим подтверждением 1-го свойства степенной функции.

Рис. 102

Имеем: : Так как , причем оба эти числа положительны. Поэтому и , то есть , или.

Рис. 103

Рис. 104

Так как , то по 2-му свойству степенной функции

Следовательно,

Или , что и требовалось доказать.

Свойство 4. Если число r положительно, то при неограниченном приближении x к 0 соответствующие значения функции у= неограниченного приближаются к 0. При неограниченном возрастании x соответствующие значения функции у= неограниченно возрастают.

Если число r отрицательно, то при неограниченном приближении x к нулю соответствующие значения функции у= неограниченно возрастают; при неограниченном росте x соответствующие значения функции у= неограниченно приближаются к нулю.

Упражнения

Что больше: а)б)

Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1: а)б)в)

Вычислите: а) б) в) г)

Упростите выражение: а) б)

Представьте выражение в виде степени: а)

Сократите дробь: а)б) в)г) д) е)

Упростите выражение и найдите его значение: а) б)

Эта работа основана на реальных исторических фактах, которые подразумевают под собой историю развития степени. Через этот проект можно заметить развитие истории этих действий и увидеть научные изменения, которые были образованы много лет тому назад, до наших дней.

Благодаря этому проекту, учащиеся смогут развить умственный кругозор. Исторические сведения повысят интерес школьников к изучению математике. На уроках математике, на открытых уроках и различных мероприятиях просвещающих учащихся поможет распознать истинную историю развития степени.

Работу над проектом Маргарита начала с января 2007 г. Темой заинтересовалась после прохождения аналогичного материала на уроках алгебры. Всю работу лицеистка проделала самостоятельно. Собран материал по степеням и их свойствам, начиная со степени с натуральным и кончая степенью с рациональным показателем. Интересен раздел «История развития степени», где представлен материал из дополнительных источников, а также некоторые сведения из Интернета.

Теоретический материал распределен строго по мере усложнения темы для разных показателей. Этот раздел снабжен примерами и упражнениями, который может быть полезен при изучении темы «Показательная и логарифмическая функции».